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#set document(title: "数列ポータル")

#align(center + horizon)[
#block(width: 82%)[
#text(size: 24pt, weight: 700)[数列ポータル]

#text(size: 8pt, fill: luma(120))[9 pages]
]
]

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#block(above: 0pt, below: 0.55em)[#text(size: 14pt, weight: 700)[Table of Contents]]
#outline(title: none, depth: 3)

#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture.n.md#h(0.7em)md 3549c60]]


= #bem-ruby("すうれつ")[数列]ポータル


== #bem-ruby("がくしゅうけいろ")[学習経路]


#bem-ruby("ほん")[本]ポータルは、#bem-ruby("けいれつない")[系列内]の#bem-ruby("いぞんがいねん")[依存概念]を#bem-ruby("じゅん")[順]に#bem-ruby("どうにゅう")[導入]する。#bem-ruby("けいれつがい")[系列外]の#bem-ruby("ぜんていちしき")[前提知識]は、#bem-ruby("かくこうぎ")[各講義]の #raw("prerequisites") で#bem-ruby("かくにん")[確認]する。8 #bem-ruby("こうぎ")[講義]のカードは #raw("_order.json") と#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("すいしょうじゅんじょ")[推奨順序]に#bem-ruby("はいち")[配置]し、#bem-ruby("えんしゅう")[演習]カードは#bem-ruby("べつわく")[別枠]として#bem-ruby("まつび")[末尾]に#bem-ruby("はいち")[配置]する。


== 1. #bem-ruby("ぜんたいぞう")[全体像]と#bem-ruby("きそ")[基礎]


まず、#bem-ruby("そえじ")[添字]、#bem-ruby("めいじしき")[明示式]、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]、#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]による#bem-ruby("いちいけってい")[一意決定]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。#bem-ruby("つぎ")[次]に、#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]と#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]を#bem-ruby("りんせつこう")[隣接項]の#bem-ruby("かんけい")[関係]として#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]と#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]を#bem-ruby("しゅうとく")[習得]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


== 2. #bem-ruby("さようそ")[作用素]と#bem-ruby("るいけい")[類型]


シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]と#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]により、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("さようそほうていしき")[作用素方程式]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]する。その#bem-ruby("ご")[後]、#bem-ruby("かいすう")[階数]と#bem-ruby("せんけいせい")[線型性]に#bem-ruby("もと")[基]づいて#bem-ruby("るいけい")[類型]を#bem-ruby("しきべつ")[識別]し、#bem-ruby("さぶん")[差分]、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]、#bem-ruby("とくせいたこうしき")[特性多項式]、#bem-ruby("じょうたい")[状態]ベクトルの#bem-ruby("せんたくきじゅん")[選択基準]を#bem-ruby("せいり")[整理]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


== 3. #bem-ruby("こべつかいほう")[個別解法]


#bem-ruby("いっかい")[一階]の#bem-ruby("せんけいぜんかしき")[線型漸化式]を#bem-ruby("あつか")[扱]うリンク#bem-ruby("さき")[先]の「#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]」では、#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) を #mitex("p=1", block: false) と #mitex("p\\ne1", block: false) に#bem-ruby("ぶんり")[分離]し、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]による#bem-ruby("どうじか")[同次化]を#bem-ruby("しょうめい")[証明]する。#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]では、#mitex("\\Delta=E-I", block: false) による#bem-ruby("ていしきか")[定式化]を#bem-ruby("はってん")[発展]させ、#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]との#bem-ruby("たいおう")[対応]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


== 4. #bem-ruby("きょくげん")[極限]と#bem-ruby("きゅうすう")[級数]


#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を #mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("N", block: false) #bem-ruby("ろんぽう")[論法]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、#bem-ruby("はっさん")[発散]、#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]、#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]、はさみうちによる#bem-ruby("はんてい")[判定]を#bem-ruby("がくしゅう")[学習]する。その#bem-ruby("ていぎ")[定義]を#bem-ruby("ぶぶんわれつ")[部分和列]へ#bem-ruby("てきよう")[適用]し、#bem-ruby("むげんきゅうすう")[無限級数]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]、#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]、#bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]を#bem-ruby("こうさつ")[考察]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列の極限]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[級数の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/]
]]
]


== 5. #bem-ruby("えんしゅう")[演習]


#bem-ruby("るいけいはんてい")[類型判定]と#bem-ruby("かいほうせんたく")[解法選択]を#bem-ruby("ていちゃく")[定着]させる#bem-ruby("えんしゅう")[演習]である。#bem-ruby("さようそ")[作用素]と#bem-ruby("るいけい")[類型]の#bem-ruby("だんかい")[段階]を#bem-ruby("かんりょう")[完了]した#bem-ruby("あと")[後]に#bem-ruby("ちゃくしゅ")[着手]でき、#bem-ruby("きょくげん")[極限]と#bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]は#bem-ruby("ぜんてい")[前提]としない。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.exercise]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[recurrence-types-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exercise]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture.n.md#h(0.7em)md 8a76edc]]


= #bem-ruby("すうれつ")[数列]と#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


#bem-ruby("すうれつ")[数列]は、#bem-ruby("しぜんすう")[自然数]の#bem-ruby("そえじ")[添字]に#bem-ruby("したが")[従]って#bem-ruby("かくこう")[各項]を#bem-ruby("してい")[指定]したものである。#bem-ruby("ぜんこう")[全項]を#bem-ruby("そえじ")[添字]から#bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]する#bem-anno("explicit formula")[#bem-ruby("めいじしき")[明示式]]と、#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("こう")[項]から#bem-ruby("こうぞくこう")[後続項]を#bem-ruby("さだ")[定]める#bem-anno("recurrence relation")[#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]]は、#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("すうれつ")[数列]を#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する#bem-ruby("ふた")[二]つの#bem-ruby("きほんほうしき")[基本方式]である。#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では#bem-ruby("りょうしゃ")[両者]の#bem-ruby("いみ")[意味]、#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]の#bem-ruby("やくわり")[役割]、#bem-ruby("だいひょうれい")[代表例]を#bem-ruby("せいり")[整理]し、#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]の#bem-ruby("かいほう")[解法]へ#bem-ruby("せつぞく")[接続]する。


== #bem-ruby("すうれつ")[数列]と#bem-ruby("そえじ")[添字]


#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列] #mitex("(a_n)_{n\\geq1}", block: false) とは、#bem-ruby("かくせいすう")[各整数] #mitex("n\\geq1", block: false) に#bem-ruby("じっすう")[実数] #mitex("a_n", block: false) を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数]である。#mitex("a_n", block: false) を#bem-ruby("だい")[第] #mitex("n", block: false) #bem-ruby("こう")[項]、#mitex("a_1", block: false) を#bem-ruby("しょこう")[初項]という。#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では、#bem-ruby("とっき")[特記]しない#bem-ruby("かぎ")[限]り#bem-ruby("そえじ")[添字]を #mitex("n=1,2,3,\\ldots", block: false) から#bem-ruby("かいし")[開始]する。したがって、#mitex("a_{n+1}=F(n,a_n)", block: false) という#bem-ruby("こうしんけい")[更新形]の#bem-ruby("しき")[式]を「すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について」#bem-ruby("か")[課]すと、#mitex("F", block: false) が#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("はんい")[範囲]で #mitex("a_2,a_3,\\ldots", block: false) を#bem-ruby("じゅんじ")[順次]#bem-ruby("きてい")[規定]する。


#bem-ruby("かいしそえじ")[開始添字]を #mitex("0", block: false) とする#bem-ruby("きやく")[規約]も#bem-ruby("かのう")[可能]であるが、その#bem-ruby("ばあい")[場合]は#bem-ruby("しょこう")[初項]が #mitex("a_0", block: false) となり、#bem-ruby("たと")[例]えば #mitex("a_1r^{n-1}", block: false) に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("しき")[式]は #mitex("a_0r^n", block: false) となる。#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("きやく")[規約]を#bem-ruby("こんよう")[混用]してはならない。


== #bem-ruby("めいじしき")[明示式]と#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


#bem-ruby("めいじしき")[明示式]は、#bem-ruby("たと")[例]えば


#align(center)[#mitex("a_n=2n+1\\qquad(n\\geq1)")]


のように、#mitex("n", block: false) から #mitex("a_n", block: false) を#bem-ruby("ちょくせつ")[直接]#bem-ruby("してい")[指定]する。これに#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]（#bem-ruby("さいきしき")[再帰式]）は


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=a_n+2\\qquad(n\\geq1),\\qquad a_1=3")]


のように、#bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("ま")[間]の#bem-ruby("かんけい")[関係]と#bem-ruby("かいしち")[開始値]を#bem-ruby("してい")[指定]する。この#bem-ruby("ふた")[二]つは#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("すうれつ")[数列] #mitex("3,5,7,\\ldots", block: false) を#bem-ruby("あらわ")[表]す。#bem-ruby("めいじしき")[明示式]は#bem-ruby("とくてい")[特定]の#bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("けいさん")[計算]に#bem-ruby("てき")[適]し、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は#bem-ruby("りんせつこう")[隣接項]の#bem-ruby("へんか")[変化]や#bem-ruby("せいせいかてい")[生成過程]の#bem-ruby("ひょうげん")[表現]に#bem-ruby("てき")[適]する。


== #bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]と#bem-ruby("いちけってい")[一意決定]


#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]だけでは#bem-ruby("すうれつ")[数列]が#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("さだ")[定]まらない#bem-ruby("ばあい")[場合]がある。#bem-ruby("たと")[例]えば


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=2a_n")]


は、#mitex("a_1=1", block: false) なら #mitex("1,2,4,\\ldots", block: false) を、#mitex("a_1=3", block: false) なら #mitex("3,6,12,\\ldots", block: false) を#bem-ruby("せいせい")[生成]する。#mitex("a_1", block: false) の#bem-ruby("してい")[指定]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。


より#bem-ruby("いっぱん")[一般]に、#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("F", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("いっかい")[一階]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=F(n,a_n)\\qquad(n\\geq1)")]


と#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件] #mitex("a_1=c\\in\\mathbb R", block: false) が#bem-ruby("あた")[与]えられ、#mitex("F:\\mathbb N_{\\geq1}\\times\\mathbb R\\to\\mathbb R", block: false) が#bem-ruby("かく")[各]#bem-ruby("にゅうりょく")[入力]に#bem-ruby("ひと")[一]つの#bem-ruby("じっすう")[実数]を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数]であれば、#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列]は#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("けってい")[決定]される。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("a_1", block: false) から #mitex("a_2=F(1,a_1)", block: false) が#bem-ruby("さだ")[定]まり、#bem-ruby("どうよう")[同様]に#bem-ruby("かくこう")[各項]から#bem-ruby("じこう")[次項]が#bem-ruby("さだ")[定]まるためである。


#mitex("a_{n+2}", block: false) を #mitex("a_{n+1},a_n", block: false) から#bem-ruby("さだ")[定]める#bem-ruby("にかい")[二階]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]では、#bem-ruby("つうじょう")[通常]は#bem-ruby("れんぞく")[連続]する#bem-ruby("ふた")[二]つの#bem-ruby("しょきち")[初期値]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]となる。#bem-ruby("たと")[例]えば


#align(center)[#mitex("a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\\qquad(n\\geq1),\\qquad a_1=1,\\quad a_2=1")]


は #mitex("1,1,2,3,5,\\ldots", block: false) を#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("せいせい")[生成]する。#bem-ruby("いっぱん")[一般]に、#mitex("G:\\mathbb N_{\\geq1}\\times\\mathbb R^k\\to\\mathbb R", block: false) による #mitex("k", block: false) #bem-ruby("かいぜんかしき")[階漸化式]


#align(center)[#mitex("a_{n+k}=G(n,a_n,a_{n+1},\\ldots,a_{n+k-1})\\qquad(n\\geq1)")]


では、#bem-ruby("さいこうそえじ")[最高添字]の#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("ちょくぜん")[直前]の #mitex("k", block: false) #bem-ruby("こう")[項]から#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("こうしん")[更新]されるため、#bem-ruby("れんぞく")[連続]する #mitex("k", block: false) #bem-ruby("こ")[個]の#bem-ruby("しょきち")[初期値] #mitex("a_1,\\ldots,a_k", block: false) を#bem-ruby("してい")[指定]すれば#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列]が#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("けってい")[決定]される。


== #bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]と#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]


#bem-ruby("いってい")[一定]の#bem-ruby("かほうてきへんか")[加法的変化]は#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]を#bem-ruby("あた")[与]える。#bem-ruby("こうさ")[公差] #mitex("d", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=a_n+d,\\qquad a_n=a_1+(n-1)d")]


である。#bem-ruby("いってい")[一定]の#bem-ruby("じょうほうてきへんか")[乗法的変化]は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]を#bem-ruby("あた")[与]える。#bem-ruby("こうひ")[公比] #mitex("r", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=ra_n,\\qquad a_n=a_1r^{n-1}")]


である。#bem-ruby("ぜんしゃ")[前者]では#bem-ruby("さ")[差] #mitex("a_{n+1}-a_n", block: false)、#bem-ruby("こうしゃ")[後者]では#bem-ruby("じょうすう")[乗数]を#bem-ruby("けんさ")[検査]する。#mitex("a_n=0", block: false) では#bem-ruby("ひ")[比] #mitex("a_{n+1}/a_n", block: false) が#bem-ruby("ていぎ")[定義]されないため、#bem-ruby("とうひ")[等比]#bem-ruby("せい")[性]は#bem-ruby("じょざん")[除算]せず #mitex("a_{n+1}=ra_n", block: false) によって#bem-ruby("はんてい")[判定]する。#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]と#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]の#bem-ruby("しょうめい")[証明]および#bem-ruby("れいがいしょり")[例外処理]は「#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]と#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]」で#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]の#bem-ruby("きほんれい")[基本例]


#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("p,q", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=pa_n+q")]


を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("p=1", block: false) なら #mitex("a_{n+1}=a_n+q", block: false) であり、#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]である。#mitex("p\\ne1", block: false) なら、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]


#align(center)[#mitex("\\alpha=\\frac{q}{1-p}")]


は #mitex("\\alpha=p\\alpha+q", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たす。すなわち、#mitex("\\alpha", block: false) は#bem-ruby("こうしんしゃぞう")[更新写像] #mitex("x\\mapsto px+q", block: false) の#bem-anno("fixed point")[#bem-ruby("こていてん")[固定点]]である。#mitex("b_n:=a_n-\\alpha", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=pb_n")]


となり、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]である。したがって


#align(center)[#mitex("a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)p^{n-1}")]


を#bem-ruby("え")[得]る。#bem-ruby("しょうさい")[詳細]な#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]、#mitex("p", block: false) の#bem-ruby("あたい")[値]による#bem-ruby("きょどう")[挙動]、#bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]は「#bem-ruby("いちじ")[一次]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]」で#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("かいほう")[解法]を#bem-ruby("せんたく")[選択]する#bem-ruby("かんてん")[観点]


- #bem-ruby("さ")[差]が#bem-ruby("いってい")[一定]なら#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]として#bem-ruby("あつか")[扱]う。

- #bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("じょうすう")[乗数]で#bem-ruby("こうしん")[更新]されるなら#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]として#bem-ruby("あつか")[扱]う。

- #mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) では、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]を#bem-ruby("げん")[減]じて#bem-ruby("とうひがた")[等比型]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する。

- #bem-ruby("ふくすう")[複数]の#bem-ruby("かここう")[過去項]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("かいすう")[階数]と#bem-ruby("けいすう")[係数]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]を#bem-ruby("かくにん")[確認]し、#bem-ruby("とくせいほうていしき")[特性方程式]#bem-ruby("など")[等]の#bem-ruby("てきようかのうせい")[適用可能性]を#bem-ruby("けんとう")[検討]する。

- #bem-ruby("そえじ")[添字]の#bem-ruby("いどう")[移動]や#bem-ruby("さぶん")[差分]を#bem-ruby("とういつてき")[統一的]に#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-ruby("ばあい")[場合]、シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]を#bem-ruby("しよう")[使用]する。


#bem-ruby("かくかた")[各型]の#bem-ruby("しきべつ")[識別]と#bem-ruby("かいほうせんたく")[解法選択]は「#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("かた")[型]と#bem-ruby("かいほう")[解法]」、シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素] #mitex("E", block: false) と#bem-ruby("さぶんさようそ")[差分作用素] #mitex("\\Delta=E-I", block: false) による#bem-ruby("きじゅつ")[記述]は「シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]と#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]」で#bem-ruby("てんかい")[展開]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("てきようじょう")[適用上]の#bem-ruby("ちゅうい")[注意]


#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("ていじこう")[提示項]だけから#bem-ruby("むげんすうれつ")[無限数列]の#bem-ruby("きそく")[規則]を#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("すいてい")[推定]することはできない。#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("こう")[項]に#bem-ruby("いっち")[一致]し、その#bem-ruby("あと")[後]で#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("すうれつ")[数列]を#bem-ruby("むすう")[無数]に#bem-ruby("こうせい")[構成]できるためである。また、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]が#bem-ruby("ぶんすう")[分数]や#bem-ruby("へいほうこん")[平方根]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("うへん")[右辺]が#bem-ruby("かくだんかい")[各段階]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]されるかを#bem-ruby("かくにん")[確認]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]な#bem-ruby("こうしんきそく")[更新規則]と#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]があっても、#bem-ruby("してい")[指定]した#bem-ruby("かず")[数]の#bem-ruby("はんいない")[範囲内]で#bem-ruby("こうぞくこう")[後続項]が#bem-ruby("つね")[常]に#bem-ruby("そんざい")[存在]するとは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("すうれつ")[数列] #mitex("(a_n)_{n\\geq1}", block: false) は、#bem-ruby("かくせいすう")[各整数] #mitex("n\\geq1", block: false) に#bem-ruby("こう")[項] #mitex("a_n", block: false) を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数]である。

