1導入
集合を学ぶときに最初に固定すべき問いは、「何を同じ対象の集まりとして扱い、何を別の集まりとして扱うか」である。集合は単なる袋ではない。条件を満たす対象を集め、含まれるかどうかで議論するための言語である。
この講義では、元、所属、空集合、部分集合、外延性を整理する。ここを曖昧にすると、後の関係、写像、べき集合で「元なのか、部分集合なのか」が混乱する。
集合では順序や重複ではなく、所属するかどうかだけが意味を持つ。したがって、同じ元を持つなら、書き方や並び順が違っても同じ集合である。
1Introduction
The first question to fix when studying sets is this: what are we treating as one collection, and what are we treating as a different collection? A set is not merely a bag. It is a language for collecting objects that satisfy a condition and then reasoning by whether each object is included.
This lecture organizes elements, membership, the empty set, subsets, and extensionality. If this point is vague, later topics such as relations, maps, and power sets become confusing because one loses track of whether something is an element or a subset.
For a set, only membership matters, not order or repetition. Thus two sets with the same elements are equal even if their elements are written in a different order or repeated in the notation.
2用語と定義
集合とは、対象を集めたものである。集合 A に対象 x が含まれることを
x\in A
と書き、x を A の元という。x\notin A は、x が A の元ではないことを表す。
空集合 \varnothing は、元を 1 つも持たない集合である。空集合は「存在しない集合」ではなく、存在する集合でありながら元を 1 つも含まない。
部分集合は、包含を表す。A\subseteq B とは、すべての x について
x\in A \Longrightarrow x\in B
が成立することである。ここで A\subseteq B は A=B を許す。A\subsetneq B は A\subseteq B かつ A\ne B を表す。
2Terms and definitions
A set is a collection of objects. We write
x\in A
when an object x is contained in a set A, and we call x an element of A. The notation x\notin A means that x is not an element of A.
The empty set \varnothing is the set with no elements. It is not a nonexistent set; it is an existing set that contains no elements.
A subset expresses inclusion. The statement A\subseteq B means that, for every x,
x\in A \Longrightarrow x\in B
holds. Here A\subseteq B allows A=B. The notation A\subsetneq B means A\subseteq B and A\ne B.
3方針
集合を扱うときは、図や直感だけで判断しない。まず「任意の元 x を取る」と考え、x\in A という条件を別の条件へ変形する。
この方針は単純だが、強力である。集合の等式 A=B を示すには、
A\subseteq B
\quad\text{and}\quad
B\subseteq A
を示せばよい。これは、両方の集合が同じ元を持つことを確認する方法である。
包含 A\subseteq B を示すときは、任意の x を取り、x\in A と仮定して x\in B を導く。具体例をいくつか調べることは予想には役立つが、証明には全ての元を扱う論理が必要である。
3Method
When working with sets, do not decide only from a picture or intuition. First take an arbitrary element x and transform the condition x\in A into another membership condition.
This method is simple but powerful. To prove a set equality A=B, it is enough to prove
A\subseteq B
\quad\text{and}\quad
B\subseteq A.
This checks that the two sets have exactly the same elements from both directions.
To prove an inclusion A\subseteq B, take an arbitrary x, assume x\in A, and derive x\in B. Checking a few examples can suggest a conjecture, but a proof must use logic that covers every element.
4直感的な説明
集合は、名札の付いた対象の集まりとして考えるとよい。x\in A は「x に A の名札が付いている」という主張である。A\subseteq B は「A の名札が付いているものには、必ず B の名札も付いている」という主張である。
この見方では、空集合は何も入っていない箱である。したがって、空集合は任意の集合 A の部分集合である。なぜなら、x\in\varnothing となる x が存在しないため、「x\in\varnothing なら x\in A」という条件文に反例が存在しないからである。
4Intuitive explanation
It is useful to imagine a set as a collection of objects carrying a label. The statement x\in A says that x has the label A. The statement A\subseteq B says that every object with label A also has label B.
From this point of view, the empty set is an empty box. Therefore it is a subset of every set A. There is no x with x\in\varnothing, so the conditional statement "if x\in\varnothing, then x\in A" has no counterexample.
5厳密な説明
集合の同一性は、外延性で決まる。外延性とは、すべての x について
x\in A \Longleftrightarrow x\in B
が成立するなら A=B と判断する、という原理である。つまり、集合は作り方ではなく、含まれる元によって決まる。
たとえば
A=\{1,2,3\},
\qquad
B=\{3,2,1,1\}
と書いても、A=B である。集合では順序と重複は記録されない。ここで順序を記録したいなら順序対や列を用いる。重複を記録したいなら多重集合を用いる。
外延性により、2 つの集合が同じ元を持つなら同じ集合である。名前や記法ではなく、所属条件を比較することが厳密な判断になる。
5Rigorous explanation
The identity of a set is determined by extensionality. Extensionality is the principle that if
x\in A \Longleftrightarrow x\in B
holds for every x, then A=B. In other words, a set is determined by its elements, not by the way it was written.
For example,
A=\{1,2,3\},
\qquad
B=\{3,2,1,1\}
still gives A=B. In a set, order and repetition are not recorded. If order must be recorded, use an ordered pair or a sequence. If repetition must be recorded, use a multiset.
By extensionality, two sets with the same elements are the same set. A rigorous comparison therefore uses membership conditions, not names or notation.
6.1問題
A=\{2,4,6\}、B=\{n\in\mathbb Z\mid n\text{ は偶数で }1\le n\le 6\} とする。A=B を示せ。
6.1Problem
Let A=\{2,4,6\} and B=\{n\in\mathbb Z\mid n\text{ is even and }1\le n\le 6\}. Prove A=B.
6.2解説
集合の等式は、両側の包含で示す。
まず x\in A とする。このとき x は 2,4,6 のいずれかである。いずれも整数であり、偶数であり、1\le x\le6 を満たす。したがって x\in B である。よって A\subseteq B である。
逆に x\in B とする。このとき x は 1\le x\le6 を満たす偶数である。したがって x は 2,4,6 のいずれかであり、x\in A である。よって B\subseteq A である。
両方の包含が成立するので A=B である。この例で確認しているのは、集合は表示の仕方ではなく、元の一致で比較するという点である。
6.2Explanation
A set equality is proved by proving inclusion in both directions.
First take x\in A. Then x is one of 2,4,6. Each of these is an integer, is an even number, and satisfies 1\le x\le 6. Hence x\in B, so A\subseteq B.
Conversely, take x\in B. Then x is an even integer satisfying 1\le x\le 6. Therefore x is one of 2,4,6, so x\in A. Hence B\subseteq A.
Both inclusions hold, so A=B. This example checks the central point of this page: sets are compared by equality of elements, not by the surface form of their descriptions.