#import "@preview/mitex:0.2.5": mitex #let bem-md-hash = "2d06529" #let bem-page-path = "book:ja" #set page(paper: "a4", margin: (x: 18mm, y: 18mm), foreground: place(top + left, dx: 8mm, dy: 7mm)[#text(size: 7pt, fill: luma(120))[#bem-page-path]], footer: context align(right)[#text(size: 7pt, fill: luma(120))[md #bem-md-hash #h(1em)p. #counter(page).display("1")]]) #let bem-ruby-color = luma(120) #let bem-ruby-reserve = 0.45em #let bem-anno-reserve = 0.45em #let bem-anno-gap = bem-anno-reserve #let bem-anno-area = bem-anno-reserve + bem-anno-gap #set text(font: ("Yu Mincho", "MS Mincho"), size: 10.5pt, lang: "ja", fill: black, top-edge: 1em + bem-ruby-reserve, bottom-edge: -bem-anno-area) #set par(justify: true, leading: 0.18em) #set block(spacing: 1.12em) #set heading(numbering: "1.1.1") #let bem-heading-accent = rgb("2b155f") #let bem-heading-line = rgb("58b7ff") #let bem-ruby(rt, body) = context { let rt-body = text(size: bem-ruby-reserve, fill: bem-ruby-color, top-edge: "bounds", bottom-edge: "bounds")[#rt] let bw = measure(body).width let rw = measure(rt-body).width let w = calc.max(bw, rw) box(width: w, baseline: bem-anno-area)[ #align(center)[#body] #place(top + left, dx: (w - rw) / 2, rt-body) ] } #let bem-anno(note, body) = context { let note-body = text(size: bem-anno-reserve, fill: bem-ruby-color, top-edge: "bounds", bottom-edge: "bounds")[#note] let bw = measure(body).width let nw = measure(note-body).width let w = calc.max(bw, nw) box(width: w, baseline: bem-anno-area)[ #align(center)[#body] #place(bottom + left, dx: (w - nw) / 2, note-body) ] } #let bem-heading-number() = { let nums = counter(heading).get().slice(1) if nums.len() == 0 { [] } else { numbering("1.1.1", ..nums) } } #show heading: it => { if it.level == 1 { block(above: 0.35em, below: 1.85em, width: 100%)[ #align(center)[#text(size: 18pt, weight: 700)[#it.body]] ] } else { let shown = bem-heading-number() let size = if it.level == 2 { 13.2pt } else if it.level == 3 { 11.6pt } else { 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この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("こてんぶつり")[古典物理]で#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]に#bem-ruby("あつか")[扱]っていた#bem-ruby("りょう")[量]が、#bem-ruby("げんし")[原子]や#bem-ruby("ひかり")[光]の#bem-ruby("じっけん")[実験]では#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("と")[飛]びの#bem-ruby("あたい")[値]として#bem-ruby("あらわ")[現]れる、という#bem-ruby("みかた")[見方]を#bem-ruby("しょうかい")[紹介]する。 #bem-ruby("りきがく")[力学]、#bem-ruby("はどう")[波動]、#bem-ruby("でんじき")[電磁気]は、#bem-ruby("にちじょうてき")[日常的]な#bem-ruby("なが")[長]さや#bem-ruby("はや")[速]さでは#bem-ruby("ひじょう")[非常]に#bem-ruby("きょうりょく")[強力]である。しかし、#bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]、#bem-ruby("せん")[線]スペクトル、#bem-ruby("でんしかいせつ")[電子回折]、#bem-ruby("ほうしゃせいほうかい")[放射性崩壊]では、#bem-ruby("こてんてき")[古典的]な#bem-ruby("れんぞくりょう")[連続量]だけでは#bem-ruby("せつめい")[説明]が#bem-ruby("た")[足]りない。そこで#bem-ruby("げんだいぶつり")[現代物理]では、エネルギー、#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]、#bem-ruby("じょうたい")[状態]を#bem-ruby("りょうし")[量子]の#bem-ruby("ことば")[言葉]で#bem-ruby("みなお")[見直]す。 == #bem-ruby("よ")[読]む#bem-ruby("じゅんじょ")[順序] まず、#bem-ruby("ひかり")[光]が#bem-ruby("りゅうし")[粒子]のようにエネルギーを#bem-ruby("わた")[渡]す#bem-ruby("げんしょう")[現象]を#bem-ruby("み")[見]る。そこから、#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]が#bem-ruby("りさんてき")[離散的]であることへ#bem-ruby("すす")[進]む。つぎに、#bem-ruby("りゅうし")[粒子]にも#bem-ruby("なみ")[波]の#bem-ruby("せいしつ")[性質]があることを#bem-ruby("み")[見]る。#bem-ruby("さいご")[最後]に、#bem-ruby("げんしかく")[原子核]では#bem-ruby("しつりょう")[質量]とエネルギーが#bem-ruby("ちょくせつ")[直接]つながることを#bem-ruby("あつか")[扱]う。 == #bem-ruby("しゅよう")[主要]#bem-ruby("こうぎ")[講義] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[quanta.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[原子と量子の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ボーア模型の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[relation.