- #bem-ruby("めいじしき")[明示式]は #mitex("a_n", block: false) を#bem-ruby("そえじ")[添字]から#bem-ruby("ちょくせつ")[直接]#bem-ruby("してい")[指定]し、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("こう")[項]から#bem-ruby("こうぞくこう")[後続項]を#bem-ruby("してい")[指定]する。

- #bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]による#bem-ruby("いちけってい")[一意決定]には、#bem-ruby("かいすう")[階数]に#bem-ruby("おう")[応]じた#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]と、#bem-ruby("かく")[各]#bem-ruby("こうしんち")[更新値]の#bem-ruby("いちい")[一意]な#bem-ruby("ていぎ")[定義]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。

- #bem-ruby("とうさがた")[等差型]、#bem-ruby("とうひがた")[等比型]、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]による#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("いちじ")[一次]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("きほん")[基本]となる。


== #bem-ruby("かんれんこうぎ")[関連講義]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("えんしゅう")[演習]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.exercise]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[recurrence-types-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exercise]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture.n.md#h(0.7em)md 4b77ab2]]


= #bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]と#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("かほうてき")[加法的]な#bem-ruby("いっていりょう")[一定量]で#bem-ruby("きじゅつ")[記述]するか、#bem-ruby("じょうほうてき")[乗法的]な#bem-ruby("いっていばいりつ")[一定倍率]で#bem-ruby("きじゅつ")[記述]するかを#bem-ruby("はんべつ")[判別]することが#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]の#bem-ruby("しゅだい")[主題]である。#bem-ruby("ていぎ")[定義]を#bem-ruby("りんせつこう")[隣接項]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]として#bem-ruby("あた")[与]え、#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]と#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]を#bem-ruby("しょうめい")[証明]する。


== #bem-ruby("ていぎ")[定義]


#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列] #mitex("(a_n)_{n\\geq1}", block: false) を#bem-ruby("こうさつ")[考察]する。ある#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("d\\in\\mathbb R", block: false) が#bem-ruby("そんざい")[存在]し、すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=a_n+d")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するとき、#mitex("(a_n)", block: false) を#bem-anno("arithmetic sequence")[#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]]、#mitex("d", block: false) を#bem-anno("common difference")[#bem-ruby("こうさ")[公差]]という。#mitex("d=0", block: false) の#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列]も#bem-ruby("ふく")[含]む。


ある#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("r\\in\\mathbb R", block: false) が#bem-ruby("そんざい")[存在]し、すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=ra_n")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するとき、#mitex("(a_n)", block: false) を#bem-anno("geometric sequence")[#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]]、#mitex("r", block: false) を#bem-anno("common ratio")[#bem-ruby("こうひ")[公比]]という。この#bem-ruby("ていぎ")[定義]は #mitex("a_1=0", block: false) の#bem-ruby("れいれつ")[零列]も#bem-ruby("ふく")[含]む。#bem-ruby("れいれつ")[零列]では#bem-ruby("にんい")[任意]の #mitex("r", block: false) が#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("み")[満]たすため、#bem-ruby("こうひ")[公比]は#bem-ruby("いち")[一意]とは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。


== #bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]


=== #bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]


すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}")]


である。#mitex("n=1", block: false) では#bem-ruby("うへん")[右辺]が #mitex("a_1", block: false) である。#mitex("n\\geq2", block: false) では、#mitex("k=1,\\ldots,n-1", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する #mitex("a_{k+1}-a_k=d", block: false) を#bem-ruby("そうわ")[総和]すると、


#align(center)[#mitex("a_n-a_1=\\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=(n-1)d")]


となる。#bem-ruby("ちゅうおう")[中央]の#bem-ruby("そうわ")[総和]は#bem-ruby("ちゅうかんこう")[中間項]が#bem-ruby("そうさい")[相殺]する#bem-ruby("ぼうえんわ")[望遠和]であるため、#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("え")[得]る。


=== #bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]


すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=a_1r^{n-1}}")]


である。#mitex("n=1", block: false) では #mitex("r^0=1", block: false) により#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#mitex("a_n=a_1r^{n-1}", block: false) と#bem-ruby("かてい")[仮定]すると、#mitex("a_{n+1}=ra_n=a_1r^n", block: false) であるため、#bem-ruby("すうがくてききのうほう")[数学的帰納法]により#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。この#bem-ruby("しょうめい")[証明]は #mitex("a_1=0", block: false) または #mitex("r=0", block: false) でも#bem-ruby("じょざん")[除算]を#bem-ruby("しよう")[使用]せずに#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。


== #bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]


#mitex("1\\leq m\\leq N", block: false) とし、


#align(center)[#mitex("S_{m,N}:=\\sum_{n=m}^{N}a_n")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("こうすう")[項数]は #mitex("N-m+1", block: false) である。


=== #bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]の#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]


#align(center)[#mitex("\\boxed{S_{m,N}=\\frac{N-m+1}{2}(a_m+a_N)}")]


である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]を#bem-ruby("はんてん")[反転]した#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("わ")[和]を#bem-ruby("かさん")[加算]すると、


#align(center)[#mitex("2S_{m,N}=\\sum_{j=0}^{N-m}(a_{m+j}+a_{N-j}).")]


#bem-ruby("とうさせい")[等差性]により#bem-ruby("かくかっこ")[各括弧]は #mitex("a_m+a_N", block: false) であり、#bem-ruby("かっこ")[括弧]は #mitex("N-m+1", block: false) #bem-ruby("こ")[個]あるため#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("m=N", block: false) でも#bem-ruby("うへん")[右辺]は #mitex("a_m", block: false) となり、#bem-ruby("たんてん")[端点]を#bem-ruby("ふく")[含]む。


#bem-ruby("とく")[特]に #mitex("m=1", block: false) では


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\sum_{n=1}^{N}a_n=\\frac N2\\{2a_1+(N-1)d\\}=\\frac N2(a_1+a_N)}.")]


=== #bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]の#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]


#mitex("r\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、


#align(center)[#mitex("\\boxed{S_{m,N}=a_m\\frac{1-r^{N-m+1}}{1-r}}")]


である。#mitex("S_{m,N}=a_m+a_mr+\\cdots+a_mr^{N-m}", block: false) と #mitex("rS_{m,N}", block: false) の#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("と")[取]ると、


#align(center)[#mitex("(1-r)S_{m,N}=a_m-a_mr^{N-m+1}")]


であり、#mitex("1-r\\ne0", block: false) で#bem-ruby("じょ")[除]して#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("m=N", block: false) でも#bem-ruby("うへん")[右辺]は #mitex("a_m", block: false) である。#mitex("r=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]はこの#bem-ruby("じょざん")[除算]が#bem-ruby("きょよう")[許容]されず、#bem-ruby("ぜんこう")[全項]が #mitex("a_m", block: false) であるため、#bem-ruby("べつ")[別]に


#align(center)[#mitex("\\boxed{S_{m,N}=(N-m+1)a_m}")]


となる。#bem-ruby("りょうこうしき")[両公式]は #mitex("a_m=0", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む。


== #bem-ruby("さ")[差]と#bem-ruby("ひ")[比]による#bem-ruby("はんてい")[判定]


- すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について #mitex("a_{n+1}-a_n=d", block: false) が#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("ていすう")[定数]なら、#bem-ruby("ていぎ")[定義]により#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]である。

- すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について #mitex("a_n\\ne0", block: false) であり、#mitex("a_{n+1}/a_n=r", block: false) が#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("ていすう")[定数]なら、#mitex("a_{n+1}=ra_n", block: false) であるため#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]である。

- #bem-ruby("ひ")[比]による#bem-ruby("はんてい")[判定]は#bem-ruby("ぶんぼ")[分母] #mitex("a_n", block: false) が#bem-ruby("れい")[零]の#bem-ruby("かしょ")[箇所]では#bem-ruby("てきよう")[適用]できない。#bem-ruby("れいこう")[零項]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("かのうせい")[可能性]がある#bem-ruby("ばあい")[場合]は、#bem-ruby("じょざん")[除算]せずに#bem-ruby("たんいつ")[単一]の#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("r", block: false) について #mitex("a_{n+1}=ra_n", block: false) を#bem-ruby("ちょくせつけんさ")[直接検査]する。

- #bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("ていじこう")[提示項]で#bem-ruby("さ")[差]または#bem-ruby("ひ")[比]が#bem-ruby("いっち")[一致]しても、#bem-ruby("みていじ")[未提示]の#bem-ruby("ぜんこう")[全項]について#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("きそく")[規則]が#bem-ruby("ほしょう")[保証]されない#bem-ruby("かぎ")[限]り、#bem-ruby("むげんすうれつ")[無限数列]の#bem-ruby("はんてい")[判定]にはならない。


#bem-ruby("たと")[例]えば #mitex("2,5,8,11,\\ldots", block: false) は#bem-ruby("こうさ")[公差] #mitex("3", block: false) で #mitex("a_n=3n-1", block: false) である。#mitex("5,10,20,40,\\ldots", block: false) は#bem-ruby("ひれいこう")[非零項]の#bem-ruby("ひ")[比]が #mitex("2", block: false) で #mitex("a_n=5\\cdot2^{n-1}", block: false) である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#mitex("0,0,0,\\ldots", block: false) は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]であるが、#mitex("0/0", block: false) は#bem-ruby("ていぎ")[定義]されないため#bem-ruby("ひ")[比]による#bem-ruby("はんてい")[判定]は#bem-ruby("しよう")[使用]できない。


== #bem-ruby("こうぞうてきかいしゃく")[構造的解釈]


#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]の#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項] #mitex("a_1+(n-1)d", block: false) は#bem-ruby("そえじ")[添字] #mitex("n", block: false) の#bem-ruby("いちじしき")[一次式]であり、アフィン#bem-ruby("かんすう")[関数]の#bem-ruby("りさんてきたいおうぶつ")[離散的対応物]である。#mitex("r>0", block: false) の#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]は、#bem-ruby("しすうがたかんすう")[指数型関数] #mitex("x\\mapsto a_1r^{x-1}", block: false) の#bem-ruby("せいすうてん")[整数点]における#bem-ruby("あたい")[値]と#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#mitex("r<0", block: false) かつ #mitex("a_1\\ne0", block: false) では#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("こうたい")[交替]し、#mitex("r=0", block: false) では#bem-ruby("しょこう")[初項]の#bem-ruby("あと")[後]が#bem-ruby("れい")[零]となるため、この#bem-ruby("たいおう")[対応]とは#bem-ruby("くべつ")[区別]する。また、#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式] #mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) は、#mitex("p=1", block: false) なら#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]となり、#mitex("p\\ne1", block: false) なら#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]が#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]となる。


== #bem-ruby("てきようはんい")[適用範囲]


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]の#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]は#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("こう")[項]に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("こうとうしき")[恒等式]であり、#bem-ruby("しゅうそくじょうけん")[収束条件]を#bem-ruby("よう")[要]しない。#bem-ruby("むげんとうひきゅうすう")[無限等比級数]の#bem-ruby("わ")[和]には#bem-ruby("べっと")[別途] #mitex("|r|<1", block: false) #bem-ruby("とう")[等]の#bem-ruby("じょうけん")[条件]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。また、#bem-ruby("こうさ")[公差]または#bem-ruby("こうひ")[公比]が#bem-ruby("そえじ")[添字]に#bem-ruby("いぞん")[依存]する#bem-ruby("すうれつ")[数列]には、ここでの#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("ちょくせつてきよう")[直接適用]できない。


== #bem-ruby("きほんこうしき")[基本公式]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_{n+1}=a_n+d\\Longrightarrow a_n=a_1+(n-1)d}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_{n+1}=ra_n\\Longrightarrow a_n=a_1r^{n-1}}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\sum_{n=m}^{N}a_n=\\frac{N-m+1}{2}(a_m+a_N)\\quad\\text{（等差）}}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\sum_{n=m}^{N}a_n=\\begin{cases}a_m\\dfrac{1-r^{N-m+1}}{1-r},&r\\ne1,\\\\(N-m+1)a_m,&r=1\\end{cases}\\quad\\text{（等比）}}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]は#bem-ruby("いっていりょう")[一定量]の#bem-ruby("かさん")[加算]、#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]は#bem-ruby("いっていばいりつ")[一定倍率]の#bem-ruby("じょうざん")[乗算]によって#bem-ruby("ていぎ")[定義]される。

- #bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]と#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]では#bem-ruby("しょこう")[初項]・#bem-ruby("しゅうこう")[終項]・#bem-ruby("こうすう")[項数]を#bem-ruby("めいじ")[明示]し、#bem-ruby("とうひわ")[等比和]では #mitex("r=1", block: false) を#bem-ruby("ぶんり")[分離]する。

- #bem-ruby("ひ")[比]による#bem-ruby("はんてい")[判定]には#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("ひれいせい")[非零性]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]であり、#bem-ruby("れいこう")[零項]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ばあい")[場合]は#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("ちょくせつけんさ")[直接検査]する。


== #bem-ruby("かんれんこうぎ")[関連講義]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列の極限]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[級数の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture.n.md#h(0.7em)md 6167471]]


= シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]と#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-anno("difference")[#bem-ruby("さぶん")[差分]]、#bem-anno("indefinite sum")[#bem-ruby("わぶん")[和分]]、#bem-anno("recurrence relation")[#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]]を、#bem-ruby("れつ")[列]を 1 #bem-ruby("こう")[項]#bem-ruby("ぜんしん")[前進]させる#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]] #mitex("E", block: false) によって#bem-ruby("とういつてき")[統一的]に#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する。


#bem-ruby("さぶん")[差分]はシフト#bem-ruby("ご")[後]の#bem-ruby("れつ")[列]と#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("れつ")[列]の#bem-ruby("さ")[差]であり、#bem-ruby("わぶん")[和分]はその#bem-ruby("ぎゃくもんだい")[逆問題]である。また、#bem-ruby("ていすうけいすうせんけいぜんかしき")[定数係数線型漸化式]はシフトした#bem-ruby("れつ")[列]の#bem-ruby("せんけいけつごう")[線型結合]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できる。したがって、#bem-ruby("ちゅうしんてき")[中心的]な#bem-ruby("さようそ")[作用素]は


#align(center)[#mitex("(Ea)_n=a_{n+1}")]


である。


この#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]により、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は#bem-ruby("たん")[単]なる#bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("こうしんきそく")[更新規則]ではなく、


#align(center)[#mitex("P(E)a=b")]


という#bem-anno("linear operator equation")[#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]]になる。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("a=(a_n)", block: false) #bem-ruby("ぜんたい")[全体]からなる#bem-ruby("くうかん")[空間]を#bem-ruby("かんが")[考]える。#bem-ruby("ひつよう")[必要]に#bem-ruby("おう")[応]じて、#bem-ruby("りょうがわ")[両側]#bem-ruby("むげんれつ")[無限列] #mitex("(a_n)_{n\\in\\mathbb Z}", block: false) や#bem-ruby("かたがわ")[片側]#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("(a_n)_{n\\ge0}", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。ここでは、#bem-ruby("そえじ")[添字]が#bem-ruby("ていぎ")[定義]できる#bem-ruby("はんい")[範囲]で#bem-ruby("ぎろん")[議論]する。


#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]] #mitex("E", block: false) を


#align(center)[#mitex("(Ea)_n=a_{n+1}")]


で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。


#bem-anno("identity operator")[#bem-ruby("こうとうさようそ")[恒等作用素]] #mitex("I", block: false) は


#align(center)[#mitex("(Ia)_n=a_n")]


である。


#bem-anno("forward difference")[#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]] #mitex("\\Delta", block: false) は


#align(center)[#mitex("(\\Delta a)_n=a_{n+1}-a_n")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("\\Delta=E-I")]


である。


この#bem-ruby("きやく")[規約]は Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]と#bem-ruby("いっち")[一致]し、#bem-ruby("りょうがわ")[両側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]では #mitex("E", block: false) が #mitex("z", block: false) による#bem-ruby("じょうざん")[乗算]へ#bem-ruby("たいおう")[対応]する。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("じゅん")[順]に#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


+ #mitex("E", block: false) が#bem-anno("linear operator")[#bem-ruby("せんけいさようそ")[線型作用素]]であることを#bem-ruby("しょうめい")[証明]する。

+ #mitex("\\Delta=E-I", block: false) から#bem-ruby("さぶん")[差分]#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("みちび")[導]く。

+ #mitex("\\Delta F=f", block: false) を#bem-ruby("わぶん")[和分]、すなわち#bem-ruby("さぶん")[差分]の#bem-ruby("ぎゃくもんだい")[逆問題]として#bem-ruby("ていしきか")[定式化]する。

+ #bem-ruby("ていすう")[定数]#bem-ruby("けいすう")[係数]#bem-ruby("せんけい")[線型]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を #mitex("P(E)a=b", block: false) と#bem-ruby("か")[書]く。

+ #mitex("r^n", block: false) が #mitex("E", block: false) の#bem-anno("eigen-sequence")[#bem-ruby("こゆうれつ")[固有列]]であることから、#bem-ruby("とくせい")[特性]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]を#bem-ruby("みちび")[導]く。


この#bem-ruby("じゅんじょ")[順序]により、#bem-ruby("かくしゅほう")[各手法]の#bem-ruby("さいようりゆう")[採用理由]を#bem-ruby("さようそ")[作用素]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]から#bem-ruby("せつめい")[説明]できる。


