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#set document(title: "ベクトル解析ポータル")

#align(center + horizon)[
#block(width: 82%)[
#text(size: 24pt, weight: 700)[ベクトル解析ポータル]

#text(size: 8pt, fill: luma(120))[7 pages]
]
]

#pagebreak()

#block(above: 0pt, below: 0.55em)[#text(size: 14pt, weight: 700)[Table of Contents]]
#outline(title: none, depth: 3)

#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture.n.md#h(0.7em)md 11d0156]]


= ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]ポータル


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]を「#bem-ruby("こうしきしゅう")[公式集]」ではなく、#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("きょくしょへんか")[局所変化]と#bem-ruby("きょうかいじょう")[境界上]の#bem-ruby("せきぶんりょう")[積分量]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("げんご")[言語]として#bem-ruby("せいり")[整理]する。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


#bem-ruby("さいしょ")[最初]にスカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("くべつ")[区別]する。つぎに#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]を#bem-ruby("きょくしょえんざんし")[局所演算子]として#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("つづ")[続]いて#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]・#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]し、Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]により#bem-ruby("きょくしょりょう")[局所量]と#bem-ruby("たいいきりょう")[大域量]を#bem-ruby("せつぞく")[接続]する。


== このトラックの#bem-ruby("せきむ")[責務]


#bem-ruby("たへんすうびせきぶん")[多変数微積分]トラックでは、#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]・Jacobian・#bem-ruby("たじゅうせきぶん")[多重積分]・#bem-ruby("きょくめんひょうじ")[曲面表示]を#bem-ruby("きそ")[基礎]として#bem-ruby("せいび")[整備]する。このトラックでは、それらを#bem-ruby("ぜんてい")[前提]にして、#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("きょくしょりょう")[局所量]と#bem-ruby("きょうかいせきぶん")[境界積分]の#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("しゅだい")[主題]にする。


#bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]トラックは、Green・Gauss・Stokes を#bem-ruby("いっぱん")[一般] Stokes #bem-ruby("ていり")[定理]として#bem-ruby("とういつ")[統一]する#bem-ruby("やくわり")[役割]を#bem-ruby("にな")[担]う。このトラックでは、まず grad・div・curl、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を#bem-ruby("こてんてき")[古典的]な#bem-ruby("ことば")[言葉]で#bem-ruby("せいり")[整理]し、#bem-ruby("ぶつり")[物理]と#bem-ruby("きか")[幾何]の#bem-ruby("りょうがわ")[両側]から#bem-ruby("りかい")[理解]できる#bem-ruby("かたち")[形]を#bem-ruby("あた")[与]える。


== #bem-ruby("とうたつもくひょう")[到達目標]


#bem-ruby("だいいち")[第一]に、スカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("くべつ")[区別]し、grad・div・curl が#bem-ruby("なに")[何]を#bem-ruby("はか")[測]るかを#bem-ruby("せつめい")[説明]できるようにする。#bem-ruby("だいに")[第二]に、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]の#bem-ruby("む")[向]きと#bem-ruby("いみ")[意味]を#bem-ruby("くべつ")[区別]できるようにする。#bem-ruby("だいさん")[第三]に、Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]が#bem-ruby("きょくしょりょう")[局所量]と#bem-ruby("きょうかいりょう")[境界量]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("どういつげんり")[同一原理]であることを#bem-ruby("せつめい")[説明]できるようにする。


== #bem-ruby("どっかいじゅんじょ")[読解順序]


#bem-ruby("ひょうじゅんじゅんじょ")[標準順序]は、#bem-ruby("ば")[場]、grad/div/curl、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]、#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]と#bem-ruby("りゅうそく")[流束]、Green・Gauss・Stokes、Laplacian の#bem-ruby("じゅん")[順]である。#bem-ruby("ぶつりおうよう")[物理応用]を#bem-ruby("ゆうせん")[優先]する#bem-ruby("ばあい")[場合]は、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]、#bem-ruby("はっさん")[発散]、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]、Gauss #bem-ruby("ていり")[定理]、Laplacian へ#bem-ruby("しんこう")[進行]する。#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("ゆうせん")[優先]する#bem-ruby("ばあい")[場合]は、curl、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]、#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]、Stokes #bem-ruby("ていり")[定理]へ#bem-ruby("しんこう")[進行]する。


== #bem-ruby("みっ")[三]つの#bem-ruby("どっかいけいろ")[読解経路]


#bem-ruby("ひょうじゅん")[標準]#bem-ruby("けいろ")[経路]は、#bem-ruby("ば")[場] → grad/div/curl → #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場] → #bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]と#bem-ruby("りゅうそく")[流束] → Green・Gauss・Stokes → Laplacian である。この#bem-ruby("けいろ")[経路]は、#bem-ruby("きょくしょえんざんし")[局所演算子]から#bem-ruby("きょうかいせきぶん")[境界積分]へ#bem-ruby("しぜん")[自然]に#bem-ruby("すす")[進]む。


#bem-ruby("ぶつりおうよう")[物理応用]#bem-ruby("けいろ")[経路]では、ベクトル#bem-ruby("ば")[場] → #bem-ruby("はっさん")[発散] → #bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]と#bem-ruby("りゅうそく")[流束] → Gauss #bem-ruby("ていり")[定理] → Laplacian の#bem-ruby("じゅん")[順]に#bem-ruby("すす")[進]む。この#bem-ruby("けいろ")[経路]では、#bem-ruby("でんば")[電場]・#bem-ruby("りゅうたい")[流体]・#bem-ruby("ねつりゅう")[熱流]のような#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]しと#bem-ruby("ほぞん")[保存]の#bem-ruby("げんしょう")[現象]が#bem-ruby("さき")[先]に#bem-ruby("み")[見]えやすい。


#bem-ruby("きかじゅうし")[幾何重視]#bem-ruby("けいろ")[経路]では、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場] → curl → Stokes #bem-ruby("ていり")[定理] → #bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]の#bem-ruby("じゅん")[順]に#bem-ruby("すす")[進]む。この#bem-ruby("けいろ")[経路]では、#bem-ruby("じゅんかん")[循環]・#bem-ruby("む")[向]き・#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("がいねん")[概念]が#bem-ruby("さき")[先]に#bem-ruby("ととの")[整]う。


== #bem-ruby("かく")[各]ページが#bem-ruby("こた")[答]える#bem-ruby("ぎもん")[疑問]


#table(
  columns: 2,
  inset: 5pt,
  stroke: 0.4pt + luma(190),
  [#strong[ページ]],
  [#strong[#bem-ruby("ぎもん")[疑問]]],
  [スカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]],
  [#bem-ruby("なに")[何]が#bem-ruby("かず")[数]で、#bem-ruby("なに")[何]が#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("つ")[付]きの#bem-ruby("りょう")[量]か],
  [#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]],
  [#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]に#bem-ruby("なに")[何]が#bem-ruby("ふ")[増]え、#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]し、#bem-ruby("まわ")[回]るか],
  [#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]],
  [#bem-ruby("きょくせん")[曲線]に#bem-ruby("そ")[沿]った#bem-ruby("しごと")[仕事]や#bem-ruby("じゅんかん")[循環]をどう#bem-ruby("はか")[測]るか],
  [#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]と#bem-ruby("りゅうそく")[流束]],
  [#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]く#bem-ruby("りょう")[量]をどう#bem-ruby("はか")[測]るか],
  [Green・Gauss・Stokes],
  [#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]と#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("びぶんりょう")[微分量]はどう#bem-ruby("むす")[結]び#bem-ruby("つ")[付]くか],
  [Laplacian],
  [#bem-ruby("きょくしょへいきん")[局所平均]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]や#bem-ruby("かくさん")[拡散]をどう#bem-ruby("きじゅつ")[記述]するか],
)


== #bem-ruby("ぜんてい")[前提]の#bem-ruby("いち")[位置]


#bem-ruby("へんびぶん")[偏微分]は grad/div/curl の#bem-ruby("せいぶんこうしき")[成分公式]に#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。#bem-ruby("きょくせん")[曲線]・#bem-ruby("きょくめん")[曲面]のパラメータ#bem-ruby("ひょうじ")[表示]は、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]に#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。#bem-ruby("たじゅうせきぶん")[多重積分]は、Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("うへん")[右辺]を#bem-ruby("あつか")[扱]うために#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。


== #bem-ruby("がくしゅうじゅんじょ")[学習順序]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[スカラー場とベクトル場]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[勾配・発散・回転]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[線積分と保存場]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[flux.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[面積分と流束]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[theorems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Green・Gauss・Stokes の定理]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/laplacian-and-physical-applications.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[applications.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Laplacian と物理応用]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/laplacian-and-physical-applications.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("せつぞく")[接続]


ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]は、#bem-ruby("でんじき")[電磁気]・#bem-ruby("りゅうたい")[流体]・#bem-ruby("ねつでんどう")[熱伝導]・#bem-ruby("はどう")[波動]で#bem-ruby("はんぷく")[反復]して#bem-ruby("しよう")[使用]される。#bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]へ#bem-ruby("しんこう")[進行]すると、Green・Gauss・Stokes は#bem-ruby("いっぱん")[一般] Stokes #bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("とくべつれい")[特別例]として#bem-ruby("とういつ")[統一]される。


#bem-ruby("ふる")[古]い#bem-ruby("いりぐち")[入口]ページとしての「ベクトル#bem-ruby("かいせき")[解析]の#bem-ruby("いりぐち")[入口]」「#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]の#bem-ruby("いりぐち")[入口]」は、このトラックの#bem-ruby("みじか")[短]い#bem-ruby("どうにゅう")[導入]として#bem-ruby("さんしょうたいしょう")[参照対象]に#bem-ruby("いちづ")[位置付]けられる。ただし、このポータル#bem-ruby("はいか")[配下]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]が#bem-ruby("ほんたい")[本体]であり、#bem-ruby("ていり")[定理]と#bem-ruby("せきむぶんかつ")[責務分割]はここを#bem-ruby("きじゅん")[基準]に#bem-ruby("よ")[読]む。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-vector]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-line-and-surface]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/exterior-algebra-and-differential-forms-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[exterior-algebra-and-differential-forms]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exterior-algebra]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/exterior-algebra-and-differential-forms-portal.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture.n.md#h(0.7em)md dba64cb]]


= スカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("くうかん")[空間]の#bem-ruby("かくてん")[各点]に#bem-ruby("なに")[何]を#bem-ruby("たいおう")[対応]させるかにより、スカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("くべつ")[区別]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#mitex("U\\subset\\mathbb R^n", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とする。#bem-anno("Scalar field")[スカラー#bem-ruby("ば")[場]] は、#bem-ruby("かくてん")[各点]に#bem-ruby("すうち")[数値]を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("f:U\\to\\mathbb R", block: false) である。#bem-ruby("おんど")[温度]や#bem-ruby("あつりょく")[圧力]が#bem-ruby("てんけいれい")[典型例]である。


#bem-anno("Vector field")[ベクトル#bem-ruby("ば")[場]] は、#bem-ruby("かくてん")[各点]にベクトルを#bem-ruby("たいおう")[対応]させる#bem-ruby("かんすう")[関数] #mitex("\\mathbf F:U\\to\\mathbb R^n", block: false) である。#bem-ruby("そくどば")[速度場]や#bem-ruby("りきば")[力場]が#bem-ruby("てんけいれい")[典型例]である。


#bem-ruby("ば")[場]であること#bem-ruby("じたい")[自体]は#bem-ruby("れんぞくせい")[連続性]を#bem-ruby("かてい")[仮定]しない。スカラー#bem-ruby("ば")[場]では#bem-ruby("かんすう")[関数]が#bem-ruby("れんぞく")[連続]なら#bem-ruby("れんぞく")[連続]スカラー#bem-ruby("ば")[場]、#mitex("C^1", block: false) なら #mitex("C^1", block: false) スカラー#bem-ruby("ば")[場]という。ベクトル#bem-ruby("ば")[場]では#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]が#bem-ruby("れんぞく")[連続]なら#bem-ruby("れんぞく")[連続]ベクトル#bem-ruby("ば")[場]、#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]が #mitex("C^1", block: false) なら #mitex("C^1", block: false) ベクトル#bem-ruby("ば")[場]という。すべての#bem-ruby("かいすう")[階数]の#bem-ruby("へんどうかんすう")[偏導関数]が#bem-ruby("そんざい")[存在]して#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("ば")[場]を #mitex("C^\\infty", block: false) と#bem-ruby("か")[書]く。#bem-ruby("こうぞく")[後続]の grad・div・curl では #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


#mitex("C^1", block: false) スカラー#bem-ruby("ば")[場]では、#bem-ruby("こうばい")[勾配]が 0 でない#bem-ruby("てん")[点]で「どの#bem-ruby("ほうこう")[方向]に#bem-ruby("もっと")[最]も#bem-ruby("ぞうか")[増加]するか」を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。#mitex("C^1", block: false) ベクトル#bem-ruby("ば")[場]では「どれだけ#bem-ruby("りゅうにゅうりゅうしゅつ")[流入流出]するか」「どれだけ#bem-ruby("かいてん")[回転]するか」を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。この#bem-ruby("くべつ")[区別]が#bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]の#bem-ruby("いりぐち")[入口]になる。


== #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]


#mitex("T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2", block: false) はスカラー#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("かくてん")[各点]に 1 つの#bem-ruby("かず")[数]を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる。


#mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x)", block: false) はベクトル#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("げんてんいがい")[原点以外]の#bem-ruby("かくてん")[各点]に#bem-ruby("げんてんちゅうしん")[原点中心]の#bem-ruby("えん")[円]の#bem-ruby("せっせんほうこう")[接線方向]を#bem-ruby("む")[向]くベクトルを#bem-ruby("たいおう")[対応]させる。#bem-ruby("げんてん")[原点]では #mitex("\\boldsymbol F(0,0)=\\mathbf0", block: false) である。これらの#bem-ruby("れい")[例]は#bem-ruby("たこうしきせいぶん")[多項式成分]を#bem-ruby("も")[持]つので #mitex("C^\\infty", block: false) である。


