#import "@preview/mitex:0.2.5": mitex #let bem-md-hash = "4435e25" #let bem-page-path = "book:ja" #set page(paper: "a4", margin: (x: 18mm, y: 18mm), foreground: place(top + left, dx: 8mm, dy: 7mm)[#text(size: 7pt, fill: luma(120))[#bem-page-path]], footer: context align(right)[#text(size: 7pt, fill: luma(120))[md #bem-md-hash #h(1em)p. #counter(page).display("1")]]) #let bem-ruby-color = luma(120) #let bem-ruby-reserve = 0.45em #let bem-anno-reserve = 0.45em #let bem-anno-gap = bem-anno-reserve #let bem-anno-area = bem-anno-reserve + bem-anno-gap #set text(font: ("Yu Mincho", "MS Mincho"), size: 10.5pt, lang: "ja", fill: black, top-edge: 1em + bem-ruby-reserve, bottom-edge: -bem-anno-area) #set par(justify: true, leading: 0.18em) #set block(spacing: 1.12em) #set heading(numbering: "1.1.1") #let bem-heading-accent = rgb("2b155f") #let bem-heading-line = rgb("58b7ff") #let bem-ruby(rt, body) = context { let rt-body = text(size: bem-ruby-reserve, fill: bem-ruby-color, top-edge: "bounds", bottom-edge: "bounds")[#rt] let bw = measure(body).width let rw = measure(rt-body).width let w = calc.max(bw, rw) box(width: w, baseline: bem-anno-area)[ #align(center)[#body] #place(top + left, dx: (w - rw) / 2, rt-body) ] } #let bem-anno(note, body) = context { let note-body = text(size: bem-anno-reserve, fill: bem-ruby-color, top-edge: "bounds", bottom-edge: "bounds")[#note] let bw = measure(body).width let nw = measure(note-body).width let w = calc.max(bw, nw) box(width: w, baseline: bem-anno-area)[ #align(center)[#body] #place(bottom + left, dx: (w - nw) / 2, note-body) ] } #let bem-heading-number() = { let nums = counter(heading).get().slice(1) if nums.len() == 0 { [] } else { numbering("1.1.1", ..nums) } } #show heading: it => { if it.level == 1 { block(above: 0.35em, below: 1.85em, width: 100%)[ #align(center)[#text(size: 18pt, weight: 700)[#it.body]] ] } else { let shown = bem-heading-number() let size = if it.level == 2 { 13.2pt } else if it.level == 3 { 11.6pt } else { 10.8pt } let above = if it.level == 2 { 1.4em } else { 1.12em } let below = if it.level == 2 { 1.22em } else { 1.02em } block(above: above, below: below, width: 100%)[ #box(width: 100%, inset: (left: 7pt, right: 6pt, top: 9pt, bottom: 12pt), stroke: (left: 2.4pt + bem-heading-accent, bottom: 0.55pt + bem-heading-line), radius: 1.5pt)[ #text(size: size, weight: 700)[#if shown != [] [#shown #h(0.45em)]#it.body] ] ] } } #set document(title: "解析ポータル") #align(center + horizon)[ #block(width: 82%)[ #text(size: 24pt, weight: 700)[解析ポータル] #text(size: 8pt, fill: luma(120))[11 pages] ] ] #pagebreak() #block(above: 0pt, below: 0.55em)[#text(size: 14pt, weight: 700)[Table of Contents]] #outline(title: none, depth: 3) #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture.n.md#h(0.7em)md bf6409d]] = #bem-ruby("かいせき")[解析]ポータル == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] このノートは、#bem-ruby("びせきぶん")[微積分]の#bem-ruby("さき")[先]にある#bem-ruby("かいせきぶんや")[解析分野]をたどるための#bem-ruby("いりぐち")[入口]である。 #bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]に#bem-ruby("たこうしき")[多項式]で#bem-ruby("きんじ")[近似]する#bem-ruby("かんてん")[観点]から#bem-ruby("はじ")[始]め、#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]の#bem-ruby("びぶん")[微分]・#bem-ruby("せきぶん")[積分]、#bem-ruby("なみ")[波]や#bem-ruby("しんどう")[振動]を#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数]で#bem-ruby("ぶんかい")[分解]する#bem-ruby("へんかん")[変換]、#bem-ruby("たへんすう")[多変数]の#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("びぶん")[微分]と#bem-ruby("せきぶん")[積分]、#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]と#bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]の#bem-ruby("せつぞく")[接続]へ#bem-ruby("すす")[進]む。#bem-ruby("いか")[以下]の#bem-ruby("しゅようこうぎ")[主要講義]は、#bem-ruby("ぜんてい")[前提]を#bem-ruby("ぎゃくてん")[逆転]させないテーマごとの#bem-ruby("すいしょうどくじゅん")[推奨読順]として、#raw("_order.json") と#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]に#bem-ruby("なら")[並]べている。 == #bem-ruby("しゅよう")[主要]#bem-ruby("こうぎ")[講義] === #bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/taylor-and-maclaurin-expansions.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[expansions.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[テイラー展開とマクローリン展開]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/taylor-and-maclaurin-expansions.lecture/] ]] ] === #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[analysis.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素積分の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ジューコフスキー変換-講義]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/] ]] ] === #bem-ruby("せきぶんへんかん")[積分変換]と#bem-ruby("りさんへんかん")[離散変換] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[フーリエ変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[片側ラプラス変換]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Z 変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/] ]] ] === ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[線積分と面積分の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/] ]] ] === #bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-integral-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[積分方程式の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-integral-equations.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("かんれん")[関連]する#bem-ruby("ぜんてい")[前提] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("まな")[学]ぶ#bem-ruby("まえ")[前]に、#bem-ruby("すうれつ")[数列]とシフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]の#bem-ruby("きほん")[基本]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[sequences]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("はってんさき")[発展先] #bem-ruby("せんけいさようそ")[線型作用素]のポータルでは、Fourier・Laplace・Z #bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("さようそほう")[作用素法]から#bem-ruby("とら")[捉]え#bem-ruby("なお")[直]す。#bem-ruby("しゅようこうぎ")[主要講義]で#bem-ruby("え")[得]た#bem-ruby("ば")[場]と#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("かんが")[考]えは、より#bem-ruby("たいけいてき")[体系的]なベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]、#bem-ruby("へんびぶんほうていしき")[偏微分方程式]、#bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]へ#bem-ruby("ひろ")[広]がる。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operators-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operators]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operators-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[vector-calculus]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/partial-differential-equations/partial-differential-equations-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[partial-differential-equations]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[partial-differential-equations]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/partial-differential-equations/partial-differential-equations-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/exterior-algebra-and-differential-forms-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[exterior-algebra-and-differential-forms]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exterior-algebra]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/exterior-algebra-and-differential-forms-portal.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/taylor-and-maclaurin-expansions.lecture.n.md#h(0.7em)md 9525829]] = テイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]とマクローリン#bem-ruby("てんかい")[展開] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、ある 1 #bem-ruby("てん")[点]での#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("びぶんじょうほう")[微分情報]から#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("さいこうせい")[再構成]するテイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]の#bem-ruby("ほうほう")[方法]と、その#bem-ruby("せいりつじょうけん")[成立条件]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。 #bem-ruby("こうしき")[公式]の#bem-ruby("あんき")[暗記]として#bem-ruby("あつか")[扱]うと「なぜ#bem-ruby("けいすう")[係数]が #mitex("f^{(k)}(a)/k!", block: false) なのか」「どこで#bem-ruby("しゅうそく")[収束]するのか」が#bem-ruby("ふめいりょう")[不明瞭]になる。#bem-ruby("けいすう")[係数]の#bem-ruby("き")[決]まり#bem-ruby("かた")[方]は#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]#bem-ruby("せんけいきんじ")[線形近似]（#mitex("f \\approx f(a) + f'(a)(x-a)", block: false)）を#bem-ruby("こうじ")[高次]へ#bem-ruby("そしきてき")[組織的]に#bem-ruby("かくちょう")[拡張]した#bem-ruby("けっか")[結果]であり、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]は#bem-ruby("べっと")[別途]#bem-ruby("はんけい")[半径]の#bem-ruby("ぎろん")[議論]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("どくりつ")[独立]した#bem-ruby("もんだい")[問題]である。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] === テイラー#bem-ruby("たこうしき")[多項式]と#bem-anno("Taylor series")[テイラー#bem-ruby("きゅうすう")[級数]] #mitex("f", block: false) が #mitex("x=a", block: false) の#bem-ruby("ちか")[近]くで #mitex("n", block: false) #bem-ruby("かい")[回]#bem-ruby("びぶん")[微分]#bem-ruby("かのう")[可能]なとき、 #align(center)[#mitex("T_n(x)=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k")] を #mitex("f", block: false) の #mitex("a", block: false) まわりの #mitex("n", block: false) #bem-ruby("じ")[次]までの#bem-anno("Taylor polynomial")[テイラー#bem-ruby("たこうしき")[多項式]]という。#mitex("f", block: false) が #mitex("a", block: false) の#bem-ruby("ちか")[近]くで#bem-ruby("むげんかい")[無限回]#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]なら、#bem-ruby("びぶんけいすう")[微分係数]から #align(center)[#mitex("\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k")] という#bem-anno("Taylor series")[テイラー#bem-ruby("きゅうすう")[級数]]が#bem-ruby("さだ")[定]まる。#mitex("a=0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]をマクローリン#bem-ruby("たこうしき")[多項式]・マクローリン#bem-ruby("きゅうすう")[級数]という。 #strong[#bem-ruby("ちゅうい")[注意]]：テイラー#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は#bem-ruby("びぶんけいすう")[微分係数]から#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]に#bem-ruby("さだ")[定]まるが、その#bem-ruby("きゅうすう")[級数]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]するとは#bem-ruby("かぎ")[限]らず、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しても #mitex("f(x)", block: false) と#bem-ruby("いっち")[一致]するとは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。#bem-ruby("いっち")[一致]を#bem-ruby("しめ")[示]してはじめて #align(center)[#mitex("f(x)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k")] を #mitex("f", block: false) の #mitex("a", block: false) まわりのテイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]として#bem-ruby("つか")[使]える。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] + #bem-ruby("けいすう")[係数] #mitex("c_k = f^{(k)}(a)/k!", block: false) の#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]（#bem-ruby("びぶん")[微分]を #mitex("k", block: false) #bem-ruby("かい")[回]して #mitex("x = a", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]） + ラグランジュ#bem-ruby("じょうよこう")[剰余項]で#bem-ruby("きんじごさ")[近似誤差]を#bem-ruby("ていりょう")[定量]#bem-ruby("ひょうか")[評価] + #bem-ruby("しゅうそくはんけい")[収束半径]の#bem-ruby("けいさん")[計算]（ダランベール#bem-ruby("ひ")[比]#bem-ruby("はんていほう")[判定法]とコーシー・アダマールの#bem-ruby("こうしき")[公式]） == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. #bem-ruby("けいすう")[係数]の#bem-ruby("き")[決]まり#bem-ruby("かた")[方] #bem-ruby("たこうしき")[多項式] #mitex("P_n(x) = \\sum_{k=0}^n c_k (x-a)^k", block: false) を #mitex("f", block: false) に#bem-ruby("あ")[合]わせたいとする。#mitex("x = a", block: false) で #mitex("P_n^{(j)}(a) = f^{(j)}(a)", block: false)（#mitex("j = 0, 1, \\ldots, n", block: false)）を#bem-ruby("ようきゅう")[要求]すると： #align(center)[#mitex("P_n^{(j)}(x) = j! \\cdot c_j + (\\text{次数 \\ge 1 の項})")] なので #mitex("x = a", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]して #mitex("j! \\cdot c_j = f^{(j)}(a)", block: false)、したがって #align(center)[#mitex("c_j = \\frac{f^{(j)}(a)}{j!}")] この #mitex("c_j", block: false) の#bem-ruby("き")[決]め#bem-ruby("かた")[方]は#bem-ruby("いちい")[一意]であり、「#mitex("a", block: false) での#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("びぶん")[微分]#bem-ruby("じょうほう")[情報]から#bem-ruby("けいすう")[係数]が#bem-ruby("かんぜん")[完全]に#bem-ruby("さだ")[定]まる」ことを#bem-ruby("しめ")[示]している。 === 2. ラグランジュ#bem-ruby("じょうよこう")[剰余項] #mitex("I", block: false) を#bem-ruby("たんてん")[端点] #mitex("a,x", block: false) を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("へいくかん")[閉区間]とする。#mitex("f", block: false) が #mitex("I", block: false) で #mitex("n", block: false) #bem-ruby("かい")[回]#bem-ruby("れんぞくびぶんかのう")[連続微分可能]で、#mitex("I", block: false) の#bem-ruby("ないぶ")[内部]で #mitex("n+1", block: false) #bem-ruby("かい")[階]の#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]を#bem-ruby("も")[持]つとき、#mitex("a", block: false) と #mitex("x", block: false) の#bem-ruby("あいだ")[間]のある #mitex("\\xi", block: false) が#bem-ruby("そんざい")[存在]して： #align(center)[#mitex("f(x) = \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \\underbrace{\\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#mitex("f", block: false) が#bem-ruby("かく")[各] #mitex("n", block: false) についてこの#bem-ruby("かてい")[仮定]を#bem-ruby("み")[満]たし、#bem-ruby("こてい")[固定]した #mitex("x", block: false) で #mitex("R_n(x)\\to0", block: false) を#bem-ruby("しめ")[示]られれば、#mitex("T_n(x)\\to f(x)", block: false) となり、その#bem-ruby("てん")[点]でテイラー#bem-ruby("きゅうすう")[級数]が #mitex("f(x)", block: false) に#bem-ruby("いっち")[一致]する。 #strong[#bem-ruby("つか")[使]い#bem-ruby("かた")[方]]：#mitex("a", block: false) と #mitex("x", block: false) の#bem-ruby("あいだ")[間]で #mitex("|f^{(n+1)}(t)|\\le M", block: false) となる#bem-ruby("じょうかい")[上界] #mitex("M", block: false) があれば、#mitex("|R_n(x)|\\le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!", block: false) と#bem-ruby("ひょうか")[評価]できる。#bem-ruby("れい")[例]えば #mitex("e^x", block: false) の #mitex("x \\in [0,1]", block: false) での #mitex("n", block: false) #bem-ruby("じきんじ")[次近似]の#bem-ruby("ごさ")[誤差]は #mitex("e/({(n+1)!}) \\le 3/(n+1)!", block: false)。 === 3. #bem-ruby("しゅよう")[主要]なマクローリン#bem-ruby("てんかい")[展開] #table( columns: 4, inset: 5pt, stroke: 0.4pt + luma(190), [#strong[#bem-ruby("かんすう")[関数]]], [#strong[#bem-ruby("てんかい")[展開]]], [#strong[#bem-ruby("しゅうそくはんけい")[収束半径] #mitex("R", block: false)]], [#strong[#bem-ruby("じっすうじょう")[実数上]の#bem-ruby("しゅうそくはんい")[収束範囲]]], [#mitex("e^x", block: false)], [#mitex("\\displaystyle\\sum_{k=0}^{\\infty} \\dfrac{x^k}{k!}", block: false)], [#mitex("\\infty", block: false)], [#mitex("\\mathbb R", block: false)], [#mitex("\\sin x", block: false)], [#mitex("\\displaystyle\\sum_{k=0}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}", block: false)], [#mitex("\\infty", block: false)], [#mitex("\\mathbb R", block: false)], [#mitex("\\cos x", block: false)], [#mitex("\\displaystyle\\sum_{k=0}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}", block: false)], [#mitex("\\infty", block: false)], [#mitex("\\mathbb R", block: false)], [#mitex("\\ln(1+x)", block: false)], [#mitex("\\displaystyle\\sum_{k=1}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^{k-1} x^k}{k}", block: false)], [#mitex("1", block: false)], [#mitex("-10", block: false) であり、#mitex("f", block: false) とはどの 0 の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]でも#bem-ruby("いっち")[一致]しない。 #bem-ruby("かくてん")[各点] #mitex("a", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、ある #mitex("a", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]が#bem-ruby("そんざい")[存在]し、その#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で #mitex("a", block: false) まわりのテイラー#bem-ruby("きゅうすう")[級数]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]して#bem-ruby("かんすう")[関数]と#bem-ruby("いっち")[一致]するとき、その#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-anno("analytic")[#bem-ruby("かいせきてき")[解析的]]という。#bem-ruby("かいせきせい")[解析性]は、このような#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("いっち")[一致]を#bem-ruby("かくてん")[各点]で#bem-ruby("ようきゅう")[要求]する#bem-ruby("せいしつ")[性質]である。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #mitex("x \\to 0", block: false) の#bem-ruby("きょくげん")[極限] #mitex("0/0", block: false) #bem-ruby("がた")[型] → マクローリン#bem-ruby("てんかい")[展開]で#bem-ruby("ぶんし")[分子]・#bem-ruby("ぶんも")[分母]を#bem-ruby("てんかい")[展開] - #mitex("x = a", block: false) #bem-ruby("ちか")[近]くの#bem-ruby("きょどう")[挙動] → #mitex("a", block: false) まわりのテイラー#bem-ruby("てんかい")[展開] - #bem-ruby("きんじごさ")[近似誤差]を#bem-ruby("ていりょう")[定量]#bem-ruby("ひょうか")[評価] → ラグランジュ#bem-ruby("じょうよこう")[剰余項]で #mitex("|R_n(x)|", block: false) を#bem-ruby("うえ")[上]から#bem-ruby("おさ")[抑]える - #bem-ruby("むげん")[無限]#bem-ruby("わ")[和]として#bem-ruby("か")[書]かれた#bem-ruby("しき")[式] → #bem-ruby("しゅうそくはんけい")[収束半径]を#bem-ruby("かくにん")[確認] == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか テイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]は#bem-ruby("じっすう")[実数]#bem-ruby("かいせき")[解析]の#bem-ruby("いき")[域]を#bem-ruby("こ")[超]えて#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]でも#bem-ruby("せいりつ")[成立]し、#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]での#bem-ruby("しゅうそくはんけい")[収束半径]は「#bem-ruby("ちか")[近]い#bem-ruby("とくいてん")[特異点]（#bem-ruby("きょく")[極]・#bem-ruby("ぶんきてん")[分岐点]）までの#bem-ruby("きょり")[距離]」で#bem-ruby("き")[決]まる。#bem-ruby("たへんすう")[多変数]では#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]を#bem-ruby("つか")[使]ったテイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]が#bem-ruby("せいりつ")[成立]し、#bem-ruby("ぎょうれつ")[行列]のテイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]（#bem-ruby("ぎょうれつしすうかんすう")[行列指数関数] #mitex("e^A = \\sum A^k/k!", block: false)）が#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]の#bem-ruby("かい")[解]を#bem-ruby("あた")[与]える。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{T_n(x)=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\substack{\\text{各 }n\\text{ でTaylor公式の仮定が成立し、}\\\\\\text{固定した }x\\text{ で }R_n(x)\\to0}\\ \\Longrightarrow\\ f(x)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{f(x) = T_n(x) + \\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \\quad (\\text{ラグランジュ剰余項})}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{e^x = \\sum \\frac{x^k}{k!},\\quad \\sin x = \\sum \\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!},\\quad \\ln(1+x) = \\sum \\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと テイラー#bem-ruby("てんかい")[展開]は「1 #bem-ruby("てん")[点]の#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("びぶん")[微分]#bem-ruby("じょうほう")[情報]から#bem-ruby("かんすう")[関数]#bem-ruby("ぜんたい")[全体]を#bem-ruby("さいこうせい")[再構成]しようとする#bem-ruby("こころ")[試]み」であり、#bem-ruby("けいすう")[係数] #mitex("f^{(k)}(a)/k!", block: false) はその#bem-ruby("いちい")[一意]な#bem-ruby("こた")[答]えだ—ただし#bem-ruby("しゅうそく")[収束]は#bem-ruby("べつもんだい")[別問題]であり、#bem-ruby("かいせきてき")[解析的]でない#bem-ruby("かんすう")[関数]では#bem-ruby("きょくしょじょうほう")[局所情報]だけでは#bem-ruby("かんすう")[関数]#bem-ruby("ぜんたい")[全体]を#bem-ruby("かんぜん")[完全]に#bem-ruby("かいふく")[回復]できない。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/differentiation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[differentiation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/differentiation-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[continuity.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[limits-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[フーリエ変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture.n.md#h(0.7em)md 49f6d32]] = #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]の#bem-ruby("いりぐち")[入口] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]に#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("はっそう")[発想]は、#strong[#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]の#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]は、#bem-ruby("じつかんすう")[実関数]の#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]よりはるかに#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("じょうけん")[条件]だと#bem-ruby("とら")[捉]えること]である。 #bem-ruby("じっすう")[実数]の#bem-ruby("かんすう")[関数]では、#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]であっても#bem-ruby("あら")[荒]い#bem-ruby("ふ")[振]る#bem-ruby("ま")[舞]いをするものがたくさんある。ところが#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では、#bem-ruby("せいそく")[正則]であるというだけで、#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]できたり、#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("つよ")[強]く#bem-ruby("せいぎょ")[制御]されたりする。