#bem-ruby("こべつ")[個別]の#bem-ruby("にゅうし")[入試]#bem-ruby("かた")[型]や、#bem-ruby("こていてん")[固定点]・#bem-ruby("かいさ")[階差]・#bem-ruby("わ")[和]の#bem-ruby("しょうきょ")[消去]・#bem-ruby("れんりつ")[連立]#bem-ruby("か")[化]・#bem-ruby("きのうほう")[帰納法]への#bem-ruby("つか")[使]い#bem-ruby("わ")[分]けは、#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("せいり")[整理]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[problems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[polynomial-operators-and-eigenvalue]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 1：#mitex("E", block: false) は#bem-anno("linear operator")[#bem-ruby("せんけいさようそ")[線型作用素]]である


=== #bem-ruby("しゅちょう")[主張]


#bem-ruby("れつ")[列]#bem-ruby("くうかんじょう")[空間上]の #mitex("E", block: false) は#bem-anno("linear operator")[#bem-ruby("せんけいさようそ")[線型作用素]]である。


=== #bem-ruby("しょうめい")[証明]


#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("a,b", block: false) とスカラー #mitex("\\alpha,\\beta", block: false) を#bem-ruby("にんい")[任意]に#bem-ruby("と")[取]る。このとき


#align(center)[#mitex("\\begin{aligned}\n(E(\\alpha a+\\beta b))_n\n&=(\\alpha a+\\beta b)_{n+1}\\\\\n&=\\alpha a_{n+1}+\\beta b_{n+1}\\\\\n&=(\\alpha Ea+\\beta Eb)_n\n\\end{aligned}")]


である。これはすべての #mitex("n", block: false) で#bem-ruby("せいりつ")[成立]するので


#align(center)[#mitex("E(\\alpha a+\\beta b)=\\alpha Ea+\\beta Eb")]


である。したがって #mitex("E", block: false) は#bem-ruby("せんけい")[線型]である。


== #bem-ruby("さぶん")[差分]は #mitex("E-I", block: false) である


#bem-ruby("ぜんしん")[前進]#bem-ruby("さぶん")[差分]は


#align(center)[#mitex("(\\Delta a)_n=a_{n+1}-a_n")]


である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、


#align(center)[#mitex("((E-I)a)_n=(Ea)_n-(Ia)_n=a_{n+1}-a_n")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("\\Delta=E-I")]


である。


ここから、#mitex("\\Delta", block: false) の#bem-anno("linearity")[#bem-ruby("せんけいせい")[線型性]]も#bem-ruby("ただ")[直]ちに#bem-ruby("したが")[従]う。#mitex("E", block: false) と #mitex("I", block: false) が#bem-ruby("せんけい")[線型]であるため、その#bem-ruby("さ")[差] #mitex("E-I", block: false) も#bem-ruby("せんけい")[線型]である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、


#align(center)[#mitex("\\Delta(\\alpha a+\\beta b)\n=(E-I)(\\alpha a+\\beta b)\n=\\alpha(E-I)a+\\beta(E-I)b\n=\\alpha\\Delta a+\\beta\\Delta b")]


である。


== #bem-ruby("にこうていり")[二項定理]による#bem-ruby("こうかいさぶん")[高階差分]


#mitex("\\Delta=E-I", block: false) であり、#mitex("E", block: false) と #mitex("I", block: false) は#bem-ruby("かかん")[可換]である。したがって


#align(center)[#mitex("\\Delta^m=(E-I)^m")]


に#bem-anno("binomial theorem")[#bem-ruby("にこうていり")[二項定理]]を#bem-ruby("てきよう")[適用]できる。


#align(center)[#mitex("\\Delta^m\n=\n\\sum_{k=0}^m\n(-1)^k\\binom{m}{k}E^{m-k}")]


である。#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("a", block: false) に#bem-ruby("さよう")[作用]させると


#align(center)[#mitex("(\\Delta^m a)_n\n=\n\\sum_{k=0}^m\n(-1)^k\\binom{m}{k}a_{n+m-k}")]


を#bem-ruby("え")[得]る。


この#bem-ruby("こうしき")[公式]の#bem-ruby("ふごう")[符号]と#bem-ruby("そえじ")[添字]は、#mitex("(E-I)^m", block: false) の#bem-ruby("にこうてんかい")[二項展開]によって#bem-ruby("けってい")[決定]される。


== #bem-ruby("わぶん")[和分]は#bem-ruby("さぶん")[差分]の#bem-ruby("ぎゃくもんだい")[逆問題]である


#bem-anno("indefinite sum")[#bem-ruby("ふていわぶん")[不定和分]]の#bem-ruby("きほん")[基本]#bem-ruby("もんだい")[問題]は


#align(center)[#mitex("\\Delta F=f")]


を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("F", block: false) を#bem-ruby("けってい")[決定]することである。これは


#align(center)[#mitex("F(n+1)-F(n)=f(n)")]


を#bem-ruby("いみ")[意味]する。


#mitex("n=a,a+1,\\ldots,b-1", block: false) について#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を#bem-ruby("かさん")[加算]すると


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\n=\n\\sum_{n=a}^{b-1}(F(n+1)-F(n))")]


である。#bem-ruby("うへん")[右辺]は#bem-anno("telescoping sum")[#bem-ruby("ぼうえんわ")[望遠和]]なので


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)")]


を#bem-ruby("え")[得]る。


これは#bem-ruby("れんぞく")[連続]の#bem-ruby("びせきぶん")[微積分]で


#align(center)[#mitex("\\int_a^b F'(x)\\,dx=F(b)-F(a)")]


となることの#bem-ruby("りさん")[離散]#bem-ruby("はん")[版]である。つまり、#bem-ruby("わ")[和]#bem-ruby("ふん")[分]とは #mitex("\\Delta", block: false) の#bem-ruby("ぎゃくもんだい")[逆問題]である。


== #bem-ruby("せき")[積]の#bem-ruby("さぶん")[差分]におけるシフト#bem-ruby("こう")[項]


#bem-ruby("れんぞく")[連続]#bem-ruby("びぶん")[微分]では#bem-ruby("つ")[積]の#bem-ruby("びぶん")[微分]が


#align(center)[#mitex("(uv)'=u'v+uv'")]


となる。しかし#bem-ruby("さぶん")[差分]では、ずれが#bem-ruby("のこ")[残]る。


#bem-ruby("じっさい")[実際]、


#align(center)[#mitex("\\begin{aligned}\n\\Delta(uv)(n)\n&=u(n+1)v(n+1)-u(n)v(n)\\\\\n&=u(n+1)v(n+1)-u(n)v(n+1)\\\\\n&\\qquad +u(n)v(n+1)-u(n)v(n)\\\\\n&=v(n+1)(u(n+1)-u(n))+u(n)(v(n+1)-v(n))\n\\end{aligned}")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("\\Delta(uv)=(Ev)\\Delta u+u\\Delta v")]


である。


#bem-ruby("うへん")[右辺]の #mitex("(Ev)", block: false) は、#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]が 1 #bem-ruby("こうさき")[項先]の#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("ふく")[含]むことを#bem-ruby("あらわ")[表]す。#bem-ruby("りさんけいさん")[離散計算]では、このシフトを#bem-ruby("しょうりゃく")[省略]して#bem-ruby("れんぞくびぶん")[連続微分]の#bem-ruby("こうしき")[公式]を#bem-ruby("てきよう")[適用]してはならない。


== #bem-ruby("ぶぶんわこうしき")[部分和公式]は#bem-ruby("りさんばん")[離散版]の#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]


#bem-ruby("つ")[積]の#bem-ruby("さぶん")[差分]#bem-ruby("こうしき")[公式]


#align(center)[#mitex("\\Delta(uv)=u\\Delta v+(Ev)\\Delta u")]


を#bem-ruby("へんけい")[変形]すると


#align(center)[#mitex("u\\Delta v=\\Delta(uv)-(Ev)\\Delta u")]


である。#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を#bem-ruby("わ")[和]#bem-ruby("ふん")[分]すると


#align(center)[#mitex("\\sum u\\Delta v\n=\nuv-\\sum (Ev)\\Delta u")]


という#bem-ruby("けいしき")[形式]を#bem-ruby("え")[得]る。#bem-ruby("ゆうげんはんい")[有限範囲]では


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=a}^{b-1}u(n)\\Delta v(n)\n=u(b)v(b)-u(a)v(a)\n-\\sum_{n=a}^{b-1}v(n+1)\\Delta u(n)")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。これは#bem-ruby("れんぞく")[連続]の#bem-ruby("ぶぶんせきぶん")[部分積分]


#align(center)[#mitex("\\int u\\,dv=uv-\\int v\\,du")]


の#bem-ruby("りさん")[離散]#bem-ruby("はん")[版]である。


ただし、#bem-ruby("うへん")[右辺]に #mitex("v", block: false) ではなく #mitex("Ev", block: false) が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。この#bem-ruby("いっこう")[一項]の#bem-ruby("へんい")[偏移]が、#bem-ruby("さぶんほう")[差分法]で#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]]を#bem-ruby("めいじ")[明示]する#bem-ruby("りゆう")[理由]である。


== #bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は #mitex("P(E)a=b", block: false) である


#bem-ruby("ていすう")[定数]#bem-ruby("けいすう")[係数]#bem-ruby("せんけい")[線型]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


#align(center)[#mitex("a_{n+k}=c_1a_{n+k-1}+c_2a_{n+k-2}+\\cdots+c_ka_n+b_n")]


を#bem-ruby("かんが")[考]える。#bem-ruby("さへん")[左辺]へ#bem-ruby("あつ")[集]めると


#align(center)[#mitex("a_{n+k}-c_1a_{n+k-1}-c_2a_{n+k-2}-\\cdots-c_ka_n=b_n")]


である。#mitex("E", block: false) を#bem-ruby("もち")[用]いると


#align(center)[#mitex("(E^k-c_1E^{k-1}-c_2E^{k-2}-\\cdots-c_kI)a=b")]


と#bem-ruby("か")[書]ける。


つまり


#align(center)[#mitex("P(E)a=b")]


である。ただし


#align(center)[#mitex("P(t)=t^k-c_1t^{k-1}-c_2t^{k-2}-\\cdots-c_k")]


である。


この#bem-ruby("だんかい")[段階]で、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は#bem-ruby("いっぱん")[一般]の#bem-anno("linear operator equation")[#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]]になっている。したがって


#align(center)[#mitex("P(E)a=b\\text{ is solvable}\\iff b\\in\\operatorname{Im}P(E)")]


であり、#bem-ruby("とくかい")[特解] #mitex("a_p", block: false) が 1 つ#bem-ruby("そんざい")[存在]すれば


#align(center)[#mitex("a=a_p+h,\\qquad h\\in\\ker P(E)")]


である。


== #bem-ruby("こゆうれつ")[固有列]と#bem-ruby("とくせいほうていしき")[特性方程式]


#bem-ruby("りょうがわれつ")[両側列]では #mitex("r\\ne0", block: false) とし、#bem-ruby("かたがわれつ")[片側列]では #mitex("n\\ge0", block: false) で #mitex("r^n", block: false) を#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。この#bem-ruby("きかれつ")[幾何列]に#bem-ruby("たい")[対]して


#align(center)[#mitex("E(r^n)=r^{n+1}=r\\,r^n")]


である。つまり #mitex("r^n", block: false) は #mitex("E", block: false) の#bem-anno("eigen-sequence")[#bem-ruby("こゆうれつ")[固有列]]であり、#bem-ruby("こゆうち")[固有値]は #mitex("r", block: false) である。


したがって


#align(center)[#mitex("P(E)(r^n)=P(r)r^n")]


である。よって#bem-ruby("どうじ")[同次]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]


#align(center)[#mitex("P(E)a=0")]


に #mitex("a_n=r^n", block: false) が#bem-ruby("かい")[解]となる#bem-ruby("じょうけん")[条件]は


#align(center)[#mitex("P(r)=0")]


である。これが#bem-anno("characteristic equation")[#bem-ruby("とくせいほうていしき")[特性方程式]]である。


#bem-ruby("とくせい")[特性]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は、#mitex("r^n", block: false) が #mitex("E", block: false) の#bem-ruby("こゆう")[固有]#bem-ruby("れつ")[列]であるために#bem-ruby("あらわ")[現]れる。したがって、#bem-ruby("ていすう")[定数]#bem-ruby("けいすう")[係数]#bem-ruby("せんけい")[線型]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("とくせい")[特性]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]#bem-ruby("ほう")[法]は、#bem-anno("eigenvalue problem")[#bem-ruby("こゆうちもんだい")[固有値問題]]の#bem-ruby("りさん")[離散]#bem-ruby("はん")[版]である。


== #bem-ruby("れい")[例]：Fibonacci #bem-ruby("かた")[型]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


#align(center)[#mitex("f_{n+2}=f_{n+1}+f_n")]


は


#align(center)[#mitex("(E^2-E-I)f=0")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("P(t)=t^2-t-1")]


であり、#bem-ruby("とくせい")[特性]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は


#align(center)[#mitex("r^2-r-1=0")]


である。#bem-ruby("こん")[根]は


#align(center)[#mitex("r_1=\\frac{1+\\sqrt5}{2},\\qquad\nr_2=\\frac{1-\\sqrt5}{2}")]


である。#mitex("r_1^n", block: false) と #mitex("r_2^n", block: false) はそれぞれ #mitex("\\ker P(E)", block: false) に#bem-ruby("ぞく")[属]する。#bem-ruby("こと")[異]なる#bem-ruby("こん")[根]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する 2 #bem-ruby("れつ")[列]は#bem-ruby("せんけいどくりつ")[線型独立]である。また、この#bem-ruby("にかいぜんかしき")[二階漸化式]の#bem-ruby("かい")[解]は #mitex("f_0,f_1", block: false) によって#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("けってい")[決定]されるため、#bem-ruby("かいくうかん")[解空間]は 2 #bem-ruby("じげん")[次元]である。したがって、これらは#bem-ruby("かいくうかん")[解空間]の#bem-ruby("きてい")[基底]をなし、#bem-ruby("いっぱんかい")[一般解]は


#align(center)[#mitex("f_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n")]


を#bem-ruby("え")[得]る。#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("C_1,C_2", block: false) は#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]で#bem-ruby("き")[決]まる。


ここで#bem-ruby("じゅうよう")[重要]なのは、#mitex("r^n", block: false) を#bem-ruby("ため")[試]す#bem-ruby("りゆう")[理由]である。#mitex("r^n", block: false) は #mitex("E", block: false) の#bem-ruby("こゆう")[固有]#bem-ruby("れつ")[列]であり、#mitex("P(E)", block: false) が #mitex("P(r)", block: false) に#bem-ruby("お")[落]ちるからである。


== #bem-ruby("ていすうけいすう")[定数係数]と#bem-ruby("ひていすうけいすう")[非定数係数]の#bem-ruby("ちが")[違]い


#bem-ruby("ていすう")[定数]#bem-ruby("けいすう")[係数]なら、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は #mitex("P(E)", block: false) の#bem-ruby("かたち")[形]で#bem-ruby("か")[書]ける。#bem-ruby("けいすう")[係数]が#bem-ruby("ていすう")[定数]であるため、#mitex("E", block: false) と#bem-ruby("けいすう")[係数]が#bem-ruby("かかん")[可換]であり、#bem-ruby("たこうしき")[多項式]として#bem-ruby("あつか")[扱]える。


しかし#bem-ruby("けいすう")[係数]が #mitex("n", block: false) に#bem-ruby("いぞん")[依存]すると#bem-ruby("じょうきょう")[状況]が#bem-ruby("か")[変]わる。たとえば


#align(center)[#mitex("a_{n+1}-n a_n=0")]


を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("M", block: false) を


#align(center)[#mitex("(Ma)_n=na_n")]


で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-anno("multiplication operator")[掛け#bem-ruby("ざんさようそ")[算作用素]]とすると、この#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は


#align(center)[#mitex("(E-M)a=0")]


の#bem-ruby("かたち")[形]で#bem-ruby("か")[書]ける。しかし#bem-ruby("いっぱん")[一般]に


#align(center)[#mitex("EM\\ne ME")]


である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、


#align(center)[#mitex("(EMa)_n=(Ma)_{n+1}=(n+1)a_{n+1}")]


だが


#align(center)[#mitex("(MEa)_n=n(Ea)_n=na_{n+1}")]


である。


したがって、#bem-ruby("ひていすうけいすう")[非定数係数]では#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("たこうしき")[多項式] #mitex("P(E)", block: false) として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できず、#bem-ruby("とくせいほうていしきほう")[特性方程式法]は#bem-ruby("いっぱん")[一般]には#bem-ruby("せいりつ")[成立]しない。#bem-ruby("ていすうけいすう")[定数係数]という#bem-ruby("かてい")[仮定]は、#bem-ruby("さようそ")[作用素]の#bem-ruby("かかんせい")[可換性]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]する#bem-ruby("ほんしつてきじょうけん")[本質的条件]である。


== Newton の#bem-ruby("ぜんしんこうしき")[前進公式]（#mitex("n\\ge0", block: false)）


#mitex("\\Delta=E-I", block: false) なので


#align(center)[#mitex("E=I+\\Delta")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("E^n=(I+\\Delta)^n")]


である。#mitex("I", block: false) と #mitex("\\Delta", block: false) は#bem-ruby("かかん")[可換]なので、#bem-ruby("にこうていり")[二項定理]より


#align(center)[#mitex("E^n=\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k}\\Delta^k")]


である。


#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("f", block: false) の #mitex("0", block: false) #bem-ruby("ばんめ")[番目]に#bem-ruby("さよう")[作用]させると