== #bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("れい")[例]


#bem-ruby("おんどば")[温度場]はスカラー#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("かくてん")[各点]の#bem-ruby("おんど")[温度]を#bem-ruby("かえ")[返]す。#bem-ruby("こうどば")[高度場]もスカラー#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("ちけい")[地形]の#bem-ruby("たか")[高]さを#bem-ruby("かえ")[返]す。#bem-ruby("そくどば")[速度場]はベクトル#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("りゅうたい")[流体]の#bem-ruby("かくてん")[各点]での#bem-ruby("そくど")[速度]を#bem-ruby("かえ")[返]す。#bem-ruby("でんば")[電場]もベクトル#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("たんいでんか")[単位電荷]に#bem-ruby("はたら")[働]く#bem-ruby("ちから")[力]を#bem-ruby("かえ")[返]す。


#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("ひょう")[表]の gradient・divergence・curl・flux・circulation は#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する#bem-ruby("えんざん")[演算]の#bem-ruby("よこく")[予告]である。


#table(
  columns: 4,
  inset: 5pt,
  stroke: 0.4pt + luma(190),
  [#strong[#bem-ruby("ば")[場]]],
  [#strong[#bem-ruby("あたい")[値]]],
  [#strong[#bem-ruby("たんい")[単位]の#bem-ruby("れい")[例]]],
  [#strong[#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("えんざん")[演算]]],
  [#bem-ruby("おんどば")[温度場] #mitex("T(x,y,z)", block: false)],
  [スカラー],
  [#mitex("\\mathrm{K}", block: false)],
  [gradient],
  [#bem-ruby("あつりょくば")[圧力場] #mitex("p(x,y,z)", block: false)],
  [スカラー],
  [#mitex("\\mathrm{Pa}", block: false)],
  [gradient],
  [#bem-ruby("そくどば")[速度場] #mitex("\\boldsymbol{v}(x,y,z)", block: false)],
  [ベクトル],
  [#mitex("\\mathrm{m/s}", block: false)],
  [divergence, curl],
  [#bem-ruby("でんば")[電場] #mitex("\\boldsymbol{E}(x,y,z)", block: false)],
  [ベクトル],
  [#mitex("\\mathrm{N/C}", block: false)],
  [flux, circulation],
)


#bem-ruby("たんい")[単位]を#bem-ruby("つ")[付]けると、#bem-ruby("えんざん")[演算]の#bem-ruby("いみ")[意味]も#bem-ruby("めいかく")[明確]になる。たとえば#bem-ruby("じこうぎ")[次講義]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する#bem-ruby("おんどこうばい")[温度勾配] #mitex("\\nabla T", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]は #mitex("\\mathrm{K/m}", block: false) であり、#bem-ruby("いち")[一]メートルあたりの#bem-ruby("おんどへんか")[温度変化]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。


== #bem-ruby("とういめん")[等位面]と#bem-ruby("りゅうせん")[流線]


スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("f:U\\to\\mathbb R", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して


#align(center)[#mitex("L_c:=\\{\\mathbf x\\in U:f(\\mathbf x)=c\\}")]


を#bem-anno("level set")[#bem-ruby("とういしゅうごう")[等位集合]]という。#mitex("f\\in C^1(U)", block: false) とし、#mitex("\\mathbf x_0\\in L_c", block: false) で#bem-ruby("すく")[少]なくとも 1 つの#bem-ruby("へんどうかんすう")[偏導関数]が 0 でないとする。#bem-ruby("いんかんすうていり")[陰関数定理]により #mitex("L_c", block: false) は #mitex("\\mathbf x_0", block: false) の#bem-ruby("ちか")[近]くで #mitex("(n-1)", block: false) #bem-ruby("じげん")[次元]の #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("ちょうきょくめん")[超曲面]になる。この#bem-ruby("じょうけん")[条件]は、#bem-ruby("じこうぎ")[次講義]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]する#bem-ruby("こうばい")[勾配]を#bem-ruby("つか")[使]えば #mitex("\\nabla f(\\mathbf x_0)\\ne\\mathbf0", block: false) と#bem-ruby("か")[書]ける。#bem-ruby("いんかんすうていり")[陰関数定理]の#bem-ruby("しょうめい")[証明]は#bem-ruby("たへんすうびせきぶん")[多変数微積分]の#bem-ruby("はってんないよう")[発展内容]であり、ここでは#bem-ruby("とういめん")[等位面]になるための#bem-ruby("じょうけん")[条件]として#bem-ruby("もち")[用]いる。#bem-ruby("りんかいてん")[臨界点]では、#bem-ruby("てん")[点]へ#bem-ruby("たいか")[退化]したり#bem-ruby("めん")[面]でなくなったりすることがある。


ここでは #mitex("U\\subset\\mathbb R^n", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とする。#mitex("\\mathbf F:U\\to\\mathbb R^n", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょくせん")[曲線] #mitex("\\boldsymbol\\gamma:J\\to U", block: false) が


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol\\gamma'(t)=\\mathbf F(\\boldsymbol\\gamma(t))")]


を#bem-ruby("み")[満]たすとき、その#bem-ruby("ぞう")[像]を#bem-anno("integral curve")[#bem-ruby("せきぶんきょくせん")[積分曲線]]または#bem-ruby("りゅうせん")[流線]という。#mitex("\\mathbf F(\\mathbf p)=\\mathbf0", block: false) なら #mitex("\\boldsymbol\\gamma(t)=\\mathbf p", block: false) は#bem-ruby("ていじょう")[定常]な#bem-ruby("せきぶんきょくせん")[積分曲線]である。#mitex("\\mathbf p\\in U", block: false) とする。#mitex("\\mathbf F", block: false) が#bem-ruby("れんぞく")[連続]なら #mitex("\\mathbf p", block: false) を#bem-ruby("とお")[通]る#bem-ruby("きょくしょかい")[局所解]が#bem-ruby("すく")[少]なくとも 1 つ#bem-ruby("そんざい")[存在]し、#bem-ruby("きょくしょ")[局所] Lipschitz #bem-ruby("れんぞく")[連続]ならその#bem-ruby("きょくしょかい")[局所解]は#bem-ruby("いちい")[一意]である。


#bem-ruby("にじげん")[二次元]のスカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("T(x,y)=x^2+y^2", block: false) では、#mitex("c>0", block: false) の#bem-ruby("とういしゅうごう")[等位集合]は#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("\\sqrt{c}", block: false) の#bem-ruby("えん")[円]、#mitex("c=0", block: false) では#bem-ruby("げんてん")[原点] 1 #bem-ruby("てん")[点]、#mitex("c<0", block: false) では#bem-ruby("くうしゅうごう")[空集合]である。#bem-ruby("さんじげん")[三次元]でも #mitex("c>0", block: false) のとき#bem-ruby("きゅうめん")[球面]、#mitex("c=0", block: false) のとき#bem-ruby("げんてん")[原点] 1 #bem-ruby("てん")[点]になる。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#mitex("\\boldsymbol F=(-y,x)", block: false) では #mitex("r>0", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol\\gamma(t)=r(\\cos(t+\\theta_0),\\sin(t+\\theta_0))")]


が#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りの#bem-ruby("えんけい")[円形]の#bem-ruby("せきぶんきょくせん")[積分曲線]となり、#bem-ruby("げんてん")[原点]は#bem-ruby("ていじょうてん")[定常点]である。#bem-ruby("とういしゅうごう")[等位集合]は#bem-ruby("あたい")[値]が#bem-ruby("いってい")[一定]の#bem-ruby("しゅうごう")[集合]、#bem-ruby("せきぶんきょくせん")[積分曲線]は#bem-ruby("ば")[場]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("きどう")[軌道]であり、#bem-ruby("やくわり")[役割]は#bem-ruby("こと")[異]なる。


== #bem-ruby("ひかくれい")[比較例]


#mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(1,0)", block: false) は#bem-ruby("ぜんてん")[全点]で#bem-ruby("みぎむ")[右向]きの#bem-ruby("いっていそくどば")[一定速度場]であり、#bem-ruby("せきぶんきょくせん")[積分曲線]は#bem-ruby("すいへいせん")[水平線]になる。#mitex("\\boldsymbol{G}(x,y)=(x,y)", block: false) では #mitex("t\\in\\mathbb R", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("\\boldsymbol\\gamma(t)=e^t\\mathbf p", block: false) であり、#mitex("\\mathbf p\\ne\\mathbf0", block: false) の#bem-ruby("きどうぞう")[軌道像]は#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("のぞ")[除]く#bem-ruby("はんちょくせん")[半直線]、#bem-ruby("げんてん")[原点]は#bem-ruby("ていじょうてん")[定常点]である。divergence はベクトルの#bem-ruby("おお")[大]きさだけでなく、#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]が#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("ざひょうほうこう")[座標方向]へどう#bem-ruby("へんか")[変化]するかで#bem-ruby("き")[決]まり、#bem-ruby("やじるし")[矢印]の#bem-ruby("なが")[長]さだけからは#bem-ruby("はんだん")[判断]できない。


== #bem-ruby("つぎ")[次]への#bem-ruby("せつぞく")[接続]


スカラー#bem-ruby("ば")[場]には#bem-ruby("こうばい")[勾配]を#bem-ruby("てきよう")[適用]し、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]には#bem-ruby("はっさん")[発散]や#bem-ruby("かいてん")[回転]を#bem-ruby("てきよう")[適用]する。この#bem-ruby("くべつ")[区別]を#bem-ruby("こてい")[固定]してから、#bem-ruby("きょくしょえんざんし")[局所演算子]へ#bem-ruby("しんこう")[進行]する。


Euclidean #bem-ruby("くうかん")[空間]で#bem-ruby("ざひょうけい")[座標系]を#bem-ruby("か")[替]えるとベクトルの#bem-ruby("せいぶんひょうじ")[成分表示]は#bem-ruby("か")[変]わるが、#bem-ruby("きかてき")[幾何的]なベクトル#bem-ruby("ば")[場]そのものは#bem-ruby("おな")[同]じである。#bem-ruby("きょくせんざひょう")[曲線座標]では#bem-ruby("きてい")[基底]も#bem-ruby("てん")[点]ごとに#bem-ruby("か")[変]わるため、grad・div・curl の#bem-ruby("せいぶんこうしき")[成分公式]は#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("ざひょうじょうけん")[座標条件]とともに#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[勾配・発散・回転]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/]
]]
]


== よくある#bem-ruby("あやま")[誤]り


- スカラー#bem-ruby("ば")[場]とベクトル#bem-ruby("ば")[場]を#bem-ruby("あたい")[値]の#bem-ruby("かた")[型]で#bem-ruby("くべつ")[区別]しない。

- #bem-ruby("ざひょうひょうじ")[座標表示]を#bem-ruby("ば")[場]そのものと#bem-ruby("どういつし")[同一視]する。

- #bem-ruby("ずし")[図示]された#bem-ruby("やじるし")[矢印]の#bem-ruby("なが")[長]さだけを#bem-ruby("かくにん")[確認]し、#bem-ruby("ほうこう")[方向]の#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("むし")[無視]する。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/multivariable-functions-and-partial-derivatives.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[derivatives.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[multivariable-functions-and-partial]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/multivariable-functions-and-partial-derivatives.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[jacobian.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[tangent-planes-chain-rule-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/linear-algebra/vector-operations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[operations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[vector]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[linear-algebra]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/linear-algebra/vector-operations.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/differential-equations/existence-uniqueness-and-lipschitz-condition.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[condition.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[existence-uniqueness-and-lipschitz]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[differential-equations]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/differential-equations/existence-uniqueness-and-lipschitz-condition.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[勾配・発散・回転]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[calculus.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-vector]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-vector-calculus.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture.n.md#h(0.7em)md df48221]]


= #bem-ruby("こうばい")[勾配]・#bem-ruby("はっさん")[発散]・#bem-ruby("かいてん")[回転]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、grad・div・curl を#bem-ruby("きごうそうさ")[記号操作]ではなく、#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("そくてい")[測定]する#bem-ruby("さんしゅるい")[三種類]の#bem-ruby("えんざんし")[演算子]として#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#mitex("U\\subset\\mathbb R^n", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とし、#bem-ruby("いか")[以下]では Cartesian #bem-ruby("ざひょう")[座標]と#bem-ruby("ひょうじゅんないせき")[標準内積]を#bem-ruby("つか")[使]う。#mitex("C^1", block: false) スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("f:U\\to\\mathbb R", block: false) の#bem-anno("gradient")[#bem-ruby("こうばい")[勾配]]を


#align(center)[#mitex("\\nabla f=\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_1},\\ldots,\\frac{\\partial f}{\\partial x_n}\\right)")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。これは #mitex("U", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]のベクトル#bem-ruby("ば")[場]である。


#mitex("C^1", block: false) ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\mathbf F=(F_1,\\ldots,F_n):U\\to\\mathbb R^n", block: false) の#bem-anno("divergence")[#bem-ruby("はっさん")[発散]]を


#align(center)[#mitex("\\nabla\\cdot\\mathbf F=\\sum_{i=1}^n\\frac{\\partial F_i}{\\partial x_i}")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。これは #mitex("U", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]のスカラー#bem-ruby("ば")[場]であり、#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]が#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("ざひょうほうこう")[座標方向]へどう#bem-ruby("へんか")[変化]するかを#bem-ruby("ごうけい")[合計]する。


#mitex("n=3", block: false) では、#mitex("C^1", block: false) ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\mathbf F=(F_1,F_2,F_3)", block: false) の#bem-anno("curl")[#bem-ruby("かいてん")[回転]]を