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[物質波と不確定性関係]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/atomic-nuclei-and-radiation.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[radiation.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[原子核と放射線]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/atomic-nuclei-and-radiation.lecture/] ]] ] == #bem-ruby("ひとこと")[一言] #bem-ruby("げんだいぶつり")[現代物理]では、#bem-ruby("こてんぶつり")[古典物理]の#bem-ruby("どうぐ")[道具]を#bem-ruby("す")[捨]てるのではなく、どこで#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]な#bem-ruby("きんじ")[近似]が#bem-ruby("やぶ")[破]れるかを#bem-ruby("みきわ")[見極]める。 #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture.n.md#h(0.7em)md 6737bf7]] = #bem-ruby("げんし")[原子]と#bem-ruby("りょうし")[量子]の#bem-ruby("いりぐち")[入口] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("ひかり")[光]と#bem-ruby("げんし")[原子]の#bem-ruby("そうごさよう")[相互作用]において、エネルギーが #strong[#mitex("h\\nu", block: false) を#bem-ruby("たんい")[単位]とする#bem-ruby("こうし")[光子]として#bem-ruby("じゅじゅ")[授受]されること]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。 #bem-ruby("こてんてき")[古典的]な#bem-ruby("なみ")[波]の#bem-ruby("かんが")[考]えだけなら、#bem-ruby("ひかり")[光]を#bem-ruby("つよ")[強]くすれば#bem-ruby("でんし")[電子]へ#bem-ruby("わた")[渡]すエネルギーも#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]に#bem-ruby("ふ")[増]えるはずである。しかし#bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]では、#bem-ruby("ひかり")[光]の#bem-ruby("つよ")[強]さより#bem-ruby("しんどうすう")[振動数]が#bem-ruby("けっていてき")[決定的]である。この#bem-ruby("じじつ")[事実]を#bem-ruby("せいり")[整理]するために、#bem-ruby("こうし")[光子]とエネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]を#bem-ruby("どうにゅう")[導入]する。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("photon")[#bem-ruby("こうし")[光子]]とは、#bem-ruby("ひかり")[光]のエネルギーを#bem-ruby("はこ")[運]ぶ#bem-ruby("りょうし")[量子]である。この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("しんどうすう")[振動数] #mitex("\\nu", block: false) の#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]のエネルギーを #align(center)[#mitex("\\boxed{E=h\\nu}")] と#bem-ruby("お")[置]く。#mitex("h", block: false) はプランク#bem-ruby("ていすう")[定数]である。 #bem-anno("work function")[#bem-ruby("しごとかんすう")[仕事関数]] #mitex("W", block: false) とは、#bem-ruby("きんぞく")[金属]の#bem-ruby("ひょうめん")[表面]から#bem-ruby("でんし")[電子] 1 #bem-ruby("こ")[個]を#bem-ruby("と")[取]り#bem-ruby("だ")[出]すために#bem-ruby("ひつよう")[必要]な#bem-ruby("さいしょう")[最小]エネルギーである。 #bem-anno("photoelectric effect")[#bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]]とは、#bem-ruby("きんぞく")[金属]に#bem-ruby("ひかり")[光]を#bem-ruby("あ")[当]てると#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]される#bem-ruby("げんしょう")[現象]である。#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]された#bem-ruby("でんし")[電子]を#bem-anno("photoelectron")[#bem-ruby("こうでんし")[光電子]]という。 #bem-anno("energy level")[エネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]]とは、#bem-ruby("げんし")[原子]の#bem-ruby("なか")[中]で#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("と")[取]れる#bem-ruby("りさんてき")[離散的]なエネルギーの#bem-ruby("あたい")[値]である。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]では、#bem-ruby("にゅうしゃ")[入射]する#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]のエネルギー #mitex("h\\nu", block: false) を、#bem-ruby("でんし")[電子]を#bem-ruby("と")[取]り#bem-ruby("だ")[出]すための #mitex("W", block: false) と、#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("だ")[出]した#bem-ruby("あと")[後]の#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーに#bem-ruby("わ")[分]ける。 #bem-ruby("せん")[線]スペクトルでは、#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]の#bem-ruby("さ")[差]が#bem-ruby("こうし")[光子]のエネルギーになると#bem-ruby("かんが")[考]える。 この 2 つは#bem-ruby("べつべつ")[別々]の#bem-ruby("こうしき")[公式]ではない。どちらも #align(center)[#mitex("\\text{光子のエネルギー}=h\\nu")] をエネルギー#bem-ruby("ほぞん")[保存]に#bem-ruby("い")[入]れたものである。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 1：#bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]のエネルギー#bem-ruby("しゅうし")[収支] #bem-ruby("しごとかんすう")[仕事関数]が #mitex("W", block: false) の#bem-ruby("きんぞく")[金属]に、#bem-ruby("しんどうすう")[振動数] #mitex("\\nu", block: false) の#bem-ruby("ひかり")[光]を#bem-ruby("あ")[当]てる。