この#bem-ruby("つよ")[強]さがどこから#bem-ruby("く")[来]るのかを#bem-ruby("みとお")[見通]すのが、この#bem-ruby("こうぎ")[講義]の#bem-ruby("もくてき")[目的]である。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("Complex function")[#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]] とは、#bem-ruby("ふくそすう")[複素数]を#bem-ruby("にゅうりょく")[入力]し、#bem-ruby("ふくそすう")[複素数]を#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]する#bem-ruby("かんすう")[関数]である。 #bem-anno("Domain")[#bem-ruby("りょういき")[領域]] とは、#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]の#bem-ruby("ひら")[開]いた#bem-ruby("れんけつ")[連結]な#bem-ruby("ぶぶんしゅうごう")[部分集合]である。#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("f", block: false) が#bem-ruby("てん")[点] #mitex("z_0", block: false) で#bem-anno("complex differentiable")[#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]]であるとは、 #align(center)[#mitex("f'(z_0)=\\lim_{h\\to0}\\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}")] が、#bem-ruby("ふくそすう")[複素数] #mitex("h", block: false) の#bem-ruby("ちか")[近]づく#bem-ruby("ほうこう")[方向]によらず#bem-ruby("そんざい")[存在]することをいう。#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) のすべての#bem-ruby("てん")[点]で#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]な#bem-ruby("かんすう")[関数]を、#mitex("D", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]で#bem-anno("holomorphic")[#bem-ruby("せいそく")[正則]]であるという。 #bem-anno("Complex integral")[#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]] とは、#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]の#bem-ruby("きょくせん")[曲線]にそって#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]することである。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では、まず「#bem-ruby("ふくそびぶん")[複素微分]とは#bem-ruby("なに")[何]か」を#bem-ruby("じっすう")[実数]の#bem-ruby("びぶん")[微分]と#bem-ruby("くら")[比]べて#bem-ruby("お")[押]さえる。そのあと、#bem-ruby("せいそく")[正則]という#bem-ruby("じょうけん")[条件]がどれほど#bem-ruby("つよ")[強]いかを、コーシー・リーマン#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]、#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]、#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]の#bem-ruby("みっ")[三]つの#bem-ruby("ほうこう")[方向]から#bem-ruby("み")[見]る。 == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明] #bem-ruby("じつかんすう")[実関数]の#bem-ruby("びぶん")[微分]では、#bem-ruby("みぎ")[右]から#bem-ruby("ちか")[近]づけるか#bem-ruby("ひだり")[左]から#bem-ruby("ちか")[近]づけるかくらいしか#bem-ruby("ほうこう")[方向]がない。しかし#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]では、ある#bem-ruby("てん")[点]に#bem-ruby("ちか")[近]づく#bem-ruby("ほうこう")[方向]が#bem-ruby("むすう")[無数]にある。それなのに、どの#bem-ruby("ほうこう")[方向]から#bem-ruby("ちか")[近]づいても#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("びぶんけいすう")[微分係数]になることを#bem-ruby("ようきゅう")[要求]するのが#bem-ruby("ふくそびぶん")[複素微分]である。 このため、#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]という#bem-ruby("じょうけん")[条件]はとても#bem-ruby("きび")[厳]しくなる。そのかわり、いったん#bem-ruby("せいそく")[正則]であることが#bem-ruby("わ")[分]かると、その#bem-ruby("かんすう")[関数]は#bem-ruby("なめ")[滑]らかで、#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]には#bem-ruby("べききゅうすう")[冪級数]として#bem-ruby("か")[書]けるほど#bem-ruby("ととの")[整]った#bem-ruby("ふ")[振]る#bem-ruby("ま")[舞]いをする。 == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. #bem-ruby("ふくそびぶん")[複素微分] #bem-ruby("うえ")[上]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]した#bem-ruby("さしょう")[差商]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("h", block: false) は#bem-ruby("ふくそすう")[複素数]なので、0 への#bem-ruby("ちか")[近]づき#bem-ruby("かた")[方]が#bem-ruby("むすう")[無数]にある。 === 2. コーシー・リーマン#bem-ruby("ほうていしき")[方程式] #align(center)[#mitex("f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \\quad (z=x+iy)")] と#bem-ruby("か")[書]く。#mitex("f", block: false) が #mitex("z_0=x_0+iy_0", block: false) で#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]なら、#bem-ruby("じつじくほうこう")[実軸方向]と#bem-ruby("きょじくほうこう")[虚軸方向]から#bem-ruby("さしょう")[差商]を#bem-ruby("くら")[比]べることにより、 #align(center)[#mitex("\\frac{\\partial u}{\\partial x}=\\frac{\\partial v}{\\partial y}, \\qquad \\frac{\\partial u}{\\partial y}=-\\frac{\\partial v}{\\partial x}")] が #mitex("z_0", block: false) で#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 #bem-ruby("ぎゃく")[逆]に、#mitex("u,v", block: false) が #mitex("z_0", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("いっかいへんどうかんすう")[一階偏導関数]を#bem-ruby("も")[持]ち、#mitex("z_0", block: false) でこの#bem-ruby("にしき")[二式]を#bem-ruby("み")[満]たすなら、#mitex("f", block: false) は #mitex("z_0", block: false) で#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]である。したがって、#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) で #mitex("u,v\\in C^1(D)", block: false) かつ#bem-ruby("かくてん")[各点]でコーシー・リーマン#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]が#bem-ruby("せいりつ")[成立]すれば、#mitex("f", block: false) は #mitex("D", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]で#bem-ruby("せいそく")[正則]である。#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]と、この#bem-ruby("なめ")[滑]らかさを#bem-ruby("かてい")[仮定]した#bem-ruby("じゅうぶんじょうけん")[十分条件]を#bem-ruby("くべつ")[区別]することが#bem-ruby("じゅうよう")[重要]である。 === 3. #bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("つよ")[強]く#bem-ruby("せいぎょ")[制御]される #bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]な#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) で#bem-ruby("せいそく")[正則]な#bem-ruby("かんすう")[関数]は、#mitex("D", block: false) #bem-ruby("ない")[内]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的]に #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]な#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]にそった#bem-ruby("せきぶん")[積分]が 0 になる。これがコーシーの#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]である。#bem-ruby("あな")[穴]のある#bem-ruby("りょういき")[領域]では#bem-ruby("たんれんけつせい")[単連結性]を#bem-ruby("はず")[外]すと#bem-ruby("けつろん")[結論]が#bem-ruby("しっぱい")[失敗]することがあるため、#bem-ruby("りょういき")[領域]と#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("かてい")[仮定]を#bem-ruby("しょうりゃく")[省略]しない。ここから#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]や#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]が#bem-ruby("みちび")[導]かれる。 === 4. #bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開] #bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]の#bem-ruby("せいそくかんすう")[正則関数]は、#mitex("z_0\\in D", block: false) を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とし、#mitex("D", block: false) に#bem-ruby("ふく")[含]まれる#bem-ruby("じゅうぶんちい")[十分小]さい#bem-ruby("えんばん")[円板]の#bem-ruby("なか")[中]で #align(center)[#mitex("f(z)=\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (z-z_0)^n")] と#bem-ruby("か")[書]け、#mitex("a_n=f^{(n)}(z_0)/n!", block: false) である。#bem-ruby("じつかんすう")[実関数]では#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]でも#bem-ruby("べききゅうすう")[冪級数]に#bem-ruby("てんかい")[展開]できるとは#bem-ruby("かぎ")[限]らないが、#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では#bem-ruby("せいそく")[正則]であることからこれが#bem-ruby("したが")[従]う。この#bem-ruby("ていり")[定理]は、#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]うコーシーの#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]へつながる。 == #bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]は、#bem-ruby("にへんすうかんすう")[二変数関数] #mitex("u(x,y),v(x,y)", block: false) の#bem-ruby("りろん")[理論]として#bem-ruby("み")[見]ることもできるし、#bem-ruby("へいめん")[平面]の#bem-ruby("きか")[幾何]として#bem-ruby("み")[見]ることもできる。#bem-ruby("せいそくしゃぞう")[正則写像] #mitex("f", block: false) は、#mitex("f'(z_0)\\ne0", block: false) である#bem-ruby("てん")[点] #mitex("z_0", block: false) では、#bem-ruby("まじ")[交]わる#bem-ruby("なめ")[滑]らかな#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("つ")[付]き#bem-ruby("かくど")[角度]を#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]に#bem-ruby("たも")[保]つ。この#bem-ruby("せいしつ")[性質]を#bem-anno("conformality")[#bem-ruby("とうかくせい")[等角性]]という。#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が 0 の#bem-ruby("てん")[点]では#bem-ruby("いっぱん")[一般]に#bem-ruby("とうかく")[等角]ではない。たとえば #mitex("f(z)=z^2", block: false) は#bem-ruby("せいそく")[正則]だが、#bem-ruby("げんてん")[原点]の#bem-ruby("ちか")[近]くで#bem-ruby("へんかく")[偏角]を 2 #bem-ruby("ばい")[倍]する。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ジューコフスキー変換-講義]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("ふくそすう")[複素数]の#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("びぶん")[微分]するとき、まず#bem-ruby("ほうこう")[方向]によらず#bem-ruby("きょくげん")[極限]が#bem-ruby("いっち")[一致]するかを#bem-ruby("いしき")[意識]する。 - #bem-ruby("せいそく")[正則]と#bem-ruby("で")[出]たら、コーシー・リーマン#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]、#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]、#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]の#bem-ruby("みっ")[三]つが#bem-ruby("れんどう")[連動]していると#bem-ruby("かんが")[考]えると#bem-ruby("せいり")[整理]しやすい。 - #bem-ruby("じつかいせき")[実解析]との#bem-ruby("ちが")[違]いを#bem-ruby("と")[問]われたら、「#bem-ruby("びぶんかのう")[微分可能]の#bem-ruby("じょうけん")[条件]がはるかに#bem-ruby("つよ")[強]い」と#bem-ruby("こた")[答]えるのが#bem-ruby("しゅっぱつてん")[出発点]である。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{f'(z_0)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{f\\text{ が }z_0\\text{ で複素微分可能}\\ \\Longrightarrow\\ u_x(z_0)=v_y(z_0),\\quad u_y(z_0)=-v_x(z_0)}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\substack{u,v\\text{ は }z_0\\text{ の近傍で }C^1\\\\u_x(z_0)=v_y(z_0),\\ u_y(z_0)=-v_x(z_0)}\\ \\Longrightarrow\\ f\\text{ は }z_0\\text{ で複素微分可能}}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと - #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では、#bem-ruby("ふくそびぶんかのう")[複素微分可能]という#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("じょうけん")[条件]から、#bem-ruby("せきぶん")[積分]と#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]の#bem-ruby("ゆた")[豊]かな#bem-ruby("りろん")[理論]が#bem-ruby("た")[立]ち#bem-ruby("あ")[上]がる。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[plane.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[complex-numbers-and-complex]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[algebra]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/taylor-and-maclaurin-expansions.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[expansions.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[テイラー展開とマクローリン展開]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/taylor-and-maclaurin-expansions.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素積分の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ジューコフスキー変換-講義]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture.n.md#h(0.7em)md 69007be]] = #bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]の#bem-ruby("きほん")[基本] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]に#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("はっそう")[発想]は、#strong[#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]では「どの#bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("とお")[通]るか」だけでなく、「どの#bem-ruby("けいろ")[経路]を#bem-ruby("とお")[通]るか」が#bem-ruby("いっけん")[一見]#bem-ruby("じゅうよう")[重要]そうに#bem-ruby("み")[見]えて、#bem-ruby("せいそく")[正則]であるとその#bem-ruby("いぞん")[依存]が#bem-ruby("つよ")[強]く#bem-ruby("き")[消]えること]である。 #bem-ruby("じっすう")[実数]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]では、#bem-ruby("くかん")[区間]にそって#bem-ruby("めんせき")[面積]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("かんかく")[感覚]が#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]だった。#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]では、#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]の#bem-ruby("きょくせん")[曲線]にそって#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせる。ところが#bem-ruby("せいそくかんすう")[正則関数]では、この#bem-ruby("せきぶん")[積分]がきわめて#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("せいしつ")[性質]を#bem-ruby("も")[持]つ。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("Complex integral")[#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]] とは、#bem-ruby("きょくせん")[曲線] #mitex("C", block: false) にそって #align(center)[#mitex("\\int_C f(z)\\,dz")] を#bem-ruby("かんが")[考]えることである。 #bem-anno("Cauchy's integral theorem")[コーシーの#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]] とは、#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]な#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]で#bem-ruby("せいそく")[正則]な#bem-ruby("かんすう")[関数]を、#mitex("D", block: false) #bem-ruby("ない")[内]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的]に #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]な#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]にそって#bem-ruby("せきぶん")[積分]すると 0 になる、という#bem-ruby("ていり")[定理]である。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] まず#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]を#bem-ruby("じつせきぶん")[実積分]と#bem-ruby("くら")[比]べながら#bem-ruby("お")[押]さえる。そのあと、#bem-ruby("せいそく")[正則]であることが#bem-ruby("せきぶん")[積分]にどれほど#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("せいやく")[制約]を#bem-ruby("あた")[与]えるかを、#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]と#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]で#bem-ruby("み")[見]る。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[analysis.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ジューコフスキー変換-講義]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明] #bem-ruby("へいめん")[平面]の#bem-ruby("うえ")[上]を#bem-ruby("ある")[歩]きながら、その#bem-ruby("ばしょ")[場所]ごとの#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("ひろ")[拾]っていくのが#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]である。ふつうは#bem-ruby("けいろ")[経路]を#bem-ruby("か")[変]えれば#bem-ruby("けっか")[結果]も#bem-ruby("か")[変]わりそうだが、#bem-ruby("たんれんけつりょういき")[単連結領域]で#bem-ruby("せいそく")[正則]な#bem-ruby("かんすう")[関数]では、#bem-ruby("りょういきない")[領域内]の#bem-ruby("と")[閉]じた#bem-ruby("けいろ")[経路]を#bem-ruby("まわ")[回]る#bem-ruby("せきぶん")[積分]が 0 になる。 このため、「#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("じょうほう")[情報]が、#bem-ruby("しゅうい")[周囲]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]だけで#bem-ruby("よ")[読]める」という、#bem-ruby("じつかいせき")[実解析]ではかなり#bem-ruby("とくべつ")[特別]な#bem-ruby("げんしょう")[現象]が#bem-ruby("お")[起]こる。 == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. #bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]の#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-ruby("くぶんてき")[区分的]に #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]な#bem-ruby("きょくせん")[曲線] #mitex("C", block: false) を #mitex("z:[a,b]\\to\\mathbb C", block: false) と#bem-ruby("ばいかいへんすうひょうじ")[媒介変数表示]すると、 #align(center)[#mitex("\\int_C f(z)\\,dz=\\int_a^b f(z(t))z'(t)\\,dt")] である。 これは#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]を#bem-ruby("じっすう")[実数]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]へ#bem-ruby("もど")[戻]して#bem-ruby("ていぎ")[定義]している、ということである。したがって、まず#bem-ruby("けいろ")[経路]を#bem-ruby("ばいかいへんすう")[媒介変数]で#bem-ruby("か")[書]き、その#bem-ruby("うえ")[上]で#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("ひろ")[拾]う、という#bem-ruby("てじゅん")[手順]になる。 === 2. コーシーの#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理] #bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]な#bem-ruby("りょういき")[領域]で#bem-ruby("せいそく")[正則]な#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("f", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、 #align(center)[#mitex("\\oint_C f(z)\\,dz=0")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。 ここで#bem-ruby("じゅうよう")[重要]なのは、#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]が#bem-ruby("たんれんけつりょういき")[単連結領域] #mitex("D", block: false) の#bem-ruby("なか")[中]にあり、#mitex("f", block: false) が #mitex("D", block: false) #bem-ruby("ぜんたい")[全体]で#bem-ruby("せいそく")[正則]であることである。#bem-ruby("たんれんけつせい")[単連結性]により、#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]は #mitex("D", block: false) の#bem-ruby("なか")[中]で 1 #bem-ruby("てん")[点]へ#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]に#bem-ruby("ちぢ")[縮]められる。#bem-ruby("あな")[穴]や#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を#bem-ruby("まわ")[回]る#bem-ruby("きょくせん")[曲線]では、この#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("いっぱん")[一般]には#bem-ruby("てきよう")[適用]できない。 === 3. コーシーの#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示] #mitex("C", block: false) を#bem-ruby("せい")[正]の#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("まわ")[回]る#bem-ruby("くぶんてき")[区分的]に #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]な#bem-ruby("たんじゅんへいきょくせん")[単純閉曲線]とする。#mitex("f", block: false) が #mitex("C", block: false) とその#bem-ruby("ないぶ")[内部]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]で#bem-ruby("せいそく")[正則]なら、#mitex("C", block: false) の#bem-ruby("うちがわ")[内側]の#bem-ruby("てん")[点] #mitex("z_0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("f(z_0)=\\frac{1}{2\\pi i}\\oint_C \\frac{f(z)}{z-z_0}\\,dz")] と#bem-ruby("あらわ")[表]せる。 この#bem-ruby("しき")[式]は、#bem-ruby("ないぶ")[内部]の 1 #bem-ruby("てん")[点]の#bem-ruby("あたい")[値]が、#bem-ruby("しゅうい")[周囲]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]で#bem-ruby("かいしゅう")[回収]できることを#bem-ruby("いみ")[意味]する。 この#bem-ruby("こうしき")[公式]が#bem-ruby("きょうりょく")[強力]なのは、#bem-ruby("あたい")[値]だけでなく#bem-ruby("びぶんけいすう")[微分係数]まで#bem-ruby("せきぶん")[積分]から#bem-ruby("かいしゅう")[回収]できる#bem-ruby("しゅっぱつてん")[出発点]になるからである。ここに、#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]が#bem-ruby("じつかいせき")[実解析]よりずっと#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("りゆう")[理由]の 1 つがある。 == #bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("みかた")[見方] === #bem-ruby("きかてき")[幾何的]な#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]は、#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]の#bem-ruby("うえ")[上]の#bem-ruby("みち")[道]にそって#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせる#bem-ruby("そうさ")[操作]である。この#bem-ruby("みかた")[見方]では、「#bem-ruby("と")[閉]じて#bem-ruby("まわ")[回]ると 0 になる」という#bem-ruby("ていり")[定理]は、#bem-ruby("ないぶ")[内部]に#bem-ruby("うず")[渦]のような#bem-ruby("とくいてん")[特異点]がない#bem-ruby("ば")[場]では#bem-ruby("う")[打]ち#bem-ruby("け")[消]し#bem-ruby("あ")[合]う、と#bem-ruby("よ")[読]める。 === #bem-ruby("かいせきてき")[解析的]な#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("じつかいせき")[実解析]では#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("めんせき")[面積]の#bem-ruby("かんかく")[感覚]が#bem-ruby("つよ")[強]いだが、#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("かんすうち")[関数値]や#bem-ruby("びぶんけいすう")[微分係数]を#bem-ruby("かいしゅう")[回収]する#bem-ruby("どうぐ")[道具]になる。この#bem-ruby("みかた")[見方]では、#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]が#bem-ruby("へいきんち")[平均値]の#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("ひじょう")[非常]に#bem-ruby("つよ")[強]くしたものだと#bem-ruby("み")[見]える。 === #bem-ruby("さようそ")[作用素]による#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("せきぶん")[積分]を 1 つの#bem-ruby("へんかん")[変換]と#bem-ruby("み")[見]ると、#bem-ruby("せいそくかんすう")[正則関数]はこの#bem-ruby("へんかん")[変換]に#bem-ruby("たい")[対]してきわめて#bem-ruby("あんてい")[安定]な#bem-ruby("かんすうぞく")[関数族]である。したがって#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]は、ただ#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("た")[足]すだけでなく、#bem-ruby("せいそくかんすう")[正則関数]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]を#bem-ruby("よ")[読]み#bem-ruby("と")[取]る#bem-ruby("さようそ")[作用素]だと#bem-ruby("かんが")[考]えられる。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]の#bem-ruby("きょくせん")[曲線]にそった#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("で")[出]たら、まず#bem-ruby("せいそく")[正則]かどうかを#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 - #bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]と#bem-ruby("せいそく")[正則]が#bem-ruby("なら")[並]んだら、#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]を#bem-ruby("うたが")[疑]う。 - #bem-ruby("かんすうち")[関数値]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]で#bem-ruby("あらわ")[表]したいときは、#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]を#bem-ruby("おも")[思]い#bem-ruby("だ")[出]する。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか #bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]と#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]は、#bem-ruby("せいそく")[正則]であることと#bem-ruby("りょういき")[領域]の#bem-ruby("じょうけん")[条件]に#bem-ruby("つよ")[強]く#bem-ruby("いぞん")[依存]する。#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を#bem-ruby("かこ")[囲]むときや、#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]でない#bem-ruby("りょういき")[領域]では、そのまま#bem-ruby("つか")[使]えないことがある。