#align(center)[#mitex("f(n)=(E^nf)_0\n=\n\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k}(\\Delta^k f)_0")]


を#bem-ruby("え")[得]る。これは#bem-ruby("しょきち")[初期値]と#bem-ruby("しょき")[初期]#bem-ruby("さぶん")[差分]から#bem-ruby("れつ")[列]を#bem-ruby("ふくげん")[復元]する#bem-ruby("こうしき")[公式]である。


== #bem-ruby("せいりつはんい")[成立範囲]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]の #mitex("P(E)", block: false) #bem-ruby("ひょうじ")[表示]は、#bem-ruby("おも")[主]に#bem-ruby("ていすうけいすう")[定数係数]の#bem-ruby("せんけいぜんかしき")[線型漸化式]に#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("ゆうこう")[有効]である。#bem-ruby("ひせんけいぜんかしき")[非線型漸化式]には#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]がない。#bem-ruby("ひていすうけいすう")[非定数係数]の#bem-ruby("せんけいぜんかしき")[線型漸化式]では、#bem-ruby("けいすうさようそ")[係数作用素]とシフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]が#bem-ruby("いっぱん")[一般]に#bem-ruby("かかん")[可換]でないため、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("とくせいほうていしきほう")[特性方程式法]は#bem-ruby("てきよう")[適用]できない。


また、#bem-ruby("かたがわれつ")[片側列]では #mitex("E^{-1}", block: false) が#bem-ruby("つね")[常]に#bem-ruby("しぜん")[自然]に#bem-ruby("ていぎ")[定義]できるとは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。#bem-ruby("こうたいさぶん")[後退差分]や#bem-ruby("りょうがわ")[両側]シフトを#bem-ruby("あつか")[扱]うときは、#bem-ruby("れつくうかん")[列空間]をどの#bem-ruby("そえじしゅうごう")[添字集合]#bem-ruby("じょう")[上]に#bem-ruby("お")[置]くかを#bem-ruby("めいじ")[明示]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。


== #bem-ruby("しゅようこうしき")[主要公式]


#align(center)[#mitex("\\boxed{(Ea)_n=a_{n+1}}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta=E-I}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta F=f\\quad(\\text{indefinite sum problem})}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{P(E)a=b\\quad(\\text{constant-coefficient linear recurrence})}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{E(r^n)=r\\,r^n,\\qquad P(E)(r^n)=P(r)r^n}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{P(r)=0\\quad(\\text{characteristic equation})}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


#bem-anno("recurrence relation")[#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]]は、#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]] #mitex("E", block: false) による#bem-anno("linear operator equation")[#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]]であり、#bem-ruby("とくせい")[特性]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は #mitex("E", block: false) の#bem-ruby("こゆう")[固有]#bem-ruby("れつ")[列] #mitex("r^n", block: false) から#bem-ruby("しょう")[生]じる。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-z]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[problems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[polynomial-operators-and-eigenvalue]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture.n.md#h(0.7em)md 626d9ba]]


= #bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("るいけい")[類型]と#bem-ruby("かいほうほうしん")[解法方針]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("かいほう")[解法]は、#bem-ruby("こうしき")[公式]の#bem-ruby("せんたく")[選択]ではなく、#bem-ruby("いぞん")[依存]する#bem-ruby("かこ")[過去]の#bem-ruby("こうすう")[項数]と#bem-ruby("しき")[式]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]の#bem-ruby("しきべつ")[識別]から#bem-ruby("かいし")[開始]する。#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では、まず#bem-ruby("かいすう")[階数]と#bem-ruby("せんけいせい")[線型性]を#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、その#bem-ruby("ご")[後]に#bem-ruby("かくるいけい")[各類型]を#bem-ruby("たんじゅん")[単純]な#bem-ruby("すうれつ")[数列]または#bem-ruby("さようそほうていしき")[作用素方程式]へ#bem-ruby("きちゃく")[帰着]する。


== #bem-ruby("ぶんるいようご")[分類用語]


#mitex("a_{n+k}", block: false) を #mitex("a_n,\\ldots,a_{n+k-1}", block: false) から#bem-ruby("さだ")[定]める#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]で、#bem-ruby("じっさい")[実際]に#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("さいだい")[最大]の#bem-ruby("そえじさ")[添字差]を#bem-anno("order")[#bem-ruby("かいすう")[階数]]という。#bem-ruby("たと")[例]えば #mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) は 1 #bem-ruby("かい")[階]である。#mitex("a_{n+2}=sa_{n+1}+ta_n", block: false) は #mitex("t\\ne0", block: false) のとき 2 #bem-ruby("かい")[階]であり、#mitex("t=0", block: false) なら 1 #bem-ruby("かい")[階]へ#bem-ruby("ていか")[低下]する。


#bem-anno("linear recurrence")[#bem-ruby("せんけいぜんかしき")[線型漸化式]]とは、#bem-ruby("みちれつ")[未知列]の#bem-ruby("かく")[各]シフトの#bem-ruby("せんけいけつごう")[線型結合]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]され、#bem-ruby("けいすう")[係数]と#bem-ruby("うへん")[右辺]が#bem-ruby("みちれつ")[未知列]に#bem-ruby("いぞん")[依存]しない#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]である。#bem-ruby("みちこう")[未知項]どうしの#bem-ruby("せき")[積]、#bem-ruby("べき")[冪]、または#bem-ruby("みちこう")[未知項]の#bem-ruby("ひせんけいかんすう")[非線型関数]を#bem-ruby("ふく")[含]むものは#bem-ruby("せんけい")[線型]ではない。#bem-ruby("ていすうけいすう")[定数係数] #mitex("c_j", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する


#align(center)[#mitex("c_0a_n+c_1a_{n+1}+\\cdots+c_ka_{n+k}=f(n)")]


が#bem-ruby("ひょうじゅんれい")[標準例]である。#mitex("c_k\\ne0", block: false) なら、#bem-ruby("そえじ")[添字]が#bem-ruby("ぞうか")[増加]する#bem-ruby("ほうこう")[方向]について #mitex("k", block: false) #bem-ruby("かい")[階]である。#mitex("f=0", block: false) を#bem-ruby("どうじ")[同次]、#mitex("f\\ne0", block: false) を#bem-ruby("ひどうじ")[非同次]という。シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素] #mitex("(Ea)_n=a_{n+1}", block: false) を#bem-ruby("しよう")[使用]すれば、この#bem-ruby("しき")[式]は #mitex("P(E)a=f", block: false) と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できる。


== #bem-ruby("はんていてじゅん")[判定手順]


#table(
  columns: 3,
  inset: 5pt,
  stroke: 0.4pt + luma(190),
  [#strong[#bem-ruby("こうぞう")[構造]]],
  [#strong[#bem-ruby("どうにゅうりょう")[導入量]]],
  [#strong[#bem-ruby("きちゃくさき")[帰着先]]],
  [#mitex("a_{n+1}-a_n=f(n)", block: false)],
  [#mitex("\\Delta a_n", block: false)],
  [#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]],
  [#mitex("a_{n+1}=ra_n", block: false)],
  [そのまま],
  [#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]],
  [#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false)],
  [#mitex("a_n-\\alpha", block: false)],
  [#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]],
  [#mitex("a_{n+1}=pa_n+f(n)", block: false)],
  [#mitex("a_n/p^{n-1}", block: false)],
  [#bem-ruby("さぶんがた")[差分型]],
  [#mitex("a_{n+2}-a_{n+1}=r(a_{n+1}-a_n)", block: false)],
  [#mitex("b_n=a_{n+1}-a_n", block: false)],
  [#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]],
  [#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和] #mitex("S_n", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む],
  [#mitex("S_{n+1}-S_n=a_{n+1}", block: false)],
  [#mitex("S_n", block: false) の#bem-ruby("しょうきょ")[消去]],
  [#mitex("a_{n+1}=r_na_n", block: false)],
  [#bem-ruby("ゆうげんせき")[有限積]],
  [#bem-ruby("せきがた")[積型]],
  [#mitex("a_{n+1}^{-1}=a_n^{-1}+d", block: false)],
  [#mitex("b_n=1/a_n", block: false)],
  [#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]],
  [#mitex("a_{n+1}=\\dfrac{Aa_n+B}{Ca_n+D}", block: false)],
  [#bem-ruby("こていてん")[固定点]との#bem-ruby("こうひ")[交比]],
  [#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]],
  [#bem-ruby("ていすうけいすうこうかいせんけい")[定数係数高階線型]],
  [#mitex("P(E)", block: false)],
  [#bem-ruby("とくせいたこうしき")[特性多項式]],
  [#bem-ruby("ふくすうじょうたい")[複数状態]の#bem-ruby("せんけいけい")[線型系]],
  [#bem-ruby("じょうたい")[状態]ベクトル],
  [#bem-ruby("ぎょうれつはんぷく")[行列反復]],
  [#bem-ruby("ごうどう")[合同]・#bem-ruby("ふとうしき")[不等式]],
  [#bem-ruby("じょうよ")[剰余]・#bem-ruby("ふへんしゅうごう")[不変集合]],
  [#bem-ruby("せいしつ")[性質]の#bem-ruby("きのうほう")[帰納法]],
)


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 1：#bem-ruby("さぶん")[差分]の#bem-ruby("そうわ")[総和]


#mitex("n\\geq1", block: false) で #mitex("a_{n+1}-a_n=f(n)", block: false) が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するなら、


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=a_1+\\sum_{k=1}^{n-1}f(k)}")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#mitex("n=1", block: false) では#bem-ruby("くうわ")[空和]を 0 とする。#mitex("n\\geq2", block: false) では#bem-ruby("かてい")[仮定]を #mitex("k=1,\\ldots,n-1", block: false) について#bem-ruby("そうわ")[総和]すると、#bem-ruby("さへん")[左辺]が#bem-ruby("ぼうえんわ")[望遠和] #mitex("a_n-a_1", block: false) となるため、#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("f(n)=d", block: false) は#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]を#bem-ruby("あた")[与]える。


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 2：#bem-ruby("いちじひどうじがた")[一次非同次型]


#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) とする。#mitex("p=1", block: false) なら#bem-ruby("めいだい")[命題] 1 により


#align(center)[#mitex("a_n=a_1+(n-1)q")]


である。#mitex("p\\ne1", block: false) なら#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点] #mitex("\\alpha=q/(1-p)", block: false) を#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、#mitex("b_n=a_n-\\alpha", block: false) とする。#mitex("\\alpha=p\\alpha+q", block: false) より


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=pa_n+q-\\alpha=p(a_n-\\alpha)=pb_n.")]


したがって、


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)p^{n-1}}")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ぶんり")[分離]は、#bem-ruby("れい")[零]による#bem-ruby("じょざん")[除算]を#bem-ruby("かいひ")[回避]するために#bem-ruby("ひっす")[必須]である。


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 3：#bem-ruby("へんかけいすうほう")[変化係数法]


#mitex("p\\ne0", block: false) かつ #mitex("a_{n+1}=pa_n+f(n)", block: false) とする。#mitex("b_n=a_n/p^{n-1}", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、


#align(center)[#mitex("b_{n+1}-b_n=\\frac{f(n)}{p^n}.")]


#bem-ruby("めいだい")[命題] 1 を#bem-ruby("てきよう")[適用]して、


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=p^{n-1}\\left(a_1+\\sum_{k=1}^{n-1}\\frac{f(k)}{p^k}\\right)}")]


を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("p=0", block: false) では #mitex("a_{n+1}=f(n)", block: false) が#bem-ruby("ちょくせつ")[直接] #mitex("a_2,a_3,\\ldots", block: false) を#bem-ruby("けってい")[決定]するため、#bem-ruby("べっとしょり")[別途処理]する。


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 4：#bem-ruby("かいさすうれつ")[階差数列]


#mitex("a_{n+2}-a_{n+1}=r(a_{n+1}-a_n)", block: false) とし、#mitex("b_n=a_{n+1}-a_n", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。すると #mitex("b_{n+1}=rb_n", block: false) であるから、#mitex("b_n=(a_2-a_1)r^{n-1}", block: false) である。#bem-ruby("めいだい")[命題] 1 により、


#align(center)[#mitex("a_n=a_1+(a_2-a_1)\\sum_{k=0}^{n-2}r^k")]


となる。#mitex("r=1", block: false) では#bem-ruby("わ")[和]が #mitex("n-1", block: false)、#mitex("r\\ne1", block: false) では #mitex("(1-r^{n-1})/(1-r)", block: false) である。


== #bem-ruby("めいだい")[命題] 5：#bem-ruby("ていすうけいすうにかいせんけいがた")[定数係数二階線型型]


#align(center)[#mitex("a_{n+2}-sa_{n+1}-ta_n=0")]


を#bem-ruby("たい")[体] #mitex("K", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]で#bem-ruby("こうさつ")[考察]する。#mitex("t=0", block: false) なら#bem-ruby("かいすう")[階数]が#bem-ruby("ていか")[低下]する。#bem-ruby("とく")[特]に #mitex("s=t=0", block: false) なら #mitex("a_{n+2}=0", block: false) であり、#mitex("a_1,a_2", block: false) は#bem-ruby("にんい")[任意]、#mitex("n\\geq3", block: false) では #mitex("a_n=0", block: false) である。#bem-ruby("いか")[以下]、#mitex("t\\ne0", block: false) とする。#bem-ruby("とくせいたこうしき")[特性多項式]を #mitex("\\chi(x)=x^2-sx-t", block: false) とする。#mitex("\\chi", block: false) が#bem-ruby("ぶんかい")[分解]する#bem-ruby("かくだいたい")[拡大体] #mitex("L", block: false) で#bem-ruby("そうい")[相異]なる#bem-ruby("ね")[根] #mitex("\\alpha,\\beta", block: false) をもつなら、#mitex("L", block: false) #bem-ruby("ち")[値]のすべての#bem-ruby("かい")[解]は


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=A\\alpha^{n-1}+B\\beta^{n-1}}")]


である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("x=\\alpha,\\beta", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すれば#bem-ruby("かくれつ")[各列]が#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("み")[満]たす。また、#mitex("a_1,a_2", block: false) を#bem-ruby("いっち")[一致]させる #mitex("A,B", block: false) は#bem-ruby("いちい")[一意]に#bem-ruby("そんざい")[存在]する。#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("と")[取]った#bem-ruby("かい")[解]は#bem-ruby("はじ")[初]めの 2 #bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("れい")[零]であり、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]による#bem-ruby("きのうほう")[帰納法]で#bem-ruby("ぜんこう")[全項]が#bem-ruby("れい")[零]となるため、これが#bem-ruby("ぜんかい")[全解]である。


#mitex("\\chi", block: false) が#bem-ruby("ひれい")[非零]の#bem-ruby("じゅうこん")[重根] #mitex("\\alpha", block: false) をもつなら、#bem-ruby("ぜんかい")[全解]は


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=(A+B(n-1))\\alpha^{n-1}}")]


である。これは #mitex("(E-\\alpha I)^2", block: false) を #mitex("\\alpha^{n-1}", block: false) と #mitex("(n-1)\\alpha^{n-1}", block: false) に#bem-ruby("さよう")[作用]させて#bem-ruby("れい")[零]となることを#bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]し、#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("しょきちいちいせい")[初期値一意性]を#bem-ruby("もち")[用]いて#bem-ruby("しょうめい")[証明]できる。


== #bem-ruby("こうかい")[高階]と#bem-ruby("じょうたい")[状態]ベクトル


#mitex("k", block: false) #bem-ruby("かい")[階]の#bem-ruby("ていすうけいすうどうじせんけいぜんかしき")[定数係数同次線型漸化式]は #mitex("P(E)a=0", block: false) と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できる。#bem-ruby("ひれい")[非零]の#bem-ruby("とくせいこん")[特性根] #mitex("\\lambda", block: false) の#bem-ruby("ちょうふくど")[重複度]が #mitex("m", block: false) なら、#mitex("\\lambda^n,n\\lambda^n,\\ldots,n^{m-1}\\lambda^n", block: false) に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("かい")[解]が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。#bem-ruby("れいこん")[零根]は#bem-ruby("かいすう")[階数]の#bem-ruby("ていか")[低下]または#bem-ruby("ゆうげんしょきぶぶん")[有限初期部分]に#bem-ruby("かんけい")[関係]するため、#bem-ruby("げんしき")[原式]と#bem-ruby("しょきち")[初期値]から#bem-ruby("しょり")[処理]する。#bem-ruby("かんぜん")[完全]な#bem-ruby("けつろん")[結論]には #mitex("P", block: false) の#bem-ruby("ぶんかいたい")[分解体]を#bem-ruby("してい")[指定]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。


また、#mitex("k", block: false) #bem-ruby("かい")[階]の#bem-ruby("ていすうけいすうどうじせんけいぜんかしき")[定数係数同次線型漸化式]は #mitex("v_n=(a_{n+k-1},\\ldots,a_n)^\\mathsf T", block: false) を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]して #mitex("v_{n+1}=Mv_n", block: false) と 1 #bem-ruby("かい")[階]の#bem-ruby("ぎょうれつぜんかしき")[行列漸化式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]できる。この#bem-ruby("そうさ")[操作]は#bem-ruby("かいすう")[階数]を#bem-ruby("しょうきょ")[消去]するのではなく、#bem-ruby("かこ")[過去] #mitex("k", block: false) #bem-ruby("こう")[項]を#bem-ruby("ひと")[一]つの#bem-ruby("じょうたい")[状態]に#bem-ruby("とうごう")[統合]する。


== #bem-ruby("ついかるいけい")[追加類型]