#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]が#bem-ruby("でんし")[電子] 1 #bem-ruby("こ")[個]へエネルギーを#bem-ruby("わた")[渡]すと#bem-ruby("かてい")[仮定]すると、#bem-ruby("こうでんし")[光電子]の#bem-ruby("さいだい")[最大]#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーは #align(center)[#mitex("\\boxed{K_{\\max}=h\\nu-W}")] である。ただし #mitex("h\\nu\\ge W", block: false) の#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("かぎ")[限]る。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("かてい")[仮定]より、#bem-ruby("にゅうしゃ")[入射]した#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]はエネルギー #mitex("h\\nu", block: false) を#bem-ruby("も")[持]つ。#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("きんぞく")[金属]から#bem-ruby("そと")[外]へ#bem-ruby("で")[出]るには、#bem-ruby("すく")[少]なくとも#bem-ruby("しごとかんすう")[仕事関数] #mitex("W", block: false) が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 #bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("ひょうめん")[表面]から#bem-ruby("もっと")[最]も#bem-ruby("ゆうり")[有利]な#bem-ruby("じょうけん")[条件]で#bem-ruby("で")[出]るとき、#bem-ruby("のこ")[残]ったエネルギーが#bem-ruby("さいだい")[最大]の#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーになる。したがってエネルギー#bem-ruby("ほぞん")[保存]より #align(center)[#mitex("h\\nu=W+K_{\\max}")] である。#bem-ruby("せいり")[整理]して #align(center)[#mitex("K_{\\max}=h\\nu-W")] を#bem-ruby("え")[得]る。もし #mitex("h\\nuE_n", block: false) とする。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("せんいまえ")[遷移前]の#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギーは #mitex("E_m", block: false) であり、#bem-ruby("せんいご")[遷移後]のエネルギーは #mitex("E_n", block: false) である。#bem-ruby("さ")[差] #align(center)[#mitex("E_m-E_n")] は#bem-ruby("げんし")[原子]から#bem-ruby("がいぶ")[外部]へ#bem-ruby("で")[出]るエネルギーである。#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]されるものが#bem-ruby("しんどうすう")[振動数] #mitex("\\nu", block: false) の#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]なら、そのエネルギーは #mitex("h\\nu", block: false) である。エネルギー#bem-ruby("ほぞん")[保存]より #align(center)[#mitex("h\\nu=E_m-E_n")] を#bem-ruby("え")[得]る。 == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せいり")[整理] #bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]では、#bem-ruby("ひかり")[光]の#bem-ruby("つよ")[強]さは#bem-ruby("こうし")[光子]の#bem-ruby("こすう")[個数]に#bem-ruby("おも")[主]に#bem-ruby("かんけい")[関係]する。#bem-ruby("しんどうすう")[振動数]は#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]あたりのエネルギーに#bem-ruby("かんけい")[関係]する。そのため、#bem-ruby("しんどうすう")[振動数]が#bem-ruby("ちい")[小]さすぎると、どれだけ#bem-ruby("つよ")[強]い#bem-ruby("ひかり")[光]を#bem-ruby("あ")[当]てても 1 #bem-ruby("こ")[個]の#bem-ruby("こうし")[光子]が#bem-ruby("でんし")[電子]を#bem-ruby("と")[取]り#bem-ruby("だ")[出]せない。 #bem-ruby("せん")[線]スペクトルでは、#bem-ruby("げんし")[原子]が#bem-ruby("だ")[出]せる#bem-ruby("ひかり")[光]のエネルギーが#bem-ruby("じゅんい")[準位]の#bem-ruby("さ")[差]に#bem-ruby("かぎ")[限]られる。そのため、#bem-ruby("はちょう")[波長]や#bem-ruby("いろ")[色]も#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]ではなく#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("と")[飛]びになる。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]、#bem-ruby("しごとかんすう")[仕事関数]、#bem-ruby("げんかいしんどうすう")[限界振動数]が#bem-ruby("で")[出]たら #mitex("K_{\\max}=h\\nu-W", block: false) を#bem-ruby("た")[立]てる。 - #bem-ruby("ていしでんあつ")[停止電圧]が#bem-ruby("で")[出]たら #mitex("eV_0=K_{\\max}", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。 - #bem-ruby("せん")[線]スペクトル、#bem-ruby("はっこう")[発光]、#bem-ruby("きゅうしゅう")[吸収]が#bem-ruby("と")[問]われたら、エネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]の#bem-ruby("さ")[差]と #mitex("h\\nu", block: false) を#bem-ruby("たいおう")[対応]させる。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか #mitex("E=h\\nu", block: false) は、この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では#bem-ruby("りょうしろん")[量子論]の#bem-ruby("きほんかてい")[基本仮定]として#bem-ruby("つか")[使]う。#bem-ruby("こてんぶつり")[古典物理]だけから#bem-ruby("しょうめい")[証明]するものではない。