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\int_C f(z)\\,dz=\\int_a^b f(z(t))z'(t)\\,dt}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\substack{f\\text{ は単連結領域 }D\\text{ で正則}\\\\C\\subset D\\text{ は区分的 }C^1\\text{ 級の閉曲線}}\\ \\Longrightarrow\\ \\oint_C f(z)\\,dz=0}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\substack{C\\text{ は正向きで区分的 }C^1\\text{ 級の単純閉曲線、}z_0\\text{ はその内部}\\\\f\\text{ は }C\\text{ と内部を含む開集合で正則}}\\ \\Longrightarrow\\ f(z_0)=\\frac{1}{2\\pi i}\\oint_C \\frac{f(z)}{z-z_0}\\,dz}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと - #bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]では、#bem-ruby("せいそく")[正則]であることが#bem-ruby("けいろ")[経路]#bem-ruby("いぞんせい")[依存性]を#bem-ruby("つよ")[強]く#bem-ruby("しば")[縛]り、#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("あたい")[値]まで#bem-ruby("せきぶん")[積分]から#bem-ruby("かいしゅう")[回収]できるようになる。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[analysis.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture.n.md#h(0.7em)md 03c101e]] = ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]-#bem-ruby("こうぎ")[講義] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("こうしき")[公式]として#bem-ruby("あんき")[暗記]するのでなく、#strong[#bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶ")[外部]という#bem-ruby("と")[解]きやすい#bem-ruby("りょういき")[領域]を、#bem-ruby("よくがた")[翼型]の#bem-ruby("がいぶ")[外部]という#bem-ruby("こうがくてき")[工学的]に#bem-ruby("じゅうよう")[重要]な#bem-ruby("りょういき")[領域]へ#bem-ruby("うつ")[移]すための#bem-ruby("しゃぞう")[写像]として#bem-ruby("りかい")[理解]すること]にある。 #bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]では、#bem-ruby("ふくざつ")[複雑]な#bem-ruby("りょういき")[領域]をそのまま#bem-ruby("あつか")[扱]うのではなく、#bem-ruby("ぎゃくしゃぞう")[逆写像]で#bem-ruby("ひょうじゅんりょういき")[標準領域]へ#bem-ruby("うつ")[移]し、そこで#bem-ruby("けいさん")[計算]した#bem-ruby("けっか")[結果]を#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("りょういき")[領域]へ#bem-ruby("もど")[戻]す#bem-ruby("はっそう")[発想]が#bem-ruby("じゅうよう")[重要]である。ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換] #mitex("J", block: false) が#bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶ")[外部] #mitex("D", block: false) を#bem-ruby("よくがた")[翼型]の#bem-ruby("がいぶ")[外部] #mitex("\\Omega=J(D)", block: false) へ#bem-ruby("うつ")[写]すなら、#mitex("J^{-1}", block: false) で #mitex("\\Omega", block: false) から #mitex("D", block: false) へ#bem-ruby("もど")[戻]って#bem-ruby("けいさん")[計算]し、#mitex("J", block: false) を#bem-ruby("とお")[通]して#bem-ruby("けっか")[結果]を#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]する。この#bem-ruby("おうふく")[往復]が#bem-ruby("きか")[幾何]と#bem-ruby("りゅうたいりきがく")[流体力学]に#bem-ruby("せつぞく")[接続]する#bem-ruby("だいひょうれい")[代表例]である。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[analysis.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]とは、#bem-ruby("てんけいてき")[典型的]には #align(center)[#mitex("J(z)=z+\\frac{1}{z}")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]である。#bem-ruby("ぶんけん")[文献]によっては #align(center)[#mitex("\\zeta=\\frac{1}{2}\\left(z+\\frac{1}{z}\\right)")] を#bem-ruby("もち")[用]いる。#bem-ruby("けいすう")[係数] #mitex("\\frac{1}{2}", block: false) は#bem-ruby("ぜんたい")[全体]の#bem-ruby("かくだいしゅくしょう")[拡大縮小]を#bem-ruby("か")[変]えるだけであり、#bem-ruby("しゃぞう")[写像]の#bem-ruby("ほんしつ")[本質]は#bem-ruby("どういつ")[同一]である。 #bem-anno("Conformal map")[#bem-ruby("とうかくしゃぞう")[等角写像]] とは、#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]に#bem-ruby("かくど")[角度]を#bem-ruby("たも")[保]つ#bem-ruby("しゃぞう")[写像]である。#bem-ruby("せいそく")[正則]かつ#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が 0 でない#bem-ruby("てん")[点]では、#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]は#bem-ruby("とうかくしゃぞう")[等角写像]として#bem-ruby("さよう")[作用]する。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("こうさつ")[考察]する#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]は#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("とお")[通]りである。 + #mitex("J(z)=z+\\frac{1}{z}", block: false) が#bem-ruby("えん")[円]をどう#bem-ruby("へんけい")[変形]するかを#bem-ruby("けいさん")[計算]する + #bem-ruby("どうかんすう")[導関数] #mitex("J'(z)", block: false) から、#bem-ruby("とうかくせい")[等角性]が#bem-ruby("こわ")[壊]れる#bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する + #bem-ruby("ちゅうしん")[中心]をずらした#bem-ruby("えん")[円]を#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]へ#bem-ruby("とお")[通]すとき、どの#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]で#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]が#bem-ruby("はっせい")[発生]するかを#bem-ruby("きょくしょてんかい")[局所展開]で#bem-ruby("かくにん")[確認]する + #bem-ruby("えんちゅう")[円柱]まわりの#bem-ruby("なが")[流]れを#bem-ruby("よくがた")[翼型]まわりの#bem-ruby("なが")[流]れへ#bem-ruby("うつ")[移]す#bem-ruby("こうぞう")[構造]を#bem-ruby("せいり")[整理]する == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明] #mitex("z", block: false) と #mitex("\\frac{1}{z}", block: false) を#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("かたち")[形]は、#bem-ruby("てん")[点] #mitex("z", block: false) と、その#bem-ruby("はんてん")[反転] #mitex("\\frac{1}{z}", block: false) を#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("さんしょう")[参照]する#bem-ruby("かたち")[形]である。#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("r", block: false) の#bem-ruby("えん")[円]を #mitex("z=re^{i\\theta}", block: false) と#bem-ruby("あらわ")[表]すと、#mitex("\\frac{1}{z}=\\frac{1}{r}e^{-i\\theta}", block: false) であるから、#bem-ruby("はんけい")[半径]の#bem-ruby("じょうほう")[情報]と#bem-ruby("かくど")[角度]の#bem-ruby("じょうほう")[情報]が#bem-ruby("はんたいむ")[反対向]きに#bem-ruby("ま")[混]ざる。 この#bem-ruby("こんごう")[混合]により、#bem-ruby("えんしゅう")[円周]は#bem-ruby("だえん")[楕円]に#bem-ruby("うつ")[移]る。#bem-ruby("たんいえん")[単位円]だけは#bem-ruby("とくべつ")[特別]で、#bem-ruby("じょうげほうこう")[上下方向]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]が#bem-ruby("そうさい")[相殺]され、#bem-ruby("じつじく")[実軸]の#bem-ruby("せんぶん")[線分]へ#bem-ruby("つぶ")[潰]れる。 さらに#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]を#bem-ruby("てきせつ")[適切]にずらした#bem-ruby("えん")[円]を#bem-ruby("つか")[使]うと、#bem-ruby("ぞう")[像]は#bem-ruby("だえん")[楕円]から#bem-ruby("ひたいしょう")[非対称]な#bem-ruby("かたち")[形]へ#bem-ruby("へんか")[変化]する。その#bem-ruby("えん")[円]が #mitex("z=1", block: false) を#bem-ruby("とお")[通]り、#bem-ruby("あと")[後]で#bem-ruby("の")[述]べる#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]も#bem-ruby("み")[満]たすと、#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が 0 になる#bem-ruby("てん")[点]で#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("にし")[二枝]が#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("せっせんほうこう")[接線方向]へ#bem-ruby("とうたつ")[到達]し、#bem-ruby("ぞう")[像]に#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。これが#bem-ruby("つばさ")[翼]の#bem-ruby("こうえん")[後縁]を#bem-ruby("ひょうげん")[表現]する#bem-ruby("すうがくてき")[数学的]#bem-ruby("きこう")[機構]である。 == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. #bem-ruby("えん")[円]が#bem-ruby("だえん")[楕円]へ#bem-ruby("うつ")[移]る#bem-ruby("けいさん")[計算] #mitex("z=re^{i\\theta}", block: false) と#bem-ruby("お")[置]く。ただし #mitex("r>0", block: false) とする。このとき #align(center)[#mitex("J(z)=re^{i\\theta}+\\frac{1}{r}e^{-i\\theta}")] である。オイラーの#bem-ruby("こうしき")[公式]から #mitex("e^{i\\theta}=\\cos\\theta+i\\sin\\theta", block: false)、#mitex("e^{-i\\theta}=\\cos\\theta-i\\sin\\theta", block: false) なので、 #align(center)[#mitex("J(z)=\\left(r+\\frac{1}{r}\\right)\\cos\\theta\n+i\\left(r-\\frac{1}{r}\\right)\\sin\\theta")] となる。#bem-ruby("ぞう")[像]の#bem-ruby("じつぶ")[実部]を #mitex("x", block: false)、#bem-ruby("きょぶ")[虚部]を #mitex("y", block: false) と#bem-ruby("か")[書]けば、 #align(center)[#mitex("x=\\left(r+\\frac{1}{r}\\right)\\cos\\theta,\\qquad\ny=\\left(r-\\frac{1}{r}\\right)\\sin\\theta")] である。したがって #mitex("r\\ne 1", block: false) では #align(center)[#mitex("\\frac{x^2}{\\left(r+\\frac{1}{r}\\right)^2}\n+\n\\frac{y^2}{\\left(r-\\frac{1}{r}\\right)^2}\n=1")] を#bem-ruby("え")[得]る。これは#bem-ruby("だえん")[楕円]の#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]である。 #mitex("r=1", block: false) のときは #mitex("y=0", block: false) となり、#mitex("x=2\\cos\\theta", block: false) であるから、#bem-ruby("たんいえん")[単位円]は#bem-ruby("じつじく")[実軸]の#bem-ruby("せんぶん")[線分] #mitex("[-2,2]", block: false) へ#bem-ruby("うつ")[移]る。 === 2. #bem-ruby("とうかくせい")[等角性]が#bem-ruby("こわ")[壊]れる#bem-ruby("てん")[点] #mitex("J", block: false) の#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]は #align(center)[#mitex("J'(z)=1-\\frac{1}{z^2}")] である。したがって #align(center)[#mitex("J'(z)=0\n\\quad\\Longleftrightarrow\\quad\nz^2=1\n\\quad\\Longleftrightarrow\\quad\nz=\\pm 1")] となる。#mitex("z=0", block: false) では #mitex("J", block: false) そのものが#bem-ruby("ていぎ")[定義]されないため、#bem-ruby("じょがい")[除外]する。#bem-ruby("けつろん")[結論]として、#mitex("z=0,\\pm1", block: false) を#bem-ruby("さ")[避]けた#bem-ruby("りょういき")[領域]では、#mitex("J", block: false) は#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]に#bem-ruby("とうかくしゃぞう")[等角写像]として#bem-ruby("さよう")[作用]する。 === 3. #bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]が#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]を#bem-ruby("う")[生]む#bem-ruby("じょうけん")[条件] #mitex("z=1", block: false) を#bem-ruby("とお")[通]る 4 #bem-ruby("かい")[回]#bem-ruby("れんぞくびぶんかのう")[連続微分可能]な#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]を#bem-ruby("じっすう")[実数] #mitex("t", block: false) で #mitex("\\gamma(t)", block: false) と#bem-ruby("あらわ")[表]し、#mitex("\\gamma(0)=1", block: false)、#mitex("a=\\gamma'(0)\\ne0", block: false) とする。このとき #align(center)[#mitex("\\gamma(t)=1+at+\\frac{\\gamma''(0)}2t^2+O(t^3)")] である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#mitex("z=1+\\varepsilon", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば #align(center)[#mitex("J(1+\\varepsilon)=2+\\varepsilon^2-\\varepsilon^3+O(\\varepsilon^4)")] なので、#bem-ruby("だいにゅう")[代入]して #align(center)[#mitex("J(\\gamma(t))=2+At^2+Bt^3+O(t^4),")] #align(center)[#mitex("A=a^2,\n\\qquad\nB=a\\gamma''(0)-a^3")] を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("A\\ne0", block: false) なので#bem-ruby("ぞうきょくせん")[像曲線]の#bem-ruby("いちじそくど")[一次速度]は 0 になり、#mitex("t>0", block: false) #bem-ruby("がわ")[側]と #mitex("t<0", block: false) #bem-ruby("がわ")[側]は#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("せっせんほうこう")[接線方向]へ#bem-ruby("とうたつ")[到達]する。しかし、これだけでは#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]になるとは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。 #mitex("A", block: false) と #mitex("B", block: false) が#bem-ruby("ふくそへいめん")[複素平面]で#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("じつほうこう")[実方向]を#bem-ruby("む")[向]く、すなわち #align(center)[#mitex("\\operatorname{Im}(\\overline A B)\\ne0")] のとき、#bem-ruby("へいこういどう")[平行移動]・#bem-ruby("かいてん")[回転]・#bem-ruby("かくだいしゅくしょう")[拡大縮小]の#bem-ruby("あと")[後]で#bem-ruby("きょくしょけい")[局所形]は #align(center)[#mitex("x=t^2+O(t^3),\n\\qquad\ny=ct^3+O(t^4)\n\\qquad(c\\ne0)")] となる。これが#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-anno("semicubical cusp")[#bem-ruby("はんさんじせんてん")[半三次尖点]]である。#bem-ruby("どうち")[同値]な#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]は #align(center)[#mitex("\\operatorname{Im}\\!\\left(\\frac{\\gamma''(0)}{\\gamma'(0)}-\\gamma'(0)\\right)\\ne0")] である。 #bem-ruby("ちゅうしん")[中心] #mitex("c", block: false) の#bem-ruby("えん")[円]が 1 を#bem-ruby("とお")[通]るとき、#mitex("\\gamma(t)=c+(1-c)e^{it}", block: false) と#bem-ruby("お")[置]ける。この#bem-ruby("ばあい")[場合]は #mitex("B/A=ic", block: false) なので、#mitex("\\operatorname{Re}c\\ne0", block: false) なら 1 の#bem-ruby("ぞう")[像]に#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]が#bem-ruby("しょう")[生]じる。#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("たんいえん")[単位円]では #mitex("c=0", block: false) であり、 #align(center)[#mitex("J(e^{it})=2\\cos t=2-t^2+\\frac{t^4}{12}+O(t^6)")] となる。#bem-ruby("さんじ")[三次]の#bem-ruby("よこほうこうせいぶん")[横方向成分]がなく、#bem-ruby("たんいえん")[単位円]#bem-ruby("ぜんたい")[全体]は#bem-ruby("せんぶん")[線分] #mitex("[-2,2]", block: false) へ#bem-ruby("かさ")[重]なって#bem-ruby("つぶ")[潰]れる。したがって「#bem-ruby("えん")[円]が#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]を#bem-ruby("とお")[通]る」ことは#bem-ruby("とが")[尖]りを#bem-ruby("つく")[作]る#bem-ruby("きこう")[機構]だが、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]するには#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]も#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 === 4. #bem-ruby("たいいきてき")[大域的]には 1 #bem-ruby("たい")[対] 1 でない #mitex("J", block: false) には #align(center)[#mitex("J(z)=J\\left(\\frac{1}{z}\\right)")] という#bem-ruby("たいしょうせい")[対称性]がある。したがって、#bem-ruby("ぜんへいめん")[全平面]から #mitex("0", block: false) を#bem-ruby("のぞ")[除]いた#bem-ruby("りょういき")[領域]で 1 #bem-ruby("たい")[対] 1 にはならない。 #bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("z,u\\ne0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("J(z)=J(u)\n\\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n(z-u)(zu-1)=0")] なので、#bem-ruby("こと")[異]なる 2 #bem-ruby("てん")[点]が#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("ぞう")[像]を#bem-ruby("も")[持]つのは #mitex("u=1/z", block: false) のときに#bem-ruby("かぎ")[限]る。したがって、#bem-ruby("せいげん")[制限]する#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D", block: false) が#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("ぎゃくすうつい")[逆数対]を#bem-ruby("ふく")[含]まないことを#bem-ruby("かくにん")[確認]しなければならない。 たとえば #mitex("D=\\{|z|>1\\}", block: false) では #mitex("1/z\\notin D", block: false) なので #mitex("J", block: false) は#bem-ruby("たんしゃ")[単射]であり、#mitex("J:D\\to\\mathbb C\\setminus[-2,2]", block: false) は#bem-ruby("せいそく")[正則]な#bem-ruby("ぎゃくしゃぞう")[逆写像]を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("とうかくしゃぞう")[等角写像]になる。#bem-ruby("ぎゃくしゃぞう")[逆写像]を#bem-ruby("もと")[求]めると #align(center)[#mitex("w=z+\\frac{1}{z}\n\\quad\\Longleftrightarrow\\quad\nz^2-wz+1=0")] なので、 #align(center)[#mitex("z=\\frac{w\\pm\\sqrt{w^2-4}}{2}")] を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("|z|>1", block: false) に#bem-ruby("たいおう")[対応]するのは、#bem-ruby("むげんえん")[無限遠]で #mitex("z(w)\\sim w", block: false) となる #align(center)[#mitex("z(w)=\\frac{w+\\sqrt{w^2-4}}2")] の#bem-ruby("えだ")[枝]である。#bem-ruby("へいほうこん")[平方根]は #mitex("\\mathbb C\\setminus[-2,2]", block: false) でこの#bem-ruby("ぜんきんじょうけん")[漸近条件]を#bem-ruby("み")[満]たすように#bem-ruby("えら")[選]ぶ。#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]をずらした#bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶ")[外部]を#bem-ruby("つか")[使]う#bem-ruby("ばあい")[場合]には#bem-ruby("たんしゃせい")[単射性]は#bem-ruby("じどうてき")[自動的]ではない。#bem-ruby("たいしょうりょういき")[対象領域]に#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("ぎゃくすうつい")[逆数対]がないことと、#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]#bem-ruby("いがい")[以外]で#bem-ruby("ぞう")[像]が#bem-ruby("かさ")[重]ならないことを#bem-ruby("べっと")[別途]#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 == #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例] #bem-ruby("えん")[円] #mitex("|z|=2", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]える。このとき #mitex("r=2", block: false) なので、 #align(center)[#mitex("x=\\frac{5}{2}\\cos\\theta,\\qquad\ny=\\frac{3}{2}\\sin\\theta")] である。したがって#bem-ruby("ぞう")[像]は #align(center)[#mitex("\\frac{x^2}{(5/2)^2}+\\frac{y^2}{(3/2)^2}=1")] という#bem-ruby("だえん")[楕円]になる。#bem-ruby("はんけい")[半径]が 1 から#bem-ruby("はな")[離]れるほど、#bem-ruby("たてほうこう")[縦方向]の#bem-ruby("つぶ")[潰]れが#bem-ruby("よわ")[弱]まり、#bem-ruby("だえん")[楕円]としての#bem-ruby("あつ")[厚]みが#bem-ruby("ま")[増]す。 == #bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("かんてん")[観点] === #bem-ruby("きかてき")[幾何的]な#bem-ruby("かんてん")[観点] ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]は、#bem-ruby("えん")[円]と#bem-ruby("ほうしゃせん")[放射線]からなる#bem-ruby("きょくざひょう")[極座標]の#bem-ruby("きょくせんぞく")[曲線族]を、#bem-ruby("だえん")[楕円]と#bem-ruby("そうきょくせん")[双曲線]の#bem-ruby("きょくせんぞく")[曲線族]へ#bem-ruby("うつ")[移]す#bem-ruby("へんかん")[変換]として#bem-ruby("りかい")[理解]できる。この#bem-ruby("かんてん")[観点]では、#bem-ruby("しき")[式] #mitex("z+\\frac{1}{z}", block: false) は#bem-ruby("ずけい")[図形]を#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("か")[替]える#bem-ruby("そうち")[装置]である。 === #bem-ruby("ふくそかんすうてき")[複素関数的]な#bem-ruby("かんてん")[観点] #mitex("J'(z)=0", block: false) となる#bem-ruby("てん")[点]では、#bem-ruby("せいそくしゃぞう")[正則写像]が#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("かいてん")[回転]と#bem-ruby("かくだい")[拡大]として#bem-ruby("さよう")[作用]するという#bem-ruby("せいしつ")[性質]が#bem-ruby("はたん")[破綻]する。この#bem-ruby("はたん")[破綻]を#bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("はいち")[配置]することで、#bem-ruby("なめ")[滑]らかな#bem-ruby("えん")[円]から#bem-ruby("とが")[尖]った#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("せいせい")[生成]できる。 === #bem-ruby("りゅうたいりきがく")[流体力学]への#bem-ruby("せつぞく")[接続] #bem-ruby("にじげん")[二次元]の#bem-ruby("ひあっしゅく")[非圧縮]・#bem-ruby("ひねんせい")[非粘性]・#bem-ruby("うず")[渦]なしの#bem-ruby("なが")[流]れでは、#bem-ruby("そくど")[速度]ポテンシャルと#bem-ruby("りゅうせんかんすう")[流線関数]を#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("あ")[合]わせた#bem-ruby("ふくそ")[複素]ポテンシャルを#bem-ruby("もち")[用]いることができる。このとき、#bem-ruby("えんちゅう")[円柱]まわりの#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("なが")[流]れを、#bem-ruby("とうかくしゃぞう")[等角写像]で#bem-ruby("よくがた")[翼型]まわりの#bem-ruby("なが")[流]れへ#bem-ruby("うつ")[移]す#bem-ruby("せんりゃく")[戦略]が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。 #bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶりょういき")[外部領域] #mitex("D", block: false) で#bem-ruby("え")[得]た#bem-ruby("ふくそ")[複素]ポテンシャルを #mitex("F(z)", block: false)、#bem-ruby("よくがたがいぶ")[翼型外部]を #mitex("\\Omega=J(D)", block: false) とする。#mitex("J:D\\to\\Omega", block: false) が#bem-ruby("たんしゃ")[単射]で#bem-ruby("ぎゃくしゃぞう")[逆写像]を#bem-ruby("えら")[選]べるとき、#bem-ruby("よくがためん")[翼型面]の#bem-ruby("てん")[点] #mitex("w", block: false) におけるポテンシャルは #align(center)[#mitex("W(w)=F(J^{-1}(w))")] である。つまり、#mitex("J^{-1}", block: false) で#bem-ruby("と")[解]きやすい#bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶ")[外部]へ#bem-ruby("もど")[戻]り、そこで#bem-ruby("もと")[求]めた#bem-ruby("かい")[解]を #mitex("J", block: false) の#bem-ruby("ぞう")[像]として#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]する。#bem-ruby("ふくそそくど")[複素速度]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]は、#mitex("w=J(z)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("れんさりつ")[連鎖律]より #align(center)[#mitex("W'(w)=\\frac{F'(z)}{J'(z)}")] となる。#bem-ruby("こうえん")[後縁]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する #mitex("z=1", block: false) では #mitex("J'(1)=0", block: false) なので、#bem-ruby("そくど")[速度]を#bem-ruby("ゆうげん")[有限]に#bem-ruby("たも")[保]つには #mitex("F'(z)", block: false) も#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("ていど")[程度]で 0 になって#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("れいてん")[零点]を#bem-ruby("そうさい")[相殺]する#bem-ruby("じょうけん")[条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]になる。これは#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("えら")[選]ぶクッタ#bem-ruby("じょうけん")[条件]へつながるが、ここでは#bem-ruby("しゃぞう")[写像]だけでは#bem-ruby("なが")[流]れの#bem-ruby("きょうかいじょうけん")[境界条件]まで#bem-ruby("じどうてき")[自動的]に#bem-ruby("き")[決]まらないことを#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 ただし、#bem-ruby("げんじつ")[現実]の#bem-ruby("りゅうたい")[流体]には#bem-ruby("ねんせい")[粘性]や#bem-ruby("はくり")[剥離]が#bem-ruby("そんざい")[存在]する。ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]は#bem-ruby("りそうりゅうたい")[理想流体]の#bem-ruby("かいせきてき")[解析的]な#bem-ruby("もけい")[模型]として#bem-ruby("きょうりょく")[強力]であるが、#bem-ruby("じっけん")[実験]や#bem-ruby("すうちりゅうたい")[数値流体]の#bem-ruby("だいたい")[代替]そのものではない。 == #bem-ruby("はんていほう")[判定法] - #bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("がいぶ")[外部]、#bem-ruby("せんぶん")[線分]を#bem-ruby("き")[切]った#bem-ruby("へいめん")[平面]、#bem-ruby("だえん")[楕円]、#bem-ruby("よくがた")[翼型]が#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("あらわ")[現]れる#bem-ruby("もんだい")[問題]では、ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("こうほ")[候補]にする。 - #bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("するど")[鋭]い#bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("つく")[作]りたい#bem-ruby("もんだい")[問題]では、#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が 0 になる#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]を#bem-ruby("きょうかい")[境界]へ#bem-ruby("お")[置]くだけでなく、#bem-ruby("きょくしょてんかい")[局所展開]の#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]と#bem-ruby("きょうかいぞう")[境界像]の#bem-ruby("たいいきたんしゃせい")[大域単射性]も#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 - #bem-ruby("ぜんへいめん")[全平面]で 1 #bem-ruby("たい")[対] 1 の#bem-ruby("しゃぞう")[写像]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("もんだい")[問題]では、そのまま#bem-ruby("しよう")[使用]できない。