#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和] #mitex("S_n=\\sum_{j=1}^n a_j", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("しき")[式]では、#mitex("n+1", block: false) の#bem-ruby("しき")[式]と #mitex("n", block: false) の#bem-ruby("しき")[式]の#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("けいせい")[形成]し、#mitex("S_{n+1}-S_n=a_{n+1}", block: false) によって#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を#bem-ruby("しょうきょ")[消去]する。


#bem-ruby("せきがた")[積型] #mitex("a_{n+1}=r_na_n", block: false) は #mitex("a_n=a_1\\prod_{j=1}^{n-1}r_j", block: false) となる。#bem-ruby("ぎゃくすうがた")[逆数型] #mitex("1/a_{n+1}=1/a_n+d", block: false) は、すべての#bem-ruby("たいしょうこう")[対象項]が#bem-ruby("ひれい")[非零]であるとき #mitex("b_n=1/a_n", block: false) により#bem-ruby("とうさがた")[等差型]へ#bem-ruby("きちゃく")[帰着]する。


メビウス#bem-ruby("がた")[型] #mitex("T(x)=(Ax+B)/(Cx+D)", block: false) で #mitex("AD-BC\\ne0", block: false) とし、#bem-ruby("そうい")[相異]なる#bem-ruby("ゆうげんこていてん")[有限固定点] #mitex("\\alpha,\\beta", block: false) があり、#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]および #mitex("a_n-\\beta", block: false) が#bem-ruby("ひれい")[非零]であるとする。このとき、ある#bem-ruby("ていすう")[定数] #mitex("\\rho", block: false) により


#align(center)[#mitex("\\frac{T(x)-\\alpha}{T(x)-\\beta}=\\rho\\frac{x-\\alpha}{x-\\beta}")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するため、#mitex("z_n=(a_n-\\alpha)/(a_n-\\beta)", block: false) は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]となる。


#bem-ruby("せんけいれんりつ")[線型連立] #mitex("w_{n+1}=Mw_n", block: false) は#bem-ruby("じょうたい")[状態]ベクトルの#bem-ruby("ぎょうれつはんぷく")[行列反復]である。#bem-ruby("たいしょうにへんすうけい")[対称二変数系]


#align(center)[#mitex("x_{n+1}=ax_n+by_n,\\qquad y_{n+1}=bx_n+ay_n")]


では、#mitex("u_n=x_n+y_n", block: false)、#mitex("v_n=x_n-y_n", block: false) により #mitex("u_{n+1}=(a+b)u_n", block: false)、#mitex("v_{n+1}=(a-b)v_n", block: false) と#bem-ruby("ぶんり")[分離]できる。


#bem-ruby("せいすうれつ")[整数列]で #mitex("q_n\\in\\mathbb Z", block: false) かつ #mitex("a_{n+1}=a_{n-1}+q_na_n", block: false) が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するなら、


#align(center)[#mitex("\\gcd(a_{n+1},a_n)=\\gcd(a_{n-1}+q_na_n,a_n)=\\gcd(a_{n-1},a_n)")]


である。これは #mitex("\\gcd(x+qy,y)=\\gcd(x,y)", block: false) による#bem-ruby("りんせつさいだいこうやくすう")[隣接最大公約数]の#bem-ruby("ふへんせい")[不変性]である。


== #bem-ruby("せいしつ")[性質]を#bem-ruby("もと")[求]める#bem-ruby("もんだい")[問題]


#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]が#bem-ruby("ふよう")[不要]な#bem-ruby("ばあい")[場合]もある。#bem-ruby("せいすうけいすう")[整数係数]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("ほう")[法] #mitex("m", block: false) で#bem-ruby("しゅくやく")[縮約]すれば、#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("じょうよじょうたい")[剰余状態]を#bem-ruby("かいせき")[解析]できる。#bem-ruby("ふとうしき")[不等式]や#bem-ruby("くかんふへんせい")[区間不変性]は、#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件]を#bem-ruby("かくにん")[確認]し、#mitex("a_n", block: false) の#bem-ruby("せいしつ")[性質]から#bem-ruby("こうしんしき")[更新式]によって #mitex("a_{n+1}", block: false) の#bem-ruby("せいしつ")[性質]を#bem-ruby("みちび")[導]く#bem-ruby("きのうほう")[帰納法]で#bem-ruby("しょうめい")[証明]する。


#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("と")[問]う#bem-ruby("もんだい")[問題]では、#bem-ruby("こていてん")[固定点]を#bem-ruby("こうほ")[候補]とするだけでは#bem-ruby("しゅうそく")[収束]の#bem-ruby("しょうめい")[証明]にならない。#bem-ruby("きょくげん")[極限]、#bem-ruby("れんぞくせい")[連続性]、#bem-ruby("たんちょうせい")[単調性]、#bem-ruby("ゆうかいせい")[有界性]を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]した#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("げんみつ")[厳密]に#bem-ruby("あつか")[扱]う。


== #bem-ruby("てきようはんい")[適用範囲]


#bem-ruby("ひ")[比]を#bem-ruby("しよう")[使用]する#bem-ruby("はんてい")[判定]には#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("ひれいせい")[非零性]、#bem-ruby("へんかけいすうほう")[変化係数法]には #mitex("p\\ne0", block: false)、#bem-ruby("へいこうてんほう")[平衡点法]には #mitex("p\\ne1", block: false) が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。#bem-ruby("ひせんけいぜんかしき")[非線型漸化式]では、#bem-ruby("ぎゃくすう")[逆数]、#bem-ruby("たいすう")[対数]、#bem-ruby("こていてん")[固定点]からの#bem-ruby("さ")[差]の#bem-ruby("ひ")[比]#bem-ruby("とう")[等]の#bem-ruby("へんかん")[変換]が#bem-ruby("ゆうこう")[有効]な#bem-ruby("ばあい")[場合]があるが、#bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("ていぎいき")[定義域]と#bem-ruby("ぎゃくへんかんかのうせい")[逆変換可能性]を#bem-ruby("こべつ")[個別]に#bem-ruby("かくにん")[確認]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。


== #bem-ruby("かんれんこうぎ")[関連講義]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列の極限]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[problems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[polynomial-operators-and-eigenvalue]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.exercise]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[recurrence-types-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exercise]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/exercise/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.exercise/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture.n.md#h(0.7em)md a59aac3]]


= #bem-ruby("いちじ")[一次]#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("ていすうけいすう")[定数係数]の#bem-ruby("いちじせんけいぜんかしき")[一次線型漸化式]を、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]の#bem-ruby("げんざん")[減算]によって#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]へ#bem-ruby("きちゃく")[帰着]する#bem-ruby("ほうほう")[方法]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。


#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) は、#bem-ruby("いっぱん")[一般]には#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]でも#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]でもない。#bem-ruby("ていすうこう")[定数項] #mitex("q", block: false) の#bem-ruby("しょうきょ")[消去]と、#bem-ruby("れいがい")[例外] #mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ぶんり")[分離]が#bem-ruby("かいほう")[解法]の#bem-ruby("ようてん")[要点]である。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-anno("constant-coefficient first-order linear recurrence")[#bem-ruby("ていすうけいすういちじせんけいぜんかしき")[定数係数一次線型漸化式]]とは、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=pa_n+q")]


の#bem-ruby("かたち")[形]をした#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]である。ここで #mitex("p,q", block: false) は#bem-ruby("ていすう")[定数]であり、この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では #mitex("n\\geq1", block: false)、#bem-ruby("しょきち")[初期値] #mitex("a_1", block: false) を#bem-ruby("さいよう")[採用]する。#mitex("q=0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]は#bem-ruby("どうじ")[同次]であり、#mitex("q\\ne0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]は#bem-ruby("ひどうじ")[非同次]である。#mitex("x\\mapsto px+q", block: false) は #mitex("q\\ne0", block: false) のときアフィン#bem-ruby("しゃぞう")[写像]であるが、#bem-ruby("れつ")[列]に#bem-ruby("さよう")[作用]する#bem-ruby("ほうていしき")[方程式] #mitex("(E-pI)a=q\\mathbf1", block: false) は#bem-ruby("せんけいさようそ")[線型作用素]による#bem-ruby("ひどうじほうていしき")[非同次方程式]として#bem-ruby("ひょうげん")[表現]される。


#bem-anno("equilibrium point")[#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]] とは、


#align(center)[#mitex("\\alpha=p\\alpha+q")]


を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("あたい")[値] #mitex("\\alpha", block: false) である。#mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、


#align(center)[#mitex("\\alpha=\\frac{q}{1-p}")]


が#bem-ruby("いち")[一意]に#bem-ruby("そんざい")[存在]する。#mitex("p=1,\\ q\\ne0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]は#bem-ruby("そんざい")[存在]しない。#mitex("p=1,\\ q=0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、すべての#bem-ruby("あたい")[値]が#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]である。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


まず #mitex("p=1", block: false) と #mitex("p\\ne1", block: false) を#bem-ruby("くべつ")[区別]する。#mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}-a_n=q")]


であるため、#mitex("(a_n)", block: false) は#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]である。#mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点] #mitex("\\alpha", block: false) が#bem-ruby("いち")[一意]に#bem-ruby("そんざい")[存在]するため、#bem-ruby("へんされつ")[偏差列] #mitex("a_n-\\alpha", block: false) を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


=== 1. #bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]を#bem-ruby("げんざん")[減算]する#bem-ruby("りゆう")[理由]


#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]は、#bem-ruby("こうしんしゃぞう")[更新写像] #mitex("x\\mapsto px+q", block: false) によって#bem-ruby("ふへん")[不変]な#bem-ruby("あたい")[値]である。#mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、この#bem-ruby("てん")[点]は#bem-ruby("いち")[一意]に#bem-ruby("そんざい")[存在]する。#mitex("a_n", block: false) ではなく#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とすることにより、#bem-ruby("こうしんそく")[更新則]を#bem-ruby("たんじゅんか")[単純化]できる。


=== 2. #bem-ruby("へんされつ")[偏差列]の#bem-ruby("とうひせい")[等比性]


#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]は、#bem-ruby("そえじ")[添字]が 1 #bem-ruby("ぞうか")[増加]するごとに #mitex("p", block: false) #bem-ruby("ばい")[倍]される。したがって、#mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]は#bem-ruby("へんされつ")[偏差列]の#bem-ruby("とうひせい")[等比性]によって#bem-ruby("かいけつ")[解決]できる。#mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]には、#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]が#bem-ruby("ていすう")[定数]となる。


== #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


=== #bem-ruby("めいだい")[命題] 1：#mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]


#strong[#bem-ruby("かてい")[仮定]]：#mitex("n\\geq1", block: false) において #mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false)、#mitex("p\\ne1", block: false) とし、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を #mitex("a_1", block: false) とする。


#strong[#bem-ruby("けつろん")[結論]]：#mitex("\\alpha=\\dfrac{q}{1-p}", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)p^{n-1}}")]


である。


#strong[#bem-ruby("しょうめい")[証明]]：


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=pa_n+q")]


を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とする。#mitex("\\alpha", block: false) を


#align(center)[#mitex("\\alpha=p\\alpha+q")]


を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("ていすう")[定数]とする。


ここで


#align(center)[#mitex("b_n:=a_n-\\alpha")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=a_{n+1}-\\alpha")]


である。#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すると、


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=pa_n+q-\\alpha")]


である。さらに #mitex("\\alpha=p\\alpha+q", block: false) より #mitex("q=\\alpha-p\\alpha", block: false) であるから、


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=pa_n+\\alpha-p\\alpha-\\alpha=p(a_n-\\alpha)=pb_n")]


となる。したがって #mitex("b_n", block: false) は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]で、


#align(center)[#mitex("b_n=b_1p^{n-1}")]


である。#mitex("b_1=a_1-\\alpha", block: false) であるから、


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)p^{n-1}}")]


を#bem-ruby("え")[得]る。


=== #bem-ruby("めいだい")[命題] 2：#mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]


#strong[#bem-ruby("かてい")[仮定]]：#mitex("n\\geq1", block: false) において #mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false)、#mitex("p=1", block: false) とし、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を #mitex("a_1", block: false) とする。


#strong[#bem-ruby("けつろん")[結論]]：


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=a_1+(n-1)q}")]


である。


#strong[#bem-ruby("しょうめい")[証明]]：#mitex("p=1", block: false) であるから、#bem-ruby("もと")[元]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=a_n+q")]


である。したがって


#align(center)[#mitex("a_{n+1}-a_n=q")]


である。#mitex("N\\geq2", block: false) とし、#bem-ruby("りょうへん")[両辺]を #mitex("n=1,2,\\ldots,N-1", block: false) について#bem-ruby("そうわ")[総和]すると、


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=1}^{N-1}(a_{n+1}-a_n)=\\sum_{n=1}^{N-1}q")]


となる。#bem-ruby("さへん")[左辺]は#bem-ruby("ぼうえんわ")[望遠和]となり、


#align(center)[#mitex("a_N-a_1=(N-1)q")]


である。したがって、


#align(center)[#mitex("a_N=a_1+(N-1)q")]


である。#mitex("N=1", block: false) では#bem-ruby("こうしき")[公式]が#bem-ruby("しょきじょうけん")[初期条件] #mitex("a_1=a_1", block: false) と#bem-ruby("いっち")[一致]する。したがって、#bem-ruby("にんい")[任意]の #mitex("n\\geq1", block: false) について#bem-ruby("けつろん")[結論]を#bem-ruby("え")[得]る。


== #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]


#bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]として、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=2a_n+3,\\qquad a_1=1")]


を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とする。#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点] #mitex("\\alpha", block: false) は


#align(center)[#mitex("\\alpha=2\\alpha+3")]


より


#align(center)[#mitex("\\alpha=-3")]


である。この#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]に#bem-ruby("もと")[基]づき、


#align(center)[#mitex("b_n=a_n+3")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、


#align(center)[#mitex("b_{n+1}=a_{n+1}+3=2a_n+6=2(a_n+3)=2b_n")]


である。


したがって #mitex("b_n", block: false) は#bem-ruby("こうひ")[公比] 2 の#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]である。#mitex("b_1=4", block: false) であるから、


#align(center)[#mitex("b_n=4\\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}")]


である。したがって、


#align(center)[#mitex("a_n=2^{n+1}-3")]


となる。


== #bem-ruby("すうがくてき")[数学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


=== #bem-ruby("だいすうてき")[代数的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]は、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]を#bem-ruby("げんてん")[原点]とする#bem-ruby("ざひょう")[座標]へ#bem-ruby("いこう")[移行]することにより、#bem-ruby("ていすうこう")[定数項]を#bem-ruby("しょうきょ")[消去]して#bem-ruby("どうじか")[同次化]できる。


この#bem-ruby("ざひょうへんかん")[座標変換]により、#bem-ruby("こうとうがっこうすうがく")[高等学校数学]の#bem-ruby("ひょうじゅんかいほう")[標準解法]を、#bem-ruby("ひどうじほうていしき")[非同次方程式]の#bem-ruby("どうじか")[同次化]という#bem-ruby("だいすうそうさ")[代数操作]として#bem-ruby("せいり")[整理]できる。


=== #bem-ruby("さようそ")[作用素]による#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#bem-ruby("そえじ")[添字]を 1 #bem-ruby("ぞうか")[増加]させる#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]] #mitex("E", block: false) を #mitex("(Ea)_n=a_{n+1}", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=pa_n+q")]


は


#align(center)[#mitex("(E-pI)a=q\\mathbf 1")]


と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できる。ここで #mitex("\\mathbf 1", block: false) はすべての#bem-ruby("こう")[項]が 1 の#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列]である。


この#bem-ruby("しき")[式]は、#bem-anno("linear operator equation")[#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]]


#align(center)[#mitex("L a=y")]


の#bem-ruby("かたち")[形]である。ただし #mitex("L=E-pI", block: false)、#mitex("y=q\\mathbf 1", block: false) である。#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点] #mitex("\\alpha", block: false) の#bem-ruby("けってい")[決定]は、#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列] #mitex("a_n=\\alpha", block: false) という#bem-ruby("とくかい")[特解]の#bem-ruby("けってい")[決定]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("a_n=\\alpha", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、


#align(center)[#mitex("(E-pI)a=(1-p)\\alpha\\mathbf 1")]


である。したがって #mitex("p\\ne1", block: false) のとき、#mitex("(1-p)\\alpha=q", block: false) となるように #mitex("\\alpha", block: false) を#bem-ruby("せんたく")[選択]すれば、#mitex("a_n=\\alpha", block: false) は#bem-ruby("ひどうじほうていしき")[非同次方程式]の#bem-ruby("とくかい")[特解]である。#mitex("p=1,\\ q\\ne0", block: false) のときは#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列]の#bem-ruby("とくかい")[特解]がないため、#mitex("\\Delta a=q", block: false) という#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]として#bem-ruby("しょり")[処理]する。


#bem-ruby("つづ")[続]いて #mitex("b_n=a_n-\\alpha", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]すると、#mitex("b", block: false) は


#align(center)[#mitex("(E-pI)b=0")]


を#bem-ruby("み")[満]たす。この#bem-ruby("さようそ")[作用素]の#bem-ruby("かく")[核]は、#bem-ruby("そえじりょういき")[添字領域]において #mitex("b_{n+1}=pb_n", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]の#bem-ruby("ぜんたい")[全体]である。


=== #bem-ruby("せんけいだいすうてき")[線形代数的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) は#bem-ruby("せんけいしゃぞう")[線形写像]ではなくアフィン#bem-ruby("へんかん")[変換]である。#bem-ruby("ていすうざひょう")[定数座標] 1 を#bem-ruby("ふか")[付加]すると、