また、#bem-ruby("じっさい")[実際]の#bem-ruby("きんぞく")[金属]では#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("ひょうめん")[表面]までの#bem-ruby("いち")[位置]や#bem-ruby("さんらん")[散乱]により、#bem-ruby("こうでんし")[光電子]の#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーには#bem-ruby("はば")[幅]がある。#bem-ruby("しき")[式] #mitex("K_{\\max}=h\\nu-W", block: false) は、その#bem-ruby("さいだいち")[最大値]に#bem-ruby("たい")[対]する#bem-ruby("かんけい")[関係]である。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{E=h\\nu}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{K_{\\max}=h\\nu-W}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\nu_0=\\frac{W}{h}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{h\\nu=E_m-E_n}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言] #bem-ruby("ひかり")[光]と#bem-ruby("げんし")[原子]の#bem-ruby("げんしょう")[現象]では、エネルギー#bem-ruby("ほぞん")[保存]を #mitex("h\\nu", block: false) という#bem-ruby("こうし")[光子]の#bem-ruby("たんい")[単位]で#bem-ruby("よ")[読]む。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ボーア模型の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[relation.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[物質波と不確定性関係]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/optics/light-and-lenses.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[lenses.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[light-and]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[optics]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/optics/light-and-lenses.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture.n.md#h(0.7em)md 4981d2e]] = ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]の#bem-ruby("きほん")[基本] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]を「#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("こてんりきがく")[古典力学]どおりに#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("えんきどう")[円軌道]を#bem-ruby("まわ")[回]る#bem-ruby("もけい")[模型]」ではなく、#strong[#bem-ruby("ゆる")[許]された#bem-ruby("きどう")[軌道]だけを#bem-ruby("えら")[選]ぶ#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]を#bem-ruby("くわ")[加]えた#bem-ruby("もけい")[模型]]として#bem-ruby("かいせつ")[解説]する。 #bem-ruby("すいそ")[水素]#bem-ruby("げんし")[原子]の#bem-ruby("せん")[線]スペクトルは、#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]な#bem-ruby("いろ")[色]ではなく#bem-ruby("とくてい")[特定]の#bem-ruby("はちょう")[波長]だけを#bem-ruby("しめ")[示]す。これは、#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギーが#bem-ruby("にんい")[任意]の#bem-ruby("あたい")[値]を#bem-ruby("と")[取]れないことを#bem-ruby("しさ")[示唆]する。ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]は、#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]の#bem-ruby("しき")[式]に#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]を#bem-ruby("た")[足]して、この#bem-ruby("りさんせい")[離散性]を#bem-ruby("けいさん")[計算]できる#bem-ruby("かたち")[形]にした#bem-ruby("もけい")[模型]である。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("すいそ")[水素]#bem-ruby("げんし")[原子]を、#bem-ruby("ちゅうしん")[中心]の#bem-ruby("ようし")[陽子]と、その#bem-ruby("まわ")[周]りを#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("r", block: false)、#bem-ruby("はや")[速]さ #mitex("v", block: false) で#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]する#bem-ruby("でんし")[電子]として#bem-ruby("あつか")[扱]う。 #bem-anno("quantum condition")[#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]]とは、#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("かくうんどうりょう")[角運動量]が #align(center)[#mitex("\\boxed{mvr=n\\hbar\\qquad(n=1,2,3,\\dots)}")] を#bem-ruby("み")[満]たす、というボーア#bem-ruby("もけい")[模型]の#bem-ruby("かてい")[仮定]である。ここで #mitex("m", block: false) は#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("しつりょう")[質量]、#mitex("\\hbar=h/(2\\pi)", block: false) である。 #bem-anno("Bohr radius")[ボーア#bem-ruby("はんけい")[半径]] #mitex("a_0", block: false) は #align(center)[#mitex("a_0=\\frac{\\hbar^2}{mke^2}")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される#bem-ruby("なが")[長]さである。#mitex("k", block: false) はクーロン#bem-ruby("りょく")[力]の#bem-ruby("ていすう")[定数]、#mitex("e", block: false) は#bem-ruby("でんきそりょう")[電気素量]である。