#bem-ruby("りょういき")[領域]の#bem-ruby("せいげん")[制限]と#bem-ruby("えだ")[枝]の#bem-ruby("せんたく")[選択]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか #bem-ruby("へんかん")[変換] #mitex("J(z)=z+\\frac{1}{z}", block: false) は #mitex("z=0", block: false) を#bem-ruby("のぞ")[除]く#bem-ruby("りょういき")[領域]で#bem-ruby("せいそく")[正則]である。しかし、#mitex("z=\\pm1", block: false) では#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が 0 になるため、#bem-ruby("とうかくせい")[等角性]は#bem-ruby("せいりつ")[成立]しない。また、#bem-ruby("たいいきてき")[大域的]には #mitex("z", block: false) と #mitex("\\frac{1}{z}", block: false) を#bem-ruby("どういつし")[同一視]する#bem-ruby("せいしつ")[性質]があるため、#bem-ruby("りょういき")[領域]を#bem-ruby("せいげん")[制限]しないと#bem-ruby("ぎゃくしゃぞう")[逆写像]を#bem-ruby("いっか")[一価]に#bem-ruby("えら")[選]べない。 #bem-ruby("りゅうたいりきがく")[流体力学]で#bem-ruby("しよう")[使用]する#bem-ruby("ばあい")[場合]も、#bem-ruby("ひあっしゅく")[非圧縮]・#bem-ruby("ひねんせい")[非粘性]・#bem-ruby("うず")[渦]なしという#bem-ruby("りそうか")[理想化]が#bem-ruby("ぜんてい")[前提]である。#bem-ruby("ねんせい")[粘性]や#bem-ruby("らんりゅう")[乱流]を#bem-ruby("しゅよう")[主要]に#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-ruby("ばあい")[場合]には、この#bem-ruby("もけい")[模型]だけでは#bem-ruby("ふそく")[不足]する。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{J(z)=z+\\frac{1}{z}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{J'(z)=1-\\frac{1}{z^2},\\qquad J'(\\pm1)=0}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{z=re^{i\\theta}\\Rightarrow\nJ(z)=\\left(r+\\frac{1}{r}\\right)\\cos\\theta\n+i\\left(r-\\frac{1}{r}\\right)\\sin\\theta}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{z,u\\ne0\\ \\Longrightarrow\\ \\bigl(J(z)=J(u)\\ \\Longleftrightarrow\\ z=u\\ \\text{ または }\\ zu=1\\bigr)}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\substack{J:D\\to\\Omega\\text{ は単射}\\\\z\\in D,\\ w=J(z)}\\ \\Longrightarrow\\ W(w)=F(J^{-1}(w)),\\quad W'(w)=\\frac{F'(z)}{J'(z)}}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと ジューコフスキー#bem-ruby("へんかん")[変換]とは、#bem-ruby("たいいきたんしゃせい")[大域単射性]を#bem-ruby("かくほ")[確保]した#bem-ruby("えんがいぶ")[円外部]と#bem-ruby("よくがたがいぶ")[翼型外部]を#bem-ruby("おうふく")[往復]し、#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]を#bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("お")[置]くときは#bem-ruby("ひたいかじょうけん")[非退化条件]も#bem-ruby("かくにん")[確認]して#bem-ruby("よくがた")[翼型]の#bem-ruby("せんてん")[尖点]を#bem-ruby("せいせい")[生成]する#bem-ruby("ふくそかいせき")[複素解析]の#bem-ruby("どうぐ")[道具]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[analysis.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-complex-analysis.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[複素積分の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/complex-integration-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[plane.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[complex-numbers-and-complex]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[algebra]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture.n.md#h(0.7em)md aa9f7bd]] = フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("きそ")[基礎] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("じかんりょういき")[時間領域]の#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("しゅうはすうせいぶん")[周波数成分]の#bem-ruby("ふくそしんぷく")[複素振幅]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]するフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。#bem-ruby("はんてんていり")[反転定理]による#bem-ruby("ふくげん")[復元]と#bem-ruby("びぶんそく")[微分則]を#bem-ruby("つう")[通]じて、#bem-ruby("じかんりょういき")[時間領域]と#bem-ruby("しゅうはすうりょういき")[周波数領域]の#bem-ruby("たいおう")[対応]を#bem-ruby("めいかく")[明確]にする。 == Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]と#bem-ruby("へんかんきやく")[変換規約] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]の#bem-ruby("もんだい")[問題]を#bem-ruby("あいまい")[曖昧]にしないため、まず #bem-anno("Schwartz function")[Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。これは#bem-ruby("むげんかいびぶんかのう")[無限回微分可能]であり、どの#bem-ruby("ひふせいすう")[非負整数] #mitex("m,n", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]しても #align(center)[#mitex("|x|^m\\left|f^{(n)}(x)\\right|\\to0\\qquad(|x|\\to\\infty)")] となる#bem-ruby("かんすう")[関数]である。#bem-ruby("かんすう")[関数]とすべての#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が、#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("たこうしき")[多項式]の#bem-ruby("ぎゃくすう")[逆数]よりも#bem-ruby("きゅうそく")[急速]に 0 へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]することを#bem-ruby("いみ")[意味]する。この#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("しゅうごう")[集合]を #mitex("\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) と#bem-ruby("あらわ")[表]す。 #mitex("f,g\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する #bem-anno("Fourier transform")[フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]] #mitex("\\mathcal F", block: false) と#bem-ruby("ぎゃく")[逆]フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換] #mitex("\\mathcal F^{-1}", block: false) を #align(center)[#mitex("\\mathcal Ff(\\omega)=\\hat f(\\omega):=\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)e^{-i\\omega x}\\,dx,\n\\qquad\n\\mathcal F^{-1}g(x):=\\frac{1}{2\\pi}\\int_{-\\infty}^{\\infty}g(\\omega)e^{i\\omega x}\\,d\\omega")] と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#mitex("\\omega", block: false) は#bem-anno("angular frequency")[#bem-ruby("かくしゅうはすう")[角周波数]]であり、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数] #mitex("\\nu", block: false) とは #mitex("\\omega=2\\pi\\nu", block: false) の#bem-ruby("かんけい")[関係]にある。#bem-ruby("じかん")[時間]を#bem-ruby("びょう")[秒]で#bem-ruby("そくてい")[測定]するとき、#mitex("\\nu", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]は Hz、#mitex("\\omega", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]は rad/s である。#bem-ruby("つうしんこうがく")[通信工学]の Hz #bem-ruby("きやく")[規約]では #align(center)[#mitex("X(\\nu)=\\int_{-\\infty}^{\\infty}x(t)e^{-i2\\pi\\nu t}\\,dt")] と#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、#mitex("X(\\nu)=X_\\omega(2\\pi\\nu)", block: false) が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#bem-ruby("しすう")[指数]の#bem-ruby("ふごう")[符号]や #mitex("2\\pi", block: false) の#bem-ruby("はいち")[配置]には#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("きやく")[規約]もあるため、#bem-ruby("せいへんかん")[正変換]と#bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]を#bem-ruby("ひとくみ")[一組]で#bem-ruby("めいじ")[明示]する。 == フーリエ#bem-ruby("はんてん")[反転] #strong[フーリエ#bem-ruby("はんてんていり")[反転定理]] #mitex("f\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) なら #mitex("\\hat f\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) であり、 #align(center)[#mitex("\\mathcal F^{-1}(\\mathcal Ff)=f")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#bem-ruby("ひょうじゅんてき")[標準的]な#bem-ruby("しょうめい")[証明]では、#bem-ruby("ぎゃくへんかんせきぶん")[逆変換積分]へガウス#bem-ruby("いんし")[因子]を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]して#bem-ruby("せいそくか")[正則化]する。#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]により#bem-ruby("せきぶんじゅんじょ")[積分順序]を#bem-ruby("こうかん")[交換]すると、#mitex("f", block: false) とガウス#bem-ruby("きんじこうとうぞく")[近似恒等族]の#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みを#bem-ruby("え")[得]る。ガウス#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("はば")[幅]を 0 へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]させると、この#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みは #mitex("f", block: false) へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("きゅうげんしょうせい")[急減少性]が#bem-ruby("きょくげん")[極限]と#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("こうかん")[交換]を#bem-ruby("せいとうか")[正当化]する。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[plane.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[complex-numbers-and-complex]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[algebra]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/waves-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[waves]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[waves]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/waves-basics.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("おんきょうてき")[音響的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] #bem-ruby("おんきょうしんごう")[音響信号]の#bem-ruby("はけい")[波形]は、#bem-ruby("じかん")[時間]に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("くうきあつ")[空気圧]の#bem-ruby("へんどう")[変動]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]は、この#bem-ruby("しんごう")[信号]を#bem-ruby("かくしゅうはすうせいぶん")[各周波数成分]の#bem-ruby("ふくそしんぷく")[複素振幅]と#bem-ruby("いそう")[位相]の#bem-ruby("ぶんぷ")[分布]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]する。 == #bem-ruby("りさんちょっこうせい")[離散直交性]と#bem-ruby("れんぞくへんかん")[連続変換] ここからは #mitex("e^{i\\omega x}", block: false) と#bem-ruby("ふくそきょうやく")[複素共役]を#bem-ruby("しよう")[使用]する。#bem-ruby("ふくそすう")[複素数]の#bem-ruby("きょくけいしき")[極形式]とオイラーの#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("ぜんてい")[前提]とする。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[plane.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[complex-numbers-and-complex]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[algebra]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/algebra/complex-numbers-and-complex-plane.lecture/] ]] ] #mitex("e^{i\\omega x}", block: false) は#bem-ruby("かくしゅうはすう")[角周波数] #mitex("\\omega", block: false) の#bem-ruby("ふくそしすうかんすう")[複素指数関数]である。#bem-ruby("せいすう")[整数] #mitex("m,n\\in\\mathbb Z", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("ゆうげんくかん")[有限区間]のフーリエ#bem-ruby("きゅうすう")[級数]では #align(center)[#mitex("\\int_{-\\pi}^{\\pi} e^{imx}e^{-inx}\\,dx\n=\n\\int_{-\\pi}^{\\pi} e^{i(m-n)x}\\,dx")] を#bem-ruby("けいさん")[計算]すると、 #align(center)[#mitex("\\int_{-\\pi}^{\\pi}e^{i(m-n)x}\\,dx\n=\n\\begin{cases}\n2\\pi,&m=n,\\\\\n0,&m\\ne n\n\\end{cases}")] となる。フーリエ#bem-ruby("きゅうすう")[級数]では、この#bem-ruby("ちょっこうせい")[直交性]によって#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数]の#bem-ruby("けいすう")[係数]を#bem-ruby("と")[取]り#bem-ruby("だ")[出]す。フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]は、その#bem-ruby("かんが")[考]えを#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("かくしゅうはすう")[角周波数]へ#bem-ruby("うつ")[移]し、#mitex("\\hat f(\\omega)", block: false) を#bem-ruby("いそう")[位相]も#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ふくそしんぷく")[複素振幅]の#bem-ruby("みつど")[密度]として#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する。 その#bem-ruby("れんぞくばん")[連続版]として #align(center)[#mitex("\\hat f(\\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)e^{-i\\omega x}\\,dx")] を#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。フーリエ#bem-ruby("はんてんていり")[反転定理]により #mitex("\\hat f", block: false) から #mitex("f", block: false) を#bem-ruby("ふくげん")[復元]できる。したがって「#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数]へ#bem-ruby("ぶんかい")[分解]する」は#bem-ruby("いちほうこう")[一方向]の#bem-ruby("ひゆ")[比喩]ではなく、#mitex("f", block: false) と #mitex("\\hat f", block: false) の#bem-ruby("あいだ")[間]を#bem-ruby("おうふく")[往復]できる#bem-ruby("たいおう")[対応]である。 == #bem-ruby("びぶんそく")[微分則] #bem-ruby("びぶん")[微分]は#bem-ruby("しゅうはすうりょういき")[周波数領域]で#bem-ruby("じょうざん")[乗算]に#bem-ruby("へんかん")[変換]される。これを#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]によって#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]すると、 #align(center)[#mitex("\\widehat{f'}(\\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} f'(x)e^{-i\\omega x}\\,dx")] である。#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]を#bem-ruby("つか")[使]うと #align(center)[#mitex("\\widehat{f'}(\\omega)\n=\n\\Bigl[f(x)e^{-i\\omega x}\\Bigr]_{-\\infty}^{\\infty}\n+\ni\\omega \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)e^{-i\\omega x}\\,dx")] である。Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]なら #mitex("f,f'", block: false) の#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]し、#bem-ruby("はし")[端]の#bem-ruby("こう")[項]も 0 になるので、 #align(center)[#mitex("\\widehat{f'}(\\omega)=i\\omega \\hat f(\\omega)")] を#bem-ruby("え")[得]る。つまり、#bem-ruby("びぶん")[微分]は#bem-ruby("しゅうはすうりょういき")[周波数領域]では #mitex("i\\omega", block: false) を#bem-ruby("か")[掛]ける#bem-ruby("そうさ")[操作]に#bem-ruby("か")[変]わる。 == Gaussian の#bem-ruby("れい")[例] Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]である Gaussian #align(center)[#mitex("f(x)=e^{-x^2}")] のフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]は #align(center)[#mitex("\\hat f(\\omega)=\\sqrt\\pi e^{-\\omega^2/4}")] である。したがって、#mitex("x", block: false) の#bem-ruby("がわ")[側]で#bem-ruby("きょくざい")[局在]した#bem-ruby("なめ")[滑]らかな#bem-ruby("やま")[山]は、#mitex("\\omega", block: false) の#bem-ruby("がわ")[側]でも Gaussian になる。 この#bem-ruby("しき")[式]は、#mitex("I(\\omega)=\\int_{\\mathbb R}e^{-x^2}e^{-i\\omega x}\\,dx", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば#bem-ruby("たし")[確]かめられる。#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("なか")[中]を #mitex("\\omega", block: false) で#bem-ruby("びぶん")[微分]し、#mitex("xe^{-x^2}=-\\frac12\\frac{d}{dx}e^{-x^2}", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]って#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]すると #align(center)[#mitex("I'(\\omega)=-\\frac{\\omega}{2}I(\\omega)")] を#bem-ruby("え")[得]る。ガウス#bem-ruby("せきぶん")[積分] #mitex("I(0)=\\int_{\\mathbb R}e^{-x^2}\\,dx=\\sqrt\\pi", block: false) と#bem-ruby("あ")[合]わせると、#mitex("I(\\omega)=\\sqrt\\pi e^{-\\omega^2/4}", block: false) となる。 == Schwartz #bem-ruby("くうかんがい")[空間外]の#bem-ruby("たいしょう")[対象] Dirac のデルタ #mitex("\\delta", block: false) は、#bem-ruby("しけんかんすう")[試験関数] #mitex("\\varphi\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("\\langle\\delta(\\omega-a),\\varphi\\rangle=\\varphi(a)", block: false) と#bem-ruby("さよう")[作用]する#bem-ruby("ちょうかんすう")[超関数]である。#bem-ruby("かんぞうかちょうかんすう")[緩増加超関数]とは Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]#bem-ruby("じょう")[上]の#bem-ruby("れんぞくせんけいはんかんすう")[連続線形汎関数]であり、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]はこの#bem-ruby("くうかん")[空間]へ#bem-ruby("かくちょう")[拡張]できる。 #mitex("\\cos(ax)", block: false) は#bem-ruby("むげんえん")[無限遠]で#bem-ruby("げんすい")[減衰]しないため、#bem-ruby("つうじょう")[通常]のフーリエ#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しない。しかし、#bem-ruby("じょうき")[上記]の#bem-ruby("ちゅうしゅつとくせい")[抽出特性]をもつデルタを#bem-ruby("もち")[用]いると、#bem-ruby("げんざい")[現在]の#bem-ruby("きやく")[規約]では#bem-ruby("かんぞうかちょうかんすう")[緩増加超関数]の#bem-ruby("とうしき")[等式] #align(center)[#mitex("\\mathcal F\\{\\cos(ax)\\}\n=\\pi\\bigl(\\delta(\\omega-a)+\\delta(\\omega+a)\\bigr)")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。この#bem-ruby("とうしき")[等式]は、#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を#bem-ruby("にんい")[任意]の Schwartz #bem-ruby("しけんかんすう")[試験関数]へ#bem-ruby("さよう")[作用]させた#bem-ruby("けっか")[結果]が#bem-ruby("いっち")[一致]することを#bem-ruby("いみ")[意味]し、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("しゅうそくせきぶん")[収束積分]の#bem-ruby("とうしき")[等式]ではない。 #mitex("f\\in L^1(\\mathbb R)", block: false) なら#bem-ruby("せいへんかん")[正変換]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("かく")[各] #mitex("\\omega", block: false) で#bem-ruby("そんざい")[存在]するが、#bem-ruby("はんてん")[反転]には#bem-ruby("ついかじょうけん")[追加条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。#bem-ruby("いっぱん")[一般]の #mitex("L^2(\\mathbb R)", block: false) #bem-ruby("かんすう")[関数]では#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("てん")[点]ごとに#bem-ruby("そんざい")[存在]するとは#bem-ruby("かぎ")[限]らず、Plancherel #bem-ruby("ていり")[定理]による#bem-ruby("いちい")[一意]な #mitex("L^2", block: false) #bem-ruby("かくちょう")[拡張]として#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。 == Plancherel #bem-ruby("ていり")[定理] #strong[#bem-anno("Plancherel theorem")[Plancherel #bem-ruby("ていり")[定理]]] Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]では #align(center)[#mitex("\\int_{-\\infty}^{\\infty}|f(x)|^2\\,dx\n=\\frac{1}{2\\pi}\\int_{-\\infty}^{\\infty}|\\hat f(\\omega)|^2\\,d\\omega")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。これは#bem-ruby("じかんりょういき")[時間領域]で#bem-ruby("はか")[測]った#bem-ruby("にじょうせきぶん")[二乗積分]と、#bem-ruby("しゅうはすうりょういき")[周波数領域]で#bem-ruby("はか")[測]った#bem-ruby("にじょうせきぶん")[二乗積分]が#bem-ruby("きやく")[規約]の#bem-ruby("けいすう")[係数]を#bem-ruby("のぞ")[除]いて#bem-ruby("いっち")[一致]することを#bem-ruby("あらわ")[表]す。Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("しょうめい")[証明]は、#bem-ruby("はんてんこうしき")[反転公式]を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]して#bem-ruby("せきぶんじゅんじょ")[積分順序]を#bem-ruby("こうかん")[交換]し、#bem-ruby("ふくそきょうやく")[複素共役]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ないせき")[内積]を#bem-ruby("たも")[保]つことから#bem-ruby("え")[得]られる。さらに Schwartz #bem-ruby("かんすう")[関数]が #mitex("L^2(\\mathbb R)", block: false) で#bem-ruby("ちゅうみつ")[稠密]であることを#bem-ruby("つか")[使]うと、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]を #mitex("L^2", block: false) #bem-ruby("きょくげん")[極限]として#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("かくちょう")[拡張]できる。 == #bem-ruby("すうがくてき")[数学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] === #bem-ruby("かいせきがくてき")[解析学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] #bem-ruby("びせきぶん")[微積分]が#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("かくてん")[各点]における#bem-ruby("あたい")[値]と#bem-ruby("きょくしょへんか")[局所変化]を#bem-ruby("きじゅつ")[記述]するのに#bem-ruby("たい")[対]し、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]は#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("しゅうはすうせいぶん")[周波数成分]の#bem-ruby("かさ")[重]ね#bem-ruby("あ")[合]わせとして#bem-ruby("ひょうげん")[表現]する。この#bem-ruby("ひょうげん")[表現]は#bem-ruby("はどう")[波動]と#bem-ruby("しんごう")[信号]の#bem-ruby("かいせき")[解析]に#bem-ruby("てき")[適]する。 === #bem-ruby("せんけいだいすう")[線形代数]・#bem-ruby("ぎょうれつ")[行列]による#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] #bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("てん")[点]だけを#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-ruby("りさんばん")[離散版]では、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]は#bem-ruby("ぎょうれつ")[行列]を#bem-ruby("か")[掛]けることと#bem-ruby("おな")[同]じである。#bem-ruby("れんぞくばん")[連続版]でも、#bem-ruby("はんてんこうしき")[反転公式]と Plancherel #bem-ruby("とうしき")[等式]により「#bem-ruby("じかんりょういき")[時間領域]の#bem-ruby("きじゅつ")[記述]を#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("しゅうはすうざひょう")[周波数座標]の#bem-ruby("きじゅつ")[記述]へ#bem-ruby("うつ")[移]す#bem-ruby("へんかん")[変換]」と#bem-ruby("み")[見]られる。ただし #mitex("e^{i\\omega x}", block: false) #bem-ruby("じたい")[自体]は #mitex("L^2(\\mathbb R)", block: false) に#bem-ruby("はい")[入]らないので、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("ゆうげんじげんきてい")[有限次元基底]とまったく#bem-ruby("おな")[同]じではない。 この#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]により、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("とくしゅ")[特殊]な#bem-ruby("せきぶんこうしき")[積分公式]ではなく、#bem-ruby("ざひょうへんかん")[座標変換]として#bem-ruby("りかい")[理解]できる。 === #bem-ruby("さようそ")[作用素]による#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] #bem-ruby("びぶん")[微分]という#bem-ruby("さようそ")[作用素]は、#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]には #mitex("e^{i\\omega x}", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("\\frac{d}{dx}e^{i\\omega x}=i\\omega e^{i\\omega x}")] となる。この#bem-ruby("いみ")[意味]で #mitex("e^{i\\omega x}", block: false) を#bem-ruby("びぶんさようそ")[微分作用素]の#bem-anno("generalized eigenfunction")[#bem-ruby("いっぱんかこゆうかんすう")[一般化固有関数]]とみなせる。#bem-ruby("つうじょう")[通常]の #mitex("L^2", block: false) #bem-ruby("こゆうかんすう")[固有関数]ではないことに#bem-ruby("ちゅうい")[注意]する。フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]をすると#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]が#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数]ごとの#bem-ruby("だいすうほうていしき")[代数方程式]へ#bem-ruby("か")[変]わるのは、この#bem-ruby("かんけい")[関係]による。 この#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]により、フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]と#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]の#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("こゆうちもんだい")[固有値問題]として#bem-ruby("せいり")[整理]できる。 === #bem-ruby("てきようたいしょう")[適用対象] - #bem-ruby("はどう")[波動]、#bem-ruby("しんどう")[振動]、#bem-ruby("しゅうきせい")[周期性]を#bem-ruby("しゅうはすうせいぶん")[周波数成分]によって#bem-ruby("かいせき")[解析]する#bem-ruby("ばあい")[場合] - #bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]を#bem-ruby("しゅうはすう")[周波数]ごとの#bem-ruby("だいすうほうていしき")[代数方程式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する#bem-ruby("ばあい")[場合] - #bem-ruby("きょくしょじょうほう")[局所情報]ではなく#bem-ruby("ぜんたいてき")[全体的]な#bem-ruby("しんどうこうぞう")[振動構造]を#bem-ruby("ぶんせき")[分析]する#bem-ruby("ばあい")[場合] == #bem-ruby("せいりつはんい")[成立範囲]と#bem-ruby("へんかんけいやく")[変換契約] #bem-ruby("しゅうきこうぞう")[周期構造]にはフーリエ#bem-ruby("きゅうすう")[級数]、#bem-ruby("じっすうちょくせんぜんたい")[実数直線全体]の#bem-ruby("ひしゅうきてき")[非周期的]な#bem-ruby("しんごう")[信号]にはフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("きほんてき")[基本的]なモデルになる。