写像しゃぞうmapの像ぞうimageと逆像ぎゃくぞうpreimage

Images像ぞう and preimages逆像ぎゃくぞう of a map写像しゃぞう

写像しゃぞうmapは元げんelementを送おくる規則きそくである。しかし集合論しゅうごうろんでは、1 個この元げんelementだけでなく、部分集合ぶぶんしゅうごうsubset全体ぜんたいがどう移うつるかを見みることが多おおい。そのために使つかうのが像ぞうimageと逆像ぎゃくぞうpreimageである。

A map写像しゃぞう sends elements元げん by a rule. In set theory, however, we often study how whole subsets部分集合ぶぶんしゅうごう move, not only individual elements. The tools for this are the image像ぞう and the preimage逆像ぎゃくぞう.

1像ぞうimage

$$f:A\to B$$f:A\to B とし、$$S\subseteq A$$S\subseteq A とする。$$S$$S の像ぞうimageを

で定義ていぎする。これは $$S$$S の元げんelementを $$f$$f で送おくって得えられる集合しゅうごうsetである。

特とくに、$$f\left(A\right)$$f(A) は値域ちいきrangeである。終域しゅういきcodomain $$B$$B と値域ちいきrange $$f\left(A\right)$$f(A) は区別くべつする。

1Image像ぞう

Let $$f:A\to B$$f:A\to B and $$S\subseteq A$$S\subseteq A. The image像ぞう of $$S$$S is defined by

This is the set集合しゅうごう obtained by applying $$f$$f to the elements元げん of $$S$$S.

In particular, $$f\left(A\right)$$f(A) is the range値域ちいき. Distinguish the codomain終域しゅういき $$B$$B from the range $$f\left(A\right)$$f(A).

2逆像ぎゃくぞうpreimage

$$T\subseteq B$$T\subseteq B とする。$$T$$T の逆像ぎゃくぞうpreimageを

で定義ていぎする。

ここで $$f^{-1}\left(T\right)$$f^{-1}(T) という記号きごうを使つかうが、逆写像ぎゃくしゃぞうinverse mapが存在そんざいする必要ひつようはない。逆像ぎゃくぞうpreimageは「$$T$$T に入はいる出力しゅつりょくを持もつ入力にゅうりょく全体ぜんたい」であり、逆写像ぎゃくしゃぞうinverse mapとは別べつの概念がいねんである。

2Preimage逆像ぎゃくぞう

Let $$T\subseteq B$$T\subseteq B. The preimage逆像ぎゃくぞう of $$T$$T is defined by

Although the notation $$f^{-1}\left(T\right)$$f^{-1}(T) is used, no inverse map逆写像ぎゃくしゃぞう has to exist. A preimage means “all inputs入力にゅうりょく whose outputs出力しゅつりょく lie in $$T$$T,” so it is a different concept from an inverse map.

3逆像ぎゃくぞうpreimageは集合演算しゅうごうえんざんset operationsと相性あいしょうがよい

逆像ぎゃくぞうpreimageは、和集合わしゅうごうunion、共通部分きょうつうぶぶんintersection、補集合ほしゅうごうcomplementを保たもつ。

理由りゆうは、どれも $$f\left(x\right)$$f(x) が右みぎ側がわの集合しゅうごうに属ぞくするかどうかだけで判定はんていできるからである。

3Preimages逆像ぎゃくぞう work well with set operations集合演算しゅうごうえんざん

Preimages逆像ぎゃくぞう preserve unions和集合わしゅうごう, intersections共通部分きょうつうぶぶん, and complements補集合ほしゅうごう.

The reason is that each statement is decided only by whether $$f\left(x\right)$$f(x) belongs to the relevant output-side set.

4像ぞうimageでは共通部分きょうつうぶぶんintersectionに注意ちゅういする

像ぞうimageは和集合わしゅうごうunionについてはよく振ふる舞まう。

実際じっさい、$$y\in f(S_1\cup S_2)$$y\in f(S_1\cup S_2) であることは、ある $$x\in S_1\cup S_2$$x\in S_1\cup S_2 によって $$y=f\left(x\right)$$y=f(x) と書かけることと同値どうちである。この $$x$$x は $$S_1$$S_1 または $$S_2$$S_2 に属ぞくするので、これは $$y\in f\left(S_1\right)\cup f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cup f(S_2) と同値どうちである。

一方いっぽう、共通部分きょうつうぶぶんintersectionについては一般いっぱんに

までしか言いえない。等号とうごうがいつも成立せいりつするわけではない。

4Be careful with intersections共通部分きょうつうぶぶん of images像ぞう

Images像ぞう behave well with unions和集合わしゅうごう:

Indeed, $$y\in f(S_1\cup S_2)$$y\in f(S_1\cup S_2) means that $$y=f\left(x\right)$$y=f(x) for some $$x\in S_1\cup S_2$$x\in S_1\cup S_2. Such an $$x$$x lies in $$S_1$$S_1 or $$S_2$$S_2, which is equivalent to $$y\in f\left(S_1\right)\cup f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cup f(S_2).