#align(center)[#mitex("\\begin{pmatrix}\na_{n+1}\\\\\n1\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\np & q\\\\\n0 & 1\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\na_n\\\\\n1\n\\end{pmatrix}")]


と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]でき、2 #bem-ruby("じげん")[次元]の#bem-ruby("せんけいへんかん")[線形変換]へ#bem-ruby("う")[埋]め#bem-ruby("こ")[込]まれる。


このとき


#align(center)[#mitex("\\begin{pmatrix}\n\\alpha\\\\\n1\n\\end{pmatrix}")]


が


#align(center)[#mitex("\\begin{pmatrix}\np & q\\\\\n0 & 1\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\n\\alpha\\\\\n1\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\n\\alpha\\\\\n1\n\\end{pmatrix}")]


を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("じょうけん")[条件]は、#mitex("\\alpha=p\\alpha+q", block: false) と#bem-ruby("どうち")[同値]である。したがって、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]が#bem-ruby("そんざい")[存在]する#bem-ruby("ばあい")[場合]、#mitex("(\\alpha,1)^\\mathsf T", block: false) は#bem-ruby("こゆうち")[固有値] 1 に#bem-ruby("ぞく")[属]する#bem-ruby("こゆう")[固有]ベクトルである。


#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]の#bem-ruby("げんざん")[減算]は、#bem-ruby("ざひょうげんてん")[座標原点]を#bem-ruby("ふどうてん")[不動点]へ#bem-ruby("いどう")[移動]し、#bem-ruby("へんさざひょう")[偏差座標]における#bem-ruby("へんかん")[変換]を#bem-ruby("たんじゅんか")[単純化]する#bem-ruby("そうさ")[操作]である。


=== #bem-ruby("かいせきがくてき")[解析学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#mitex("a_{n+1}-a_n", block: false) を#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("へんかりょう")[変化量]と#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]すると、#bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]は#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]


#align(center)[#mitex("y'=cy+d")]


の#bem-ruby("りさんてきたいおうぶつ")[離散的対応物]である。いずれも#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]の#bem-ruby("げんざん")[減算]によって#bem-ruby("どうじか")[同次化]できるが、#bem-ruby("りさんけい")[離散系]と#bem-ruby("れんぞくけい")[連続系]の#bem-ruby("かいこうしき")[解公式]は#bem-ruby("くべつ")[区別]される。


この#bem-ruby("たいおう")[対応]により、#bem-ruby("りさんけい")[離散系]と#bem-ruby("れんぞくけい")[連続系]における#bem-ruby("へいこうてんきんぼう")[平衡点近傍]の#bem-ruby("こうぞう")[構造]を#bem-ruby("ひかく")[比較]できる。


== #bem-ruby("せいりつはんい")[成立範囲]


#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]の#bem-ruby("げんざん")[減算]は、#mitex("a_{n+1}=pa_n+q", block: false) かつ #mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("ゆうこう")[有効]である。#mitex("p=1", block: false) では#bem-ruby("ていすうさぶん")[定数差分]を#bem-ruby("そうわ")[総和]する。#bem-ruby("ひせんけいぜんかしき")[非線形漸化式]または#bem-ruby("へんすうけいすうぜんかしき")[変数係数漸化式]には、これらの#bem-ruby("めいだい")[命題]を#bem-ruby("へんこう")[変更]せずに#bem-ruby("てきよう")[適用]することはできない。


== #bem-ruby("きほんこうしき")[基本公式]


#mitex("p\\ne1", block: false) のとき：


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\alpha=\\frac{q}{1-p}}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{b_n:=a_n-\\alpha \\ \\Rightarrow\\ b_{n+1}=pb_n}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)p^{n-1}}")]


#mitex("p=1", block: false) のとき：


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n=a_1+(n-1)q}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("いちじぜんかしき")[一次漸化式]では、まず #mitex("p=1", block: false) と #mitex("p\\ne1", block: false) を#bem-ruby("くべつ")[区別]する。

- #mitex("p\\ne1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]を#bem-ruby("げんざん")[減算]して#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]へ#bem-ruby("きちゃく")[帰着]する。

- #mitex("p=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("ていすうさぶん")[定数差分]を#bem-ruby("そうわ")[総和]して#bem-ruby("とうさすうれつ")[等差数列]として#bem-ruby("しょり")[処理]する。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#strong[#bem-ruby("かんれん")[関連]#bem-ruby("こうぎ")[講義]・#bem-ruby("かんれん")[関連]ノート]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/sequences-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture.n.md#h(0.7em)md bcc718a]]


= #bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]の#bem-ruby("きほん")[基本]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]が#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("かんけい")[関係]として#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]であることを#bem-ruby("せつめい")[説明]する。#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]な#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]との#bem-ruby("こうぞうてきたいおう")[構造的対応]も#bem-ruby("めいかく")[明確]にする。


#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]を#bem-ruby("りさんじかん")[離散時間]の#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]として#bem-ruby("ていしきか")[定式化]し、#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]との#bem-ruby("こうぞうてきたいおう")[構造的対応]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。ここでは #mitex("a_{n+1}-a_n", block: false) を#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("へんかりょう")[変化量]として#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#bem-anno("Difference equation")[#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]] とは、#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("ふくすう")[複数]の#bem-ruby("そえじ")[添字]における#bem-ruby("みちれつ")[未知列]の#bem-ruby("あたい")[値]の#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("あらわ")[表]す#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]である。#bem-ruby("こうかい")[高階]の#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]は #mitex("a_{n+2}", block: false) と #mitex("a_n", block: false) のような#bem-ruby("ひりんせつこう")[非隣接項]を#bem-ruby("ふく")[含]みうるが、この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では#bem-ruby("りんせつ")[隣接]する 2 #bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("いちじほうていしき")[一次方程式]を#bem-ruby("おも")[主]に#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#bem-anno("Forward difference")[#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]] とは、


#align(center)[#mitex("\\Delta a_n=a_{n+1}-a_n")]


で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("さ")[差]である。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


まず #mitex("a_{n+1}-a_n", block: false) を#bem-ruby("りさんへんかりょう")[離散変化量]として#bem-ruby("さいよう")[採用]する#bem-ruby("りゆう")[理由]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。#bem-ruby("つぎ")[次]に、#bem-ruby("いちじさぶんほうていしき")[一次差分方程式]を#bem-ruby("へんけい")[変形]し、#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]と#bem-ruby("ぼうえんわ")[望遠和]による#bem-ruby("かいほう")[解法]を#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-differential]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]における #mitex("y'(x)", block: false) が#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]な#bem-ruby("きょくしょへんかりつ")[局所変化率]を#bem-ruby("あらわ")[表]すのに#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]における #mitex("a_{n+1}-a_n", block: false) は#bem-ruby("そえじ")[添字]の 1 #bem-ruby("たんい")[単位]の#bem-ruby("ぞうか")[増加]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("ぞうぶん")[増分]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。


したがって、#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]は、#bem-ruby("じかん")[時間]や#bem-ruby("はんぷくかいすう")[反復回数]が#bem-ruby("せいすうち")[整数値]をとる#bem-ruby("げんしょう")[現象]の#bem-ruby("きじゅつ")[記述]に#bem-ruby("てき")[適]する。


== #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


=== 1. #bem-ruby("さぶん")[差分]を#bem-ruby("つか")[使]う#bem-ruby("りゆう")[理由]


#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("へんすう")[変数] #mitex("n", block: false) は 1, 2, 3, ... という#bem-ruby("りさんち")[離散値]をとる。したがって#bem-ruby("びぶん")[微分]


#align(center)[#mitex("\\frac{da}{dn}")]


をそのまま#bem-ruby("かんが")[考]えるより、


#align(center)[#mitex("\\Delta a_n=a_{n+1}-a_n")]


によって#bem-ruby("へんかりょう")[変化量]を#bem-ruby("きじゅつ")[記述]することが#bem-ruby("しぜん")[自然]である。


=== 2. #bem-ruby("もっと")[最]も#bem-ruby("きほん")[基本]の#bem-ruby("かたち")[形]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=ra_n")]


の#bem-ruby("ばあい")[場合]、


#align(center)[#mitex("a_n=a_1r^{n-1}")]


である。これは#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]である。この#bem-ruby("かんけいしき")[関係式]は、#bem-ruby("そえじ")[添字]が 1 #bem-ruby("ぞうか")[増加]するごとに#bem-ruby("ちょくぜん")[直前]の#bem-ruby("こう")[項]を #mitex("r", block: false) #bem-ruby("ばい")[倍]する#bem-ruby("きそく")[規則]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。したがって、


#align(center)[#mitex("a_2=ra_1,\\qquad a_3=ra_2=r^2a_1,\\qquad \\dots")]


となり、#bem-ruby("きのうてき")[帰納的]に


#align(center)[#mitex("a_n=a_1r^{n-1}")]


を#bem-ruby("え")[得]る。


=== 3. #bem-ruby("いちじ")[一次]#bem-ruby("ひどうじ")[非同次]#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=ra_n+b")]


を #mitex("n\\geq 1", block: false) で#bem-ruby("たいしょう")[対象]とし、#bem-ruby("しょきち")[初期値]を #mitex("a_1", block: false) とする。まず#bem-ruby("ていすうかい")[定数解] #mitex("\\alpha", block: false) を#bem-ruby("もと")[求]めると


#align(center)[#mitex("\\alpha=r\\alpha+b")]


したがって、


#align(center)[#mitex("\\alpha=\\frac{b}{1-r}\\qquad (r\\ne 1)")]


である。この#bem-ruby("ていすうかい")[定数解]を、#bem-ruby("こうしんしゃぞう")[更新写像] #mitex("a\\mapsto ra+b", block: false) によって#bem-ruby("ふへん")[不変]な#bem-anno("equilibrium point")[#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]]という。#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]を#bem-ruby("あら")[新]たな#bem-ruby("れつ")[列]とすると、#bem-ruby("ていすうこう")[定数項] #mitex("b", block: false) を#bem-ruby("しょうきょ")[消去]して#bem-ruby("どうじほうていしき")[同次方程式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]できる。


そこで


#align(center)[#mitex("c_n=a_n-\\alpha")]


とおくと


#align(center)[#mitex("c_{n+1}=a_{n+1}-\\alpha=ra_n+b-\\alpha=r(a_n-\\alpha)=rc_n")]


となる。したがって


#align(center)[#mitex("c_n=C r^{n-1},\\qquad C=c_1=a_1-\\alpha")]


で、


#align(center)[#mitex("a_n=\\alpha+(a_1-\\alpha)r^{n-1}")]


である。すなわち、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]を#bem-ruby("げんざん")[減算]することにより、#bem-ruby("ひどうじほうていしき")[非同次方程式]を#bem-ruby("どうじほうていしき")[同次方程式]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]できる。


ただし #mitex("r=1", block: false) のときは


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=a_n+b")]


であるから、


#align(center)[#mitex("a_{n+1}-a_n=b")]


であり、#bem-ruby("かく")[各]#bem-ruby("はんぷく")[反復]における#bem-ruby("ぞうぶん")[増分]は #mitex("b", block: false) である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、


#align(center)[#mitex("a_2-a_1=b,\\qquad a_3-a_2=b,\\qquad \\dots,\\qquad a_n-a_{n-1}=b")]


を#bem-ruby("かさん")[加算]すると#bem-ruby("ちゅうかんこう")[中間項]が#bem-ruby("そうさい")[相殺]され、


#align(center)[#mitex("a_n-a_1=(n-1)b")]


となる。したがって、


#align(center)[#mitex("a_n=a_1+(n-1)b")]


となる。したがって、#mitex("r\\ne 1", block: false) の#bem-ruby("こうしき")[公式]は #mitex("r=1", block: false) に#bem-ruby("てきよう")[適用]できず、#mitex("r=1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]には#bem-ruby("どくりつ")[独立]の#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]を#bem-ruby("よう")[要]する。


=== 4. #mitex("E-I", block: false) による#bem-ruby("さようそひょうじ")[作用素表示]


#bem-ruby("そえじ")[添字]を 1 #bem-ruby("ぞうか")[増加]させる#bem-anno("shift operator")[シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]] #mitex("E", block: false) を


#align(center)[#mitex("(Ea)_n=a_{n+1}")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。このとき、#bem-ruby("ぜんしんさぶん")[前進差分]は


#align(center)[#mitex("\\Delta a=(E-I)a")]


と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]される。


#bem-ruby("さぶん")[差分]#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]


#align(center)[#mitex("\\Delta a=f")]


は、#bem-anno("linear operator equation")[#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]]


#align(center)[#mitex("(E-I)a=f")]


である。#bem-ruby("いっぱん")[一般]の#bem-ruby("せんけいさようそほうていしき")[線型作用素方程式]と#bem-ruby("どうよう")[同様]に、1 つの#bem-ruby("とくかい")[特解] #mitex("a^{(p)}", block: false) が#bem-ruby("え")[得]られれば、すべての#bem-ruby("かい")[解]は


#align(center)[#mitex("a=a^{(p)}+h,\\qquad (E-I)h=0")]


で#bem-ruby("あた")[与]えられる。ここで #mitex("(E-I)h=0", block: false) は #mitex("h_{n+1}=h_n", block: false) を#bem-ruby("いみ")[意味]するため、#bem-ruby("れんぞく")[連続]する#bem-ruby("せいすうそえじ")[整数添字]の#bem-ruby("りょういきじょう")[領域上]で #mitex("h", block: false) は#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列]である。したがって、#bem-ruby("ふていわぶん")[不定和分]において#bem-ruby("せきぶんていすう")[積分定数]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("たいしょう")[対象]は、#bem-ruby("さぶんさようそ")[差分作用素]の#bem-ruby("かく")[核]である。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("すうがくてき")[数学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


=== #bem-ruby("ぎょうれつ")[行列]による#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#bem-ruby("いちじ")[一次]の#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}=ra_n+b")]


は、#bem-ruby("ていすうざひょう")[定数座標] 1 を#bem-ruby("ふか")[付加]して


#align(center)[#mitex("\\begin{pmatrix}\na_{n+1}\\\\\n1\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\nr & b\\\\\n0 & 1\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\na_n\\\\\n1\n\\end{pmatrix}")]


と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]でき、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]は#bem-ruby("ぎょうれつはんぷく")[行列反復]として#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]される。


この#bem-ruby("ひょうげん")[表現]では、#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]の#bem-ruby("はんぷくてきよう")[反復適用]が#bem-ruby("ぎょうれつ")[行列]の#bem-ruby("るいじょう")[累乗]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#bem-ruby("ていすうけいすうせんけいどうじこうかいぜんかしき")[定数係数線型同次高階漸化式]も、#bem-ruby("れんぞく")[連続]する#bem-ruby("こう")[項]を#bem-ruby("じょうたい")[状態]ベクトルにまとめることにより、#bem-ruby("はんずいぎょうれつ")[伴随行列]による#bem-ruby("いちじけい")[一次系]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]できる。この#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("はんずいぎょうれつ")[伴随行列]の#bem-ruby("たいかくかかのうせい")[対角化可能性]と Jordan #bem-ruby("こうぞう")[構造]が#bem-ruby("かい")[解]の#bem-ruby("けいしき")[形式]を#bem-ruby("きてい")[規定]する。


この#bem-ruby("ぎょうれつひょうげん")[行列表現]により、#bem-ruby("いちじ")[一次]だけでなく#bem-ruby("にかい")[二階]および#bem-ruby("こうかい")[高階]の#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]も#bem-ruby("きょうつう")[共通]の#bem-ruby("わくぐ")[枠組]みによって#bem-ruby("せいり")[整理]できる。


=== #bem-ruby("かいせきがくてき")[解析学的]な#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#align(center)[#mitex("a_{n+1}-a_n=ka_n")]


は


#align(center)[#mitex("\\Delta a_n=ka_n")]


であり、これは#bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]


#align(center)[#mitex("y'=ky")]


の#bem-ruby("りさんてきたいおうぶつ")[離散的対応物]である。#bem-ruby("れんぞくけい")[連続系]の#bem-ruby("かい")[解]が#bem-ruby("しすうかんすう")[指数関数]となるのに#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("りさんけい")[離散系]の#bem-ruby("かい")[解]は#bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]となる。


=== #bem-ruby("ふくそかんすう")[複素関数]による#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]


#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]に#bem-ruby("あらわ")[現]れる #mitex("r^n", block: false) は、#bem-ruby("ふくそしすうかんすう")[複素指数関数]によって#bem-ruby("ぞうげん")[増減]と#bem-ruby("しんどう")[振動]を#bem-ruby("とういつてき")[統一的]に#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できる。#mitex("r=\\rho e^{i\\theta}", block: false) と#bem-ruby("きょくけいしき")[極形式]で#bem-ruby("あらわ")[表]すと


#align(center)[#mitex("r^n=\\rho^n e^{in\\theta}")]


である。ここで


#align(center)[#mitex("e^{in\\theta}=\\cos(n\\theta)+i\\sin(n\\theta)")]


である。したがって、#bem-ruby("しんどう")[振動]を#bem-ruby("ともな")[伴]う#bem-ruby("ぞうげん")[増減]は、#bem-ruby("たんいつ")[単一]の#bem-ruby("ふくそしすうがた")[複素指数型]によって#bem-ruby("きじゅつ")[記述]できる。


この#bem-ruby("ひょうげん")[表現]は#bem-ruby("ばいりつ")[倍率]と#bem-ruby("かいてん")[回転]を#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する。#bem-ruby("とく")[特]に#bem-ruby("にかいさぶんほうていしき")[二階差分方程式]が#bem-ruby("きょうやくふくそこん")[共役複素根]をもつ#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("じっすうかい")[実数解]が#bem-ruby("さんかくかんすう")[三角関数]によって#bem-ruby("ひょうげん")[表現]される。