ただし、#bem-ruby("たいしょう")[対象]とする#bem-ruby("かんすうくうかん")[関数空間]や#bem-ruby("ちょうかんすう")[超関数]への#bem-ruby("かくちょう")[拡張]によって#bem-ruby("りょうしゃ")[両者]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]は#bem-ruby("か")[変]わる。 この#bem-ruby("こうぎ")[講義]の#bem-ruby("せいへんかん")[正変換]・#bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]・#bem-ruby("びぶんこうしき")[微分公式]・Plancherel #bem-ruby("とうしき")[等式]は、すべて #mitex("f\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) という#bem-ruby("きょうつうじょうけん")[共通条件]の#bem-ruby("もと")[下]で#bem-ruby("の")[述]べた。#mitex("L^1", block: false)、#mitex("L^2", block: false)、#bem-ruby("かんぞうかちょうかんすう")[緩増加超関数]への#bem-ruby("かくちょう")[拡張]では、#bem-ruby("ぜんせつ")[前節]で#bem-ruby("の")[述]べた#bem-ruby("かくくうかん")[各空間]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]と#bem-ruby("せいりつじょうけん")[成立条件]を#bem-ruby("しよう")[使用]する。 #block(stroke: (left: 2pt + luma(150)), inset: (left: 8pt), width: 100%)[ #strong[この#bem-ruby("こうぎ")[講義]の#bem-ruby("へんかんけいやく")[変換契約]] \ #mitex("f\\in\\mathcal S(\\mathbb R)", block: false) なら #align(center)[#mitex("\\hat f(\\omega)=\\int_{\\mathbb R}f(x)e^{-i\\omega x}\\,dx,\n\\qquad\nf(x)=\\frac1{2\\pi}\\int_{\\mathbb R}\\hat f(\\omega)e^{i\\omega x}\\,d\\omega,")] #align(center)[#mitex("\\widehat{f'}(\\omega)=i\\omega\\hat f(\\omega),\n\\qquad\n\\int_{\\mathbb R}|f|^2=\\frac1{2\\pi}\\int_{\\mathbb R}|\\hat f|^2.")] ] == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/information/communications/communications-engineering-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[communications-engineering]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[information]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[communications]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/information/communications/communications-engineering-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[片側ラプラス変換]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/waves-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[waves]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[waves]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/waves-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/interference-and-diffraction.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[diffraction.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[interference-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[waves]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/interference-and-diffraction.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture.n.md#h(0.7em)md e085a36]] = #bem-ruby("かたがわ")[片側]ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換] == #bem-ruby("ていぎ")[定義]と#bem-ruby("しゅうそくはんへいめん")[収束半平面] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("かたがわ")[片側]ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]によって#bem-ruby("せんけいびぶんほうていしき")[線形微分方程式]の#bem-ruby("しょきち")[初期値]を#bem-ruby("ほじ")[保持]したまま、#bem-ruby("びぶん")[微分]を #mitex("s", block: false) による#bem-ruby("だいすうえんざん")[代数演算]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する#bem-ruby("ほうほう")[方法]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。 #mitex("s=\\sigma+i\\omega\\in\\mathbb C", block: false) とする。#mitex("f:[0,\\infty)\\to\\mathbb C", block: false) の#bem-ruby("かたがわ")[片側]ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]は、#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する #mitex("s", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("F(s)=\\mathcal L\\{f\\}(s)=\\int_0^\\infty e^{-st}f(t)\\,dt")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される。#mitex("f", block: false) が#bem-ruby("かくゆうげんくかん")[各有限区間]で#bem-ruby("くぶんてきれんぞく")[区分的連続]であり、ある #mitex("M>0", block: false)、#mitex("a\\in\\mathbb R", block: false)、#mitex("T\\ge0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("|f(t)|\\le Me^{at}\\qquad(t\\ge T)")] を#bem-ruby("み")[満]たすとき、#mitex("f", block: false) は#bem-ruby("しすういすう")[指数位数] #mitex("a", block: false) であるという。この#bem-ruby("ばあい")[場合]、#mitex("\\operatorname{Re}s>a", block: false) で#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]する。#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("しき")[式]だけでなく、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する #mitex("s", block: false) の#bem-ruby("しゅうごう")[集合]である#bem-anno("region of convergence")[#bem-ruby("しゅうそくりょういき")[収束領域]]（ROC）と#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("あ")[合]わせて#bem-ruby("あつか")[扱]う。#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]の ROC は#bem-ruby("つうじょう")[通常]#bem-ruby("みぎはんへいめん")[右半平面]であるが、#mitex("\\operatorname{Re}s>a", block: false) は#bem-ruby("じょうき")[上記]の#bem-ruby("かてい")[仮定]が#bem-ruby("ほしょう")[保証]する#bem-ruby("はんい")[範囲]であり、#bem-ruby("じっさい")[実際]の ROC はさらに#bem-ruby("ひろ")[広]い#bem-ruby("ばあい")[場合]がある。 == #bem-ruby("びぶんそく")[微分則]と#bem-ruby("しょきち")[初期値] #mitex("f", block: false) が#bem-ruby("かくゆうげんくかん")[各有限区間]で#bem-ruby("ぜったいれんぞく")[絶対連続]であり、#mitex("f", block: false) と #mitex("f'", block: false) が#bem-ruby("きょうつう")[共通]の#bem-ruby("みぎはんへいめん")[右半平面]でラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]をもつとする。#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]と#bem-ruby("むげんえん")[無限遠]の#bem-ruby("きょうかいこう")[境界項]の#bem-ruby("しょうしつ")[消失]により #align(center)[#mitex("\\mathcal L\\{f'\\}(s)=sF(s)-f(0+)")] が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。ここで #mitex("f(0+)", block: false) は#bem-ruby("みぎきょくげん")[右極限]である。さらに#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]が#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("じょうけん")[条件]を#bem-ruby("み")[満]たすなら #align(center)[#mitex("\\mathcal L\\{f^{(n)}\\}(s)\n=s^nF(s)-\\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0+)")] となる。したがって、#bem-ruby("びぶんそく")[微分則]は#bem-ruby("びぶん")[微分]を#bem-ruby("たん")[単]に #mitex("s", block: false) の#bem-ruby("じょうざん")[乗算]へ#bem-ruby("ちかん")[置換]する#bem-ruby("きそく")[規則]ではなく、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を#bem-ruby("きょうかいこう")[境界項]として#bem-ruby("ほじ")[保持]する#bem-ruby("きそく")[規則]である。 #bem-ruby("しょきちもんだい")[初期値問題] #align(center)[#mitex("f'(t)+f(t)=0,\\qquad f(0)=1")] を#bem-ruby("へんかん")[変換]すると #mitex("(s+1)F(s)=1", block: false)、したがって #mitex("F(s)=1/(s+1)", block: false) を#bem-ruby("え")[得]る。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#bem-ruby("ちょくせつせきぶん")[直接積分]により #align(center)[#mitex("\\mathcal L\\{e^{-t}\\}(s)=\\frac{1}{s+1},\\qquad \\operatorname{Re}s>-1")] であるため、#bem-ruby("いちいせいていり")[一意性定理]から #mitex("f(t)=e^{-t}", block: false) である。 == #bem-ruby("いちいせい")[一意性]と#bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換] #bem-ruby("くぶんてきれんぞく")[区分的連続]かつ#bem-ruby("しすういすう")[指数位数]の#bem-ruby("かんすう")[関数]のラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("きょうつう")[共通]の#bem-ruby("みぎはんへいめん")[右半平面]で#bem-ruby("いっち")[一致]すれば、#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("かんすう")[関数]はすべての#bem-ruby("れんぞくてん")[連続点]で#bem-ruby("いっち")[一致]する。この#bem-ruby("いみ")[意味]で#bem-anno("inverse Laplace transform")[逆ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]] #mitex("\\mathcal L^{-1}", block: false) は#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("さだ")[定]まる。#bem-ruby("じっさい")[実際]の#bem-ruby("けいさん")[計算]では#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("へんかんつい")[変換対]、#bem-ruby("ぶぶんぶんすうぶんかい")[部分分数分解]、#bem-ruby("いどうそく")[移動則]、#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みを#bem-ruby("りよう")[利用]する。 #bem-ruby("いちいせい")[一意性]はフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]へ#bem-ruby("きちゃく")[帰着]できる。#bem-ruby("きょうつうはんへいめん")[共通半平面]の #mitex("\\sigma", block: false) を#bem-ruby("こてい")[固定]し、#mitex("e^{-\\sigma t}(f(t)-g(t))", block: false) を #mitex("t<0", block: false) で 0 と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、この #mitex("L^1", block: false) #bem-ruby("かんすう")[関数]のフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]はすべての #mitex("\\omega", block: false) で 0 となる。フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("いちいせい")[一意性]から #mitex("f=g", block: false) がほとんどいたるところで#bem-ruby("せいりつ")[成立]し、#bem-ruby("くぶんてきれんぞくせい")[区分的連続性]により#bem-ruby("れんぞくてん")[連続点]で#bem-ruby("いっち")[一致]する。 #mitex("F", block: false) が#bem-ruby("てきせつ")[適切]な#bem-ruby("かいせきせい")[解析性]と#bem-ruby("ぞうだいじょうけん")[増大条件]を#bem-ruby("み")[満]たし、#bem-ruby("たてせん")[縦線] #mitex("\\operatorname{Re}s=\\gamma", block: false) がすべての#bem-ruby("とくいてん")[特異点]より#bem-ruby("みぎがわ")[右側]かつ ROC #bem-ruby("ない")[内]にある#bem-ruby("ばあい")[場合]、ブロムウィッチ#bem-ruby("せきぶん")[積分] #align(center)[#mitex("f(t)=\\frac{1}{2\\pi i}\\lim_{R\\to\\infty}\n\\int_{\\gamma-iR}^{\\gamma+iR}e^{st}F(s)\\,ds")] によって#bem-ruby("れんぞくてん")[連続点]で#bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]を#bem-ruby("あらわ")[表]せる。#bem-ruby("こうしき")[公式]の#bem-ruby("てきよう")[適用]には#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("しゅうそくじょうけん")[収束条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]であり、#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]に#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]に#bem-ruby("てきよう")[適用]できるわけではない。 == フーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]との#bem-ruby("かんけい")[関係] #mitex("s=\\sigma+i\\omega", block: false) とすると、#mitex("\\mathcal L\\{f\\}(\\sigma+i\\omega)", block: false) は #mitex("t<0", block: false) で 0 とした#bem-ruby("げんすいしんごう")[減衰信号] #mitex("e^{-\\sigma t}f(t)", block: false) のフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]である。#mitex("\\sigma", block: false) を#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きく#bem-ruby("えら")[選]ぶことで#bem-ruby("しすうせいちょう")[指数成長]を#bem-ruby("よくせい")[抑制]できる。#mitex("\\sigma=0", block: false) でフーリエ#bem-ruby("へんかん")[変換]と#bem-ruby("どういつし")[同一視]できるのは、#bem-ruby("きょじく")[虚軸]が ROC に#bem-ruby("ふく")[含]まれ、フーリエ#bem-ruby("せきぶん")[積分]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("かぎ")[限]る。 == #bem-ruby("きょく")[極]、#bem-ruby("しゅうそくりょういき")[収束領域]、#bem-ruby("せいぎょ")[制御]への#bem-ruby("せつぞく")[接続] #mitex("1/(s+1)", block: false) は #mitex("s=-1", block: false) に#bem-ruby("きょく")[極]をもち、#mitex("t\\ge0", block: false) で#bem-ruby("ていぎ")[定義]した #mitex("e^{-t}", block: false) の ROC は #mitex("\\operatorname{Re}s>-1", block: false) である。#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]では#bem-ruby("じかんりょういき")[時間領域]を #mitex("t\\ge0", block: false) に#bem-ruby("こてい")[固定]するため、#bem-ruby("ぜんせつ")[前節]の#bem-ruby("かんすう")[関数]クラスでは#bem-ruby("へんかん")[変換]から#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("かんすう")[関数]が#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("さだ")[定]まる。ROC は#bem-ruby("しゅうそくいき")[収束域]および#bem-ruby("かいせきいき")[解析域]として#bem-ruby("へんかんしき")[変換式]に#bem-ruby("へいき")[併記]するが、#bem-ruby("じかんほうこう")[時間方向]を#bem-ruby("せんべつ")[選別]する#bem-ruby("どくりつ")[独立]の#bem-ruby("じょうほう")[情報]ではない。#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]に#bem-ruby("こと")[異]なる ROC を#bem-ruby("してい")[指定]して#bem-ruby("いんがしんごう")[因果信号]と#bem-ruby("はんいんがしんごう")[反因果信号]を#bem-ruby("くべつ")[区別]する#bem-ruby("ぎろん")[議論]は、#mitex("t<0", block: false) も#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-ruby("りょうがわ")[両側]ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]に#bem-ruby("ぞく")[属]する。 #bem-ruby("れいしょきち")[零初期値]の#bem-ruby("せんけいじふへんけい")[線形時不変系]では、#bem-ruby("にゅうりょく")[入力] #mitex("U(s)", block: false) と#bem-ruby("しゅつりょく")[出力] #mitex("Y(s)", block: false) の#bem-ruby("ひ")[比] #mitex("G(s)=Y(s)/U(s)", block: false) を#bem-ruby("でんたつかんすう")[伝達関数]という。#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]を#bem-ruby("だいすうほうていしき")[代数方程式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]し、#bem-ruby("きょく")[極]から#bem-ruby("おうとう")[応答]と#bem-ruby("あんていせい")[安定性]を#bem-ruby("ぶんせき")[分析]する#bem-ruby("せいぎょこうがく")[制御工学]の#bem-ruby("ほうほう")[方法]は、このラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]に#bem-ruby("もと")[基]づく。#bem-ruby("ひれいしょきち")[非零初期値]は#bem-ruby("びぶんそく")[微分則]の#bem-ruby("きょうかいこう")[境界項]として#bem-ruby("べつ")[別]に#bem-ruby("あらわ")[現]れるため、#bem-ruby("でんたつかんすう")[伝達関数]だけでは#bem-ruby("しょきじょうたいおうとう")[初期状態応答]を#bem-ruby("あらわ")[表]さない。 #block(stroke: (left: 2pt + luma(150)), inset: (left: 8pt), width: 100%)[ #strong[#bem-ruby("へんかんけいやく")[変換契約]] - #bem-ruby("へんかんしき")[変換式]を ROC と#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("あ")[合]わせて#bem-ruby("あつか")[扱]う。 - #bem-ruby("びぶんそく")[微分則]は#bem-ruby("かんすう")[関数]と#bem-ruby("どうかんすう")[導関数]の#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("そんざい")[存在]する#bem-ruby("きょうつうはんへいめん")[共通半平面]で#bem-ruby("てきよう")[適用]する。 - #bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]には#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("へんかんつい")[変換対]と#bem-ruby("いちいせいていり")[一意性定理]、または#bem-ruby("かてい")[仮定]を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("ぎゃくへんかんこうしき")[逆変換公式]を#bem-ruby("しよう")[使用]する。 ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-differential]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[フーリエ変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/differential-equations/step-functions-delta-functions-and-convolution.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[convolution.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[step-functions-delta-functions-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[differential-equations]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/differential-equations/step-functions-delta-functions-and-convolution.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/information/control/feedback-control-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[feedback-control]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[information]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[control]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/information/control/feedback-control-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Z 変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture.n.md#h(0.7em)md 6ae720a]] = Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("きそ")[基礎] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-anno("Z-transform")[Z #bem-ruby("へんかん")[変換]]が#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]]を #mitex("z", block: false) または #mitex("z^{-1}", block: false) による#bem-ruby("だいすうてきじょうざん")[代数的乗算]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]することを#bem-ruby("せつめい")[説明]する。 #bem-ruby("れんぞくじかん")[連続時間]の#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]では、ラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("びぶんさようそ")[微分作用素]を #mitex("s", block: false) の#bem-ruby("しき")[式]へ#bem-ruby("うつ")[移]す。#bem-ruby("りさんじかん")[離散時間]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]では、Z #bem-ruby("へんかん")[変換]がシフトや#bem-ruby("ちえん")[遅延]を #mitex("z", block: false) や #mitex("z^{-1}", block: false) の#bem-ruby("しき")[式]へ#bem-ruby("うつ")[移]す。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[shift-operators-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ていぎ")[定義] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では #mitex("z\\ne0", block: false) とする。 #bem-ruby("りょうがわ")[両側]#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("x=(x[n])_{n\\in\\mathbb Z}", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、#bem-anno("bilateral Z-transform")[両側 Z #bem-ruby("へんかん")[変換]]を #align(center)[#mitex("X_{\\mathrm b}(z)=\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{x[n]\\}=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n]z^{-n}")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。 #bem-ruby("かたがわ")[片側]#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("x=(x[n])_{n\\ge0}", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、#bem-anno("unilateral Z-transform")[片側 Z #bem-ruby("へんかん")[変換]]を #align(center)[#mitex("X_+(z)=\\mathcal Z_+\\{x[n]\\}=\\sum_{n=0}^{\\infty}x[n]z^{-n}")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。 どちらの#bem-ruby("ていぎ")[定義]でも、#mitex("\\sum_n|x[n]z^{-n}|", block: false) が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する #mitex("z", block: false) の#bem-ruby("はんい")[範囲]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。この#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]する#bem-ruby("はんい")[範囲]を#bem-anno("region of convergence")[#bem-ruby("しゅうそくりょういき")[収束領域]]、#bem-ruby("りゃく")[略]して ROC という。Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("けっか")[結果]は、#bem-ruby("しき")[式]だけでなく「#bem-ruby("しき")[式]と ROC の#bem-ruby("くみ")[組]」である。#bem-ruby("いか")[以下]では、#bem-ruby("りょうがわへんかん")[両側変換]を #mitex("X_{\\mathrm b}", block: false)、#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]を #mitex("X_+", block: false) と#bem-ruby("か")[書]き#bem-ruby("わ")[分]ける。 == ROC による#bem-ruby("げんれつ")[原列]の#bem-ruby("しきべつ")[識別] #mitex("a\\ne0", block: false) とし、#mitex("u[n]", block: false) を #mitex("n\\ge0", block: false) で 1、#mitex("n<0", block: false) で 0 となる#bem-anno("unit step sequence")[#bem-ruby("たんいかいだんれつ")[単位階段列]]とする。#mitex("x[n]=a^nu[n]", block: false) なら #align(center)[#mitex("X_{\\mathrm b}(z)=\\sum_{n=0}^{\\infty}a^nz^{-n}\n=\\frac{1}{1-az^{-1}}\n=\\frac{z}{z-a},\n\\qquad |z|>|a|")] である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#mitex("y[n]=-a^nu[-n-1]", block: false) なら #align(center)[#mitex("Y_{\\mathrm b}(z)\n=-\\sum_{n=-\\infty}^{-1}a^nz^{-n}\n=-\\sum_{m=1}^{\\infty}\\left(\\frac za\\right)^m\n=\\frac{z}{z-a},\n\\qquad 0<|z|<|a|")] である。#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]は#bem-ruby("おな")[同]じ #mitex("z/(z-a)", block: false) でも、#bem-ruby("そとがわ")[外側]の ROC では#bem-ruby("みぎむ")[右向]きの#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("a^nu[n]", block: false)、#bem-ruby("うちがわ")[内側]の ROC では#bem-ruby("ひだりむ")[左向]きの#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("-a^nu[-n-1]", block: false) を#bem-ruby("あらわ")[表]す。 この#bem-ruby("れい")[例]では、#bem-anno("inverse Z-transform")[#bem-ruby("ぎゃくゼットへんかん")[逆 Z 変換]]は ROC に#bem-ruby("てきごう")[適合]する Laurent #bem-ruby("てんかい")[展開] #align(center)[#mitex("X_{\\mathrm b}(z)=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n]z^{-n}")] を#bem-ruby("えら")[選]び、#mitex("z^{-n}", block: false) の#bem-ruby("けいすう")[係数]を#bem-ruby("ちゅうしゅつ")[抽出]する#bem-ruby("そうさ")[操作]である。この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では#bem-ruby("ふくそせきぶん")[複素積分]を#bem-ruby("ぜんてい")[前提]にせず、#bem-ruby("きかきゅうすう")[幾何級数]と#bem-ruby("けいすうひかく")[係数比較]で#bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]する。 == #bem-ruby("おも")[重]み #mitex("z^{-n}", block: false) とシフト#bem-ruby("さよう")[作用] #bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]では、#mitex("x[n+1]", block: false) や #mitex("x[n-1]", block: false) のように#bem-ruby("そえじ")[添字]が#bem-ruby("いどう")[移動]する。この#bem-ruby("いどう")[移動]を#bem-ruby("だいすうてき")[代数的]に#bem-ruby("しょり")[処理]するため、#bem-ruby("そえじ")[添字]が 1 #bem-ruby("ぞうか")[増加]するごとに#bem-ruby("いっていばいりつ")[一定倍率]を#bem-ruby("あた")[与]える#bem-ruby("おも")[重]みを#bem-ruby("さいよう")[採用]する。 #mitex("z^{-n}", block: false) は #align(center)[#mitex("z^{-(n+1)}=z^{-1}z^{-n}")] を#bem-ruby("み")[満]たす。したがって、#bem-ruby("そえじ")[添字]を 1 #bem-ruby("いどう")[移動]する#bem-ruby("そうさ")[操作]は、#bem-ruby("へんかんご")[変換後]には #mitex("z", block: false) または #mitex("z^{-1}", block: false) による#bem-ruby("じょうざん")[乗算]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]される。 == #bem-ruby("めいだい")[命題] 1：#bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は#bem-ruby("せんけい")[線型]である === #bem-ruby("しゅちょう")[主張] #mitex("X_{\\mathrm b}", block: false) と #mitex("Y_{\\mathrm b}", block: false) の ROC の#bem-ruby("きょうつうぶぶん")[共通部分]で、 #align(center)[#mitex("\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{\\alpha x[n]+\\beta y[n]\\}\n=\\alpha X_{\\mathrm b}(z)+\\beta Y_{\\mathrm b}(z)")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("ていぎ")[定義]より #align(center)[#mitex("\\begin{aligned}\n\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{\\alpha x[n]+\\beta y[n]\\}\n&=\\sum_n(\\alpha x[n]+\\beta y[n])z^{-n}\\\\\n&=\\alpha\\sum_nx[n]z^{-n}+\\beta\\sum_ny[n]z^{-n}\\\\\n&=\\alpha X_{\\mathrm b}(z)+\\beta Y_{\\mathrm b}(z)\n\\end{aligned}")] である。