#align(center)[#mitex("\\nabla\\times\\mathbf F=\n\\left(\n\\frac{\\partial F_3}{\\partial x_2}-\\frac{\\partial F_2}{\\partial x_3},\n\\frac{\\partial F_1}{\\partial x_3}-\\frac{\\partial F_3}{\\partial x_1},\n\\frac{\\partial F_2}{\\partial x_1}-\\frac{\\partial F_1}{\\partial x_2}\n\\right)")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。これは#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("じゅんかんじく")[循環軸]と#bem-ruby("つよ")[強]さを#bem-ruby("あらわ")[表]すベクトル#bem-ruby("ば")[場]である。#mitex("n=2", block: false) では #mitex("\\mathbf F=(P,Q)", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し


#align(center)[#mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\mathbf F=\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}")]


というスカラーを#bem-ruby("つか")[使]う。これは #mitex("(P,Q,0)", block: false) を#bem-ruby("さんじげん")[三次元]へ#bem-ruby("う")[埋]め#bem-ruby("こ")[込]んだときの curl の #mitex("z", block: false) #bem-ruby("せいぶん")[成分]である。#bem-ruby("いっぱん")[一般]の #mitex("\\mathbb R^n", block: false) では curl をこのベクトル#bem-ruby("こうしき")[公式]のまま#bem-ruby("ていぎ")[定義]せず、#bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]などを#bem-ruby("つか")[使]って#bem-ruby("かくちょう")[拡張]する。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


#bem-ruby("たんい")[単位]ベクトル #mitex("\\mathbf u", block: false) #bem-ruby("ほうこう")[方向]の#bem-ruby("ほうこうびぶん")[方向微分]は #mitex("D_{\\mathbf u}f=\\nabla f\\cdot\\mathbf u", block: false) である。Cauchy--Schwarz の#bem-ruby("ふとうしき")[不等式]より #mitex("D_{\\mathbf u}f\\le\\|\\nabla f\\|", block: false) であり、#mitex("\\nabla f\\ne\\mathbf0", block: false) なら#bem-ruby("さいだいち")[最大値]は #mitex("\\mathbf u=\\nabla f/\\|\\nabla f\\|", block: false) で#bem-ruby("たっせい")[達成]される。#mitex("\\nabla f=\\mathbf0", block: false) ならすべての#bem-ruby("ほうこうびぶん")[方向微分]が 0 で、#bem-ruby("さいだいぞうかほうこう")[最大増加方向]は 1 つに#bem-ruby("き")[決]まらない。#bem-ruby("はっさん")[発散]は#bem-ruby("しょうりょういき")[小領域]からの#bem-ruby("しょうみりゅうしゅつ")[正味流出]を#bem-ruby("たいせき")[体積]で#bem-ruby("わ")[割]った#bem-ruby("きょくげん")[極限]、#bem-ruby("かいてん")[回転]は#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("さだ")[定]めた#bem-ruby("びしょうへいきょくせん")[微小閉曲線]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("めんせき")[面積]で#bem-ruby("わ")[割]った#bem-ruby("きょくげん")[極限]として#bem-ruby("とら")[捉]える。この#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]の#bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("じょうけん")[条件]は#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]う。


== #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]


#mitex("f(x,y)=x^2+y^2", block: false) なら


#align(center)[#mitex("\\nabla f=(2x,2y)")]


である。#bem-ruby("こうばい")[勾配]は#bem-ruby("げんてん")[原点]から#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("の")[伸]び、#bem-ruby("あたい")[値]が#bem-ruby("ぞうか")[増加]する#bem-ruby("ほうこう")[方向]を#bem-ruby("しめ")[示]す。


#mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x)", block: false) では、#mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol F=1-(-1)=2>0", block: false) である。#bem-ruby("せい")[正]の#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りとする#bem-ruby("へいめん")[平面]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("きほんれい")[基本例]である。


== #bem-ruby("せいぶんこうしき")[成分公式]の#bem-ruby("いみ")[意味]


#mitex("\\nabla f=(f_x,f_y,f_z)", block: false) は#bem-ruby("さんじげん")[三次元]で#bem-ruby("かくざひょうほうこう")[各座標方向]の#bem-ruby("ぞうかりつ")[増加率]を 1 つのベクトルに#bem-ruby("しゅうやく")[集約]したものである。#mitex("\\nabla\\cdot\\boldsymbol{F}", block: false) は、#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]の#bem-ruby("たいおうほうこう")[対応方向]への#bem-ruby("へんかりつ")[変化率]を#bem-ruby("た")[足]し#bem-ruby("あ")[合]わせる。#mitex("\\nabla\\times\\boldsymbol{F}", block: false) は、#bem-ruby("ざひょうへいめん")[座標平面]ごとの#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられた#bem-ruby("きょくしょじゅんかん")[局所循環]を#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("あ")[合]わせる。


#bem-ruby("はっさん")[発散]の#bem-ruby("しき")[式]は、#mitex("\\mathbf p", block: false) を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とする#bem-ruby("しょうきゅう")[小球] #mitex("B_r", block: false) とその#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線] #mitex("\\mathbf n", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]って


#align(center)[#mitex("\\nabla\\cdot\\mathbf F(\\mathbf p)=\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{|B_r|}\\int_{\\partial B_r}\\mathbf F\\cdot\\mathbf n\\,dS")]


と#bem-ruby("あらわ")[表]せる。#bem-ruby("にじげん")[二次元] curl も、#mitex("\\mathbf p", block: false) を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とする#bem-ruby("えんばん")[円板] #mitex("D_r", block: false) の#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]ければ


#align(center)[#mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\mathbf F(\\mathbf p)=\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{|D_r|}\\oint_{\\partial D_r}\\mathbf F\\cdot d\\mathbf r")]


と#bem-ruby("あらわ")[表]せる。#bem-ruby("さんじげん")[三次元]では#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線] #mitex("\\mathbf n", block: false) と#bem-ruby("せいごう")[整合]する#bem-ruby("む")[向]きの#bem-ruby("びしょうえんばん")[微小円板]を#bem-ruby("つか")[使]うと、この#bem-ruby("きょくげん")[極限]が #mitex("\\mathbf n\\cdot(\\nabla\\times\\mathbf F)", block: false) になる。#bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せきぶんていり")[積分定理]は#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]う。


== #bem-ruby("ひかくれい")[比較例]


- #bem-ruby("ほうしゃじょうば")[放射状場] #mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)", block: false) は#bem-ruby("げんてん")[原点]から#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("ひろ")[広]がるため、#bem-ruby("はっさん")[発散]が#bem-ruby("せい")[正]である。

- #bem-ruby("かいてんば")[回転場] #mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x)", block: false) は#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]しより#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("も")[持]つ。

- #mitex("\\boldsymbol{F}(x,y,z)=(-y,x,0)", block: false) は divergence が 0 であるが curl は 0 ではない。

- #mitex("\\mathbb R^2\\setminus\\{\\mathbf0\\}", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]の #mitex("\\boldsymbol{F}=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))", block: false) は#bem-ruby("ていぎいき")[定義域]の#bem-ruby("ぜんてん")[全点]で #mitex("C^\\infty", block: false) かつ #mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol F=0", block: false) であるが、#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("かこ")[囲]む#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]の#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は 0 にならない。#bem-ruby("きょくしょびぶん")[局所微分]だけでは#bem-ruby("たいいきてき")[大域的]な#bem-ruby("あな")[穴]を#bem-ruby("けんしゅつ")[検出]できないことを#bem-ruby("じこうぎ")[次講義]で#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


== #bem-ruby("ぐたいけいさん")[具体計算] 1: #bem-ruby("ほうしゃじょうば")[放射状場]


#mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y)", block: false) では


#align(center)[#mitex("\\nabla\\cdot\\boldsymbol{F}=1+1=2,\\qquad\n\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol{F}=0")]


である。#bem-ruby("げんてん")[原点]から#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("りゅうしゅつ")[流出]するが、#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("かいてん")[回転]はない。


== #bem-ruby("ぐたいけいさん")[具体計算] 2: #bem-ruby("かいてんば")[回転場]


#mitex("\\boldsymbol{G}(x,y)=(-y,x)", block: false) では


#align(center)[#mitex("\\nabla\\cdot\\boldsymbol{G}=0,\\qquad\n\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol{G}=2")]


である。#bem-ruby("わ")[湧]き#bem-ruby("だ")[出]しはないが、#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りの#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("も")[持]つ。#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("やじるしず")[矢印図]でも、#bem-ruby("そとむ")[外向]きの#bem-ruby("ひろ")[広]がりと#bem-ruby("かいてん")[回転]は#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("りょう")[量]で#bem-ruby("そくてい")[測定]する。


== #bem-ruby("たんい")[単位]の#bem-ruby("かくにん")[確認]


#bem-ruby("そくどば")[速度場] #mitex("\\boldsymbol{v}", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]を #mitex("\\mathrm{m/s}", block: false) とすると、divergence の#bem-ruby("たんい")[単位]は #mitex("1/\\mathrm{s}", block: false) である。#bem-ruby("たんいたいせき")[単位体積]あたりの#bem-ruby("そうたいてき")[相対的]な#bem-ruby("ぼうちょうりつ")[膨張率]として#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]できる。curl も #mitex("1/\\mathrm{s}", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]を#bem-ruby("も")[持]つ。ただし#bem-ruby("ごうたいかいてん")[剛体回転] #mitex("\\boldsymbol v=\\boldsymbol\\Omega\\times\\mathbf x", block: false) では #mitex("\\nabla\\times\\boldsymbol v=2\\boldsymbol\\Omega", block: false) であり、curl は#bem-ruby("かくそくど")[角速度]そのものではなく、その 2 #bem-ruby("ばい")[倍]である。


== #bem-ruby("せきぶん")[積分]への#bem-ruby("せつぞく")[接続]


curl は#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]と#bem-ruby("むす")[結]びつき、divergence は#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]の#bem-ruby("りゅうそく")[流束]と#bem-ruby("むす")[結]びつく。この#bem-ruby("せつぞく")[接続]を#bem-ruby("ていり")[定理]として#bem-ruby("の")[述]べるのが Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]である。


== どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]の#bem-ruby("せいぶんこうしき")[成分公式]は #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("ば")[場]に#bem-ruby("たい")[対]して#bem-ruby("かくてん")[各点]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]できる。#bem-ruby("ふれんぞく")[不連続]や#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ばあい")[場合]は、その#bem-ruby("てん")[点]で#bem-ruby("こてんてき")[古典的]な#bem-ruby("びぶん")[微分]が#bem-ruby("ていぎ")[定義]できるかを#bem-ruby("かくにん")[確認]する。#bem-ruby("ぶんぷ")[分布]の#bem-ruby("いみ")[意味]での grad・div・curl は#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("かくちょう")[拡張]であり、#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では#bem-ruby("あつか")[扱]わない。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[スカラー場とベクトル場]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/scalar-and-vector-fields.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/directional-derivatives-and-gradient.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[gradient.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[directional-derivatives-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/directional-derivatives-and-gradient.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[線積分と保存場]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[flux.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[面積分と流束]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture.n.md#h(0.7em)md 624e78f]]


= #bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]を#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("せつほうこう")[接方向]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]を#bem-ruby("そうわ")[総和]する#bem-ruby("そうさ")[操作]として#bem-ruby("りかい")[理解]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#mitex("U\\subset\\mathbb R^n", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とし、#mitex("\\boldsymbol r:[a,b]\\to U", block: false) を#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられた#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょくせん")[曲線]とする。#bem-ruby("れんぞく")[連続]スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("g:U\\to\\mathbb R", block: false) の#bem-anno("scalar line integral")[スカラー#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]]を


#align(center)[#mitex("\\int_C g\\,ds=\\int_a^b g(\\boldsymbol r(t))\\|\\boldsymbol r'(t)\\|\\,dt")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("れんぞく")[連続]ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\boldsymbol F:U\\to\\mathbb R^n", block: false) の#bem-anno("work line integral")[#bem-ruby("しごとせんせきぶん")[仕事線積分]]を


#align(center)[#mitex("\\int_C\\boldsymbol F\\cdot d\\boldsymbol r\n=\\int_a^b\\boldsymbol F(\\boldsymbol r(t))\\cdot\\boldsymbol r'(t)\\,dt")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では#bem-ruby("おも")[主]に#bem-ruby("こうしゃ")[後者]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#bem-anno("Conservative field")[#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]] は、ある #mitex("\\phi\\in C^1(U)", block: false) により #mitex("\\boldsymbol{F}=\\nabla\\phi", block: false) と#bem-ruby("ひょうげん")[表現]できるベクトル#bem-ruby("ば")[場]である。この #mitex("\\phi", block: false) をポテンシャル#bem-ruby("かんすう")[関数]という。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


ベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]では、#bem-ruby("いどうほうこう")[移動方向]と#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("せいぶん")[成分]だけが#bem-ruby("しごと")[仕事]に#bem-ruby("きよ")[寄与]する。そのため#bem-ruby("ないせき")[内積] #mitex("\\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(t))\\cdot\\boldsymbol{r}'(t)", block: false) を#bem-ruby("せきぶん")[積分]する。#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]では、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("けいろ")[経路]ではなく#bem-ruby("してん")[始点]と#bem-ruby("しゅうてん")[終点]だけに#bem-ruby("いぞん")[依存]する。


== #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


#bem-ruby("ぜんけい")[前掲]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]により、


#align(center)[#mitex("\\int_C \\boldsymbol{F}\\cdot d\\boldsymbol{r}\n=\\int_a^b \\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(t))\\cdot \\boldsymbol{r}'(t)\\,dt")]