#bem-anno("generating function")[#bem-ruby("ぼかんすう")[母関数]]とは、#bem-ruby("れつ")[列]を#bem-ruby("けいすう")[係数]にもつ#bem-ruby("けいしきてき")[形式的]または#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する#bem-ruby("べききゅうすう")[冪級数]である。ここでは#bem-ruby("そえじ")[添字]を 0 から#bem-ruby("かいし")[開始]するように#bem-ruby("さいそえじづ")[再添字付]けし、#mitex("A(w)=\\sum_{n\\ge0}a_nw^n", block: false) とする。#bem-ruby("ぜんかしき")[漸化式]に #mitex("w^n", block: false) を#bem-ruby("じょう")[乗]じて#bem-ruby("そうわ")[総和]を#bem-ruby("と")[取]ると、シフトは #mitex("w", block: false) の#bem-ruby("だいすういんし")[代数因子]と#bem-ruby("しょきこう")[初期項]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]される。#mitex("w=z^{-1}", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば、これは#bem-ruby("かたがわ")[片側] Z #bem-ruby("へんかん")[変換]の#bem-ruby("べききゅうすうひょうじ")[冪級数表示]である。


== #bem-ruby("てきようほうしん")[適用方針]


- #bem-ruby("りんせつこう")[隣接項] #mitex("a_{n+1},a_n", block: false) の#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]として#bem-ruby("ていしきか")[定式化]する。

- #mitex("a_{n+1}=ra_n+b", block: false) では、#bem-ruby("へいこうてん")[平衡点]の#bem-ruby("げんざん")[減算]による#bem-ruby("どうじか")[同次化]の#bem-ruby("かひ")[可否]を#bem-ruby("さいしょ")[最初]に#bem-ruby("けんとう")[検討]する。

- #bem-ruby("びぶんほうていしき")[微分方程式]との#bem-ruby("こうぞうてきたいおう")[構造的対応]を#bem-ruby("りよう")[利用]して、#bem-ruby("ぞうか")[増加]、#bem-ruby("げんすい")[減衰]、#bem-ruby("しんどう")[振動]を#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]する。


== #bem-ruby("せいりつはんい")[成立範囲]


ここでは#bem-ruby("いちじ")[一次]の#bem-ruby("きほんけい")[基本形]だけを#bem-ruby("あつか")[扱]った。また #mitex("a_{n+1}=ra_n+b", block: false) の#bem-ruby("かいほう")[解法]は #mitex("r\\ne 1", block: false) と #mitex("r=1", block: false) で#bem-ruby("ばあいわ")[場合分]けが#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。#bem-ruby("こうかい")[高階]の#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]や#bem-ruby("ひせんけい")[非線形]の#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]では、#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("しゅほう")[手法]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。


== #bem-ruby("きほんこうしき")[基本公式]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta a_n=a_{n+1}-a_n}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_{n+1}=ra_n+b \\Rightarrow a_n=\\frac{b}{1-r}+\\left(a_1-\\frac{b}{1-r}\\right)r^{n-1}\\quad(n\\ge1,\\ r\\ne 1)}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_{n+1}=a_n+b \\Rightarrow a_n=a_1+(n-1)b\\quad(n\\ge1)}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]は、#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("りさんてき")[離散的]な#bem-ruby("へんかりょう")[変化量]によって#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]である。

- シフト#bem-ruby("さようそ")[作用素]による#bem-ruby("ひょうじ")[表示]では #mitex("\\Delta=E-I", block: false) であり、#bem-ruby("いっぱんかい")[一般解]は#bem-ruby("とくかい")[特解]と#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列]の#bem-ruby("わ")[和]である。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[一次漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[recurrences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[シフト作用素と漸化式]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[strategies.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[漸化式の類型と解法方針]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[transform.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-z]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[linear-operator-equation]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-operator]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture.n.md#h(0.7em)md ff31ea4]]


= #bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("すうれつ")[数列]がある#bem-ruby("じっすう")[実数]へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]することを #mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("N", block: false) #bem-ruby("ろんぽう")[論法]によって#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、#strong[#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("しょこう")[初項]ではなく、#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("せいど")[精度]に#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい#bem-ruby("そえじいこう")[添字以降]のすべての#bem-ruby("こう")[項]によって#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("はんてい")[判定]する]という#bem-ruby("げんそく")[原則]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。


#bem-ruby("さぶんほうていしき")[差分方程式]から#bem-ruby("え")[得]た#bem-ruby("かい")[解]の#bem-ruby("ちょうききょどう")[長期挙動]や、#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]う#bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を#bem-ruby("かいせき")[解析]するには、#bem-ruby("すうれつ")[数列]の「#bem-ruby("せっきん")[接近]」を#bem-ruby("ていりょうか")[定量化]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。#bem-ruby("いか")[以下]では#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列] #mitex("(a_n)_{n\\geq1}", block: false) を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とし、#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]の#bem-ruby("せいしつ")[性質]を#bem-ruby("ぜんてい")[前提]とする。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#bem-ruby("すうれつ")[数列] #mitex("(a_n)", block: false) が #mitex("L\\in\\mathbb R", block: false) に#bem-anno("converge")[#bem-ruby("しゅうそく")[収束]]するとは、


#align(center)[#mitex("\\forall\\varepsilon>0\\ \\exists N\\in\\mathbb N\\ \\forall n\\geq N,\n\\qquad |a_n-L|<\\varepsilon")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]することである。このとき #mitex("\\lim_{n\\to\\infty}a_n=L", block: false) または #mitex("a_n\\to L", block: false) と#bem-ruby("しる")[記]す。#mitex("\\varepsilon", block: false) は#bem-ruby("ようきゅう")[要求]する#bem-ruby("ごさ")[誤差]であり、#mitex("N", block: false) はその#bem-ruby("ようきゅう")[要求]に#bem-ruby("おう")[応]じて#bem-ruby("せんたく")[選択]してよいが、#bem-ruby("せんたくご")[選択後]は#strong[すべての] #mitex("n\\geq N", block: false) に#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("ひょうか")[評価]が#bem-ruby("せいりつ")[成立]しなければならない。


#bem-ruby("ゆうげん")[有限]な#bem-ruby("じっすう")[実数] #mitex("L", block: false) のいずれにも#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しない#bem-ruby("すうれつ")[数列]を#bem-anno("diverge")[#bem-ruby("はっさん")[発散]]するという。#bem-ruby("とく")[特]に、


#align(center)[#mitex("\\forall M\\in\\mathbb R\\ \\exists N\\in\\mathbb N\\ \\forall n\\geq N,\n\\qquad a_n>M")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]するとき #mitex("a_n\\to+\\infty", block: false) と#bem-ruby("しる")[記]す。#bem-ruby("どうよう")[同様]に、#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい#bem-ruby("そえじいこう")[添字以降]のすべての#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("じっすう")[実数] #mitex("M", block: false) より#bem-ruby("ちい")[小]さくなるとき #mitex("a_n\\to-\\infty", block: false) と#bem-ruby("しる")[記]す。#mitex("+\\infty", block: false) と #mitex("-\\infty", block: false) は#bem-ruby("じっすう")[実数]の#bem-ruby("きょくげんち")[極限値]ではなく、#bem-ruby("とくてい")[特定]の#bem-ruby("はっさんようしき")[発散様式]を#bem-ruby("あらわ")[表]す#bem-ruby("きごう")[記号]である。#bem-ruby("たと")[例]えば #mitex("(-1)^n", block: false) は#bem-ruby("しんどう")[振動]して#bem-ruby("はっさん")[発散]するため、いずれの#bem-ruby("むげんだいはっさん")[無限大発散]でもない。


== #bem-ruby("きほんせいしつ")[基本性質]


#bem-ruby("きょくげん")[極限]は#bem-ruby("いちい")[一意]である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("a_n\\to L", block: false) かつ #mitex("a_n\\to K", block: false) と#bem-ruby("かてい")[仮定]し、#mitex("L\\ne K", block: false) とする。#mitex("\\varepsilon=|L-K|/3", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("りょうていぎ")[両定義]を#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい #mitex("n", block: false) を#bem-ruby("えら")[選]ぶと、#bem-ruby("さんかくふとうしき")[三角不等式]から


#align(center)[#mitex("|L-K|\\leq|L-a_n|+|a_n-K|<2|L-K|/3")]


となり#bem-ruby("むじゅん")[矛盾]する。


また、#bem-ruby("しゅうそくれつ")[収束列]は#bem-ruby("ゆうかい")[有界]である。#mitex("a_n\\to L", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("\\varepsilon=1", block: false) を#bem-ruby("えら")[選]べば、#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい#bem-ruby("こう")[項]は #mitex("|a_n|\\leq|L|+1", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たす。#bem-ruby("のこ")[残]る#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("しょこう")[初項]にも#bem-ruby("さいだいぜったいち")[最大絶対値]が#bem-ruby("そんざい")[存在]するため、すべての#bem-ruby("こう")[項]を#bem-ruby("きょうつう")[共通]の#bem-ruby("ていすう")[定数]で#bem-ruby("ひょうか")[評価]できる。したがって、#bem-ruby("ひゆうかい")[非有界]な#bem-ruby("すうれつ")[数列]は#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しない。ただし、#bem-ruby("ゆうかいせい")[有界性]だけでは#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]せず、#mitex("(-1)^n", block: false) が#bem-ruby("はんれい")[反例]となる。


#bem-ruby("いか")[以下]では#bem-ruby("きち")[既知]の#bem-ruby("きょくげんそく")[極限則]を#bem-ruby("しよう")[使用]する。#mitex("a_n\\to A", block: false)、#mitex("b_n\\to B", block: false) なら、


#align(center)[#mitex("a_n+b_n\\to A+B,\\qquad a_nb_n\\to AB,\\qquad\n\\frac{a_n}{b_n}\\to\\frac AB\\quad(B\\ne0)")]


である。#bem-ruby("さいご")[最後]の#bem-ruby("しゅちょう")[主張]では #mitex("b_n\\ne0", block: false) が#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい #mitex("n", block: false) で#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。これらは#bem-ruby("かくごさ")[各誤差]を#bem-ruby("さんかくふとうしき")[三角不等式]で#bem-ruby("ぶんかつ")[分割]し、#bem-ruby("しゅうそくれつ")[収束列]の#bem-ruby("ゆうかいせい")[有界性]を#bem-ruby("りよう")[利用]すれば #mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("N", block: false) #bem-ruby("ていぎ")[定義]から#bem-ruby("しょうめい")[証明]できる。


== #bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]


#mitex("a_n=ar^{n-1}", block: false) とする。#mitex("a=0", block: false) なら#bem-ruby("こうとうてき")[恒等的]に #mitex("0", block: false) である。#bem-ruby("いか")[以下]では #mitex("a\\ne0", block: false) とする。


- #mitex("|r|<1", block: false) なら #mitex("a_n\\to0", block: false) である。#mitex("0<|r|<1", block: false) のとき #mitex("q=1/|r|>1", block: false) とおく。#bem-ruby("にこうていり")[二項定理]から #mitex("q^m=(1+(q-1))^m\\geq1+m(q-1)", block: false) なので、#bem-ruby("にんい")[任意]の #mitex("\\varepsilon>0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し #mitex("1+m(q-1)>|a|/\\varepsilon", block: false) となる #mitex("m", block: false) を#bem-ruby("えら")[選]ぶ。#mitex("N=m+1", block: false) とすれば、#mitex("n\\geq N", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("|ar^{n-1}|\\leq|ar^m|<\\varepsilon", block: false) となる。#mitex("r=0", block: false) も#bem-ruby("ちょくせつかくにん")[直接確認]できる。

- #mitex("r=1", block: false) なら #mitex("a_n=a", block: false) であり、#mitex("a", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。

- #mitex("r=-1", block: false) なら #mitex("a_n", block: false) は #mitex("a", block: false) と #mitex("-a", block: false) を#bem-ruby("こうご")[交互]にとる。#bem-ruby("かり")[仮]に #mitex("a_n\\to L", block: false) なら、#bem-ruby("ていぎ")[定義]を#bem-ruby("ぐうすうそえじ")[偶数添字]と#bem-ruby("きすうそえじ")[奇数添字]へ#bem-ruby("てきよう")[適用]して#bem-ruby("ていすうれつ")[定数列] #mitex("a", block: false) と #mitex("-a", block: false) がともに #mitex("L", block: false) へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]することになるが、#bem-ruby("きょくげん")[極限]の#bem-ruby("いちいせい")[一意性]と #mitex("a\\ne0", block: false) に#bem-ruby("はん")[反]する。したがって#bem-ruby("はっさん")[発散]する。

- #mitex("r>1", block: false) なら、#bem-ruby("うえ")[上]の#bem-ruby("にこうていり")[二項定理]によって #mitex("r^{n-1}", block: false) は#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("せいすう")[正数]を#bem-ruby("さいしゅうてき")[最終的]に#bem-ruby("こ")[超]える。したがって #mitex("a>0", block: false) なら #mitex("a_n\\to+\\infty", block: false)、#mitex("a<0", block: false) なら #mitex("a_n\\to-\\infty", block: false) である。

- #mitex("r\\leq-1", block: false) なら#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("こうたい")[交替]する。#mitex("r<-1", block: false) では#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]も#bem-ruby("ひゆうかい")[非有界]となるため#bem-ruby("はっさん")[発散]し、#mitex("+\\infty", block: false) にも #mitex("-\\infty", block: false) にも#bem-ruby("はっさん")[発散]しない。


したがって、#bem-ruby("ひれい")[非零]の#bem-ruby("じっすう")[実数] #mitex("a", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("ゆうげんきょくげん")[有限極限]の#bem-ruby("そんざいじょうけん")[存在条件]は #mitex("|r|<1", block: false) または #mitex("r=1", block: false) である。


== #bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]された#bem-ruby("すうれつ")[数列]


#mitex("P,Q", block: false) を#bem-ruby("ひれい")[非零]の#bem-ruby("じつけいすうたこうしき")[実係数多項式]、#mitex("Q(n)\\ne0", block: false) が#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい #mitex("n", block: false) で#bem-ruby("せいりつ")[成立]するとし、


#align(center)[#mitex("a_n=\\frac{P(n)}{Q(n)}")]


を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("p=\\deg P", block: false)、#mitex("q=\\deg Q", block: false) とし、#bem-ruby("さいこうじけいすう")[最高次係数]をそれぞれ #mitex("c,d", block: false) とする。#mitex("p\\leq q", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]は#bem-ruby("ぶんし")[分子]と#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]を #mitex("n^q", block: false) で#bem-ruby("じょざん")[除算]する。#mitex("p>q", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]は #mitex("a_n/n^{p-q}=P(n)/(n^{p-q}Q(n))", block: false) の#bem-ruby("ぶんし")[分子]と#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]を #mitex("n^p", block: false) で#bem-ruby("じょざん")[除算]する。#mitex("1/n^k\\to0", block: false) と#bem-ruby("きょくげんそく")[極限則]を#bem-ruby("てきよう")[適用]すると#bem-ruby("つぎ")[次]を#bem-ruby("え")[得]る。


- #mitex("p<q", block: false) なら #mitex("a_n\\to0", block: false)。

- #mitex("p=q", block: false) なら #mitex("a_n\\to c/d", block: false)。

- #mitex("p>q", block: false) なら、#mitex("a_n/n^{p-q}", block: false) は #mitex("c/d", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。この#bem-ruby("ひ")[比]は#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい#bem-ruby("そえじいこう")[添字以降]で #mitex("c/d", block: false) と#bem-ruby("どうふごう")[同符号]かつ#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]が #mitex("|c/(2d)|", block: false) #bem-ruby("いじょう")[以上]となり、#mitex("n^{p-q}", block: false) は#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("せいすう")[正数]を#bem-ruby("こ")[超]える。したがって、#mitex("c/d>0", block: false) なら #mitex("+\\infty", block: false)、#mitex("c/d<0", block: false) なら #mitex("-\\infty", block: false) へ#bem-ruby("はっさん")[発散]する。


#bem-ruby("たと")[例]えば、


#align(center)[#mitex("\\frac{3n^2+1}{n^2-2n+5}\n=\\frac{3+n^{-2}}{1-2n^{-1}+5n^{-2}}\\longrightarrow3")]


である。ここで#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("きょくげん")[極限]が #mitex("1\\ne0", block: false) であるため、#bem-ruby("しょう")[商]の#bem-ruby("きょくげんそく")[極限則]を#bem-ruby("てきよう")[適用]できる。


== はさみうちの#bem-ruby("ていり")[定理]


#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きいすべての #mitex("n", block: false) について


#align(center)[#mitex("b_n\\leq a_n\\leq c_n")]


であり、#mitex("b_n\\to L", block: false) かつ #mitex("c_n\\to L", block: false) なら #mitex("a_n\\to L", block: false) である。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#bem-ruby("にんい")[任意]の #mitex("\\varepsilon>0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい #mitex("n", block: false) では #mitex("L-\\varepsilon<b_n", block: false) かつ #mitex("c_n<L+\\varepsilon", block: false) となるため、#mitex("|a_n-L|<\\varepsilon", block: false) である。


#mitex("|\\sin n|\\leq1", block: false) と #mitex("1/n\\to0", block: false) から


#align(center)[#mitex("-\\frac1n\\leq\\frac{\\sin n}{n}\\leq\\frac1n")]