したがって Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は#bem-ruby("せんけい")[線型]である。#bem-ruby("わ")[和]で#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("そうさい")[相殺]すると ROC が#bem-ruby("ひろ")[広]がることはあるが、#bem-ruby("すく")[少]なくとも#bem-ruby("きょうつうぶぶん")[共通部分]ではこの#bem-ruby("けいさん")[計算]が#bem-ruby("せいとうか")[正当化]される。□ == #bem-ruby("めいだい")[命題] 2：#bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]ではシフトが #mitex("z", block: false) #bem-ruby("ばい")[倍]になる === #bem-ruby("しゅちょう")[主張] #mitex("E", block: false) を #align(center)[#mitex("(Ex)[n]=x[n+1]")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("ぜんしん")[前進]シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]とする。#bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]では #align(center)[#mitex("\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{(Ex)[n]\\}=zX_{\\mathrm b}(z)")] である。 また、#bem-ruby("ちえんさようそ")[遅延作用素] #mitex("D_-", block: false) を #align(center)[#mitex("(D_-x)[n]=x[n-1]")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると #align(center)[#mitex("\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{(D_-x)[n]\\}=z^{-1}X_{\\mathrm b}(z)")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] まず#bem-ruby("ぜんしん")[前進]シフトについて、 #align(center)[#mitex("\\begin{aligned}\n\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{x[n+1]\\}\n&=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n+1]z^{-n}.\n\\end{aligned}")] #mitex("m=n+1", block: false) と#bem-ruby("お")[置]くと #mitex("n=m-1", block: false) である。したがって #align(center)[#mitex("\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n+1]z^{-n}\n=\\sum_{m=-\\infty}^{\\infty}x[m]z^{-(m-1)}\n=z\\sum_{m=-\\infty}^{\\infty}x[m]z^{-m}\n=zX_{\\mathrm b}(z)")] である。 #bem-ruby("どうよう")[同様]に、#mitex("m=n-1", block: false) と#bem-ruby("お")[置]くと #align(center)[#mitex("\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{x[n-1]\\}\n=\\sum_{m=-\\infty}^{\\infty}x[m]z^{-(m+1)}\n=z^{-1}X_{\\mathrm b}(z)")] である。□ == #bem-ruby("かたがわ")[片側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("しょきこう")[初期項] #bem-ruby("かたがわ")[片側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]では、#bem-ruby("わ")[和]が #mitex("n=0", block: false) から#bem-ruby("はじ")[始]まるため、シフトすると#bem-ruby("はし")[端]の#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("のこ")[残]る。 たとえば #align(center)[#mitex("\\begin{aligned}\n\\mathcal Z_+\\{x[n+1]\\}\n&=\\sum_{n=0}^{\\infty}x[n+1]z^{-n}\\\\\n&=z\\sum_{m=1}^{\\infty}x[m]z^{-m}\\\\\n&=z(X_+(z)-x[0])\n\\end{aligned}")] である。 これはラプラス#bem-ruby("へんかん")[変換]で #align(center)[#mitex("\\mathcal L\\{f'\\}=sF(s)-f(0)")] となることに#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]では、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を#bem-ruby("へんかんしき")[変換式]へ#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("こ")[込]むため、シフト#bem-ruby("こうしき")[公式]に#bem-ruby("しょきこう")[初期項]が#bem-ruby("ふか")[付加]される。 == #bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]への#bem-ruby("おうよう")[応用] #mitex("a\\ne0", block: false) とし、#bem-ruby("かたがわ")[片側]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式] #align(center)[#mitex("x[n+1]-a x[n]=r[n],\\qquad x[0]=x_0")] を#bem-ruby("かんが")[考]える。#bem-ruby("かたがわ")[片側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("と")[取]ると #align(center)[#mitex("z(X_+(z)-x_0)-aX_+(z)=R_+(z)")] である。したがって #align(center)[#mitex("(z-a)X_+(z)=R_+(z)+zx_0")] となり、 #align(center)[#mitex("X_+(z)=\\frac{R_+(z)+zx_0}{z-a}")] を#bem-ruby("え")[得]る。ここで #mitex("R_+(z)=\\mathcal Z_+\\{r[n]\\}", block: false) である。 この#bem-ruby("そうさ")[操作]は、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]というシフト#bem-ruby("さようそほうていしき")[作用素方程式]を、#mitex("X_+(z)", block: false) に#bem-ruby("かん")[関]する#bem-ruby("だいすうほうていしき")[代数方程式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]するものである。 #bem-ruby("にゅうりょく")[入力]が 0、すなわち #mitex("r[n]=0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]は #align(center)[#mitex("X_+(z)=\\frac{zx_0}{z-a}\n=\\frac{x_0}{1-az^{-1}}\n=x_0\\sum_{n=0}^{\\infty}a^nz^{-n},\n\\qquad |z|>|a|")] となる。#mitex("z^{-n}", block: false) の#bem-ruby("けいすう")[係数]を#bem-ruby("よ")[読]めば #align(center)[#mitex("x[n]=x_0a^n\\qquad(n\\ge0)")] を#bem-ruby("え")[得]る。これにより、#bem-ruby("へんかんご")[変換後]の#bem-ruby("だいすうほうていしき")[代数方程式]の#bem-ruby("きゅうかい")[求解]と、ROC に#bem-ruby("てきごう")[適合]する#bem-ruby("きゅうすうてんかい")[級数展開]からの#bem-ruby("げんれつ")[原列]の#bem-ruby("ふくげん")[復元]が#bem-ruby("かんりょう")[完了]する。 == #bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みとの#bem-ruby("かんけい")[関係] #bem-anno("linear time-invariant system")[#bem-ruby("せんけいじふへん")[線型時不変]（LTI）システム]とは、#bem-ruby("にゅうしゅつりょくしゃぞう")[入出力写像]が#bem-ruby("せんけいけつごう")[線型結合]を#bem-ruby("ほぞん")[保存]し、シフト#bem-ruby("さよう")[作用]と#bem-ruby("かかん")[可換]であるシステムをいう。#mitex("n=0", block: false) で 1、それ#bem-ruby("いがい")[以外]で 0 の#bem-anno("unit impulse")[#bem-ruby("たんい")[単位]インパルス] #mitex("\\delta[n]", block: false) を#bem-ruby("にゅうりょく")[入力]したときの#bem-ruby("しゅつりょく")[出力] #mitex("h[n]", block: false) を#bem-anno("impulse response")[インパルス#bem-ruby("おうとう")[応答]]という。 #bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("こう")[項]だけが 0 でない#bem-ruby("れつ")[列]は #mitex("x[n]=\\sum_kx[k]\\delta[n-k]", block: false) と#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]で#bem-ruby("か")[書]ける。LTI の#bem-ruby("せんけいせい")[線型性]と#bem-ruby("じふへんせい")[時不変性]から、その#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]は #align(center)[#mitex("y[n]=\\sum_kx[k]h[n-k]=(h*x)[n]")] となる。#bem-ruby("いっぱん")[一般]の#bem-ruby("れつ")[列]では、この#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]み#bem-ruby("きゅうすう")[級数]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]し、システム#bem-ruby("さよう")[作用]と#bem-ruby("ゆうげんぶぶんわ")[有限部分和]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("こうかん")[交換]できる#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("ひょうじ")[表示]へ#bem-ruby("かくちょう")[拡張]する。#bem-ruby("いか")[以下]では、#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]がこの#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みで#bem-ruby("あた")[与]えられる LTI システムを#bem-ruby("あつか")[扱]う。#mitex("h", block: false) の Z #bem-ruby("へんかん")[変換] #mitex("H_{\\mathrm b}(z)", block: false) を、この#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]み#bem-ruby("さよう")[作用]の#bem-anno("transfer function")[#bem-ruby("でんたつかんすう")[伝達関数]]という。 #bem-ruby("りさん")[離散]#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みを #align(center)[#mitex("(h*x)[n]=\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}h[k]x[n-k]")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("にじゅうわ")[二重和]の#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]を#bem-ruby("こうかん")[交換]できるだけ#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]する #mitex("z", block: false) の#bem-ruby("はんい")[範囲]では #align(center)[#mitex("\\mathcal Z_{\\mathrm b}\\{h*x\\}=H_{\\mathrm b}(z)X_{\\mathrm b}(z)")] である。 #bem-ruby("せんけいじふへん")[線型時不変]な#bem-ruby("りさんじかん")[離散時間]システムでは、#bem-ruby("にゅうりょく")[入力] #mitex("x", block: false) とインパルス#bem-ruby("おうとう")[応答] #mitex("h", block: false) から#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]が #mitex("h*x", block: false) として#bem-ruby("あらわ")[表]される。Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は、その#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みを#bem-ruby("せき")[積]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]するため、#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]およびデジタルフィルタの#bem-ruby("かいせき")[解析]に#bem-ruby("てきよう")[適用]できる。 === #bem-ruby("あんていせい")[安定性]と#bem-ruby("たんいえん")[単位円] #bem-ruby("にゅうりょく")[入力]の#bem-ruby("じょうかい")[上界]を #mitex("B", block: false) としたとき、#bem-ruby("にゅうりょく")[入力]に#bem-ruby("いぞん")[依存]しない#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("C", block: false) により#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]の#bem-ruby("じょうかい")[上界]を #mitex("CB", block: false) とできる#bem-anno("bounded-input bounded-output stability")[BIBO #bem-ruby("あんていせい")[安定性]]は、インパルス#bem-ruby("おうとう")[応答]について #align(center)[#mitex("\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}|h[n]|<\\infty")] と#bem-ruby("どうち")[同値]である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("|x[n]|\\le B", block: false) なら #align(center)[#mitex("|(h*x)[n]|\\le B\\sum_k|h[k]|")] なので、#bem-ruby("ぜったいそうわかのうせい")[絶対総和可能性]から BIBO #bem-ruby("あんていせい")[安定性]が#bem-ruby("したが")[従]う。#bem-ruby("ぎゃく")[逆]に BIBO #bem-ruby("あんてい")[安定]なら、#mitex("|k|\\le N", block: false) で #mitex("x_N[-k]=\\overline{h[k]}/|h[k]|", block: false)（#mitex("h[k]=0", block: false) なら 0）、その#bem-ruby("そと")[外]で 0 と#bem-ruby("えら")[選]ぶ。すると #mitex("|x_N[n]|\\le1", block: false) であり、#mitex("n=0", block: false) の#bem-ruby("しゅつりょく")[出力]は #align(center)[#mitex("(h*x_N)[0]=\\sum_{|k|\\le N}|h[k]|")] となる。#bem-ruby("あんていせい")[安定性]による #mitex("N", block: false) に#bem-ruby("いぞん")[依存]しない#bem-ruby("じょうかい")[上界]から #mitex("\\sum_k|h[k]|<\\infty", block: false) を#bem-ruby("え")[得]る。 このとき #mitex("z=e^{i\\omega}", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]した#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]するので、#bem-ruby("たんいえん")[単位円] #mitex("|z|=1", block: false) は #mitex("H_{\\mathrm b}", block: false) の ROC に#bem-ruby("ふく")[含]まれ、 #align(center)[#mitex("H_{\\mathrm b}(e^{i\\omega})\n=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}h[n]e^{-i\\omega n}")] を#bem-ruby("しゅうはすうおうとう")[周波数応答]と#bem-ruby("よ")[呼]べる。#bem-ruby("たんいえん")[単位円]が ROC に#bem-ruby("ふく")[含]まれない#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]へ#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]に #mitex("z=e^{i\\omega}", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]しただけでは#bem-ruby("しゅうはすうおうとう")[周波数応答]にならない。 #bem-ruby("でんたつかんすう")[伝達関数]が#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]のとき、#bem-ruby("ぶんし")[分子]と#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("きょうつういんし")[共通因子]を#bem-ruby("け")[消]すことを#bem-anno("pole-zero cancellation")[#bem-ruby("きょくれいそうさい")[極零相殺]]という。#bem-ruby("いんがてき")[因果的]、すなわち #mitex("h[n]=0\\ (n<0)", block: false) である#bem-ruby("ゆうり")[有理]なシステムでは、#bem-ruby("きょくれいそうさい")[極零相殺]を#bem-ruby("す")[済]ませた#bem-ruby("でんたつかんすう")[伝達関数]のすべての#bem-ruby("きょく")[極]が#bem-ruby("たんいえん")[単位円]の#bem-ruby("うちがわ")[内側]にあることが BIBO #bem-ruby("あんてい")[安定]の#bem-ruby("じょうけん")[条件]になる。これは#bem-ruby("いんがせい")[因果性]により ROC が#bem-ruby("さいがいきょく")[最外極]の#bem-ruby("そとがわ")[外側]となり、そこに#bem-ruby("たんいえん")[単位円]を#bem-ruby("ふく")[含]めるためである。 == Laplace・Fourier・Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("いち")[位置]づけ #table( columns: 4, inset: 5pt, stroke: 0.4pt + luma(190), [#strong[#bem-ruby("へんかん")[変換]]], [#strong[#bem-ruby("たいしょう")[対象]]], [#strong[#bem-ruby("ちゅうしんさようそ")[中心作用素]]], [#strong[#bem-ruby("へんかんご")[変換後]]], [Fourier #bem-ruby("へんかん")[変換]], [#bem-ruby("ぜんじかん")[全時間]・#bem-ruby("しゅうはすうかいせき")[周波数解析]], [#bem-ruby("びぶんさようそ")[微分作用素] #mitex("D", block: false)], [#mitex("D\\mapsto i\\omega", block: false)], [Laplace #bem-ruby("へんかん")[変換]], [#bem-ruby("れんぞくじかん")[連続時間] #mitex("t\\ge0", block: false)], [#bem-ruby("びぶんさようそ")[微分作用素] #mitex("D", block: false)], [#mitex("D\\mapsto s", block: false) と#bem-ruby("しょきちこう")[初期値項]], [Z #bem-ruby("へんかん")[変換]], [#bem-ruby("りさんじかんれつ")[離散時間列] #mitex("x[n]", block: false)], [シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素] #mitex("E", block: false)], [#bem-ruby("りょうがわ")[両側]では #mitex("E\\mapsto z", block: false)、#bem-ruby("ちえん")[遅延]は #mitex("z^{-1}", block: false)], ) #bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の ROC が#bem-ruby("たんいえん")[単位円]を#bem-ruby("ふく")[含]むとき、#mitex("z=e^{i\\omega}", block: false) と#bem-ruby("お")[置]いた #mitex("X_{\\mathrm b}(e^{i\\omega})", block: false) は#bem-ruby("りさんじかん")[離散時間] Fourier #bem-ruby("へんかん")[変換]になる。したがって「Fourier #bem-ruby("へんかん")[変換]は Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("たんいえんじょう")[単位円上]の#bem-ruby("あたい")[値]である」という#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]には、#bem-ruby("たんいえん")[単位円]が ROC に#bem-ruby("ふく")[含]まれるという#bem-ruby("じょうけん")[条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("せいりつはんい")[成立範囲] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]では#bem-ruby("しゅうそくりょういき")[収束領域]が#bem-ruby("へんかんけっか")[変換結果]の#bem-ruby("いちぶ")[一部]である。#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("しき")[式]でも ROC が#bem-ruby("こと")[異]なれば#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("りょうがわれつ")[両側列]が#bem-ruby("こと")[異]なる。また、#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]は #mitex("n<0", block: false) の#bem-ruby("じょうほう")[情報]を#bem-ruby("も")[持]たず、#bem-ruby("しょきちもんだい")[初期値問題]の#bem-ruby("きょうかいこう")[境界項]を#bem-ruby("あつか")[扱]うための#bem-ruby("へんかん")[変換]である。#bem-ruby("りょうがわへんかん")[両側変換]の ROC による#bem-ruby("さゆうれつ")[左右列]の#bem-ruby("しきべつ")[識別]と、#bem-ruby("かたがわへんかん")[片側変換]の#bem-ruby("やくわり")[役割]を#bem-ruby("くべつ")[区別]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。 したがって、Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("てきようまえ")[適用前]に、#bem-ruby("れつ")[列]と#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("かたがわ")[片側]か#bem-ruby("りょうがわ")[両側]か、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とするか、#bem-ruby("しゅうはすうおうとう")[周波数応答]を#bem-ruby("かいせき")[解析]するかを#bem-ruby("めいじ")[明示]する。 #block(stroke: (left: 2pt + luma(150)), inset: (left: 8pt), width: 100%)[ #strong[この#bem-ruby("こうぎ")[講義]の#bem-ruby("へんかんけいやく")[変換契約]] - #bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は「#mitex("X_{\\mathrm b}(z)", block: false) と ROC」の#bem-ruby("くみ")[組]として#bem-ruby("あつか")[扱]う。 - #bem-ruby("かたがわ")[片側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は #mitex("X_+(z)", block: false) と#bem-ruby("か")[書]き、#bem-ruby("しょきこう")[初期項]を#bem-ruby("ふく")[含]むシフト#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("つか")[使]う。 - #bem-ruby("ぎゃくへんかん")[逆変換]では ROC に#bem-ruby("てきごう")[適合]する Laurent #bem-ruby("てんかい")[展開]を#bem-ruby("せんたく")[選択]し、#mitex("z^{-n}", block: false) の#bem-ruby("けいすう")[係数]を#bem-ruby("ちゅうしゅつ")[抽出]する。 - #bem-ruby("しゅうはすうおうとう")[周波数応答]として#bem-ruby("たんいえん")[単位円]を#bem-ruby("つか")[使]うには、#mitex("|z|=1", block: false) が ROC に#bem-ruby("ふく")[含]まれることを#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 ] == #bem-ruby("ようやく")[要約] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]は、#bem-ruby("りさんじかん")[離散時間]のシフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]を #mitex("z", block: false) や #mitex("z^{-1}", block: false) の#bem-ruby("だいすうそうさ")[代数操作]へ#bem-ruby("うつ")[移]し、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]・#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]・#bem-ruby("りさん")[離散]#bem-ruby("たた")[畳]み#bem-ruby("こ")[込]みを#bem-ruby("あつか")[扱]いやすくする#bem-ruby("へんかん")[変換]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[shift-operators-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[片側ラプラス変換]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[フーリエ変換の基礎]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture.n.md#h(0.7em)md f4f4d6d]] = ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]の#bem-ruby("いりぐち")[入口] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]に#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("はっそう")[発想]は、#strong[ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]では、#bem-ruby("すう")[数]を#bem-ruby("かえ")[返]す#bem-ruby("かんすう")[関数]とベクトルを#bem-ruby("かえ")[返]す#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("くべつ")[区別]し、その#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("み")[見]るために#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]という 3 つの#bem-ruby("どうぐ")[道具]を#bem-ruby("つか")[使]うこと]である。 #bem-ruby("たへんすう")[多変数]の#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("まな")[学]んだあとで#bem-ruby("こんらん")[混乱]しやすいのは、「#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]は#bem-ruby("けいさん")[計算]できるが、それが#bem-ruby("なに")[何]を#bem-ruby("み")[見]ているのか」が#bem-ruby("み")[見]えにくいことである。ここでは、#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("よ")[読]む#bem-ruby("ことば")[言葉]として#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]を#bem-ruby("せいり")[整理]する。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #mitex("U\\subset\\mathbb R^3", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とする。 #bem-anno("Scalar field")[スカラー#bem-ruby("ば")[場]] とは、#bem-ruby("かくてん")[各点]に 1 つの#bem-ruby("すう")[数]を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("f:U\\to\\mathbb R", block: false) である。 #bem-anno("Vector field")[ベクトル#bem-ruby("ば")[場]] とは、#bem-ruby("かくてん")[各点]に 1 つのベクトルを#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("\\mathbf F:U\\to\\mathbb R^3", block: false) である。 #bem-ruby("みぎてけい")[右手系]の Cartesian #bem-ruby("ちょっこうざひょう")[直交座標]で #align(center)[#mitex("\\nabla=\\left(\\frac\\partial{\\partial x},\\frac\\partial{\\partial y},\\frac\\partial{\\partial z}\\right)")] と#bem-ruby("か")[書]く。#mitex("\\nabla", block: false) は「ナブラ」と#bem-ruby("よ")[読]む#bem-ruby("びぶんえんざんし")[微分演算子]である。 #bem-anno("Gradient")[#bem-ruby("こうばい")[勾配]] とは、スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("f", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("\\nabla f=\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x},\\frac{\\partial f}{\\partial y},\\frac{\\partial f}{\\partial z}\\right)")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]されるベクトルである。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] まず、なぜ#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]を#bem-ruby("なら")[並]べたものが#bem-ruby("こうばい")[勾配]になるのかを#bem-ruby("み")[見]る。そのあと、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ひろ")[広]がり#bem-ruby("ぐあい")[具合]を#bem-ruby("はっさん")[発散]、#bem-ruby("まわ")[回]る#bem-ruby("けいこう")[傾向]を#bem-ruby("かいてん")[回転]として#bem-ruby("よ")[読]む#bem-ruby("りゆう")[理由]を#bem-ruby("せいり")[整理]する。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/partial-derivatives-and-multiple-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[partial-derivatives-and-multiple]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/partial-derivatives-and-multiple-integrals.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector/geometric-vectors-and-dot-products.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[products.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[geometric-vectors-and-dot]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector/geometric-vectors-and-dot-products.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明] たとえば#bem-ruby("おんど")[温度]の#bem-ruby("ぶんぷ")[分布] #mitex("f(x,y,z)", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]えると、#bem-ruby("いちばん")[一番]#bem-ruby("きゅう")[急]に#bem-ruby("おんど")[温度]が#bem-ruby("あ")[上]がる#bem-ruby("む")[向]きと、その#bem-ruby("ふ")[増]え#bem-ruby("かた")[方]の#bem-ruby("おお")[大]きさをまとめたものが#bem-ruby("こうばい")[勾配]である。 また、#bem-ruby("りゅうたい")[流体]の#bem-ruby("そくどば")[速度場]を#bem-ruby("かんが")[考]えると、その#bem-ruby("てん")[点]の#bem-ruby("ちか")[近]くで#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]しているか#bem-ruby("す")[吸]い#bem-ruby("こ")[込]んでいるかを#bem-ruby("はっさん")[発散]が、#bem-ruby("うず")[渦]のように#bem-ruby("まわ")[回]ろうとしているかを#bem-ruby("かいてん")[回転]が#bem-ruby("あらわ")[表]する。 == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. なぜ#bem-ruby("こうばい")[勾配]はこの#bem-ruby("ていぎ")[定義]か #mitex("\\mathbf r_0\\in U", block: false) とする。#mitex("f", block: false) が #mitex("\\mathbf r_0", block: false) で#bem-anno("differentiable")[#bem-ruby("ぜんびぶんかのう")[全微分可能]]であるとは、ある#bem-ruby("せんけいうつし")[線型写像] #mitex("L:\\mathbb R^3\\to\\mathbb R", block: false) があり、 #align(center)[#mitex("f(\\mathbf r_0+\\mathbf h)\n=f(\\mathbf r_0)+L(\\mathbf h)+o(\\|\\mathbf h\\|)\n\\qquad(\\mathbf h\\to\\mathbf0)")] となることである。#mitex("o(\\|\\mathbf h\\|)", block: false) は、#mitex("\\|\\mathbf h\\|", block: false) で#bem-ruby("わ")[割]ると 0 へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する#bem-ruby("ごさ")[誤差]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。Euclidean #bem-ruby("ないせき")[内積]では #mitex("L", block: false) をただ 1 つのベクトルとの#bem-ruby("ないせき")[内積]で#bem-ruby("あらわ")[表]せる。#mitex("f", block: false) が#bem-ruby("ぜんびぶんかのう")[全微分可能]なら、そのベクトルの#bem-ruby("せいぶん")[成分]は #mitex("f", block: false) の#bem-ruby("へんどうかんすう")[偏導関数]であり、#bem-ruby("こうばい")[勾配] #mitex("\\nabla f(\\mathbf r_0)", block: false) となる。