wedge 積せきと外冪がいべき

date2026-07-14document_iddoc_652547ae31292b01506845c062b2a714descriptionwedge 積と外冪を、反対称な面積要素・体積要素を生成する代数操作として導入する。prerequisites多重線形写像と交代写像type講義content_typelecturestatusactive

mathexterior-algebrawedge-productlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、wedge 積せきを記号きごうの装飾そうしょくではなく、反対称はんたいしょうな面積要素めんせきようそや体積要素たいせきようそを構成こうせいする積せきとして確認かくにんする。

2用語ようごと定義ていぎ

wedge 積せきWedge product は、共きょうベクトルや形式けいしきを組くみ合あわせ、交代性こうたいせいを持もつ高次こうじの形式けいしきを作つくる演算えんざんである。

外冪がいべきExterior power $Λ^{k} V^{*}$ は、 $k$ 個このベクトルを入力にゅうりょくとして数かずを返かえす交代多重線形形式こうたいたじゅうせんけいけいしきの空間くうかんである。

3基本性質きほんせいしつ

共きょうベクトル $α, β$ に対たいして

α \land β = - β \land α

である。したがって $α \land α = 0$ である。この反対称性はんたいしょうせいが、同おなじ方向ほうこうを二回にかい数かぞえないことに対応たいおうする。

4代数法則だいすうほうそく

wedge 積せきは双線形そうせんけいである。したがって

(α + β) \land γ = α \land γ + β \land γ

が成立せいりつする。また結合的けつごうてきであり、 $(α \land β) \land γ = α \land (β \land γ)$ と扱あつかえる。反交換性はんこうかんせいにより、1 形式けいしきどうしでは順序じゅんじょの交換こうかんで符号ふごうが反転はんてんする。

例れいとして、

(d x + d y) \land d z = d x \land d z + d y \land d z

である。また

d y \land d x = - d x \land d y, d x \land d x = 0

である。同おなじ方向ほうこうを二回にかい入いれると面積めんせきが潰つぶれるため、0 になる。

5具体例ぐたいれい

$d x \land d y$ は平面へいめんの向むき付づき面積要素めんせきようそとして働はたらく。ベクトル $u = (u_{1}, u_{2}), v = (v_{1}, v_{2})$ に対たいし、

(d x \land d y) (u, v) = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}

である。

6外冪がいべきの基底きてい

$V^{*}$ の基底きていを $d x, d y, d z$ とする。このとき $Λ^{2} V^{*}$ の基底きていは

d x \land d y, d x \land d z, d y \land d z

である。 $Λ^{3} V^{*}$ の基底きていは $d x \land d y \land d z$ である。これは向むき付づき体積要素たいせきようそに対応たいおうする。

一般いっぱんに、 $n$ 次元じげんで $Λ^{k} V^{*}$ の基底きていは、 $i_{1} < \dots < i_{k}$ を満みたす

d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

で与あたえられる。個数こすうは二項係数にこうけいすう $(\binom{n}{k})$ である。これは「 $k$ 方向ほうこうを重複ちょうふくなく選択せんたくする」ことに対応たいおうする。

7幾何的きかがくてきな対応たいおう

2 次元じげんでは $d x \land d y$ が面積めんせきを測はかる。3 次元じげんでは $d x \land d y \land d z$ が体積たいせきを測はかる。cross product は 3 次元じげんで特殊とくしゅにベクトルを返かえす演算えんざんであるのに対たいし、wedge 積せきは任意次元にんいじげんで形式けいしきを返かえす。

8反例はんれい: cross product との混同こんどう

$u \times v$ は 3 次元じげんのベクトルであり、方向ほうこうを持もつ。一方いっぽう、 $α \land β$ は 2 形式けいしきであり、二本にほんのベクトルを入力にゅうりょくして数かずを返かえす。内積ないせきと Hodge star を選択せんたくすると 3 次元じげんでは対応たいおうを作つくれるが、それは追加構造ついかこうぞうを使用しようした後あとの対応たいおうである。

9具体計算ぐたいけいさん

$α = 2 d x + d y$ 、 $β = d x + 3 d y$ とする。このとき

α \land β = (2 d x + d y) \land (d x + 3 d y) = 6 d x \land d y - d x \land d y = 5 d x \land d y

である。係数けいすう 5 は、共きょうベクトルの係数行列けいすうぎょうれつの行列式ぎょうれつしきに一致いっちする。

10どこまで成立せいりつするか

wedge 積せきは外積がいせきという日本語にほんごで呼よばれることがあるが、3 次元じげんの cross product とは別べつの演算えんざんである。cross product は内積ないせきや向むき付づけと結合けつごうして 3 次元じげんで特殊とくしゅに成立せいりつする。