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("はんけい")[半径]やエネルギーを#bem-ruby("もと")[求]めるときは、#bem-ruby("つぎ")[次]の 2 #bem-ruby("ほん")[本]の#bem-ruby("しき")[式]を#bem-ruby("れんりつ")[連立]する。 #align(center)[#mitex("\\frac{mv^2}{r}=\\frac{ke^2}{r^2}")] #align(center)[#mitex("mvr=n\\hbar")] #bem-ruby("ぜんしゃ")[前者]は#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]の#bem-ruby("りきがく")[力学]であり、#bem-ruby("こうしゃ")[後者]はボーア#bem-ruby("もけい")[模型]で#bem-ruby("ついか")[追加]する#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]である。この 2 つを#bem-ruby("こんどう")[混同]しないことが#bem-ruby("じゅうよう")[重要]である。 == #bem-ruby("きほんかてい")[基本仮定] ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]では、#bem-ruby("つぎ")[次]を#bem-ruby("かてい")[仮定]する。 + #bem-ruby("でんし")[電子]は#bem-ruby("ようし")[陽子]からのクーロン#bem-ruby("りょく")[力]を#bem-ruby("こうしんりょく")[向心力]として#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]する。 + #bem-ruby("あんてい")[安定]な#bem-ruby("きどう")[軌道]では #mitex("mvr=n\\hbar", block: false) が#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。 + #bem-ruby("じゅんい")[準位]の#bem-ruby("あいだ")[間]を#bem-ruby("せんい")[遷移]するときだけ、エネルギー#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("こうし")[光子]として#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]または#bem-ruby("きゅうしゅう")[吸収]する。 これらは#bem-ruby("こてんりきがく")[古典力学]だけから#bem-ruby("しょうめい")[証明]する#bem-ruby("めいだい")[命題]ではなく、#bem-ruby("じっけんじじつ")[実験事実]を#bem-ruby("せつめい")[説明]するために#bem-ruby("お")[置]く#bem-ruby("もけい")[模型]の#bem-ruby("かてい")[仮定]である。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 1：#bem-ruby("ゆる")[許]される#bem-ruby("きどうはんけい")[軌道半径] ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]の#bem-ruby("かてい")[仮定]のもとで、#bem-ruby("しゅりょうしすう")[主量子数] #mitex("n", block: false) の#bem-ruby("きどうはんけい")[軌道半径]は #align(center)[#mitex("\\boxed{r_n=n^2a_0=\\frac{n^2\\hbar^2}{mke^2}}")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("でんし")[電子]に#bem-ruby("はたら")[働]くクーロン#bem-ruby("りょく")[力]が#bem-ruby("こうしんりょく")[向心力]になるので、 #align(center)[#mitex("\\frac{mv^2}{r}=\\frac{ke^2}{r^2}")] である。#bem-ruby("りょうへん")[両辺]に #mitex("r", block: false) を#bem-ruby("か")[掛]けると #align(center)[#mitex("mv^2=\\frac{ke^2}{r}")] である。 また、#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件] #align(center)[#mitex("mvr=n\\hbar")] より #align(center)[#mitex("v=\\frac{n\\hbar}{mr}")] である。これを #mitex("mv^2=ke^2/r", block: false) に#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すると、 #align(center)[#mitex("m\\left(\\frac{n\\hbar}{mr}\\right)^2=\\frac{ke^2}{r}")] すなわち #align(center)[#mitex("\\frac{n^2\\hbar^2}{mr^2}=\\frac{ke^2}{r}")] である。#mitex("r>0", block: false) なので#bem-ruby("りょうへん")[両辺]に #mitex("r^2", block: false) を#bem-ruby("か")[掛]けて #align(center)[#mitex("\\frac{n^2\\hbar^2}{m}=ke^2r")] を#bem-ruby("え")[得]る。したがって #align(center)[#mitex("r_n=\\frac{n^2\\hbar^2}{mke^2}=n^2a_0")] である。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 2：#bem-ruby("すいそ")[水素]#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位] ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]の#bem-ruby("かてい")[仮定]のもとで、#bem-ruby("しゅりょうしすう")[主量子数] #mitex("n", block: false) のエネルギーは #align(center)[#mitex("\\boxed{E_n=-\\frac{mk^2e^4}{2\\hbar^2}\\frac{1}{n^2}}")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("ぜん")[全]エネルギーは、#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギー #mitex("K", block: false) と#bem-ruby("いち")[位置]エネルギー #mitex("U", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]である。 #align(center)[#mitex("E=K+U")] #bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーは #align(center)[#mitex("K=\\frac12mv^2")] であり、#bem-ruby("ようし")[陽子]から#bem-ruby("きょり")[距離] #mitex("r", block: false) にある#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("でんきてき")[電気的]な#bem-ruby("いち")[位置]エネルギーを、#bem-ruby("むげんえん")[無限遠]で 0 と#bem-ruby("と")[取]ると #align(center)[#mitex("U=-\\frac{ke^2}{r}")] である。 #bem-ruby("えんうんどう")[円運動]の#bem-ruby("しき")[式]から #align(center)[#mitex("mv^2=\\frac{ke^2}{r}")] なので、 #align(center)[#mitex("K=\\frac12mv^2=\\frac{ke^2}{2r}")] である。