である。#mitex("\\boldsymbol{F}=\\nabla\\phi", block: false) なら、この#bem-ruby("あたい")[値]は #mitex("\\phi(\\boldsymbol{r}(b))-\\phi(\\boldsymbol{r}(a))", block: false) になる。


#mitex("\\psi:[\\alpha,\\beta]\\to[a,b]", block: false) を#bem-ruby("れんぞく")[連続]かつ#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("ぜんたんしゃ")[全単射]とし、#mitex("\\boldsymbol\\rho=\\boldsymbol r\\circ\\psi", block: false) とする。#mitex("\\psi", block: false) が#bem-ruby("たんちょうぞうか")[単調増加]なら#bem-ruby("ちかんせきぶん")[置換積分]により#bem-ruby("しごとせんせきぶん")[仕事線積分]の#bem-ruby("あたい")[値]は#bem-ruby("か")[変]わらない。#mitex("\\psi", block: false) が#bem-ruby("たんちょうげんしょう")[単調減少]なら#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("はんてん")[反転]し、#bem-ruby("あたい")[値]の#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("はんてん")[反転]する。スカラー#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は #mitex("\\|\\boldsymbol r'\\|", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]うため、#bem-ruby("む")[向]きの#bem-ruby("はんてん")[反転]では#bem-ruby("ふごう")[符号]を#bem-ruby("か")[変]えない。


== #bem-ruby("きほんていり")[基本定理]としての#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]


#mitex("\\boldsymbol{F}=\\nabla\\phi", block: false) なら、#bem-ruby("きょくせん")[曲線]の #mitex("C^1", block: false) な#bem-ruby("かくくかん")[各区間]で#bem-ruby("れんさりつ")[連鎖律]により


#align(center)[#mitex("\\frac{d}{dt}\\phi(\\boldsymbol{r}(t))=\\nabla\\phi(\\boldsymbol{r}(t))\\cdot\\boldsymbol{r}'(t)")]


である。したがって#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は#bem-ruby("たんてん")[端点]の#bem-ruby("あたい")[値]の#bem-ruby("さ")[差]だけで#bem-ruby("けってい")[決定]される。#bem-ruby("けいろ")[経路]を#bem-ruby("へんこう")[変更]しても#bem-ruby("あたい")[値]が#bem-ruby("へんか")[変化]しない#bem-ruby("りゆう")[理由]はここにある。


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]では、#mitex("U", block: false) の#bem-ruby("にんい")[任意]の 2 #bem-ruby("てん")[点]を #mitex("U", block: false) #bem-ruby("ない")[内]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょくせん")[曲線]で#bem-ruby("むす")[結]べるとき、#bem-ruby("りょういき")[領域] #mitex("U", block: false) は#bem-ruby("けいろれんけつ")[経路連結]であるという。#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]では、この#bem-ruby("じょうけん")[条件]は#bem-ruby("れんぞくきょくせん")[連続曲線]を#bem-ruby("もち")[用]いる#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("ていぎ")[定義]と#bem-ruby("どうち")[同値]である。さらに #mitex("U", block: false) を#bem-ruby("かい")[開]かつ#bem-ruby("けいろれんけつ")[経路連結]とし、#mitex("\\boldsymbol F", block: false) を#bem-ruby("れんぞく")[連続]とする。このとき#bem-ruby("つぎ")[次]の 3 #bem-ruby("じょうけん")[条件]は#bem-ruby("どうち")[同値]である。


+ #mitex("\\boldsymbol F=\\nabla\\phi", block: false) となる #mitex("\\phi\\in C^1(U)", block: false) が#bem-ruby("そんざい")[存在]する。

+ #mitex("U", block: false) #bem-ruby("ない")[内]の 2 #bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("しごとせんせきぶん")[仕事線積分]が#bem-ruby("けいろ")[経路]によらない。

+ #mitex("U", block: false) #bem-ruby("ない")[内]のすべての#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]で #mitex("\\oint_C\\boldsymbol F\\cdot d\\boldsymbol r=0", block: false) である。


1 から 2 は#bem-ruby("ぜんけい")[前掲]の#bem-ruby("れんさりつ")[連鎖律]で#bem-ruby("したが")[従]う。2 を#bem-ruby("かてい")[仮定]し、#bem-ruby("きてん")[基点] #mitex("\\boldsymbol p_0", block: false) を#bem-ruby("こてい")[固定]して


#align(center)[#mitex("\\phi(\\boldsymbol p)=\\int_{\\boldsymbol p_0}^{\\boldsymbol p}\\boldsymbol F\\cdot d\\boldsymbol r")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#bem-ruby("けいろどくりつせい")[経路独立性]により、この#bem-ruby("あたい")[値]は#bem-ruby("けいろ")[経路]の#bem-ruby("せんたく")[選択]によらない。#mitex("U", block: false) は#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]であるため、#bem-ruby("じゅうぶん")[十分]に#bem-ruby("ちい")[小]さい #mitex("h", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して #mitex("\\boldsymbol p", block: false) から #mitex("\\boldsymbol p+h\\boldsymbol e_i", block: false) までの#bem-ruby("せんぶん")[線分]は #mitex("U", block: false) #bem-ruby("ない")[内]に#bem-ruby("ふく")[含]まれる。したがって


#align(center)[#mitex("\\frac{\\phi(\\boldsymbol p+h\\boldsymbol e_i)-\\phi(\\boldsymbol p)}{h}\n=\\frac{1}{h}\\int_0^h F_i(\\boldsymbol p+s\\boldsymbol e_i)\\,ds\n\\longrightarrow F_i(\\boldsymbol p)")]


が #mitex("\\boldsymbol F", block: false) の#bem-ruby("れんぞくせい")[連続性]から#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。よって #mitex("\\partial_i\\phi=F_i", block: false) であり、#mitex("\\phi\\in C^1(U)", block: false) かつ #mitex("\\nabla\\phi=\\boldsymbol F", block: false) を#bem-ruby("え")[得]る。2 から 3 は、#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]と#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("してん")[始点]および#bem-ruby("しゅうてん")[終点]をもつ#bem-ruby("ていちきょくせん")[定値曲線]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("ひかく")[比較]すれば#bem-ruby("したが")[従]う。3 から 2 は、2 #bem-ruby("ほん")[本]の#bem-ruby("けいろ")[経路]の 1 #bem-ruby("ぽん")[本]を#bem-ruby("ぎゃくむ")[逆向]きにして#bem-ruby("れんけつ")[連結]し、#bem-ruby("え")[得]られる#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]に 3 を#bem-ruby("てきよう")[適用]すれば#bem-ruby("したが")[従]う。


== #bem-ruby("りょういきじょうけん")[領域条件]と#bem-ruby("はんれい")[反例]


#mitex("U\\subset\\mathbb R^2", block: false) または #mitex("U\\subset\\mathbb R^3", block: false) を#bem-ruby("かい")[開]かつ#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]とし、#mitex("\\boldsymbol F\\in C^1(U)", block: false) とする。#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]とは、#mitex("U", block: false) #bem-ruby("ない")[内]の#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]を #mitex("U", block: false) の#bem-ruby("そと")[外]へ#bem-ruby("で")[出]ずに 1 #bem-ruby("てん")[点]へ#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]に#bem-ruby("ちぢ")[縮]められることである。このとき#bem-ruby("にじげん")[二次元]では #mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol F=0", block: false)、#bem-ruby("さんじげん")[三次元]では #mitex("\\nabla\\times\\boldsymbol F=\\boldsymbol0", block: false) が #mitex("U", block: false) の#bem-ruby("ぜんてん")[全点]で#bem-ruby("せいりつ")[成立]すれば、#mitex("\\boldsymbol F", block: false) は#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]である。


#bem-ruby("ぜんこうぎ")[前講義]で#bem-ruby("よこく")[予告]したように、#bem-ruby("りょういき")[領域]に#bem-ruby("あな")[穴]がある#bem-ruby("ばあい")[場合]は curl が 0 だけでは#bem-ruby("じゅうぶん")[十分]でない。#mitex("U=\\mathbb{R}^2\\setminus\\{\\boldsymbol0\\}", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]の


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{F}=\\left(-\\frac{y}{x^2+y^2},\\frac{x}{x^2+y^2}\\right)")]


は #mitex("C^\\infty", block: false) で、#mitex("U", block: false) の#bem-ruby("ぜんてん")[全点]で #mitex("\\operatorname{curl}_{2D}\\boldsymbol F=0", block: false) である。しかし #mitex("\\boldsymbol r(t)=(\\cos t,\\sin t)", block: false)、#mitex("0\\le t\\le2\\pi", block: false) とすると #mitex("\\boldsymbol F(\\boldsymbol r(t))=\\boldsymbol r'(t)", block: false) なので、#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りの#bem-ruby("たんいえん")[単位円]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]は #mitex("2\\pi", block: false) になる。したがって curl が 0 という#bem-ruby("きょくしょじょうけん")[局所条件]だけでは#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]できない。#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]は、この#bem-ruby("がんい")[含意]を#bem-ruby("ほしょう")[保証]する#bem-ruby("ひょうじゅんてき")[標準的]な#bem-ruby("じゅうぶんじょうけん")[十分条件]であり、#bem-ruby("ここ")[個々]の#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]に#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("じょうけん")[条件]ではない。


== #bem-ruby("ぶつりれい")[物理例]


#bem-ruby("りきば")[力場]が#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]である#bem-ruby("ばあい")[場合]、#bem-ruby("しごと")[仕事]は#bem-ruby("してん")[始点]と#bem-ruby("しゅうてん")[終点]だけで#bem-ruby("けってい")[決定]される。#bem-ruby("いち")[位置]エネルギーを #mitex("V", block: false) とする#bem-ruby("ぶつりがく")[物理学]の#bem-ruby("きやく")[規約]では #mitex("\\boldsymbol F=-\\nabla V", block: false) なので、#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]のポテンシャルは #mitex("\\phi=-V", block: false) に#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#bem-ruby("じゅうりょくば")[重力場]のような#bem-ruby("ほぞんりょく")[保存力]では、#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("しごと")[仕事]は 0 である。


== #bem-ruby("はんべつ")[判別]の#bem-ruby("てじゅん")[手順]


- #bem-ruby("りょういきない")[領域内]のすべての#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]で#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]が 0 なら、#bem-ruby("けいろどくりつ")[経路独立]と#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]を#bem-ruby("みちび")[導]ける。

- #bem-ruby("かい")[開]かつ#bem-ruby("たんれんけつ")[単連結]な#bem-ruby("りょういき")[領域]の #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("ば")[場]で curl が 0 なら#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]である。

- #bem-ruby("あな")[穴]のある#bem-ruby("りょういき")[領域]では、curl が 0 であっても#bem-ruby("けいろいぞん")[経路依存]が#bem-ruby("のこ")[残]ることがある。


== #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例] 1: #bem-ruby("ほぞんば")[保存場]


#mitex("\\phi(x,y)=x^2y", block: false) とすると、#mitex("\\nabla\\phi=(2xy,x^2)", block: false) である。#bem-ruby("てん")[点] #mitex("(0,0)", block: false) から #mitex("(1,1)", block: false) までの#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょくせん")[曲線] #mitex("C", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、


#align(center)[#mitex("\\int_C (2xy,x^2)\\cdot d\\boldsymbol{r}=\\phi(1,1)-\\phi(0,0)=1")]


である。#bem-ruby("ちょくせんけいろ")[直線経路]または#bem-ruby("せっせんけいろ")[折線経路]のいずれを#bem-ruby("せんたく")[選択]しても、#bem-ruby("あたい")[値]は#bem-ruby("へんか")[変化]しない。


== #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例] 2: #bem-ruby("ひほぞんば")[非保存場]


#mitex("\\boldsymbol{F}=(-y,x)", block: false) を#bem-ruby("たんいえん")[単位円] #mitex("\\boldsymbol{r}(t)=(\\cos t,\\sin t)", block: false)、#mitex("0\\le t\\le 2\\pi", block: false) に#bem-ruby("そ")[沿]って#bem-ruby("せきぶん")[積分]する。このとき #mitex("\\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(t))=(-\\sin t,\\cos t)", block: false)、#mitex("\\boldsymbol{r}'(t)=(-\\sin t,\\cos t)", block: false) なので、


#align(center)[#mitex("\\oint_C\\boldsymbol{F}\\cdot d\\boldsymbol{r}\n=\\int_0^{2\\pi}1\\,dt=2\\pi")]


である。#bem-ruby("へいきょくせん")[閉曲線]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]が 0 でないため、この#bem-ruby("ば")[場]は#bem-ruby("ほぞんば")[保存場]ではない。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[勾配・発散・回転]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[surfaces.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[parametrized-curves-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-line-and-surface]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[flux.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[面積分と流束]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[theorems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Green・Gauss・Stokes の定理]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture.n.md#h(0.7em)md 364834c]]


= #bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]と#bem-ruby("りゅうそく")[流束]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]のスカラー#bem-ruby("りょう")[量]の#bem-ruby("そうわ")[総和]と、#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-ruby("つらぬ")[貫]くベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]の#bem-ruby("そうわ")[総和]を#bem-ruby("くべつ")[区別]して#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#bem-anno("Flux")[#bem-ruby("りゅうそく")[流束]] は、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]する#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]であり、#bem-ruby("きょくめん")[曲面]をどれだけ#bem-ruby("つうか")[通過]するかを#bem-ruby("あらわ")[表]す。


#bem-anno("Surface integral")[#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]] は、#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]のスカラー#bem-ruby("りょう")[量]またはベクトル#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]を#bem-ruby("せきぶん")[積分]する#bem-ruby("そうさ")[操作]である。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を #mitex("\\boldsymbol{r}(u,v)", block: false) で#bem-ruby("ひょうじ")[表示]し、#bem-ruby("せつ")[接]ベクトル #mitex("\\boldsymbol{r}_u,\\boldsymbol{r}_v", block: false) から#bem-ruby("ほうせんほうこう")[法線方向]を#bem-ruby("こうせい")[構成]する。#bem-ruby("りゅうそく")[流束]では、ベクトル#bem-ruby("ば")[場]のうち#bem-ruby("ほうせんほうこう")[法線方向]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]だけを#bem-ruby("かぞ")[数]える。