However, for intersections共通部分きょうつうぶぶん, generally only

can be guaranteed. Equality does not always hold.

5反例はんれい：像ぞうimageは共通部分きょうつうぶぶんintersectionを保存ほぞんしない

具体例ぐたいれいとして、$$A=\{1,2\}$$A=\{1,2\}、$$B=\left\{0\right\}$$B=\{0\}、$$f\left(1\right)=0$$f(1)=0、$$f\left(2\right)=0$$f(2)=0 とする。$$S_1=\left\{1\right\}$$S_1=\{1\}、$$S_2=\left\{2\right\}$$S_2=\{2\} とすると、

なので $$f(S_1\cap S_2)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$f(S_1\cap S_2)=\varnothing である。しかし

である。これは $$f$$f が単射たんしゃinjectionでなく、異ことなる入力にゅうりょくが同おなじ出力しゅつりょくへ潰つぶれているためである。

5Counterexample: images像ぞう do not preserve intersections共通部分きょうつうぶぶん

For a concrete example, let $$A=\{1,2\}$$A=\{1,2\}, $$B=\left\{0\right\}$$B=\{0\}, with $$f\left(1\right)=0$$f(1)=0 and $$f\left(2\right)=0$$f(2)=0. Let $$S_1=\left\{1\right\}$$S_1=\{1\} and $$S_2=\left\{2\right\}$$S_2=\{2\}. Then

so $$f(S_1\cap S_2)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$f(S_1\cap S_2)=\varnothing. But

This happens because $$f$$f is not an injection単射たんしゃ: different inputs入力にゅうりょく collapse to the same output出力しゅつりょく.

6命題めいだい：像ぞうimageと共通部分きょうつうぶぶんintersectionの等号とうごう

写像しゃぞうmap $$f:A\to B$$f:A\to B と $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A に対たいして、つねに

が成立せいりつする。さらに $$f$$f が単射たんしゃinjectionなら、すべての $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A について

が成立せいりつする。逆ぎゃくに、この等号とうごうがすべての $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A で成立せいりつするなら、$$f$$f は単射たんしゃinjectionである。

包含ほうがんを示しめすため、$$y\in f(S_1\cap S_2)$$y\in f(S_1\cap S_2) とする。ある $$x\in S_1\cap S_2$$x\in S_1\cap S_2 が存在そんざいして $$y=f\left(x\right)$$y=f(x) なので、$$y\in f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cap f(S_2) である。

$$f$$f が単射たんしゃinjectionで、$$y\in f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cap f(S_2) とする。ある $$x_1\in S_1$$x_1\in S_1 と $$x_2\in S_2$$x_2\in S_2 が存在そんざいして $$f\left(x_1\right)=y=f\left(x_2\right)$$f(x_1)=y=f(x_2) である。単射性たんしゃせいinjectivityより $$x_1=x_2$$x_1=x_2 だから、この元げんは $$S_1\cap S_2$$S_1\cap S_2 に属ぞくし、$$y\in f(S_1\cap S_2)$$y\in f(S_1\cap S_2) となる。

最後さいごに、すべての部分集合ぶぶんしゅうごうで等号とうごうが成立せいりつするとする。$$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$$f(x_1)=f(x_2) なら、$$S_1=\left\{x_1\right\}$$S_1=\{x_1\}、$$S_2=\left\{x_2\right\}$$S_2=\{x_2\} と置おく。$$f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$f(S_1)\cap f(S_2) は空からでないため、仮定かていから $$f(S_1\cap S_2)$$f(S_1\cap S_2) も空からでない。したがって $$S_1\cap S_2$$S_1\cap S_2 は空からでなく、$$x_1=x_2$$x_1=x_2 である。よって $$f$$f は単射たんしゃinjectionである。

6Proposition: equality for images像ぞう of intersections共通部分きょうつうぶぶん

For a map写像しゃぞう $$f:A\to B$$f:A\to B and $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A, one always has

Moreover, if $$f$$f is an injection単射たんしゃ, then for all $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A,

Conversely, if this equality holds for all $$S_1,S_2\subseteq A$$S_1,S_2\subseteq A, then $$f$$f is injective.

For the inclusion, let $$y\in f(S_1\cap S_2)$$y\in f(S_1\cap S_2). There is some $$x\in S_1\cap S_2$$x\in S_1\cap S_2 with $$y=f\left(x\right)$$y=f(x), so $$y\in f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cap f(S_2).

Now suppose $$f$$f is injective and $$y\in f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$y\in f(S_1)\cap f(S_2). There are $$x_1\in S_1$$x_1\in S_1 and $$x_2\in S_2$$x_2\in S_2 such that $$f\left(x_1\right)=y=f\left(x_2\right)$$f(x_1)=y=f(x_2). Injectivity単射性たんしゃせい gives $$x_1=x_2$$x_1=x_2, so this element lies in $$S_1\cap S_2$$S_1\cap S_2 and $$y\in f(S_1\cap S_2)$$y\in f(S_1\cap S_2).