したがって #align(center)[#mitex("E=\\frac{ke^2}{2r}-\\frac{ke^2}{r}\n=-\\frac{ke^2}{2r}")] である。#bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 1 の #align(center)[#mitex("r_n=\\frac{n^2\\hbar^2}{mke^2}")] を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すると、 #align(center)[#mitex("E_n=-\\frac{ke^2}{2}\\frac{mke^2}{n^2\\hbar^2}\n=-\\frac{mk^2e^4}{2\\hbar^2}\\frac{1}{n^2}")] を#bem-ruby("え")[得]る。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 3：#bem-ruby("せん")[線]スペクトルの#bem-ruby("しんどうすう")[振動数] #mitex("m>n", block: false) とし、#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("じゅんい")[準位] #mitex("m", block: false) から#bem-ruby("じゅんい")[準位] #mitex("n", block: false) へ#bem-ruby("うつ")[移]るとき、#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]される#bem-ruby("ひかり")[光]の#bem-ruby("しんどうすう")[振動数]は #align(center)[#mitex("\\boxed{h\\nu=E_m-E_n}")] を#bem-ruby("み")[満]たす。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 2 より、#mitex("E_n", block: false) は #mitex("n", block: false) が#bem-ruby("ちい")[小]さいほど#bem-ruby("ふ")[負]に#bem-ruby("おお")[大]きく、#mitex("m>n", block: false) なら #align(center)[#mitex("E_m>E_n")] である。#bem-ruby("せんい")[遷移]によって#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギーは #mitex("E_m", block: false) から #mitex("E_n", block: false) へ#bem-ruby("へ")[減]る。#bem-ruby("へ")[減]ったエネルギーは #align(center)[#mitex("E_m-E_n")] である。#bem-ruby("げんし")[原子]が#bem-ruby("こうし")[光子] 1 #bem-ruby("こ")[個]を#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]するなら、そのエネルギーは #mitex("h\\nu", block: false) である。エネルギー#bem-ruby("ほぞん")[保存]より #align(center)[#mitex("h\\nu=E_m-E_n")] である。 == #bem-ruby("ちょっかんてき")[直感的]な#bem-ruby("せいり")[整理] #bem-ruby("えんうんどう")[円運動]だけなら、#bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("r", block: false) は#bem-ruby("れんぞくてき")[連続的]に#bem-ruby("えら")[選]べる。しかし #mitex("mvr=n\\hbar", block: false) を#bem-ruby("くわ")[加]えると、#mitex("n=1,2,3,\\dots", block: false) に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("はんけい")[半径]だけが#bem-ruby("のこ")[残]る。#bem-ruby("はんけい")[半径]が#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("と")[飛]びなら、そこから#bem-ruby("き")[決]まるエネルギーも#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("と")[飛]びになる。 この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]を#bem-ruby("かてい")[仮定]として#bem-ruby("お")[置]いた。#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]の#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("えんしゅう")[円周]に#bem-ruby("なみ")[波]が#bem-ruby("せいすうかい")[整数回]だけ#bem-ruby("おさ")[収]まるという#bem-ruby("みかた")[見方]から、#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("じょうけん")[条件]を#bem-ruby("みなお")[見直]す。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("すいそ")[水素]#bem-ruby("げんし")[原子]、#bem-ruby("はんけい")[半径]、#bem-ruby("はや")[速]さが#bem-ruby("と")[問]われたら、#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]と#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]を#bem-ruby("れんりつ")[連立]する。 - エネルギー#bem-ruby("じゅんい")[準位]が#bem-ruby("と")[問]われたら、#mitex("E=K+U", block: false) と #mitex("U=-ke^2/r", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。 - #bem-ruby("せん")[線]スペクトルが#bem-ruby("と")[問]われたら、#bem-ruby("じゅんい")[準位]#bem-ruby("さ")[差]を #mitex("h\\nu", block: false) に#bem-ruby("ひと")[等]しいと#bem-ruby("お")[置]く。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]は、#bem-ruby("すいそ")[水素]#bem-ruby("げんし")[原子]の#bem-ruby("せん")[線]スペクトルを#bem-ruby("せつめい")[説明]するうえで#bem-ruby("ゆうこう")[有効]な#bem-ruby("もけい")[模型]である。