== #bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]き#bem-ruby("きょくめん")[曲面]


#bem-ruby("りゅうそく")[流束]では、#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("おもてうら")[表裏]を#bem-ruby("くべつ")[区別]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。#bem-ruby("ほうせんほうこう")[法線方向]を#bem-ruby("はんてん")[反転]すると、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]の#bem-ruby("ふごう")[符号]も#bem-ruby("はんてん")[反転]する。#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]では、#bem-ruby("つうじょう")[通常]は#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("せんたく")[選択]する。


#bem-ruby("きょくめんぜんたい")[曲面全体]で#bem-ruby("れんぞく")[連続]な#bem-ruby("たんいほうせんば")[単位法線場] #mitex("\\boldsymbol n", block: false) を#bem-ruby("えら")[選]べるとき、その#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-anno("orientable")[#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]け#bem-ruby("かのう")[可能]]という。#bem-ruby("れんけつ")[連結]な#bem-ruby("きょくめん")[曲面]では 2 つの#bem-ruby("む")[向]きは #mitex("\\boldsymbol n", block: false) と #mitex("-\\boldsymbol n", block: false) である。#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]け#bem-ruby("ふかのう")[不可能]な#bem-ruby("きょくめん")[曲面]では、#bem-ruby("きょくめんぜんたい")[曲面全体]に#bem-ruby("いっかん")[一貫]した#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("ていぎ")[定義]できない。#bem-ruby("りょういき")[領域]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]として#bem-ruby("あた")[与]えられた#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]では、#bem-ruby("そとむ")[外向]きが#bem-ruby("ひょうじゅん")[標準]の#bem-ruby("む")[向]きである。


== #bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("せつめい")[説明]


#mitex("\\Omega\\subset\\mathbb R^2", block: false) を#bem-ruby("きょうかい")[境界]が#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("ゆうかい")[有界] Jordan #bem-ruby("りょういき")[領域]、#mitex("D=\\overline\\Omega", block: false) とし、#mitex("\\boldsymbol r", block: false) を #mitex("D", block: false) の#bem-ruby("かいきんぼう")[開近傍]で #mitex("C^1", block: false) とする。#mitex("\\Omega", block: false) #bem-ruby("ない")[内]で #mitex("\\boldsymbol r_u\\times\\boldsymbol r_v\\ne\\boldsymbol0", block: false) かつ#bem-ruby("たんしゃ")[単射]であるとき、#mitex("S=\\boldsymbol r(D)", block: false) を#bem-anno("regular surface patch")[#bem-ruby("せいそくきょくめん")[正則曲面]パッチ]という。#bem-ruby("きょうかいじょう")[境界上]だけの#bem-ruby("ちょうふく")[重複]は#bem-ruby("めんせき")[面積] 0 なので#bem-ruby("せきぶんち")[積分値]へ#bem-ruby("えいきょう")[影響]しない。#bem-ruby("ないぶ")[内部]で#bem-ruby("たじゅうひふく")[多重被覆]するパラメータ#bem-ruby("ひょうじ")[表示]の#bem-ruby("うへん")[右辺]は、#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]の#bem-ruby("つうじょう")[通常]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]ではなく、#bem-ruby("ちょうふくど")[重複度]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。


#mitex("S", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]された#bem-ruby("れんぞく")[連続]スカラー#bem-ruby("ば")[場] #mitex("g", block: false) の#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]を


#align(center)[#mitex("\\iint_S g\\,dS\n=\\iint_D g(\\boldsymbol r(u,v))\\|\\boldsymbol r_u\\times\\boldsymbol r_v\\|\\,du\\,dv")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。これは#bem-ruby("む")[向]きに#bem-ruby("いぞん")[依存]せず、#mitex("g=1", block: false) なら#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("めんせき")[面積]になる。


#mitex("S", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]された#bem-ruby("れんぞく")[連続]ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\boldsymbol F", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]し、#mitex("\\boldsymbol r_u\\times\\boldsymbol r_v", block: false) が#bem-ruby("えら")[選]んだ#bem-ruby("む")[向]きと#bem-ruby("いっち")[一致]するとき、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を


#align(center)[#mitex("\\iint_S \\boldsymbol{F}\\cdot \\boldsymbol{n}\\,dS\n=\\iint_D \\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(u,v))\\cdot(\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v)\\,du\\,dv")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。パッチの#bem-ruby("ないぶ")[内部]では、#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線]は #mitex("\\boldsymbol n=(\\boldsymbol r_u\\times\\boldsymbol r_v)/\\|\\boldsymbol r_u\\times\\boldsymbol r_v\\|", block: false) である。#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("はんてん")[反転]すると#bem-ruby("りゅうそく")[流束]の#bem-ruby("ふごう")[符号]も#bem-ruby("はんてん")[反転]する。


#mitex("\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v", block: false) は、#bem-ruby("せつへいめん")[接平面]に#bem-ruby("すいちょく")[垂直]な#bem-ruby("ほうこう")[方向]と#bem-ruby("びしょうめんせき")[微小面積]を#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("あらわ")[表]す。#mitex("\\|\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v\\|\\,du\\,dv", block: false) は#bem-ruby("めんせきようそ")[面積要素]であり、#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]き#bem-ruby("りゅうそく")[流束]では#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]を#bem-ruby("と")[取]らずに #mitex("\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v\\,du\\,dv", block: false) を#bem-ruby("しよう")[使用]する。


#bem-ruby("ほんこうぎ")[本講義]で#bem-ruby("あつか")[扱]うコンパクトな#bem-ruby("くぶんてきせいそくきょくめん")[区分的正則曲面]を 1 #bem-ruby("こ")[個]のパッチで#bem-ruby("せいそく")[正則]かつ 1 #bem-ruby("たい")[対] 1 に#bem-ruby("ひょうじ")[表示]できない#bem-ruby("ばあい")[場合]は、#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("せいそく")[正則]パッチに#bem-ruby("ぶんかつ")[分割]し、#bem-ruby("きょうつうぶぶん")[共通部分]を#bem-ruby("めんせき")[面積] 0 の#bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("げんてい")[限定]して、#bem-ruby("かく")[各]パッチの#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("かさん")[加算]する。#bem-ruby("りゅうそく")[流束]では、すべてのパッチの#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("せんたく")[選択]した#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("む")[向]きと#bem-ruby("せいごう")[整合]させる。この#bem-ruby("こうせい")[構成]により、#bem-ruby("こうじゅつ")[後述]する#bem-ruby("きゅうめん")[球面]および#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]も#bem-ruby("ていぎ")[定義]される。


#mitex("\\Omega'", block: false) を#bem-ruby("きょうかい")[境界]が#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) の#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("ゆうかい")[有界] Jordan #bem-ruby("りょういき")[領域]、#mitex("E=\\overline{\\Omega'}", block: false) とする。#mitex("\\boldsymbol\\varphi:E\\to D", block: false) を、#mitex("E", block: false) と #mitex("D", block: false) の#bem-ruby("かいきんぼうかん")[開近傍間]の #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("びぶんどうそう")[微分同相]の#bem-ruby("せいげん")[制限]で #mitex("\\boldsymbol\\varphi(E)=D", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たすものとし、#mitex("\\boldsymbol\\rho=\\boldsymbol r\\circ\\boldsymbol\\varphi", block: false) とする。スカラー#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]は Jacobian の#bem-ruby("ぜったいち")[絶対値]により#bem-ruby("さい")[再]パラメータ#bem-ruby("か")[化]で#bem-ruby("ふへん")[不変]である。#bem-ruby("りゅうそく")[流束]は #mitex("\\det D\\boldsymbol\\varphi>0", block: false) なら#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("たも")[保]って#bem-ruby("ふへん")[不変]である。#mitex("\\det D\\boldsymbol\\varphi<0", block: false) のとき、#bem-ruby("がいせき")[外積]をそのまま#bem-ruby("しよう")[使用]すると#bem-ruby("はんたいむ")[反対向]きの#bem-ruby("きょくめん")[曲面]を#bem-ruby("あらわ")[表]すため、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]の#bem-ruby("ふごう")[符号]が#bem-ruby("はんてん")[反転]する。#bem-ruby("せんたくず")[選択済]みの#bem-ruby("きかがくてき")[幾何学的]な#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("いじ")[維持]する#bem-ruby("ばあい")[場合]は、#bem-ruby("がいせき")[外積]の#bem-ruby("ふごう")[符号]を#bem-ruby("ほせい")[補正]する。


== #bem-ruby("ぐたいけいさん")[具体計算]


#bem-ruby("うわむ")[上向]きの#bem-ruby("へいめん")[平面] #mitex("z=0", block: false)、#mitex("0\\le x\\le 1,\\ 0\\le y\\le 1", block: false) を#bem-ruby("かんが")[考]える。#mitex("\\boldsymbol{F}=(0,0,z+1)", block: false) なら、#bem-ruby("ほうせん")[法線]は #mitex("(0,0,1)", block: false) であり、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]は


#align(center)[#mitex("\\iint_S \\boldsymbol{F}\\cdot\\boldsymbol{n}\\,dS=\\int_0^1\\int_0^1 1\\,dx\\,dy=1")]


である。#bem-ruby("したむ")[下向]きの#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("せんたく")[選択]すると#bem-ruby("あたい")[値]は #mitex("-1", block: false) になる。


== #bem-ruby("きゅうめん")[球面]の#bem-ruby("れい")[例]


#mitex("\\boldsymbol{F}=(x,y,z)", block: false) とし、#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とする#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("R>0", block: false) の#bem-ruby("きゅうめん")[球面]を#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]ける。#bem-ruby("きゅうめん")[球面]では #mitex("\\boldsymbol{F}\\cdot\\boldsymbol{n}=R", block: false) であり、#bem-ruby("めんせき")[面積]が #mitex("4\\pi R^2", block: false) なので、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]は #mitex("4\\pi R^3", block: false) になる。#bem-ruby("こうぞくこうぎ")[後続講義]では Gauss #bem-ruby("ていり")[定理]を#bem-ruby("つか")[使]い、#bem-ruby("はっさん")[発散]が 3、#bem-ruby("たいせき")[体積]が #mitex("4\\pi R^3/3", block: false) であることから#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


== #bem-ruby("えんちゅう")[円柱]の#bem-ruby("れい")[例]


#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("R", block: false)、#bem-ruby("たか")[高]さ #mitex("H", block: false) の#bem-ruby("えんちゅうそくめん")[円柱側面]を


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{r}(\\theta,z)=(R\\cos\\theta,R\\sin\\theta,z)")]


で#bem-ruby("ひょうじ")[表示]する。これは#bem-ruby("じょうかめん")[上下面]を#bem-ruby("ふく")[含]まない#bem-ruby("そくめん")[側面]だけの#bem-ruby("ひょうじ")[表示]で、#mitex("0\\le\\theta\\le 2\\pi", block: false)、#mitex("0\\le z\\le H", block: false) である。#mitex("\\theta=0", block: false) と #mitex("\\theta=2\\pi", block: false) は#bem-ruby("どういつ")[同一]の#bem-ruby("つ")[継]ぎ#bem-ruby("め")[目]を#bem-ruby("あらわ")[表]すが、パラメータ#bem-ruby("りょういき")[領域]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]での#bem-ruby("ちょうふく")[重複]なので#bem-ruby("めんせきぶん")[面積分]の#bem-ruby("あたい")[値]に#bem-ruby("えいきょう")[影響]しない。#bem-ruby("そとむ")[外向]きの#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]き#bem-ruby("めんようそ")[面要素]は


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{r}_\\theta\\times\\boldsymbol{r}_z=(R\\cos\\theta,R\\sin\\theta,0)")]


である。#mitex("\\boldsymbol{F}=(x,y,0)", block: false) なら、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]は


#align(center)[#mitex("\\int_0^H\\int_0^{2\\pi}R^2\\,d\\theta\\,dz=2\\pi R^2H")]


である。


== #bem-ruby("ひかくれい")[比較例]: #bem-ruby("めん")[面]に#bem-ruby("へいこう")[平行]な#bem-ruby("ば")[場]


#mitex("z=0", block: false) の#bem-ruby("うわむ")[上向]き#bem-ruby("へいめんへん")[平面片]に#bem-ruby("たい")[対]し、#mitex("\\boldsymbol{F}=(1,0,0)", block: false) は#bem-ruby("めん")[面]に#bem-ruby("へいこう")[平行]である。したがって #mitex("\\boldsymbol{F}\\cdot\\boldsymbol{n}=0", block: false) であり、#bem-ruby("りゅうそく")[流束]は 0 になる。#bem-ruby("やじるし")[矢印]が#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]に#bem-ruby("そんざい")[存在]しても、#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]がなければ#bem-ruby("かんつうりょう")[貫通量]は#bem-ruby("はっせい")[発生]しない。


== Gauss #bem-ruby("ていり")[定理]への#bem-ruby("はしわた")[橋渡]し


#bem-ruby("ゆうかいりょういき")[有界領域] #mitex("V", block: false) が#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("も")[持]ち、#mitex("\\boldsymbol F", block: false) が #mitex("\\overline V", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で #mitex("C^1", block: false) であるとする。#bem-ruby("そとむ")[外向]きに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けた#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面] #mitex("\\partial V", block: false) を#bem-ruby("つうか")[通過]する#bem-ruby("そうりゅうそく")[総流束]は、#mitex("V", block: false) #bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("はっさん")[発散]の#bem-ruby("たいせきせきぶん")[体積積分]と#bem-ruby("いっち")[一致]する。この#bem-ruby("じじつ")[事実]が Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]である。#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面] #mitex("\\partial V", block: false) は#bem-ruby("たいせきりょういき")[体積領域]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]であり、#bem-ruby("つぎ")[次]のページで#bem-ruby("きょうかいじょう")[境界上]の#bem-ruby("りゅうそく")[流束]と#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("きょくしょりょう")[局所量]である#bem-ruby("はっさん")[発散]を#bem-ruby("せつぞく")[接続]する。#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を #mitex("V", block: false) #bem-ruby("ない")[内]に#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("ば")[場]には、この#bem-ruby("じょうけん")[条件]のままでは#bem-ruby("てきよう")[適用]できない。