であり、はさみうちの#bem-ruby("ていり")[定理]によって #mitex("\\sin n/n\\to0", block: false) となる。#mitex("\\sin n", block: false) #bem-ruby("じたい")[自体]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を#bem-ruby("かてい")[仮定]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]はない。


== #bem-ruby("はんていてじゅん")[判定手順]


- まず#bem-ruby("ゆうげんきょくげん")[有限極限]、#bem-ruby("むげんだいはっさん")[無限大発散]、#bem-ruby("しんどう")[振動]のいずれが#bem-ruby("こうほ")[候補]かを#bem-ruby("くべつ")[区別]する。

- #bem-ruby("とうひいんし")[等比因子]がある#bem-ruby("ばあい")[場合]は #mitex("|r|<1", block: false)、#mitex("r=1", block: false)、#mitex("r=-1", block: false)、#mitex("|r|>1", block: false) を#bem-ruby("ぶんり")[分離]する。

- #bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]では#bem-ruby("ぶんし")[分子]と#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("じすう")[次数]および#bem-ruby("さいこうじけいすう")[最高次係数]を#bem-ruby("ひかく")[比較]する。

- #bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]を#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する#bem-ruby("じょうかい")[上界]で#bem-ruby("ひょうか")[評価]できる#bem-ruby("ばあい")[場合]は、はさみうちを#bem-ruby("てきよう")[適用]する。

- #bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("しゅちょう")[主張]する#bem-ruby("さい")[際]は、#bem-ruby("しよう")[使用]する#bem-ruby("きょくげんそく")[極限則]の#bem-ruby("かてい")[仮定]、#bem-ruby("とく")[特]に#bem-ruby("しょう")[商]の#bem-ruby("ぶんぼ")[分母]の#bem-ruby("ひれいせい")[非零性]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


== #bem-ruby("てきようはんい")[適用範囲]


#mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("N", block: false) #bem-ruby("ていぎ")[定義]では#bem-ruby("そえじ")[添字]が#bem-ruby("しぜんすう")[自然数]に#bem-ruby("げんてい")[限定]されるため、#bem-ruby("かんすうきょくげん")[関数極限]の #mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("\\delta", block: false) #bem-ruby("ていぎ")[定義]にある#bem-ruby("にゅうりょくきょり")[入力距離] #mitex("\\delta", block: false) は#bem-ruby("ふよう")[不要]である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#bem-ruby("すうれつ")[数列]を#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("f(n)", block: false) の#bem-ruby("せいすうてんじょう")[整数点上]の#bem-ruby("あたい")[値]と#bem-ruby("み")[見]ても、#bem-ruby("せいすうてんかん")[整数点間]における #mitex("f", block: false) の#bem-ruby("きょどう")[挙動]は#bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]には#bem-ruby("えいきょう")[影響]しない。


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]は#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列]を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とする。#bem-ruby("ふくそすうれつ")[複素数列]では#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]を#bem-ruby("ふくそぜったいち")[複素絶対値]に#bem-ruby("ちかん")[置換]すれば#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を#bem-ruby("どうよう")[同様]に#bem-ruby("ていぎ")[定義]できるが、#mitex("+\\infty", block: false) と #mitex("-\\infty", block: false) による#bem-ruby("じゅんじょづけ")[順序付]きの#bem-ruby("はっさんぶんるい")[発散分類]はそのまま#bem-ruby("てきよう")[適用]できない。


== #bem-ruby("きほんこうしき")[基本公式]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a_n\\to L\\iff\n\\forall\\varepsilon>0\\ \\exists N\\ \\forall n\\geq N, |a_n-L|<\\varepsilon}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{|r|<1\\Rightarrow r^n\\to0}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{b_n\\leq a_n\\leq c_n,\\quad b_n,c_n\\to L\\Rightarrow a_n\\to L}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("すうれつ")[数列]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]は、#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("ごさようきゅう")[誤差要求]を#bem-ruby("じゅうぶんおお")[十分大]きい#bem-ruby("そえじいこう")[添字以降]のすべての#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("み")[満]たすことである。

- #bem-ruby("はっさん")[発散]には#bem-ruby("むげんだいはっさん")[無限大発散]と#bem-ruby("しんどう")[振動]などがあり、#mitex("\\pm\\infty", block: false) は#bem-ruby("ゆうげん")[有限]な#bem-ruby("きょくげんち")[極限値]ではない。

- #bem-ruby("とうひすうれつ")[等比数列]、#bem-ruby("ゆうりしき")[有理式]、はさみうちは、それぞれ#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]、#bem-ruby("さいこうじこう")[最高次項]、#bem-ruby("ふとうしき")[不等式]によって#bem-ruby("ちょうききょどう")[長期挙動]を#bem-ruby("はんてい")[判定]する。


== #bem-ruby("かんれんこうぎ")[関連講義]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[差分方程式の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[級数の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/series-basics.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[continuity.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[limits-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/sequence/series-basics.lecture.n.md#h(0.7em)md 17b0b91]]


= #bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("きほん")[基本]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


#bem-ruby("むげんこ")[無限個]の#bem-ruby("じっすう")[実数]を#bem-ruby("いちど")[一度]に#bem-ruby("かさん")[加算]する#bem-ruby("えんざん")[演算]は、#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]からは#bem-ruby("ちょくせつ")[直接]には#bem-ruby("ていぎ")[定義]されない。#bem-ruby("むげんきゅうすう")[無限級数]の#bem-ruby("あたい")[値]は、#strong[#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("こう")[項]からなる#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を#bem-ruby("すうれつ")[数列]とみなし、その#bem-ruby("きょくげん")[極限]として#bem-ruby("ていぎ")[定義]する]。


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では#bem-ruby("じっすうれつ")[実数列] #mitex("(a_n)_{n\\geq1}", block: false) を#bem-ruby("たいしょう")[対象]とする。#bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を #mitex("\\varepsilon", block: false)-#mitex("N", block: false) #bem-ruby("ろんぽう")[論法]で#bem-ruby("ていしきか")[定式化]し、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]の#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]と、その#bem-ruby("ぎゃく")[逆]が#bem-ruby("せいりつ")[成立]しないことを#bem-ruby("しょうめい")[証明]する。さらに、#bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]を#bem-ruby("かんぜん")[完全]に#bem-ruby("ぶんるい")[分類]する。


== #bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]と#bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#mitex("N\\geq1", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("だい")[第] #mitex("N", block: false) #bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を


#align(center)[#mitex("S_N=\\sum_{n=1}^{N}a_n=a_1+\\cdots+a_N")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("きごう")[記号] #mitex("\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n", block: false) は#bem-ruby("ぶぶんわれつ")[部分和列] #mitex("(S_N)_{N\\geq1}", block: false) によって#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]する。


#bem-ruby("ぶぶんわれつ")[部分和列]が #mitex("S\\in\\mathbb R", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]するとき、#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は#bem-anno("converge")[#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する]といい、


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n=S")]


と#bem-ruby("しる")[記]す。すなわち、


#align(center)[#mitex("\\forall\\varepsilon>0\\ \\exists N_0\\in\\mathbb N\\ \\forall N\\geq N_0,\n\\qquad \\left|\\sum_{n=1}^{N}a_n-S\\right|<\\varepsilon")]


である。#bem-ruby("ぶぶんわれつ")[部分和列]が#bem-ruby("ゆうげん")[有限]な#bem-ruby("じっすう")[実数]へ#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しないとき、#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は#bem-anno("diverge")[#bem-ruby("はっさん")[発散]する]という。#bem-ruby("きごう")[記号] #mitex("\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n", block: false) は、#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する#bem-ruby("いぜん")[以前]には#bem-ruby("ゆうげんわ")[有限和]のような#bem-ruby("じっすうち")[実数値]を#bem-ruby("あらわ")[表]さない。


== #bem-ruby("しゅうそく")[収束]の#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]


=== #bem-ruby("ていり")[定理]


#mitex("\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n", block: false) が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]するなら、#mitex("a_n\\to0", block: false) である。


=== #bem-ruby("しょうめい")[証明]


#bem-ruby("そえじたんてん")[添字端点]を#bem-ruby("とういつ")[統一]するため、#bem-ruby("くうわ")[空和]を #mitex("S_0=0", block: false) と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。すると、すべての #mitex("n\\geq1", block: false) について


#align(center)[#mitex("a_n=S_n-S_{n-1}")]


である。#mitex("S_n\\to S", block: false) とする。#bem-ruby("にんい")[任意]の #mitex("\\varepsilon>0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、ある #mitex("K\\geq1", block: false) が#bem-ruby("そんざい")[存在]して、#mitex("m\\geq K", block: false) なら #mitex("|S_m-S|<\\varepsilon/2", block: false) となる。#mitex("n\\geq K+1", block: false) なら #mitex("n\\geq K", block: false) かつ #mitex("n-1\\geq K", block: false) であるから、


#align(center)[#mitex("|a_n|=|S_n-S_{n-1}|\n\\leq|S_n-S|+|S_{n-1}-S|<\\varepsilon.")]


したがって #mitex("a_n\\to0", block: false) である。#mitex("\\square", block: false)


この#bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("たいぐう")[対偶]により、#mitex("a_n", block: false) が #mitex("0", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しなければ #mitex("\\sum a_n", block: false) は#bem-ruby("はっさん")[発散]する。ただし、#mitex("a_n\\to0", block: false) は#bem-ruby("じゅうぶんじょうけん")[十分条件]ではない。


== #bem-ruby("はんれい")[反例]：#bem-ruby("ちょうわきゅうすう")[調和級数]


#bem-ruby("ちょうわきゅうすう")[調和級数]


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac1n")]


では #mitex("1/n\\to0", block: false) であるが、#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は#bem-ruby("はっさん")[発散]する。#bem-ruby("じっさい")[実際]、#mitex("m\\geq1", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("2^{m-1}<n\\leq2^m", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たす #mitex("2^{m-1}", block: false) #bem-ruby("こ")[個]の#bem-ruby("こう")[項]を#bem-ruby("いちぐん")[一群]とする。この#bem-ruby("ぐん")[群]では #mitex("n\\leq2^m", block: false) であるから、#bem-ruby("かくこう")[各項]は #mitex("1/2^m", block: false) #bem-ruby("いじょう")[以上]であり、


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=2^{m-1}+1}^{2^m}\\frac1n\n\\geq 2^{m-1}\\frac1{2^m}=\\frac12.")]


ゆえに #mitex("k\\geq1", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#bem-ruby("たんてん")[端点]を#bem-ruby("ちょうふく")[重複]させずに


#align(center)[#mitex("S_{2^k}=1+\\sum_{m=1}^{k}\\sum_{n=2^{m-1}+1}^{2^m}\\frac1n\n\\geq1+\\frac{k}{2}.")]


#bem-ruby("うへん")[右辺]は #mitex("k\\to\\infty", block: false) で#bem-ruby("ひゆうかい")[非有界]である。また #mitex("S_N", block: false) は#bem-ruby("たんちょうぞうか")[単調増加]するため、#mitex("S_N\\to+\\infty", block: false) である。したがって#bem-ruby("ちょうわきゅうすう")[調和級数]は#bem-ruby("はっさん")[発散]し、#mitex("a_n\\to0", block: false) だけでは#bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]できない。


== #bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]の#bem-ruby("かんぜんぶんるい")[完全分類]


#mitex("a,r\\in\\mathbb R", block: false) とし、


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=0}^{\\infty}ar^n")]


を#bem-ruby("こうさつ")[考察]する。#mitex("N\\geq0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を #mitex("T_N=\\sum_{n=0}^{N}ar^n", block: false) とする。


- #mitex("a=0", block: false) なら、#mitex("r", block: false) の#bem-ruby("あたい")[値]に#bem-ruby("むかんけい")[無関係]に #mitex("T_N=0", block: false) であり、#bem-ruby("きゅうすう")[級数]は #mitex("0", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。

- #mitex("a\\ne0", block: false) かつ #mitex("r\\ne1", block: false) なら、#mitex("(1-r)T_N=a(1-r^{N+1})", block: false) であるから


#align(center)[#mitex("T_N=\\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.")]


#mitex("|r|<1", block: false) では #mitex("r^{N+1}\\to0", block: false) なので、


#align(center)[#mitex("\\sum_{n=0}^{\\infty}ar^n=\\frac{a}{1-r}.")]


- #mitex("a\\ne0", block: false) かつ #mitex("r=1", block: false) なら #mitex("T_N=a(N+1)", block: false) であり、#mitex("a>0", block: false) では #mitex("+\\infty", block: false)、#mitex("a<0", block: false) では #mitex("-\\infty", block: false) へ#bem-ruby("はっさん")[発散]する。

- #mitex("a\\ne0", block: false) かつ #mitex("r=-1", block: false) なら #mitex("T_N", block: false) は #mitex("a,0,a,0,\\ldots", block: false) と#bem-ruby("しんどう")[振動]して#bem-ruby("はっさん")[発散]する。

- #mitex("a\\ne0", block: false) かつ #mitex("|r|>1", block: false) なら、#bem-ruby("いっぱんこう")[一般項] #mitex("ar^n", block: false) が #mitex("0", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しないため、#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]により#bem-ruby("はっさん")[発散]する。#mitex("r>1", block: false) では #mitex("a>0", block: false) なら#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]は #mitex("+\\infty", block: false)、#mitex("a<0", block: false) なら #mitex("-\\infty", block: false) へ#bem-ruby("はっさん")[発散]し、#mitex("r<-1", block: false) では#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]が#bem-ruby("ぞうだい")[増大]しながら#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("こうたい")[交替]する。


したがって、#mitex("a\\ne0", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]が#bem-ruby("しゅうそく")[収束]するための#bem-ruby("ひつようじゅうぶんじょうけん")[必要十分条件]は #mitex("|r|<1", block: false) である。#mitex("a=0", block: false) はすべての #mitex("r", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("れいがい")[例外]である。


== #bem-ruby("はんていてじゅん")[判定手順]


- まず#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]を#bem-ruby("ていぎ")[定義]し、その#bem-ruby("きょくげん")[極限]を#bem-ruby("もんだい")[問題]とする。

- #bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]が #mitex("0", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しない#bem-ruby("ばあい")[場合]は、#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]によって#bem-ruby("ただ")[直]ちに#bem-ruby("はっさん")[発散]と#bem-ruby("はんてい")[判定]する。

- #bem-ruby("いっぱんこう")[一般項]が #mitex("0", block: false) に#bem-ruby("しゅうそく")[収束]しても#bem-ruby("けつろん")[結論]は#bem-ruby("かくてい")[確定]しない。#bem-ruby("ぶぶんわ")[部分和]の#bem-ruby("かいせき")[解析]または#bem-ruby("てきせつ")[適切]な#bem-ruby("しゅうそくはんてい")[収束判定]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。

- #bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]では、まず #mitex("a=0", block: false) を#bem-ruby("ぶんり")[分離]し、#mitex("a\\ne0", block: false) なら #mitex("|r|<1", block: false) か#bem-ruby("いな")[否]かを#bem-ruby("はんてい")[判定]する。


== #bem-ruby("てきようはんい")[適用範囲]


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]は#bem-ruby("しゅうそく")[収束]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]と#bem-ruby("さいしょ")[最初]の#bem-ruby("ひつようじょうけん")[必要条件]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。#bem-ruby("せいこうきゅうすう")[正項級数]の#bem-ruby("ひかくはんてい")[比較判定]、#bem-ruby("ぜったいしゅうそく")[絶対収束]、#bem-ruby("こうたいきゅうすう")[交代級数]、#bem-ruby("べききゅうすう")[冪級数]には#bem-ruby("ついか")[追加]の#bem-ruby("ていり")[定理]を#bem-ruby("よう")[要]する。また、#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("こう")[項]の#bem-ruby("へんこう")[変更]は#bem-ruby("しゅうそく")[収束]・#bem-ruby("はっさん")[発散]を#bem-ruby("へんこう")[変更]しないが、#bem-ruby("しゅうそくじ")[収束時]の#bem-ruby("わ")[和]はその#bem-ruby("へんこうりょう")[変更量]だけ#bem-ruby("へんか")[変化]する。


== #bem-ruby("きほんこうしき")[基本公式]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n=S\\iff\n\\forall\\varepsilon>0\\ \\exists N_0\\ \\forall N\\geq N_0,\n\\left|\\sum_{n=1}^{N}a_n-S\\right|<\\varepsilon}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{\\sum a_n\\text{ が収束}\\ \\Longrightarrow\\ a_n\\to0}")]


#align(center)[#mitex("\\boxed{a\\ne0:\\quad \\sum_{n=0}^{\\infty}ar^n\\text{ が収束}\\iff |r|<1}")]


== #bem-ruby("ようやく")[要約]


- #bem-ruby("むげんきゅうすう")[無限級数]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]は#bem-ruby("ぶぶんわれつ")[部分和列]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]である。

- #bem-ruby("きゅうすう")[級数]の#bem-ruby("しゅうそく")[収束]には #mitex("a_n\\to0", block: false) が#bem-ruby("ひつよう")[必要]であるが、#bem-ruby("ちょうわきゅうすう")[調和級数]が#bem-ruby("しめ")[示]すとおり#bem-ruby("じゅうぶん")[十分]ではない。

- #bem-ruby("とうひきゅうすう")[等比級数]は、#bem-ruby("れいきゅうすう")[零級数]を#bem-ruby("ぶんり")[分離]すれば、#mitex("|r|<1", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("かぎ")[限]り#bem-ruby("しゅうそく")[収束]する。


== #bem-ruby("かんれんこうぎ")[関連講義]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[数列の極限]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/limits-of-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[sequences.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[等差数列と等比数列]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[sequence]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[continuity.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[limits-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/differential-equations/power-series-and-frobenius-methods.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
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