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コンデンサーと誘電体md be7497f
lecture/physics/electromagnetism/コンデンサーと誘電体-講義.n.md
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コンデンサーと誘電体
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導入
この講義で最重要なのは、誘電体の問題では式を並べる前に、電池につながっているかどうかで Q と V のどちらが一定かを決めることです。
コンデンサーの問題で間違えやすいのは、誘電体を入れると電気容量 C が変わることだけを覚えて、Q と V のどちらが変わるかを場面ごとに区別しないことです。
用語と定義
誘電体 とは、電場の中で分極し、コンデンサーの電気容量を変える物質です。
方針
まず、なぜ誘電体を入れると電気容量が増えるかを電場の側から見ます。そのあと電池につながっているかどうかで V 一定か Q 一定かを決め、
Q=CV,\qquad U=\frac12 CV^2=\frac{Q^2}{2C}
を使って、どの量がどう変わるかを判定します。
直感的な説明
誘電体を入れると、コンデンサーは同じ電圧でより多くの電荷をためやすくなります。だから C は大きくなります。ただし、その結果として Q が増えるのか、V が下がるのかは、電池とのつながりで決まります。
厳密な説明
1. なぜ誘電体で C が増えるか
誘電体を入れると分極が起こり、板間の電場を弱める向きの内部電場ができます。したがって、同じ自由電荷 Q を保ったままなら電場 E は小さくなります。
平行板で
V=Ed
data/lecture/physics/electromagnetism/ガウスの法則の基本-講義.n.md
だから、Q 一定なら V は下がります。すると
C=\frac{Q}{V}
より C は大きくなります。これが「誘電体を入れると容量が増える」理由です。
2. 電池につないだまま
電池につながっているなら V 一定です。誘電体を入れて C が増えると
Q=CV
より Q は増えます。
3. 電池から外したあと
外したあとは電荷の出入りがないので Q 一定です。すると
V=\frac{Q}{C}
より C が増えると V は下がります。
4. エネルギー
V 一定なら
U=\frac12 CV^2
なので C が増えると U は増えます。
Q 一定なら
U=\frac{Q^2}{2C}
なので C が増えると U は減ります。
見分け方
- 電池が残っているかどうかを最初に確認します。
- 誘電体が入ると C は増える、と先に固定します。
- そのうえで Q 一定か V 一定かを分けて追います。
最終形
\boxed{\text{battery on} \Rightarrow V\text{ constant},\quad \text{battery off} \Rightarrow Q\text{ constant}}
一言でいうと
- 誘電体では、まず分極が電場を弱めて C を増やすことを押さえ、そのあと Q 一定か V 一定かを決めるのが核心です。