== よくある#bem-ruby("あやま")[誤]り


- #bem-ruby("ほうせんほうこう")[法線方向]を#bem-ruby("してい")[指定]せずに#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("けいさん")[計算]する。

- #bem-ruby("めんせきようそ")[面積要素] #mitex("\\|\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v\\|", block: false) と#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]き#bem-ruby("めんようそ")[面要素] #mitex("\\boldsymbol{r}_u\\times\\boldsymbol{r}_v", block: false) を#bem-ruby("こんどう")[混同]する。

- #bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("かくにん")[確認]せず、Stokes #bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("あやま")[誤]る。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[curl.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[勾配・発散・回転]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[surfaces.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[parametrized-curves-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[multivariable-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[integrals.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[introduction-to-line-and-surface]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[analysis]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/analysis/introduction-to-line-and-surface-integrals.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[theorems.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Green・Gauss・Stokes の定理]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture.n.md#h(0.7em)md b2336c1]]


= Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]を、#bem-ruby("りょういきないぶ")[領域内部]の#bem-ruby("びぶんりょう")[微分量]と#bem-ruby("きょうかいじょう")[境界上]の#bem-ruby("せきぶんりょう")[積分量]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("どういつげんり")[同一原理]として#bem-ruby("かくにん")[確認]する。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


Green の#bem-ruby("ていり")[定理]は#bem-ruby("へいめんりょういき")[平面領域]の#bem-ruby("かいてん")[回転]と#bem-ruby("きょうかいせん")[境界線]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ。Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]は#bem-ruby("たいせきりょういき")[体積領域]の#bem-ruby("はっさん")[発散]と#bem-ruby("きょうかいめん")[境界面]の#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ。Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]は#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]の curl と#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ。


== #bem-ruby("ていり")[定理]を#bem-ruby("てきよう")[適用]する#bem-ruby("まえ")[前]の#bem-ruby("かくにんじこう")[確認事項]


#bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("てきようまえ")[適用前]には、#bem-ruby("せきぶんたいしょう")[積分対象]、#bem-ruby("む")[向]き、および#bem-ruby("りょういきないぶ")[領域内部]における#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("なめ")[滑]らかさを#bem-ruby("かくにん")[確認]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。Green では#bem-ruby("へいめんりょういき")[平面領域]と#bem-ruby("せいこう")[正向]きの#bem-ruby("きょうかい")[境界]、Gauss では#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]と#bem-ruby("がいこう")[外向]き#bem-ruby("ほうせん")[法線]、Stokes では#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられた#bem-ruby("きょくめん")[曲面]と#bem-ruby("みぎてそく")[右手則]により#bem-ruby("ゆうどう")[誘導]される#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]の#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("ぜんてい")[前提]になる。


== #bem-ruby("だいひょうしき")[代表式]


Green の#bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("いっけい")[一形]は


#align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial D} P\\,dx+Q\\,dy=\\iint_D\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\,dA")]


#mitex("D", block: false) は#bem-ruby("ゆうげんこ")[有限個]の#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) Jordan #bem-ruby("きょくせん")[曲線]を#bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("ゆうかいへいめんりょういき")[有界平面領域]、#mitex("P,Q", block: false) は #mitex("\\overline D", block: false) の#bem-ruby("かいきんぼう")[開近傍]で #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]とする。#mitex("\\partial D", block: false) は#bem-ruby("ゆうどう")[誘導]された#bem-ruby("せい")[正]の#bem-ruby("む")[向]き、すなわち#bem-ruby("がいしゅう")[外周]は#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]り、#bem-ruby("あな")[穴]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]は#bem-ruby("とけいまわ")[時計回]りに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]ける。#bem-ruby("さへん")[左辺]は#bem-ruby("ぜんきょうかいせいぶん")[全境界成分]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]の#bem-ruby("わ")[和]、#bem-ruby("うへん")[右辺]は#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("かいてんみつど")[回転密度]の#bem-ruby("そうわ")[総和]である。


Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]は


#align(center)[#mitex("\\iint_{\\partial V}\\boldsymbol{F}\\cdot\\boldsymbol{n}\\,dS\n=\\iiint_V \\nabla\\cdot\\boldsymbol{F}\\,dV")]


である。


#mitex("V", block: false) は#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("ゆうかいりょういき")[有界領域]、#mitex("\\boldsymbol{F}", block: false) は #mitex("\\overline V", block: false) の#bem-ruby("かいきんぼう")[開近傍]で #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]とする。#mitex("\\boldsymbol n", block: false) は #mitex("V", block: false) から#bem-ruby("そとむ")[外向]きの#bem-ruby("たんいほうせん")[単位法線]であり、#bem-ruby("くうどう")[空洞]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]では#bem-ruby("くうどうがわ")[空洞側]を#bem-ruby("む")[向]く。#bem-ruby("さへん")[左辺]は#bem-ruby("ぜんきょうかいせいぶん")[全境界面成分]を#bem-ruby("とお")[通]る#bem-ruby("そうりゅうそく")[総流束]、#bem-ruby("うへん")[右辺]は#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("はっさんみつど")[発散密度]の#bem-ruby("たいせきせきぶん")[体積積分]である。


Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]は、#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられた#bem-ruby("きょくめん")[曲面] #mitex("S", block: false) とその#bem-ruby("きょうかい")[境界] #mitex("\\partial S", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して


#align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial S}\\boldsymbol{F}\\cdot d\\boldsymbol{r}\n=\n\\iint_S(\\nabla\\times\\boldsymbol{F})\\cdot\\boldsymbol{n}\\,dS")]


と#bem-ruby("の")[述]べられる。#mitex("S", block: false) は#bem-ruby("む")[向]きを#bem-ruby("せんたく")[選択]したコンパクトな#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("せいそくきょくめん")[正則曲面]で、#bem-ruby("きょうかい")[境界]も#bem-ruby("くぶんてき")[区分的] #mitex("C^1", block: false) とし、#mitex("\\boldsymbol{F}", block: false) は #mitex("S", block: false) を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]で #mitex("C^1", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]とする。#mitex("\\partial S", block: false) が#bem-ruby("ふくすう")[複数]の#bem-ruby("せいぶん")[成分]を#bem-ruby("も")[持]つとき、#bem-ruby("さへん")[左辺]は#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]の#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]の#bem-ruby("わ")[和]である。#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]は、#bem-ruby("せんたく")[選択]した#bem-ruby("ほうせん")[法線] #mitex("\\boldsymbol n", block: false) に#bem-ruby("みぎて")[右手]の#bem-ruby("おやゆび")[親指]を#bem-ruby("む")[向]けたときに#bem-ruby("ゆび")[指]が#bem-ruby("ま")[曲]がる#bem-ruby("ほうこう")[方向]である。#bem-ruby("どうち")[同値]に、#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("しんこう")[進行]する#bem-ruby("かんさつしゃ")[観察者]が#bem-ruby("とうぶ")[頭部]を #mitex("\\boldsymbol n", block: false) の#bem-ruby("ほうこう")[方向]へ#bem-ruby("む")[向]けると、#bem-ruby("きょくめん")[曲面]は#bem-ruby("ひだりがわ")[左側]に#bem-ruby("いち")[位置]する。#mitex("\\boldsymbol n", block: false) を#bem-ruby("はんてん")[反転]すると#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("む")[向]きも#bem-ruby("はんてん")[反転]する。


== #bem-ruby("かくていり")[各定理]の#bem-ruby("やくわり")[役割]


Green の#bem-ruby("ていり")[定理]は#bem-ruby("へいめんりょういき")[平面領域]で、#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("ないぶ")[内部]の curl の#bem-ruby("せきぶん")[積分]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する。Gauss の#bem-ruby("ていり")[定理]は#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]を#bem-ruby("つうか")[通過]する#bem-ruby("りゅうそく")[流束]を#bem-ruby("ないぶ")[内部]の divergence の#bem-ruby("せきぶん")[積分]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する。Stokes の#bem-ruby("ていり")[定理]は#bem-ruby("きょくめん")[曲面]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]に#bem-ruby("そ")[沿]う#bem-ruby("じゅんかん")[循環]を#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]の curl の#bem-ruby("りゅうそく")[流束]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する。


#table(
  columns: 3,
  inset: 5pt,
  stroke: 0.4pt + luma(190),
  [#strong[#bem-ruby("ていり")[定理]]],
  [#strong[#bem-ruby("きょうかいがわ")[境界側]]],
  [#strong[#bem-ruby("ないぶがわ")[内部側]]],
  [Green],
  [#bem-ruby("へいめんきょうかい")[平面境界]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]],
  [#bem-ruby("りょういきない")[領域内]の#bem-ruby("かいてんみつど")[回転密度]],
  [Gauss],
  [#bem-ruby("へいきょくめん")[閉曲面]の#bem-ruby("りゅうそく")[流束]],
  [#bem-ruby("たいせきない")[体積内]の#bem-ruby("はっさんみつど")[発散密度]],
  [Stokes],
  [#bem-ruby("きょうかいきょくせん")[境界曲線]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環]],
  [#bem-ruby("きょくめんじょう")[曲面上]の curl の#bem-ruby("ほうせんせいぶん")[法線成分]],
)


== なぜ#bem-ruby("どういつげんり")[同一原理]と#bem-ruby("い")[言]えるか


#bem-ruby("りょういき")[領域]を#bem-ruby("しょうへん")[小片]へ#bem-ruby("ぶんかつ")[分割]すると、#bem-ruby("ないぶ")[内部]で#bem-ruby("せっ")[接]する#bem-ruby("じんこうてき")[人工的]な#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("きよ")[寄与]は#bem-ruby("む")[向]きが#bem-ruby("ぎゃく")[逆]になるため#bem-ruby("そうさい")[相殺]される。#bem-ruby("さいご")[最後]に#bem-ruby("のこ")[残]るのは、#bem-ruby("あな")[穴]や#bem-ruby("くうどう")[空洞]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]も#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("りょういきぜんたい")[領域全体]の#bem-ruby("きょうかい")[境界]である。この#bem-ruby("そうさい")[相殺]が、Green・Gauss・Stokes の#bem-ruby("はいご")[背後]にある#bem-ruby("きょうつうこうぞう")[共通構造]である。


== Green の#bem-ruby("けいさんれい")[計算例]


#mitex("\\boldsymbol{F}=(-y/2,x/2)", block: false) とし、#mitex("D", block: false) を#bem-ruby("たんいえんばん")[単位円板]とする。Green の#bem-ruby("ていり")[定理]により、


#align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial D}\\boldsymbol{F}\\cdot d\\boldsymbol{r}\n=\\iint_D 1\\,dA=\\pi")]


である。#bem-ruby("きょうかい")[境界]を#bem-ruby("ちょくせつ")[直接]パラメータ#bem-ruby("ひょうじ")[表示]しても#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("え")[得]る。この#bem-ruby("いっち")[一致]が、#bem-ruby("きょうかいせきぶん")[境界積分]と#bem-ruby("ないぶせきぶん")[内部積分]の#bem-ruby("たいおう")[対応]を#bem-ruby("しめ")[示]す。


#bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]では、#mitex("\\partial D", block: false) を #mitex("\\boldsymbol{r}(t)=(\\cos t,\\sin t)", block: false)、#mitex("0\\le t\\le 2\\pi", block: false) と#bem-ruby("お")[置]けば、


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(t))=\\left(-\\frac{\\sin t}{2},\\frac{\\cos t}{2}\\right),\\qquad\n\\boldsymbol{r}'(t)=(-\\sin t,\\cos t)")]


だから


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{F}(\\boldsymbol{r}(t))\\cdot\\boldsymbol{r}'(t)=\\frac12")]


となり、


#align(center)[#mitex("\\oint_{\\partial D}\\boldsymbol{F}\\cdot d\\boldsymbol{r}\n=\\int_0^{2\\pi}\\frac12\\,dt\n=\\pi")]


を#bem-ruby("え")[得]る。Green の#bem-ruby("ていり")[定理]は、この#bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]を#bem-ruby("ないぶせきぶん")[内部積分]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]し、#bem-ruby("きょうかいせきぶん")[境界積分]と#bem-ruby("ないぶせきぶん")[内部積分]の#bem-ruby("こうぞうてきかんけい")[構造的関係]を#bem-ruby("めいかく")[明確]にする。


== Gauss の#bem-ruby("けいさんれい")[計算例]


#mitex("\\boldsymbol{F}=(x,y,z)", block: false) とし、#mitex("V", block: false) を#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とする#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("R>0", block: false) の#bem-ruby("きゅう")[球]とする。#mitex("\\nabla\\cdot\\boldsymbol{F}=3", block: false) なので、


#align(center)[#mitex("\\iiint_V\\nabla\\cdot\\boldsymbol{F}\\,dV=3\\cdot\\frac{4\\pi R^3}{3}=4\\pi R^3")]


である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#bem-ruby("きょうかいきゅうめん")[境界球面]では #mitex("\\boldsymbol{F}\\cdot\\boldsymbol{n}=R", block: false) であり、#bem-ruby("めんせき")[面積]は #mitex("4\\pi R^2", block: false) なので#bem-ruby("りゅうそく")[流束]も #mitex("4\\pi R^3", block: false) である。