とくに#bem-ruby("へんどうかんすう")[偏導関数]が #mitex("U", block: false) で#bem-ruby("れんぞく")[連続]、すなわち #mitex("f\\in C^1(U)", block: false) なら#bem-ruby("ぜんびぶんかのう")[全微分可能]であり、 #align(center)[#mitex("L(\\mathbf h)=\\nabla f(\\mathbf r_0)\\cdot\\mathbf h")] となる。したがって #align(center)[#mitex("f(\\mathbf r_0+\\mathbf h)\n=f(\\mathbf r_0)+\\nabla f(\\mathbf r_0)\\cdot\\mathbf h+o(\\|\\mathbf h\\|)")] である。#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]が#bem-ruby("かくてん")[各点]で#bem-ruby("そんざい")[存在]するだけでは、この#bem-ruby("いちじきんじ")[一次近似]は#bem-ruby("ほしょう")[保証]されない。 #bem-ruby("たんい")[単位]ベクトル #mitex("\\mathbf u", block: false) に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-anno("directional derivative")[#bem-ruby("ほうこうびぶん")[方向微分]]を #align(center)[#mitex("D_{\\mathbf u}f(\\mathbf r_0)\n:=\\lim_{h\\to0}\\frac{f(\\mathbf r_0+h\\mathbf u)-f(\\mathbf r_0)}h")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("うえ")[上]の#bem-ruby("ぜんびぶん")[全微分]の#bem-ruby("しき")[式]へ #mitex("\\mathbf h=h\\mathbf u", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]して #mitex("h", block: false) で#bem-ruby("わ")[割]れば、 #align(center)[#mitex("D_{\\mathbf u}f(\\mathbf r_0)=\\nabla f(\\mathbf r_0)\\cdot\\mathbf u")] を#bem-ruby("え")[得]る。Cauchy--Schwarz #bem-ruby("ふとうしき")[不等式]より #align(center)[#mitex("|D_{\\mathbf u}f(\\mathbf r_0)|\\le\\|\\nabla f(\\mathbf r_0)\\|")] である。#mitex("\\nabla f(\\mathbf r_0)\\ne\\mathbf0", block: false) なら、#bem-ruby("さいだいち")[最大値] #mitex("\\|\\nabla f(\\mathbf r_0)\\|", block: false) は #mitex("\\mathbf u=\\nabla f/\\|\\nabla f\\|", block: false) のときに#bem-ruby("たっ")[達]する。#mitex("\\nabla f(\\mathbf r_0)=\\mathbf0", block: false) なら、すべての#bem-ruby("ほうこう")[方向]の 1 #bem-ruby("かいほうこうびぶん")[階方向微分]が 0 で、#bem-ruby("さいきゅうほうこう")[最急方向]は 1 つに#bem-ruby("さだ")[定]まらない。 === 2. #bem-ruby("はっさん")[発散] #mitex("\\mathbf F=(P,Q,R)\\in C^1(U,\\mathbb R^3)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("\\nabla\\cdot \\mathbf F=\\frac{\\partial P}{\\partial x}+\\frac{\\partial Q}{\\partial y}+\\frac{\\partial R}{\\partial z}")] を#bem-ruby("はっさん")[発散]と#bem-ruby("よ")[呼]ぶ。これは、#bem-ruby("かくほうこう")[各方向]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]がその#bem-ruby("ほうこう")[方向]にどれだけ#bem-ruby("ふ")[増]えているかを#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせたもので、#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]しや#bem-ruby("す")[吸]い#bem-ruby("こ")[込]みを#bem-ruby("はか")[測]る。 この#bem-ruby("しき")[式]が#bem-ruby("しぜん")[自然]なのは、#bem-ruby("ちい")[小]さい#bem-ruby("ちょくほうたい")[直方体]から#bem-ruby("で")[出]る#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("かんが")[考]えると#bem-ruby("み")[見]える。#mitex("x", block: false) #bem-ruby("ほうこう")[方向]だけ#bem-ruby("み")[見]ると、#bem-ruby("さゆう")[左右]の#bem-ruby("めん")[面]から#bem-ruby("で")[出]る#bem-ruby("りゅうりょう")[流量]の#bem-ruby("さ")[差]は 1 #bem-ruby("じ")[次]#bem-ruby("きんじ")[近似]で #align(center)[#mitex("\\frac{\\partial P}{\\partial x}\\,\\Delta x\\,\\Delta y\\,\\Delta z")] である。これを #mitex("y,z", block: false) #bem-ruby("ほうこう")[方向]でも#bem-ruby("どうよう")[同様]に#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせると、 #align(center)[#mitex("\\left(\\frac{\\partial P}{\\partial x}+\\frac{\\partial Q}{\\partial y}+\\frac{\\partial R}{\\partial z}\\right)\\Delta V")] となる。より#bem-ruby("せいかく")[正確]には、#mitex("\\mathbf r_0", block: false) へ#bem-ruby("ちぢ")[縮]む#bem-ruby("ちい")[小]さな#bem-ruby("ちょくほうたい")[直方体] #mitex("V", block: false) について #align(center)[#mitex("\\operatorname{NetFlux}(V)\n=(\\nabla\\cdot\\mathbf F)(\\mathbf r_0)\\operatorname{Vol}(V)\n+o(\\operatorname{Vol}(V))")] である。したがって#bem-ruby("はっさん")[発散]は、#bem-ruby("たんいたいせき")[単位体積]あたりの#bem-ruby("しょうみ")[正味]の#bem-ruby("りゅうしゅつりょう")[流出量]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]である。 #bem-ruby("こうぞく")[後続]の#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を#bem-ruby("つか")[使]えば、この#bem-ruby("いみ")[意味]はより#bem-ruby("せいかく")[正確]に#bem-ruby("か")[書]ける。#mitex("B_\\varepsilon(\\mathbf r_0)", block: false) を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心] #mitex("\\mathbf r_0", block: false)、#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("\\varepsilon", block: false) の#bem-ruby("きゅう")[球]とし、#mitex("\\mathbf n", block: false) をその#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線]とすると、 #align(center)[#mitex("(\\nabla\\cdot\\mathbf F)(\\mathbf r_0)\n=\\lim_{\\varepsilon\\to0}\n\\frac1{\\operatorname{Vol}(B_\\varepsilon)}\n\\iint_{\\partial B_\\varepsilon}\\mathbf F\\cdot\\mathbf n\\,dS")] と#bem-ruby("か")[書]ける。ここでは#bem-ruby("きかてきいみ")[幾何的意味]の#bem-ruby("よこく")[予告]として#bem-ruby("しめ")[示]し、#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]は#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("おこな")[行]う。 === 3. #bem-ruby("かいてん")[回転] #bem-ruby("おな")[同]じ #mitex("C^1", block: false) ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\mathbf F=(P,Q,R)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #align(center)[#mitex("\\nabla\\times \\mathbf F=\n\\left(\n\\frac{\\partial R}{\\partial y}-\\frac{\\partial Q}{\\partial z},\n\\frac{\\partial P}{\\partial z}-\\frac{\\partial R}{\\partial x},\n\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\n\\right)")] を#bem-ruby("かいてん")[回転]と#bem-ruby("よ")[呼]ぶ。これは#bem-ruby("ば")[場]が#bem-ruby("ちか")[近]くでどれだけ#bem-ruby("まわ")[回]ろうとしているかを#bem-ruby("あらわ")[表]す#bem-ruby("りょう")[量]である。 たとえば #mitex("xy", block: false) #bem-ruby("へいめん")[平面]で #mitex("\\mathbf F=(P,Q,0)", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]えると、#bem-ruby("ちい")[小]さい#bem-ruby("ちょうほうけい")[長方形]の#bem-ruby("まわ")[周]りの#bem-ruby("じゅんかん")[循環]は 1 #bem-ruby("じ")[次]#bem-ruby("きんじ")[近似]で #align(center)[#mitex("\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\Delta x\\,\\Delta y")] になる。より#bem-ruby("せいかく")[正確]には、この#bem-ruby("じゅんかん")[循環]は #align(center)[#mitex("\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\Delta A\n+o(\\Delta A)")] である。3 #bem-ruby("じげん")[次元]ではこれを#bem-ruby("かくほうこう")[各方向]へ#bem-ruby("かくちょう")[拡張]したものが #mitex("\\nabla\\times \\mathbf F", block: false) である。 #bem-ruby("たんい")[単位]ベクトル #mitex("\\mathbf n", block: false) に#bem-ruby("すいちょく")[垂直]で、#bem-ruby("ちゅうしん")[中心] #mitex("\\mathbf r_0", block: false)、#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("\\varepsilon", block: false) の#bem-ruby("えんばん")[円板]を #mitex("D_\\varepsilon(\\mathbf r_0,\\mathbf n)", block: false) とする。その#bem-ruby("きょうかい")[境界]を #mitex("\\mathbf n", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("みぎてそく")[右手則]の#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("まわ")[回]ると、 #align(center)[#mitex("\\mathbf n\\cdot(\\nabla\\times\\mathbf F)(\\mathbf r_0)\n=\\lim_{\\varepsilon\\to0}\n\\frac1{\\operatorname{Area}(D_\\varepsilon)}\n\\oint_{\\partial D_\\varepsilon}\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r")] となる。つまり#bem-ruby("かいてん")[回転]は#bem-ruby("かくそくど")[角速度]そのものではなく、#bem-ruby("む")[向]きごとの#bem-ruby("たんいめんせき")[単位面積]あたりの#bem-ruby("きょくしょじゅんかん")[局所循環]をまとめたベクトルである。この#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]も#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか ここでは 3 #bem-ruby("じげん")[次元]の#bem-ruby("みぎてけい")[右手系] Cartesian #bem-ruby("ちょっこうざひょう")[直交座標]で #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("ぜんてい")[前提]にした。#bem-ruby("ちょっこうかいてん")[直交回転]で#bem-ruby("ざひょう")[座標]を#bem-ruby("か")[替]えても#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]という#bem-ruby("きかりょう")[幾何量]は#bem-ruby("おな")[同]じだが、#bem-ruby("えんちゅうざひょう")[円柱座標]や#bem-ruby("きゅうざひょう")[球座標]では#bem-ruby("きてい")[基底]と#bem-ruby("しゃくど")[尺度]が#bem-ruby("ばしょ")[場所]により#bem-ruby("か")[変]わるため、#bem-ruby("せいぶんこうしき")[成分公式]も#bem-ruby("か")[変]わる。また、#bem-ruby("かいてん")[回転]をベクトルとして#bem-ruby("あらわ")[表]すには#bem-ruby("くうかん")[空間]の#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("こてい")[固定]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("おんど")[温度]や#bem-ruby("でんい")[電位]のように 1 つの#bem-ruby("すう")[数]が#bem-ruby("あた")[与]えられているなら、まずスカラー#bem-ruby("ば")[場]として#bem-ruby("こうばい")[勾配]を#bem-ruby("かんが")[考]える。 - #bem-ruby("りゅうそく")[流速]や#bem-ruby("りきば")[力場]のように#bem-ruby("む")[向]きと#bem-ruby("おお")[大]きさがあるなら、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]として#bem-ruby("はっさん")[発散]や#bem-ruby("かいてん")[回転]を#bem-ruby("うたが")[疑]う。 - #bem-ruby("かくてん")[各点]で「#bem-ruby("そと")[外]へ#bem-ruby("ひろ")[広]がるか」「#bem-ruby("まわ")[回]るか」を#bem-ruby("と")[問]う#bem-ruby("もんだい")[問題]は、ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]の#bem-ruby("ことば")[言葉]で#bem-ruby("せいり")[整理]できる。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{f(\\mathbf r_0+\\mathbf h)\n=f(\\mathbf r_0)+\\nabla f(\\mathbf r_0)\\cdot\\mathbf h+o(\\|\\mathbf h\\|)}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{D_{\\mathbf u}f(\\mathbf r_0)=\\nabla f(\\mathbf r_0)\\cdot\\mathbf u}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\nabla\\cdot \\mathbf F=P_x+Q_y+R_z}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\nabla\\times \\mathbf F=(R_y-Q_z,\\ P_z-R_x,\\ Q_x-P_y)}")] これらは #mitex("f,\\mathbf F\\in C^1", block: false) という#bem-ruby("きょうつうじょうけん")[共通条件]の#bem-ruby("もと")[下]で#bem-ruby("もち")[用]いる。 == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと - ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]は、#bem-ruby("たへんすう")[多変数]の#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("びぶん")[微分]して、その#bem-ruby("へんか")[変化]の#bem-ruby("いみ")[意味]を#bem-ruby("よ")[読]むための#bem-ruby("ことば")[言葉]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[線積分と面積分の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/directional-derivatives-and-gradient.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[gradient.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[directional-derivatives-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/directional-derivatives-and-gradient.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[scalar-and-vector]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[gradient-divergence-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[vector-calculus]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture.n.md#h(0.7em)md e9ae46b]] = #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]の#bem-ruby("いりぐち")[入口] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]に#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("はっそう")[発想]は、#strong[#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]を「#bem-ruby("みち")[道]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("せきぶん")[積分]」、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を「#bem-ruby("めん")[面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]く#bem-ruby("りょう")[量]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("せきぶん")[積分]」として#bem-ruby("りかい")[理解]すること]である。 #bem-ruby("ふつう")[普通]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]は 1 #bem-ruby("ぽん")[本]の#bem-ruby("くかん")[区間]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("すう")[数]を#bem-ruby("た")[足]する。しかし#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("かんが")[考]えると、#bem-ruby("きょくせん")[曲線]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("しごと")[仕事]を#bem-ruby("た")[足]したり、#bem-ruby("めん")[面]を#bem-ruby("とお")[通]る#bem-ruby("りゅうりょう")[流量]を#bem-ruby("た")[足]したりしたくなる。そこで#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]になる。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("Line integral")[#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]] には、スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\phi", block: false) を#bem-ruby("こちょう")[弧長]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("た")[足]す #align(center)[#mitex("\\int_C\\phi\\,ds")] と、ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\mathbf F", block: false) の#bem-ruby("せっせんせいぶん")[接線成分]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-anno("work integral")[#bem-ruby("しごとせきぶん")[仕事積分]] #align(center)[#mitex("\\int_C \\mathbf F\\cdot d\\mathbf r")] がある。#bem-ruby("ぜんしゃ")[前者]は#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("いぞん")[依存]せず、#bem-ruby("こうしゃ")[後者]は#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("はんてん")[反転]すると#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("か")[変]わる。 #bem-anno("Surface integral")[#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]]にも、スカラー#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("めんせき")[面積]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("た")[足]す #align(center)[#mitex("\\iint_S\\phi\\,dS")] と、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-anno("flux integral")[#bem-ruby("りゅうそくせきぶん")[流束積分]] #align(center)[#mitex("\\iint_S \\mathbf F\\cdot d\\mathbf S")] がある。#bem-ruby("ぜんしゃ")[前者]は#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("いぞん")[依存]せず、#bem-ruby("こうしゃ")[後者]には#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] まず、なぜ#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]に#bem-ruby("ないせき")[内積]が#bem-ruby("はい")[入]るかを#bem-ruby("み")[見]る。そのあと、なぜ#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]では#bem-ruby("ほうせんほうこう")[法線方向]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]だけを#bem-ruby("かぞ")[数]えるのかを#bem-ruby("せいり")[整理]する。 #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/integration-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[integration]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/integration-basics.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明] #bem-ruby("やまみち")[山道]を#bem-ruby("ある")[歩]いて#bem-ruby("かぜ")[風]に#bem-ruby("お")[押]されることを#bem-ruby("かんが")[考]えると、#bem-ruby("しごと")[仕事]に#bem-ruby("き")[効]くのは#bem-ruby("みち")[道]に#bem-ruby("そ")[沿]った#bem-ruby("かぜ")[風]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]だけである。したがって#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]では #mitex("\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r", block: false) が#bem-ruby("しぜん")[自然]である。 いっぽう、#bem-ruby("あみ")[網]を#bem-ruby("とお")[通]り#bem-ruby("ぬ")[抜]ける#bem-ruby("かぜ")[風]の#bem-ruby("りょう")[量]を#bem-ruby("かんが")[考]えると、#bem-ruby("めん")[面]に#bem-ruby("すいちょく")[垂直]な#bem-ruby("せいぶん")[成分]だけが#bem-ruby("き")[効]く。したがって#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]では #mitex("\\mathbf F\\cdot d\\mathbf S", block: false) が#bem-ruby("しぜん")[自然]である。 == #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明] === 1. #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分] #bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられた#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょくせん")[曲線]を #mitex("\\mathbf r:[a,b]\\to\\mathbb R^3", block: false) で#bem-ruby("あらわ")[表]し、#mitex("\\mathbf r'(t)\\ne\\mathbf0", block: false) となる#bem-ruby("くかん")[区間]を#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]に#bem-ruby("わ")[分]けられるとする。#mitex("\\phi", block: false) と #mitex("\\mathbf F", block: false) が#bem-ruby("きょくせんじょう")[曲線上]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]なら、スカラー#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("しごとせきぶん")[仕事積分]を #align(center)[#mitex("\\int_C\\phi\\,ds\n:=\\int_a^b\\phi(\\mathbf r(t))\\|\\mathbf r'(t)\\|\\,dt")] および #align(center)[#mitex("\\int_C\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r\n:=\\int_a^b\\mathbf F(\\mathbf r(t))\\cdot\\mathbf r'(t)\\,dt")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#mitex("ds=\\|\\mathbf r'(t)\\|dt", block: false) は#bem-ruby("こちょうようそ")[弧長要素]、#mitex("d\\mathbf r=\\mathbf r'(t)dt", block: false) は#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]きの#bem-ruby("へんいようそ")[変位要素]である。 #mitex("\\psi", block: false) を#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("くかん")[区間]の#bem-ruby("あいだ")[間]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("ぜんたんしゃ")[全単射]で、#bem-ruby("かくせいそくくかん")[各正則区間]で #mitex("\\psi'\\ne0", block: false) とし、#mitex("\\boldsymbol\\rho(\\tau)=\\mathbf r(\\psi(\\tau))", block: false) と#bem-ruby("お")[置]く。#bem-ruby("ごうせいかんすう")[合成関数]の#bem-ruby("びぶん")[微分]より #align(center)[#mitex("\\|\\boldsymbol\\rho'(\\tau)\\|\n=\\|\\mathbf r'(\\psi(\\tau))\\|\\,|\\psi'(\\tau)|,\n\\qquad\n\\boldsymbol\\rho'(\\tau)=\\mathbf r'(\\psi(\\tau))\\psi'(\\tau)")] である。したがって #mitex("\\psi", block: false) が#bem-ruby("たんちょうぞうか")[単調増加]なら#bem-ruby("りょうほう")[両方]の#bem-ruby("せきぶんち")[積分値]は#bem-ruby("か")[変]わらない。#mitex("\\psi", block: false) が#bem-ruby("たんちょうげんしょう")[単調減少]なら、#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]を#bem-ruby("ふく")[含]むスカラー#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("か")[変]わらず、#bem-ruby("しごとせきぶん")[仕事積分]だけが#bem-ruby("ふごう")[符号]を#bem-ruby("か")[変]える。 === 2. #bem-ruby("めんせきぶん")[面積分] #bem-ruby("ゆうかい")[有界]な Jordan #bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("D\\subset\\mathbb R^2", block: false) の#bem-ruby("へいほう")[閉包]を#bem-ruby("かんが")[考]える。#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の 1 つのパッチを、その#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で #mitex("C^1", block: false) であり#bem-ruby("ないぶ")[内部]で 1 #bem-ruby("たい")[対] 1 の#bem-ruby("うつし")[写像] #mitex("\\mathbf r:D\\to\\mathbb R^3", block: false)、#mitex("(u,v)\\mapsto\\mathbf r(u,v)", block: false) で#bem-ruby("あらわ")[表]し、#mitex("\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v\\ne\\mathbf0", block: false) とする。この#bem-ruby("じょうけん")[条件]を#bem-anno("regular")[#bem-ruby("せいそく")[正則]]という。#bem-ruby("きょうかいじょう")[境界上]では#bem-ruby("めんせき")[面積] 0 の#bem-ruby("じゅうふく")[重複]を#bem-ruby("ゆる")[許]す。#mitex("\\phi", block: false) と #mitex("\\mathbf F", block: false) が#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]なら、#bem-ruby("いか")[以下]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]は#bem-ruby("ゆうげん")[有限]であり、スカラー#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を #align(center)[#mitex("\\iint_S\\phi\\,dS\n:=\\iint_D\\phi(\\mathbf r(u,v))\n\\|\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v\\|\\,du\\,dv")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。 #bem-ruby("りゅうそくせきぶん")[流束積分]には、#bem-ruby("きょくめんぜんたい")[曲面全体]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]に#bem-ruby("えら")[選]んだ#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線] #mitex("\\mathbf n", block: false)、すなわち#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-anno("orientation")[#bem-ruby("む")[向]き]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。パラメータの#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]をその#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("あ")[合]わせて #align(center)[#mitex("\\iint_S\\mathbf F\\cdot d\\mathbf S\n:=\\iint_D\\mathbf F(\\mathbf r(u,v))\n\\cdot(\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v)\\,du\\,dv")] と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。ここで #align(center)[#mitex("dS=\\|\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v\\|du\\,dv,\n\\qquad d\\mathbf S=\\mathbf n\\,dS")] である。 #bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("たも")[保]つ #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("ざひょうへんかん")[座標変換]でパラメータを#bem-ruby("か")[替]えても、Jacobian と#bem-ruby("がいせき")[外積]の#bem-ruby("へんか")[変化]が#bem-ruby("う")[打]ち#bem-ruby("け")[消]し#bem-ruby("あ")[合]うので#bem-ruby("りょうほう")[両方]の#bem-ruby("せきぶんち")[積分値]は#bem-ruby("か")[変]わらない。#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("はんてん")[反転]すると #mitex("\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v", block: false) の#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("か")[変]わるため、スカラー#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は#bem-ruby("ふへん")[不変]だが#bem-ruby("りゅうそくせきぶん")[流束積分]は#bem-ruby("ふごう")[符号]を#bem-ruby("か")[変]える。#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("たいきょくてき")[大域的]に#bem-ruby("えら")[選]べない#bem-ruby("きょくめん")[曲面]には、この#bem-ruby("いみ")[意味]の#bem-ruby("たいきょくてき")[大域的]な#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("ていぎ")[定義]できない。 #bem-ruby("ふくすう")[複数]のパッチで#bem-ruby("おお")[覆]う#bem-ruby("きょくめん")[曲面]では、#bem-ruby("ないぶ")[内部]が#bem-ruby("たが")[互]いに#bem-ruby("まじ")[交]わらず、#bem-ruby("きょうつうきょうかい")[共通境界]が#bem-ruby("めんせき")[面積] 0 で、#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("せいごう")[整合]する#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]のパッチへ#bem-ruby("ぶんかつ")[分割]し、#bem-ruby("かくせきぶん")[各積分]を#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせる。#bem-ruby("ないぶ")[内部]で#bem-ruby("かさ")[重]なる#bem-ruby("いっぱんてき")[一般的]なパッチをそのまま#bem-ruby("た")[足]すと、#bem-ruby("じゅうふくぶぶん")[重複部分]を#bem-ruby("にじゅう")[二重]に#bem-ruby("かぞ")[数]える。 === 3. #bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("びぶん")[微分]と#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("ていり")[定理] #bem-ruby("きょうかい")[境界]が#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) である#bem-ruby("ゆうかいりょういき")[有界領域] #mitex("V", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]え、#mitex("\\mathbf F", block: false) は #mitex("\\overline V", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]で #mitex("C^1", block: false) とする。#bem-anno("divergence theorem")[Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]]は #align(center)[#mitex("\\iint_{\\partial V}\\mathbf F\\cdot\\mathbf n\\,dS\n=\\iiint_V\\nabla\\cdot\\mathbf F\\,dV")] である。#mitex("\\mathbf n", block: false) は#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面] #mitex("\\partial V", block: false) の#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線]である。 #bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられたコンパクトな#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("せいそくきょくめん")[正則曲面] #mitex("S", block: false) と#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょうかい")[境界] #mitex("\\partial S", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]え、#mitex("\\mathbf F", block: false) は #mitex("S", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("かいきんぼう")[開近傍]で #mitex("C^1", block: false) とする。#mitex("\\partial S", block: false) を#bem-ruby("ほうせん")[法線]に#bem-ruby("みぎてそく")[右手則]で#bem-ruby("たいおう")[対応]させると、#bem-anno("Stokes' theorem")[Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]]は #align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial S}\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r\n=\\iint_S(\\nabla\\times\\mathbf F)\\cdot\\mathbf n\\,dS")] である。これらは#bem-ruby("ぜんこうぎ")[前講義]の#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]という#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("びぶん")[微分]を、#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("とお")[通]る#bem-ruby("りゅうそく")[流束]・#bem-ruby("じゅんかん")[循環]という#bem-ruby("たいいきてき")[大域的]な#bem-ruby("せきぶん")[積分]へ#bem-ruby("むす")[結]ぶ。この#bem-ruby("いりぐち")[入口]では#bem-ruby("ていり")[定理]として#bem-ruby("もち")[用]い、#bem-ruby("しょうめい")[証明]は#bem-ruby("たいけいばん")[体系版]で#bem-ruby("あつか")[扱]う。 === 4. #bem-ruby("でんじき")[電磁気]とのつながり #bem-ruby("でんじきがく")[電磁気学]では、#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面] #mitex("S", block: false) を#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けると、#bem-ruby("でんば")[電場]に#bem-ruby("たい")[対]する Gauss の#bem-ruby("ほうそく")[法則]は #align(center)[#mitex("\\iint_S\\mathbf E\\cdot d\\mathbf S\n=\\frac{Q_{\\mathrm{enc}}}{\\varepsilon_0}")] と#bem-ruby("か")[書]かれる。#mitex("Q_{\\mathrm{enc}}", block: false) は #mitex("S", block: false) の#bem-ruby("うちがわ")[内側]の#bem-ruby("でんか")[電荷]である。 #bem-ruby("ていじょうでんりゅう")[定常電流]に#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線] #mitex("C", block: false) とそれを#bem-ruby("は")[張]る#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("みぎてそく")[右手則]で#bem-ruby("たいおう")[対応]させる。#mitex("I_{\\mathrm{enc}}", block: false) をその#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]く#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]き#bem-ruby("でんりゅう")[電流]とすると、Ampere の#bem-ruby("ほうそく")[法則]は #align(center)[#mitex("\\oint_C\\mathbf B\\cdot d\\mathbf r=\\mu_0I_{\\mathrm{enc}}")] である。#bem-ruby("じかんへんか")[時間変化]する#bem-ruby("でんば")[電場]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("いっぱんけい")[一般形]では Maxwell の#bem-ruby("へんいでんりゅうこう")[変位電流項]を#bem-ruby("くわ")[加]える#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。 Faraday の#bem-ruby("でんじゆうどう")[電磁誘導]の#bem-ruby("ほうそく")[法則]については、#bem-ruby("じかん")[時間]によらない#bem-ruby("こていきょくめん")[固定曲面] #mitex("S", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("C=\\partial S", block: false) の#bem-ruby("む")[向]きと #mitex("S", block: false) の#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("みぎてそく")[右手則]で#bem-ruby("たいおう")[対応]させると #align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial S}\\mathbf E\\cdot d\\mathbf r\n=-\\frac d{dt}\\iint_S\\mathbf B\\cdot d\\mathbf S")] と#bem-ruby("か")[書]く。#bem-ruby("ふごう")[負号]は Lenz の#bem-ruby("ほうそく")[法則]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。#bem-ruby("かいろ")[回路]や#bem-ruby("きょくめん")[曲面]が#bem-ruby("うご")[動]く#bem-ruby("ばあい")[場合]の#bem-ruby("ぜんきでんりょく")[全起電力]には #mitex("\\mathbf v\\times\\mathbf B", block: false) による#bem-ruby("うんどうきでんりょく")[運動起電力]も#bem-ruby("くわ")[加]わるため、この#bem-ruby("こていめん")[固定面]の#bem-ruby("しき")[式]をそのまま#bem-ruby("つか")[使]わない。これらの#bem-ruby("しき")[式]は、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]・#bem-ruby("りゅうそくせきぶん")[流束積分]の#bem-ruby("さへん")[左辺]だけでなく、#bem-ruby("と")[閉]じた#bem-ruby("きょうかい")[境界]、#bem-ruby("む")[向]き、#bem-ruby("みなもと")[源]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("とうしきぜんたい")[等式全体]で#bem-ruby("ほうそく")[法則]である。 == #bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("みかた")[見方] === #bem-ruby("かいせきてき")[解析的]な#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]も#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]も、#bem-ruby("ふつう")[普通]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("きょくせん")[曲線]や#bem-ruby("きょくめん")[曲面]に#bem-ruby("ひろ")[広]げたものである。 === #bem-ruby("きかてき")[幾何的]な#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("みち")[道]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("き")[効]く#bem-ruby("せいぶん")[成分]を#bem-ruby("た")[足]し、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は#bem-ruby("めん")[面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]く#bem-ruby("せいぶん")[成分]を#bem-ruby("た")[足]する。 === #bem-ruby("ぶつりてき")[物理的]な#bem-ruby("みかた")[見方] #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("しごと")[仕事]や#bem-ruby("じゅんかん")[循環]、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は#bem-ruby("りゅうそく")[流束]や#bem-ruby("かんつうりょう")[貫通量]を#bem-ruby("あらわ")[表]する。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("みち")[道]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("なに")[何]かを#bem-ruby("た")[足]すなら#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]である。 - #bem-ruby("めん")[面]を#bem-ruby("とお")[通]る#bem-ruby("りょう")[量]を#bem-ruby("かぞ")[数]えるなら#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]である。 - #bem-ruby("でんじき")[電磁気]で #mitex("\\oint \\cdots d\\mathbf r", block: false) が#bem-ruby("で")[出]たら#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]、#mitex("\\iint \\cdots d\\mathbf S", block: false) が#bem-ruby("で")[出]たら#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]として#bem-ruby("よ")[読]む。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("きょくせん")[曲線]を#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) かつ#bem-ruby("せいそく")[正則]、#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("せいそく")[正則]パッチで#bem-ruby("あらわ")[表]し、#bem-ruby("ば")[場]は#bem-ruby("せきぶんたいしょう")[積分対象]の#bem-ruby("うえ")[上]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]とした。#bem-ruby("しごとせきぶん")[仕事積分]には#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("む")[向]き、#bem-ruby("りゅうそくせきぶん")[流束積分]には#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("ひつよう")[必要]で、#bem-ruby("はんてん")[反転]すると#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("か")[変]わる。スカラー#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]とスカラー#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("いぞん")[依存]しない。 #bem-ruby("じここうさ")[自己交差]や#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を#bem-ruby("も")[持]つパラメータ#bem-ruby("ひょうじ")[表示]、#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けできない#bem-ruby("きょくめん")[曲面]、#bem-ruby("ふれんぞく")[不連続]な#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("あつか")[扱]うには、パッチの#bem-ruby("ぶんかつ")[分割]や#bem-ruby("かせきぶんせい")[可積分性]について#bem-ruby("ついかじょうけん")[追加条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\int_C\\phi\\,ds\n=\\int_a^b\\phi(\\mathbf r(t))\\|\\mathbf r'(t)\\|\\,dt}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\int_C\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r\n=\\int_a^b\\mathbf F(\\mathbf r(t))\\cdot\\mathbf r'(t)\\,dt}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\iint_S\\phi\\,dS\n=\\iint_D\\phi(\\mathbf r)\\|\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v\\|\\,du\\,dv}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\iint_S\\mathbf F\\cdot d\\mathbf S\n=\\iint_D\\mathbf F(\\mathbf r)\\cdot(\\mathbf r_u\\times\\mathbf r_v)\\,du\\,dv}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと - #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("みち")[道]に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("き")[効]く#bem-ruby("りょう")[量]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("せきぶん")[積分]で、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は#bem-ruby("めん")[面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]く#bem-ruby("りょう")[量]を#bem-ruby("た")[足]す#bem-ruby("せきぶん")[積分]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[surfaces.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[parametrized-curves-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector/cross-product-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[cross-product]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector/cross-product-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[line-integrals-and-conservative]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[flux.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[surface-integrals-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[theorems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[green-gauss-and-stokes]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/gauss-law-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[gauss-law]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[electromagnetism]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/gauss-law-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/ampere-law-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ampere-law]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[electromagnetism]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/ampere-law-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/magnetic-fields-and-electromagnetic-induction.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[induction.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[magnetic-fields-and-electromagnetic]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[electromagnetism]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/electromagnetism/magnetic-fields-and-electromagnetic-induction.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/analysis/introduction-to-integral-equations.lecture.n.md#h(0.7em)md 69433f5]] = #bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]の#bem-ruby("いりぐち")[入口] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]に#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("はっそう")[発想]は、#strong[#bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]では#bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]が#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("なか")[中]に#bem-ruby("はい")[入]っており、#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]して#bem-ruby("か")[書]き#bem-ruby("か")[換]えた#bem-ruby("かたち")[形]として#bem-ruby("あらわ")[現]れることが#bem-ruby("おお")[多]い]ということである。 #bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]に#bem-ruby("な")[慣]れていると、「#bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]が#bem-ruby("せきぶんきごう")[積分記号]の#bem-ruby("なか")[中]に#bem-ruby("はい")[入]る」と#bem-ruby("きゅう")[急]に#bem-ruby("みな")[見慣]れない#bem-ruby("かたち")[形]に#bem-ruby("み")[見]える。ここでは、#bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]を#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]の#bem-ruby("べつひょうげん")[別表現]として#bem-ruby("み")[見]る#bem-ruby("してん")[視点]から#bem-ruby("はい")[入]る。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("Integral equation")[#bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]] とは、#bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]が#bem-ruby("せきぶん")[積分]の#bem-ruby("なか")[中]に#bem-ruby("あらわ")[現]れる#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]である。#mitex("an", block: false) なら#bem-ruby("さんかくふとうしき")[三角不等式]と#bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]より #align(center)[#mitex("\\|y_m-y_n\\|_\\infty\n\\le\\frac{q^n}{1-q}\\|y_1-y_0\\|_\\infty\\to0")] なので #mitex("y_n", block: false) は#bem-ruby("いちようコーシーれつ")[一様Cauchy列]になる。#mitex("C([a,b])", block: false) では#bem-ruby("いちようコーシーれつ")[一様Cauchy列]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]も#bem-ruby("れんぞく")[連続]なので、#bem-ruby("きょくげん")[極限] #mitex("y\\in X", block: false) を#bem-ruby("も")[持]つ。#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("はんぷくしき")[反復式]へ#bem-ruby("い")[入]れれば #mitex("y=\\Phi(y)", block: false) である。2 つの#bem-ruby("かい")[解] #mitex("y,z", block: false) があれば #align(center)[#mitex("\\|y-z\\|_\\infty\\le q\\|y-z\\|_\\infty")] より #mitex("y=z", block: false) なので#bem-ruby("いちい")[一意]である。 #bem-ruby("はんぷく")[反復]を#bem-ruby("てんかい")[展開]すると #bem-anno("Neumann series")[Neumann #bem-ruby("きゅうすう")[級数]] #align(center)[#mitex("y=\\sum_{n=0}^{\\infty}(\\lambda T)^ng")] を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("|\\lambda|\\|T\\|<1", block: false) は#bem-ruby("そんざい")[存在]と#bem-ruby("いちいせい")[一意性]の#bem-ruby("じゅうぶんじょうけん")[十分条件]であり、#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]ではない。 === 4. Volterra #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]を#bem-ruby("はんぷく")[反復]で#bem-ruby("と")[解]く #align(center)[#mitex("y'(x)=y(x),\\qquad y(0)=1")] なら #align(center)[#mitex("y(x)=1+\\int_0^x y(s)\\,ds")] と#bem-ruby("か")[書]ける。#mitex("y_0(x)=1", block: false) から #align(center)[#mitex("y_{n+1}(x)=1+\\int_0^xy_n(s)\\,ds")] と#bem-ruby("はんぷく")[反復]すると #align(center)[#mitex("y_n(x)=1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}")] を#bem-ruby("きのうてき")[帰納的]に#bem-ruby("え")[得]る。この#bem-ruby("れつ")[列]は#bem-ruby("ゆうかいくかん")[有界区間]で#bem-ruby("いちよう")[一様]に #align(center)[#mitex("y(x)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{x^k}{k!}=e^x")] へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。したがって#bem-ruby("せきぶんけい")[積分形]は#bem-ruby("たん")[単]なる#bem-ruby("かきか")[書換]えではなく、#bem-ruby("ちくじきんじ")[逐次近似]による#bem-ruby("かいほう")[解法]にもなる。 === 5. #bem-ruby("ちい")[小]ささの#bem-ruby("じょうけん")[条件]を#bem-ruby("はず")[外]すと#bem-ruby("なに")[何]が#bem-ruby("お")[起]こるか #mitex("[a,b]=[0,1]", block: false)、#mitex("K(x,t)=1", block: false) とすると #align(center)[#mitex("(Ty)(x)=\\int_0^1y(t)\\,dt")] は#bem-ruby("ていすうかんすう")[定数関数]を#bem-ruby("かえ")[返]す。#mitex("y\\equiv1", block: false) は #mitex("Ty=y", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たすので、1 は #mitex("T", block: false) の#bem-ruby("こゆうち")[固有値]である。#mitex("\\lambda=1,g=0", block: false) なら #mitex("(I-T)y=0", block: false) は#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("ていすうかんすう")[定数関数]を#bem-ruby("かい")[解]に#bem-ruby("も")[持]ち、#bem-ruby("いちい")[一意]でない。 #bem-ruby("いっぽう")[一方]、#mitex("\\lambda=1,g\\equiv1", block: false) で #mitex("y=1+Ty", block: false) とすると、#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を 0 から 1 まで#bem-ruby("せきぶん")[積分]して #mitex("c=\\int_0^1y(t)dt", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば #mitex("c=1+c", block: false) となり#bem-ruby("むじゅん")[矛盾]するので、#bem-ruby("かい")[解]はない。 #bem-ruby("いっぱん")[一般]に #mitex("\\lambda\\ne0", block: false) のとき、#bem-ruby("せいじほうていしき")[斉次方程式] #mitex("(I-\\lambda T)y=0", block: false) が#bem-ruby("ひれいかい")[非零解]を#bem-ruby("も")[持]つことは #align(center)[#mitex("Ty=\\frac1\\lambda y")] と#bem-ruby("どうち")[同値]である。つまり #mitex("\\lambda", block: false) ではなく #mitex("1/\\lambda", block: false) が #mitex("T", block: false) の#bem-ruby("こゆうち")[固有値]となる#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("いちいせい")[一意性]が#bem-ruby("うしな")[失]われる。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]が#bem-ruby("せきぶんきごう")[積分記号]の#bem-ruby("なか")[中]に#bem-ruby("はい")[入]っていたら、#bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]である。 - #bem-ruby("じょうたん")[上端]が #mitex("x", block: false) なら Volterra #bem-ruby("がた")[型]、#bem-ruby("こてい")[固定]された #mitex("b", block: false) なら Fredholm #bem-ruby("がた")[型]を#bem-ruby("うたが")[疑]う。 - #bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]が#bem-ruby("せきぶんこう")[積分項]だけにあれば#bem-ruby("だい")[第] 1 #bem-ruby("しゅ")[種]、#mitex("y=g+\\lambda Ty", block: false) なら#bem-ruby("だい")[第] 2 #bem-ruby("しゅ")[種]である。 - #bem-ruby("しょきちもんだい")[初期値問題]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]した#bem-ruby("かたち")[形]が#bem-ruby("あらわ")[現]れたら、#bem-ruby("かてい")[仮定]を#bem-ruby("かくにん")[確認]して#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]との#bem-ruby("たいおう")[対応]を#bem-ruby("かんが")[考]える。 - #bem-ruby("かく")[核] #mitex("K(x,t)", block: false) が#bem-ruby("で")[出]たら、「どの#bem-ruby("てん")[点]からどの#bem-ruby("てん")[点]へ#bem-ruby("えいきょう")[影響]が#bem-ruby("つた")[伝]わるか」を#bem-ruby("あらわ")[表]していると#bem-ruby("よ")[読]む。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか ここでは #mitex("C([a,b])", block: false) と#bem-ruby("れんぞくかく")[連続核]に#bem-ruby("はんい")[範囲]を#bem-ruby("げんてい")[限定]した。Fredholm #bem-ruby("だい")[第] 2 #bem-ruby("しゅ")[種]の #mitex("|\\lambda|\\|T\\|<1", block: false) は Neumann #bem-ruby("きゅうすう")[級数]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する#bem-ruby("じゅうぶんじょうけん")[十分条件]であり、この#bem-ruby("じょうけん")[条件]を#bem-ruby("はず")[外]しても#bem-ruby("かい")[解]が#bem-ruby("そんざい")[存在]する#bem-ruby("ばあい")[場合]はある。#bem-ruby("だい")[第] 1 #bem-ruby("しゅ")[種]の#bem-ruby("あんていせい")[安定性]、コンパクト#bem-ruby("さようそ")[作用素]に#bem-ruby("たい")[対]する Fredholm の#bem-ruby("こうたいていり")[交代定理]、#bem-ruby("せいそくか")[正則化]、#bem-ruby("すうちかいほう")[数値解法]にはさらに#bem-ruby("かいせきがく")[解析学]の#bem-ruby("どうぐ")[道具]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{y'=F(x,y),\\ y(a)=y_0\n\\Longleftrightarrow\ny(x)=y_0+\\int_a^xF(s,y(s))\\,ds}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{(I-\\lambda T)y=g,\n\\qquad\n(Ty)(x)=\\int_a^bK(x,t)y(t)\\,dt}")] この#bem-ruby("どうち")[同値]は #mitex("F", block: false) の#bem-ruby("れんぞくせい")[連続性]と、#bem-ruby("さへん")[左辺]では #mitex("y\\in C^1", block: false)、#bem-ruby("うへん")[右辺]では #mitex("y\\in C", block: false) という#bem-ruby("じょうけん")[条件]の#bem-ruby("もと")[下]で#bem-ruby("もち")[用]いる。また #mitex("g\\in C([a,b])", block: false)、#mitex("K\\in C([a,b]^2)", block: false) かつ #mitex("|\\lambda|\\|T\\|<1", block: false) なら#bem-ruby("だい")[第] 2 #bem-ruby("しゅ")[種] Fredholm #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は#bem-ruby("いちいかい")[一意解] #mitex("y=\\sum_{n\\ge0}(\\lambda T)^ng", block: false) を#bem-ruby("も")[持]つ。 == #bem-ruby("ひとこと")[一言]でいうと - #bem-ruby("せきぶんほうていしき")[積分方程式]は、#bem-ruby("みちかんすう")[未知関数]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]で#bem-ruby("かさ")[重]ね#bem-ruby("あ")[合]わせて#bem-ruby("き")[決]める#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/analysis-portal.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[fundamental-theorem-of]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-differential]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[片側ラプラス変換]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/introduction-to-linear-operators.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[operators.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-linear]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/introduction-to-linear-operators.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/solvability-and-uniqueness-of-linear-operator-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[solvability-and-uniqueness-of-linear-operator]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/solvability-and-uniqueness-of-linear-operator-equations.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operators-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operators]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operators-portal.lecture/] ]] ]