Finally, suppose the equality holds for all subsets. If $$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$$f(x_1)=f(x_2), set $$S_1=\left\{x_1\right\}$$S_1=\{x_1\} and $$S_2=\left\{x_2\right\}$$S_2=\{x_2\}. The set $$f\left(S_1\right)\cap f\left(S_2\right)$$f(S_1)\cap f(S_2) is nonempty, so the assumed equality makes $$f(S_1\cap S_2)$$f(S_1\cap S_2) nonempty. Hence $$S_1\cap S_2$$S_1\cap S_2 is nonempty, which gives $$x_1=x_2$$x_1=x_2. Thus $$f$$f is injective.

7何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

像ぞうimageは、入力にゅうりょく側がわの部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetを出力しゅつりょく側がわへ運はこぶ。写像しゃぞうmapが単射たんしゃinjectionでない場合ばあい、異ことなる元げんelementが同おなじ元げんelementへ潰つぶれるため、集合しゅうごうの大おおきさや共通部分きょうつうぶぶんの構造こうぞうが変かわりうる。

逆像ぎゃくぞうpreimageは、出力しゅつりょく側がわの条件じょうけんを入力にゅうりょく側がわの条件じょうけんへ引ひき戻もどす。論理式ろんりしきの真偽しんぎをそのまま入力にゅうりょく側がわで判定はんていするため、集合演算しゅうごうえんざんとの相性あいしょうがよい。

像ぞうimageは和集合わしゅうごうとは相性あいしょうがよいが、共通部分きょうつうぶぶんを常つねに保存ほぞんするとは限かぎらない。これに対たいして逆像ぎゃくぞうpreimageは和集合わしゅうごう・共通部分きょうつうぶぶん・補集合ほしゅうごうを論理条件ろんりじょうけんとして引ひき戻もどすため、保存性ほぞんせいが強つよい。

7What changes and what is preserved

An image像ぞう carries an input-side subset部分集合ぶぶんしゅうごう to the output side. If a map写像しゃぞう is not an injection単射たんしゃ, different elements元げん may collapse to the same element, so the size of a set and the structure of intersections may change.

A preimage逆像ぎゃくぞう pulls an output-side condition back to an input-side condition. Because the truth of the condition is checked directly through $$f\left(x\right)$$f(x), preimages interact well with set operations集合演算しゅうごうえんざん.

Images interact well with unions和集合わしゅうごう, but they do not always preserve intersections共通部分きょうつうぶぶん. Preimages, by contrast, pull back unions, intersections, and complements as logical conditions, so they have stronger preservation properties.

8証明しょうめい補足ほそく：逆像ぎゃくぞうpreimageが集合演算しゅうごうえんざんset operationsを保たもつ理由りゆう

$$f:X\to Y$$f:X\to Y、$$B_1,B_2\subseteq Y$$B_1,B_2\subseteq Y、$$T\subseteq Y$$T\subseteq Y とする。和集合わしゅうごうunionについて、

を示しめすには、所属条件しょぞくじょうけんを言いい換かえる。

共通部分きょうつうぶぶんintersectionについても、論理語ろんりごlogical word or を and に置おき換かえて

を得える。補集合ほしゅうごうcomplementでは、どの全体集合ぜんたいしゅうごうに対たいする補集合ほしゅうごうかを明示めいじすると、

となる。よって逆像ぎゃくぞうpreimageは和集合わしゅうごうunion・共通部分きょうつうぶぶんintersection・補集合ほしゅうごうcomplementを、単射性たんしゃせいinjectivityや全射性ぜんしゃせいsurjectivityを仮定かていせずに保存ほぞんする。

8Proof supplement: why preimages逆像ぎゃくぞう preserve set operations集合演算しゅうごうえんざん

Let $$f:X\to Y$$f:X\to Y, $$B_1,B_2\subseteq Y$$B_1,B_2\subseteq Y, and $$T\subseteq Y$$T\subseteq Y. For the union identity, rewrite

by rewriting the membership condition:

For the intersection共通部分きょうつうぶぶん identity, replace the logical word “or” by “and” to obtain

For complements補集合ほしゅうごう, explicitly track the ambient sets:

Thus preimages preserve unions, intersections, and complements without assuming injectivity単射性たんしゃせい or surjectivity全射性ぜんしゃせい.

9次つぎの講義こうぎlecture・演習えんしゅうリンクとまとめ

像ぞうimageは集合しゅうごうを前まえへ送おくる操作そうさであり、逆像ぎゃくぞうpreimageは条件じょうけんを後うしろへ引ひき戻もどす操作そうさである。逆像ぎゃくぞうpreimageは逆写像ぎゃくしゃぞうinverse mapがなくても定義ていぎできる点てんを必かならず区別くべつする。

9Next lecture講義こうぎ, exercise link, and summary

An image像ぞう pushes a set forward, while a preimage逆像ぎゃくぞう pulls a condition backward. Always distinguish a preimage from an inverse map逆写像ぎゃくしゃぞう; a preimage is defined even when no inverse map exists.