この#bem-ruby("れい")[例]は、#bem-ruby("はっさん")[発散]が#bem-ruby("かくてん")[各点]で#bem-ruby("いっていち")[一定値] 3 を#bem-ruby("と")[取]る#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("そうりゅうそく")[総流束]が、#bem-ruby("たいせき")[体積]に#bem-ruby("ひれい")[比例]して#bem-ruby("ぞうか")[増加]することを#bem-ruby("しめ")[示]している。Gauss の#bem-ruby("ていり")[定理]は、#bem-ruby("ひょうめん")[表面]の#bem-ruby("ちょくせつせきぶん")[直接積分]より#bem-ruby("ないぶ")[内部]の divergence のほうが#bem-ruby("かんたん")[簡単]な#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("とく")[特]に#bem-ruby("ゆうこう")[有効]である。


== Stokes の#bem-ruby("けいさんれい")[計算例]


#mitex("\\boldsymbol{F}=(-y/2,x/2,0)", block: false) とし、#mitex("S", block: false) を #mitex("xy", block: false) #bem-ruby("へいめんじょう")[平面上]の#bem-ruby("たんいえんばん")[単位円板]、#bem-ruby("ほうせん")[法線]を#bem-ruby("うわむ")[上向]きとする。#mitex("\\nabla\\times\\boldsymbol{F}=(0,0,1)", block: false) なので、


#align(center)[#mitex("\\iint_S(\\nabla\\times\\boldsymbol{F})\\cdot\\boldsymbol{n}\\,dS=\\pi")]


である。#bem-ruby("きょうかい")[境界]は#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]りの#bem-ruby("たんいえん")[単位円]であり、#bem-ruby("せんせきぶん")[線積分]も #mitex("\\pi", block: false) になる。Green の#bem-ruby("ていり")[定理]は、この#bem-ruby("へいめん")[平面] Stokes #bem-ruby("ていり")[定理]の#bem-ruby("かたち")[形]として#bem-ruby("かいしゃく")[解釈]できる。


== #bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]と#bem-ruby("ていりりよう")[定理利用]の#bem-ruby("つか")[使]い#bem-ruby("わ")[分]け


#bem-ruby("きょうかい")[境界]が#bem-ruby("たんじゅん")[単純]で、#bem-ruby("ば")[場]の#bem-ruby("ひょうじ")[表示]も#bem-ruby("かんたん")[簡単]なら#bem-ruby("ちょくせつけいさん")[直接計算]で#bem-ruby("じゅうぶん")[十分]である。#bem-ruby("いっぽう")[一方]、#bem-ruby("きょうかい")[境界]が#bem-ruby("ふくざつ")[複雑]で#bem-ruby("ないぶりょう")[内部量]のほうが#bem-ruby("かんたん")[簡単]なら、Green・Gauss・Stokes により#bem-ruby("けいさん")[計算]が#bem-ruby("ようい")[容易]な#bem-ruby("せきぶんひょうじ")[積分表示]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]することが#bem-ruby("ゆうこう")[有効]である。


== #bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]への#bem-ruby("せつぞく")[接続]


これら#bem-ruby("みっ")[三]つの#bem-ruby("ていり")[定理]は、#bem-ruby("じげん")[次元]や#bem-ruby("せきぶんたいしょう")[積分対象]が#bem-ruby("こと")[異]なるだけで、#bem-ruby("ないぶ")[内部]の#bem-ruby("びぶん")[微分]と#bem-ruby("きょうかい")[境界]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]を#bem-ruby("むす")[結]ぶ#bem-ruby("どういつこうぞう")[同一構造]を#bem-ruby("も")[持]つ。この#bem-ruby("こうぞう")[構造]は#bem-ruby("びぶんけいしき")[微分形式]により#bem-ruby("いっぱんか")[一般化]される。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/general-stokes-theorem-and-vector-calculus-dictionary.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[dictionary.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[general-stokes-theorem-and-vector-calculus]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[exterior-algebra]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/exterior-algebra/general-stokes-theorem-and-vector-calculus-dictionary.lecture/]
]]
]


== Laplacian への#bem-ruby("せつぞく")[接続]


#mitex("u", block: false) を #mitex("\\overline V", block: false) の#bem-ruby("かいきんぼう")[開近傍]で #mitex("C^2", block: false) とし、#mitex("\\boldsymbol F=\\nabla u", block: false) を Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]へ#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すると、


#align(center)[#mitex("\\iint_{\\partial V}\\nabla u\\cdot\\boldsymbol n\\,dS\n=\\iiint_V\\Delta u\\,dV")]


となる。#bem-ruby("さへん")[左辺]は #mitex("\\partial u/\\partial n=\\nabla u\\cdot\\boldsymbol n", block: false) の#bem-ruby("きょうかいめんじょう")[境界面上]の#bem-ruby("めんせきせきぶん")[面積分]、すなわち#bem-ruby("こうばい")[勾配]の#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("りゅうそく")[流束]であり、#bem-ruby("ないぶ")[内部]の Laplacian と#bem-ruby("むす")[結]ばれる。#bem-ruby("じこうぎ")[次講義]では #mitex("\\Delta u=\\nabla\\cdot\\nabla u", block: false) の#bem-ruby("いみ")[意味]と#bem-ruby("ぶつりてきおうよう")[物理的応用]を#bem-ruby("あつか")[扱]う。


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/laplacian-and-physical-applications.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[applications.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[Laplacian と物理応用]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/laplacian-and-physical-applications.lecture/]
]]
]


== #bem-ruby("とくいてん")[特異点]がある#bem-ruby("ばあい")[場合]


#bem-ruby("りょういき")[領域]の#bem-ruby("む")[向]き、#bem-ruby("きょうかい")[境界]、#bem-ruby("なめ")[滑]らかさを#bem-ruby("かくにん")[確認]する。#bem-ruby("とくいてん")[特異点]が#bem-ruby("りょういきないぶ")[領域内部]にある#bem-ruby("ばあい")[場合]は、その#bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("じょがい")[除外]した#bem-ruby("りょういき")[領域]で#bem-ruby("さいこうせい")[再構成]する#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。たとえば


#align(center)[#mitex("\\boldsymbol{F}(x,y)=\\left(-\\frac{y}{x^2+y^2},\\frac{x}{x^2+y^2}\\right)")]


は#bem-ruby("げんてん")[原点]で#bem-ruby("ていぎ")[定義]されないため、#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("えんばん")[円板]へ Green の#bem-ruby("ていり")[定理]をそのまま#bem-ruby("てきよう")[適用]してはならない。


#bem-ruby("げんてん")[原点]の#bem-ruby("しゅうい")[周囲]の#bem-ruby("しょうえんばん")[小円板]を#bem-ruby("のぞ")[除]いて#bem-ruby("かんじょうりょういき")[環状領域]へ Green の#bem-ruby("ていり")[定理]を#bem-ruby("てきよう")[適用]すると、#bem-ruby("がいしゅう")[外周]は#bem-ruby("はんとけいまわ")[反時計回]り、#bem-ruby("ないしゅう")[内周]は#bem-ruby("とけいまわ")[時計回]りに#bem-ruby("む")[向]き#bem-ruby("づ")[付]けられる。この#bem-ruby("ば")[場]では#bem-ruby("りょういきない")[領域内]の curl は 0 だが、#bem-ruby("がいしゅう")[外周]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環] #mitex("2\\pi", block: false) と#bem-ruby("ないしゅう")[内周]の#bem-ruby("じゅんかん")[循環] #mitex("-2\\pi", block: false) が#bem-ruby("そうさい")[相殺]する。#bem-ruby("とくいてん")[特異点]を#bem-ruby("じょがい")[除外]するときは、#bem-ruby("あら")[新]たに#bem-ruby("しょう")[生]じる#bem-ruby("うちがわきょうかい")[内側境界]の#bem-ruby("きよ")[寄与]を#bem-ruby("す")[捨]ててはならない。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[portal.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ベクトル解析ポータル]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[fields.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[線積分と保存場]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture/]
]]
]


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
#set par(justify: false, leading: 0.35em)
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[flux.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[面積分と流束]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[vector-calculus]]#h(0.24em) \
#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture/]
]]
]


#pagebreak()


#block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/math/vector-calculus/laplacian-and-physical-applications.lecture.n.md#h(0.7em)md d8d0a7e]]


= Laplacian と#bem-ruby("ぶつりおうよう")[物理応用]


== #bem-ruby("どうにゅう")[導入]


この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、Laplacian が#bem-ruby("きょくしょへいきん")[局所平均]からの#bem-ruby("へんさ")[偏差]を#bem-ruby("とくちょう")[特徴]づけ、#bem-ruby("かくさん")[拡散]・#bem-ruby("はどう")[波動]・ポテンシャルを#bem-ruby("きじゅつ")[記述]する#bem-ruby("ちゅうしんてき")[中心的]な#bem-ruby("えんざんし")[演算子]であることを#bem-ruby("せつめい")[説明]する。


== #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義]


#mitex("\\Omega\\subset\\mathbb R^n", block: false) を#bem-ruby("かいしゅうごう")[開集合]とする。#bem-anno("Laplacian")[Laplacian] は、#mitex("f\\in C^2(\\Omega)", block: false) であるスカラー#bem-ruby("ば")[場]に#bem-ruby("たい")[対]して


#align(center)[#mitex("\\Delta f=\\nabla\\cdot\\nabla f")]


で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("にかいせんけいびぶんえんざんし")[二階線形微分演算子]である。#mitex("\\mathbb R^n", block: false) の#bem-ruby("ちょっこうざひょう")[直交座標]では


#align(center)[#mitex("\\Delta f=\\sum_{i=1}^n\\frac{\\partial^2f}{\\partial x_i^2}")]


となる。#bem-ruby("いか")[以下]では Euclidean #bem-ruby("くうかん")[空間]のスカラー Laplacian を#bem-ruby("あつか")[扱]う。#bem-ruby("ぜんこうぎ")[前講義]では Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]から、#mitex("\\Delta u", block: false) の#bem-ruby("たいせきせきぶん")[体積積分]が#bem-ruby("こうばい")[勾配] #mitex("\\nabla u", block: false) の#bem-ruby("そとむ")[外向]き#bem-ruby("きょうかいりゅうそく")[境界流束]に#bem-ruby("ひと")[等]しいことを#bem-ruby("かくにん")[確認]した。この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、その#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("いみ")[意味]を#bem-ruby("へいきんち")[平均値]との#bem-ruby("かんけい")[関係]から#bem-ruby("かいせつ")[解説]する。


== #bem-ruby("ほうしん")[方針]


Laplacian は、#bem-ruby("いってん")[一点]の#bem-ruby("あたい")[値]と、その#bem-ruby("てん")[点]を#bem-ruby("かこ")[囲]む#bem-ruby("しょうきゅうめん")[小球面]での#bem-ruby("へいきん")[平均]との#bem-ruby("へんさ")[偏差]の#bem-ruby("しゅようこう")[主要項]を#bem-ruby("あた")[与]える。この#bem-ruby("かんけい")[関係]を Taylor #bem-ruby("てんかい")[展開]で#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]してから、#bem-ruby("ねつほうていしき")[熱方程式]・#bem-ruby("はどうほうていしき")[波動方程式]・Laplace #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]・Poisson #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]へ#bem-ruby("せつぞく")[接続]する。


== #bem-ruby("きょくしょへいきん")[局所平均]からの#bem-ruby("さ")[差]


#mitex("f\\in C^2(\\Omega)", block: false)、#mitex("x\\in\\Omega", block: false) とし、#mitex("x", block: false) を#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]とする#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("r", block: false) の#bem-ruby("へいきゅう")[閉球]が #mitex("\\Omega", block: false) に#bem-ruby("ふく")[含]まれるとする。その#bem-ruby("きょうかいきゅうめん")[境界球面]を #mitex("\\partial B_r(x)", block: false) と#bem-ruby("か")[書]き、#bem-ruby("きゅうめんせき")[球面積]で#bem-ruby("せいきか")[正規化]した#bem-ruby("きゅうめんへいきん")[球面平均]を


#align(center)[#mitex("M_r f(x)=\\frac{1}{|\\partial B_r(x)|}\\int_{\\partial B_r(x)}f\\,dS")]


と#bem-ruby("ていぎ")[定義]する。#mitex("r\\to0", block: false) で Taylor #bem-ruby("てんかい")[展開]すると、


#align(center)[#mitex("M_r f(x)=f(x)+\\frac{r^2}{2n}\\Delta f(x)+o(r^2)")]


を#bem-ruby("え")[得]る。ここで #mitex("o(r^2)", block: false) は、#mitex("r\\to0", block: false) で #mitex("o(r^2)/r^2\\to0", block: false) を#bem-ruby("み")[満]たす#bem-ruby("じょうよこう")[剰余項]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。#bem-ruby("いちじ")[一次]の#bem-ruby("こう")[項]と#bem-ruby("にかいへんびぶんかんすうぎょうれつ")[二階偏導関数行列] Hessian の#bem-ruby("ひたいかくこう")[非対角項]は#bem-ruby("きゅうめんじょう")[球面上]の#bem-ruby("たいしょうせい")[対称性]で#bem-ruby("へいきん")[平均]が 0 になり、#bem-ruby("たいかくこう")[対角項]の#bem-ruby("わ")[和]だけが Laplacian として#bem-ruby("のこ")[残]る。


したがって #mitex("\\Delta f(x)>0", block: false) なら、#bem-ruby("しゅようこう")[主要項]が#bem-ruby("じょうよこう")[剰余項]を#bem-ruby("しはい")[支配]する#bem-ruby("じゅうぶんちい")[十分小]さい #mitex("r", block: false) に#bem-ruby("たい")[対]して、#bem-ruby("しゅうい")[周囲]の#bem-ruby("へいきん")[平均]は#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]の#bem-ruby("あたい")[値]より#bem-ruby("たか")[高]い。#mitex("\\Delta f(x)<0", block: false) なら#bem-ruby("ぎゃく")[逆]である。ただし、#bem-ruby("いってん")[一点]で #mitex("\\Delta f(x)=0", block: false) というだけでは、#bem-ruby("ゆうげんはんけい")[有限半径]の#bem-ruby("へいきん")[平均]と #mitex("f(x)", block: false) が#bem-ruby("ひと")[等]しいとは#bem-ruby("かぎ")[限]らない。


#bem-ruby("いちじげん")[一次元]では、Laplacian は#bem-ruby("にかいびぶん")[二階微分]そのものであり、グラフの#bem-ruby("きょくしょてき")[局所的]な#bem-ruby("おうとつ")[凹凸]を#bem-ruby("とくちょう")[特徴]づける。#bem-ruby("こうじげん")[高次元]では、#bem-ruby("たが")[互]いに#bem-ruby("ちょっこう")[直交]する#bem-ruby("ほうこう")[方向]の#bem-ruby("にかいへんか")[二階変化]を#bem-ruby("ごうけい")[合計]する。


#mitex("\\Delta f=0", block: false) が #mitex("\\overline{B_R(x)}", block: false) の#bem-ruby("きんぼう")[近傍]で#bem-ruby("せいりつ")[成立]するとする。#bem-ruby("きゅうめんへいきん")[球面平均]を#bem-ruby("たんいきゅうめん")[単位球面] #mitex("S^{n-1}", block: false) #bem-ruby("じょう")[上]の#bem-ruby("せきぶん")[積分]として#bem-ruby("びぶん")[微分]し、Gauss の#bem-ruby("はっさんていり")[発散定理]を#bem-ruby("てきよう")[適用]すると、#mitex("0<r<R", block: false) で


#align(center)[#mitex("\\frac{d}{dr}M_r f(x)\n=\\frac{1}{|S^{n-1}|r^{n-1}}\\int_{\\partial B_r(x)}\\nabla f\\cdot\\boldsymbol n\\,dS\n=\\frac{1}{|S^{n-1}|r^{n-1}}\\int_{B_r(x)}\\Delta f\\,dV=0")]


となる。したがって #mitex("M_r f(x)", block: false) は #mitex("r", block: false) に#bem-ruby("いぞん")[依存]せず、#mitex("r\\to0", block: false) で #mitex("M_r f(x)\\to f(x)", block: false) であるため、すべての #mitex("0<r<R", block: false) において #mitex("M_r f(x)=f(x)", block: false) が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。これが#bem-ruby("ちょうわかんすう")[調和関数]の#bem-ruby("へいきんちせいしつ")[平均値性質]である。


== #bem-ruby("だいひょうれい")[代表例]


#bem-ruby("いか")[以下]では、#bem-ruby("きんしつ")[均質]・#bem-ruby("とうほう")[等方]・#bem-ruby("ていけいすう")[定係数]の#bem-ruby("もっと")[最]も#bem-ruby("たんじゅん")[単純]な#bem-ruby("こてん")[古典]モデルと#bem-ruby("じゅうぶんなめ")[十分滑]らかな#bem-ruby("こてんかい")[古典解]を#bem-ruby("かんが")[考]える。#bem-ruby("ねつほうていしき")[熱方程式]では#bem-ruby("くうかん")[空間]について #mitex("C^2", block: false)、#bem-ruby("じかん")[時間]について #mitex("C^1", block: false)、#bem-ruby("はどうほうていしき")[波動方程式]では#bem-ruby("くうかん")[空間]・#bem-ruby("じかん")[時間]について #mitex("C^2", block: false)、Laplace・Poisson #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]では#bem-ruby("くうかん")[空間]について #mitex("C^2", block: false) を#bem-ruby("かてい")[仮定]する。


#bem-ruby("ねつかくさんりつ")[熱拡散率] #mitex("\\kappa>0", block: false) を#bem-ruby("も")[持]つ#bem-ruby("ねつほうていしき")[熱方程式]は


#align(center)[#mitex("u_t=\\kappa\\Delta u")]


であり、#bem-ruby("おんど")[温度]が#bem-ruby("しゅうい")[周囲]との#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("なら")[均]すように#bem-ruby("へんか")[変化]することを#bem-ruby("あらわ")[表]す。


Laplace #bem-ruby("ほうていしき")[方程式]


#align(center)[#mitex("\\Delta u=0")]


は、#bem-ruby("ないぶ")[内部]に#bem-ruby("みなもと")[源]のない#bem-ruby("へいこうじょうたい")[平衡状態]を#bem-ruby("あらわ")[表]す。この#bem-ruby("かい")[解]が#bem-ruby("ちょうわかんすう")[調和関数]である。


#table(
  columns: 2,
  inset: 5pt,
  stroke: 0.4pt + luma(190),
  [#strong[#bem-ruby("ほうていしき")[方程式]]],
  [#strong[Laplacian の#bem-ruby("やくわり")[役割]]],
  [#bem-ruby("ねつほうていしき")[熱方程式] #mitex("u_t=\\kappa\\Delta u", block: false)],
  [#bem-ruby("しゅうい")[周囲]との#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("なら")[均]して#bem-ruby("おんど")[温度]を#bem-ruby("かくさん")[拡散]させる],
  [#bem-ruby("はどうほうていしき")[波動方程式] #mitex("u_{tt}=c^2\\Delta u", block: false)],
  [#bem-ruby("くうかんてき")[空間的]な#bem-ruby("ちょうりょく")[張力]や#bem-ruby("ま")[曲]がりを#bem-ruby("かそくど")[加速度]へ#bem-ruby("へんかん")[変換]する],
  [Poisson #bem-ruby("ほうていしき")[方程式] #mitex("-\\Delta u=f", block: false)],
  [ここではこの#bem-ruby("ふごうきやく")[符号規約]を#bem-ruby("さいよう")[採用]し、#bem-ruby("みなもと")[源] #mitex("f", block: false) からポテンシャルを#bem-ruby("けってい")[決定]する],
  [Laplace #bem-ruby("ほうていしき")[方程式] #mitex("\\Delta u=0", block: false)],
  [#bem-ruby("みなもと")[源]のない#bem-ruby("へいこう")[平衡]を#bem-ruby("あらわ")[表]す],
)


== #bem-ruby("ちょうわかんすう")[調和関数]の#bem-ruby("れい")[例]


#mitex("u(x,y)=x^2-y^2", block: false) では #mitex("u_{xx}=2", block: false)、#mitex("u_{yy}=-2", block: false) であるため、#mitex("\\Delta u=0", block: false) である。このような#bem-ruby("かんすう")[関数]を#bem-ruby("ちょうわかんすう")[調和関数]という。この#bem-ruby("かんすう")[関数]は、その#bem-ruby("ていぎいきない")[定義域内]に#bem-ruby("へいほう")[閉包]が#bem-ruby("ふく")[含]まれるすべての#bem-ruby("きゅう")[球]で#bem-ruby("へいきんちせいしつ")[平均値性質]を#bem-ruby("み")[満]たす。


#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("れい")[例]として #mitex("u(x,y)=\\log\\sqrt{x^2+y^2}", block: false) は、#bem-ruby("げんてん")[原点]を#bem-ruby("のぞ")[除]く#bem-ruby("りょういき")[領域]で#bem-ruby("ちょうわ")[調和]である。ただし#bem-ruby("げんてん")[原点]に#bem-ruby("とくいてん")[特異点]があるため、#bem-ruby("りょういき")[領域]を#bem-ruby("してい")[指定]せずに#bem-ruby("ぜんへいめん")[全平面]の#bem-ruby("ちょうわかんすう")[調和関数]として#bem-ruby("あつか")[扱]ってはならない。この#bem-ruby("れい")[例]は Green #bem-ruby("かんすう")[関数]や#bem-ruby("きほんかい")[基本解]への#bem-ruby("いりぐち")[入口]になる。


== #bem-ruby("ざひょうけい")[座標系]による#bem-ruby("しき")[式]の#bem-ruby("へんか")[変化]


#bem-ruby("にじげん")[二次元]の#bem-ruby("ちょっこうざひょう")[直交座標]では #mitex("\\Delta f=f_{xx}+f_{yy}", block: false) である。#mitex("r>0", block: false) の#bem-ruby("きょくざひょう")[極座標]では


#align(center)[#mitex("\\Delta f=f_{rr}+\\frac{1}{r}f_r+\\frac{1}{r^2}f_{\\theta\\theta}")]


となる。この#bem-ruby("しき")[式]は #mitex("x=r\\cos\\theta", block: false)、#mitex("y=r\\sin\\theta", block: false) に#bem-ruby("れんさりつ")[連鎖律]を#bem-ruby("てきよう")[適用]し、#mitex("f_{xx}+f_{yy}", block: false) を#bem-ruby("せいり")[整理]して#bem-ruby("どうしゅつ")[導出]できる。#mitex("r=0", block: false) では#bem-ruby("きょくざひょう")[極座標]そのものが#bem-ruby("とくい")[特異]なので、この#bem-ruby("ひょうじ")[表示]をそのまま#bem-ruby("だいにゅう")[代入]しない。#bem-ruby("おな")[同]じ Euclidean Laplacian でも#bem-ruby("ざひょうひょうじ")[座標表示]は#bem-ruby("へんか")[変化]し、#mitex("1/r", block: false) などの#bem-ruby("こう")[項]は#bem-ruby("ざひょうへんかん")[座標変換]の#bem-ruby("けっか")[結果]として#bem-ruby("あらわ")[現]れる。


== #bem-ruby("たんい")[単位]の#bem-ruby("かくにん")[確認]


#bem-ruby("ねつほうていしき")[熱方程式]で #mitex("u", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]を #mitex("\\mathrm{K}", block: false)、#bem-ruby("なが")[長]さの#bem-ruby("たんい")[単位]を #mitex("\\mathrm{m}", block: false) とすると、#mitex("\\Delta u", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]は #mitex("\\mathrm{K/m^2}", block: false) である。#mitex("\\kappa", block: false) の#bem-ruby("たんい")[単位]が #mitex("\\mathrm{m^2/s}", block: false) なら、#mitex("\\kappa\\Delta u", block: false) は #mitex("\\mathrm{K/s}", block: false) となり、#mitex("u_t", block: false) と#bem-ruby("いっち")[一致]する。


== #bem-ruby("こんどう")[混同]しやすい#bem-ruby("てん")[点]


scalar Laplacian はスカラー#bem-ruby("ば")[場]へ#bem-ruby("さよう")[作用]する。#mitex("\\mathbb R^3", block: false) の#bem-ruby("ちょっこうざひょう")[直交座標]では、#mitex("C^2", block: false) #bem-ruby("きゅう")[級]ベクトル#bem-ruby("ば")[場] #mitex("\\boldsymbol F", block: false) の vector Laplacian を#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]へスカラー Laplacian を#bem-ruby("さよう")[作用]させて#bem-ruby("ていぎ")[定義]でき、


#align(center)[#mitex("\\Delta\\boldsymbol F=\\nabla(\\nabla\\cdot\\boldsymbol F)-\\nabla\\times(\\nabla\\times\\boldsymbol F)")]


が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。#bem-ruby("うへん")[右辺]を#bem-ruby("かくせいぶん")[各成分]で#bem-ruby("てんかい")[展開]すると#bem-ruby("こんごうへんびぶん")[混合偏微分]の#bem-ruby("こう")[項]が#bem-ruby("そうさい")[相殺]し、#mitex("\\Delta F_i", block: false) だけが#bem-ruby("のこ")[残]る。#bem-ruby("きょくせんざひょう")[曲線座標]で「#bem-ruby("ひょうじせいぶん")[表示成分]を#bem-ruby("たんじゅん")[単純]に#bem-ruby("にかいびぶん")[二階微分]する」だけでは、#bem-ruby("きてい")[基底]の#bem-ruby("へんか")[変化]を#bem-ruby("お")[落]とすため#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("えんざんし")[演算子]にならない。


== どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか


ここで#bem-ruby("あつか")[扱]ったのは Euclidean #bem-ruby("くうかん")[空間]の Laplacian と#bem-ruby("きんしつ")[均質]・#bem-ruby("とうほう")[等方]な#bem-ruby("ていけいすう")[定係数]モデルである。#bem-ruby("ふきんしつ")[不均質]または#bem-ruby("いほうてき")[異方的]な#bem-ruby("ばいしつ")[媒質]では、たとえば #mitex("\\nabla\\cdot(A(x)\\nabla u)", block: false) のような#bem-ruby("かへんけいすうえんざんし")[可変係数演算子]が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。#bem-ruby("いっぱん")[一般]の Riemann #bem-ruby("たようたい")[多様体]では#bem-ruby("けいりょう")[計量]から#bem-ruby("さだ")[定]まる Laplace--Beltrami #bem-ruby("えんざんし")[演算子]を#bem-ruby("もち")[用]いる。また、#bem-ruby("へいきんちせいしつ")[平均値性質]は#bem-ruby("いってん")[一点]の #mitex("\\Delta f=0", block: false) からではなく、#bem-ruby("きゅう")[球]を#bem-ruby("ふく")[含]む#bem-ruby("りょういき")[領域]での#bem-ruby("ちょうわせい")[調和性]から#bem-ruby("え")[得]られる。


== #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク


#block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[
#link("https://study.bem130.com/lecture/math/partial-differential-equations/heat-wave-and-laplace-equations.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
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#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[equations.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[heat-wave-and-laplace]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[math]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[partial-differential-equations]]#h(0.24em) \
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#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/green-gauss-and-stokes-theorems.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
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#link("https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
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#text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/math/vector-calculus/vector-calculus-portal.lecture/]
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#link("https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/wave-equation-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[
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