しかし、#bem-ruby("たでんしげんし")[多電子原子]や#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("くうかんてき")[空間的]な#bem-ruby("ひろ")[広]がりを#bem-ruby("かんぜん")[完全]に#bem-ruby("あつか")[扱]うには、#bem-ruby("はどうかんすう")[波動関数]を#bem-ruby("もち")[用]いる#bem-ruby("りょうしりきがく")[量子力学]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\frac{mv^2}{r}=\\frac{ke^2}{r^2}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{mvr=n\\hbar}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{r_n=n^2a_0}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{E_n=-\\frac{mk^2e^4}{2\\hbar^2}\\frac1{n^2}}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言] ボーア#bem-ruby("もけい")[模型]は、#bem-ruby("えんうんどう")[円運動]の#bem-ruby("りきがく")[力学]に#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]を#bem-ruby("くわ")[加]え、#bem-ruby("げんし")[原子]のエネルギーが#bem-ruby("と")[飛]び#bem-ruby("と")[飛]びになることを#bem-ruby("けいさん")[計算]する#bem-ruby("もけい")[模型]である。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[quanta.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[原子と量子の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[relation.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[物質波と不確定性関係]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/mechanics/circular-motion-and-simple-harmonic-motion.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[motion.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[circular-motion-and-simple-harmonic]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[mechanics]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/mechanics/circular-motion-and-simple-harmonic-motion.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/physics/modern/matter-waves-and-uncertainty-relation.lecture.n.md#h(0.7em)md b73685c]] = #bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]と#bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("ひかり")[光]が#bem-ruby("りゅうし")[粒子]のように#bem-ruby("ふ")[振]る#bem-ruby("ま")[舞]うだけでなく、#bem-ruby("でんし")[電子]のような#bem-ruby("りゅうし")[粒子]も#bem-ruby("なみ")[波]のように#bem-ruby("ふ")[振]る#bem-ruby("ま")[舞]うという#bem-ruby("みかた")[見方]を#bem-ruby("しょうかい")[紹介]する。 #bem-ruby("こうでんこうか")[光電効果]では、#bem-ruby("なみ")[波]だと#bem-ruby("おも")[思]っていた#bem-ruby("ひかり")[光]に#bem-ruby("りゅうしせい")[粒子性]が#bem-ruby("あらわ")[現]れた。#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]では、#bem-ruby("りゅうし")[粒子]だと#bem-ruby("おも")[思]っていた#bem-ruby("でんし")[電子]に#bem-ruby("はどうせい")[波動性]が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。この 2 つを#bem-ruby("あ")[合]わせて、#bem-ruby("りょうし")[量子]では#bem-ruby("りゅうし")[粒子]と#bem-ruby("なみ")[波]を#bem-ruby("こてんてき")[古典的]に#bem-ruby("き")[切]り#bem-ruby("わ")[分]けられないと#bem-ruby("りかい")[理解]する。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("matter wave")[#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]]とは、#bem-ruby("りゅうし")[粒子]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("なみ")[波]としての#bem-ruby("せいしつ")[性質]である。 #bem-anno("de Broglie wavelength")[ド・ブロイ#bem-ruby("はちょう")[波長]]とは、#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量] #mitex("p", block: false) の#bem-ruby("りゅうし")[粒子]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する#bem-ruby("はちょう")[波長] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\lambda=\\frac{h}{p}}")] である。 #bem-anno("uncertainty relation")[#bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係]]とは、#bem-ruby("いち")[位置]の#bem-ruby("ふかくてい")[不確定]さ #mitex("\\Delta x", block: false) と#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]の#bem-ruby("ふかくてい")[不確定]さ #mitex("\\Delta p", block: false) が #align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta x\\,\\Delta p\\gtrsim \\hbar}")] のような#bem-ruby("かげん")[下限]をもつ、という#bem-ruby("かんけい")[関係]である。#bem-ruby("げんみつ")[厳密]には#bem-ruby("ていぎ")[定義]の#bem-ruby("と")[取]り#bem-ruby("かた")[方]により#bem-ruby("けいすう")[係数]が#bem-ruby("か")[変]わり、#bem-ruby("ひょうじゅんへんさ")[標準偏差]を#bem-ruby("もち")[用]いる#bem-ruby("りょうしりきがく")[量子力学]では #mitex("\\Delta x\\,\\Delta p\\ge \\hbar/2", block: false) と#bem-ruby("か")[書]く。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]では、#bem-ruby("りゅうし")[粒子]の#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]から#bem-ruby("はちょう")[波長]を#bem-ruby("もと")[求]める。したがって#bem-ruby("さいしょ")[最初]に#bem-ruby("み")[見]るべき#bem-ruby("りょう")[量]は#bem-ruby("はや")[速]さではなく#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]である。 #bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("でんあつ")[電圧]で#bem-ruby("かそく")[加速]される#bem-ruby("もんだい")[問題]では、まず#bem-ruby("でんきてき")[電気的]なエネルギー #mitex("eV", block: false) を#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーへ#bem-ruby("へんかん")[変換]し、そこから #mitex("p", block: false) を#bem-ruby("もと")[求]め、#bem-ruby("さいご")[最後]に #mitex("\\lambda=h/p", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 1：#bem-ruby("かそくでんし")[加速電子]のド・ブロイ#bem-ruby("はちょう")[波長] #bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("でんあつ")[電圧] #mitex("V", block: false) で#bem-ruby("せいし")[静止]から#bem-ruby("かそく")[加速]され、#bem-ruby("そうたいろんてき")[相対論的]な#bem-ruby("ほせい")[補正]を#bem-ruby("むし")[無視]できるとする。このとき#bem-ruby("でんし")[電子]のド・ブロイ#bem-ruby("はちょう")[波長]は #align(center)[#mitex("\\boxed{\\lambda=\\frac{h}{\\sqrt{2meV}}}")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("でんきりょう")[電気量]の#bem-ruby("おお")[大]きさが #mitex("e", block: false) の#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("でんいさ")[電位差] #mitex("V", block: false) で#bem-ruby("かそく")[加速]されると、#bem-ruby("でんば")[電場]から#bem-ruby("う")[受]け#bem-ruby("と")[取]るエネルギーは #align(center)[#mitex("eV")] である。#bem-ruby("せいし")[静止]から#bem-ruby("しゅっぱつ")[出発]し、#bem-ruby("うしな")[失]われるエネルギーがないとすれば、これが#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギーになる。 #align(center)[#mitex("\\frac12mv^2=eV")] #bem-ruby("ひそうたいろんてき")[非相対論的]には #mitex("p=mv", block: false) なので、 #align(center)[#mitex("p^2=m^2v^2=2meV")] である。したがって #align(center)[#mitex("p=\\sqrt{2meV}")] である。ド・ブロイ#bem-ruby("かんけい")[関係] #mitex("\\lambda=h/p", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]うと、 #align(center)[#mitex("\\lambda=\\frac{h}{\\sqrt{2meV}}")] を#bem-ruby("え")[得]る。 == #bem-ruby("じょうけん")[条件] 2：ボーアの#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]の#bem-ruby("ていじょうは")[定常波]#bem-ruby("かいしゃく")[解釈] #bem-ruby("えんきどう")[円軌道]の#bem-ruby("えんしゅう")[円周]に#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]が#bem-ruby("せいすうかい")[整数回]だけ#bem-ruby("おさ")[収]まるとすると、ボーアの#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件] #align(center)[#mitex("\\boxed{mvr=n\\hbar}")] が#bem-ruby("え")[得]られる。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("はんけい")[半径] #mitex("r", block: false) の#bem-ruby("えんきどう")[円軌道]の#bem-ruby("えんしゅう")[円周]は #align(center)[#mitex("2\\pi r")] である。#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]が#bem-ruby("ていじょうは")[定常波]として#bem-ruby("と")[閉]じるには、#bem-ruby("えんしゅう")[円周]が#bem-ruby("はちょう")[波長]の#bem-ruby("せいすうばい")[整数倍]であればよい。 #align(center)[#mitex("2\\pi r=n\\lambda")] ド・ブロイ#bem-ruby("かんけい")[関係] #mitex("\\lambda=h/p", block: false) を#bem-ruby("だいにゅう")[代入]すると、 #align(center)[#mitex("2\\pi r=n\\frac{h}{p}")] である。#mitex("p=mv", block: false) とすると #align(center)[#mitex("2\\pi r=n\\frac{h}{mv}")] である。#bem-ruby("りょうへん")[両辺]に #mitex("mv", block: false) を#bem-ruby("か")[掛]けて、 #align(center)[#mitex("2\\pi mvr=nh")] を#bem-ruby("え")[得]る。#mitex("\\hbar=h/(2\\pi)", block: false) なので、 #align(center)[#mitex("mvr=n\\hbar")] である。 == #bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係]の#bem-ruby("いみ")[意味] #bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係]は、#bem-ruby("そくていき")[測定器]が#bem-ruby("あら")[粗]いから#bem-ruby("わ")[分]からない、という#bem-ruby("しゅちょう")[主張]ではない。#bem-ruby("りょうしじょうたい")[量子状態]そのものが、#bem-ruby("いち")[位置]を#bem-ruby("するど")[鋭]く#bem-ruby("さだ")[定]めるほど#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]の#bem-ruby("はば")[幅]を#bem-ruby("ひろ")[広]げる、という#bem-ruby("せいしつ")[性質]をもつ。 #bem-ruby("なみ")[波]で#bem-ruby("かんが")[考]えると、この#bem-ruby("りゆう")[理由]は#bem-ruby("しぜん")[自然]に#bem-ruby("み")[見]える。#bem-ruby("なが")[長]く#bem-ruby("ひろ")[広]がった#bem-ruby("せいげんは")[正弦波]は#bem-ruby("はちょう")[波長]が#bem-ruby("めいかく")[明確]で、したがって#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]も#bem-ruby("ひかくてき")[比較的]#bem-ruby("めいかく")[明確]である。しかし、その#bem-ruby("なみ")[波]は#bem-ruby("くうかん")[空間]のどこにあるかを#bem-ruby("するど")[鋭]く#bem-ruby("してい")[指定]できない。#bem-ruby("ぎゃく")[逆]に、#bem-ruby("せま")[狭]い#bem-ruby("はんい")[範囲]に#bem-ruby("きょくざい")[局在]した#bem-ruby("なみ")[波]を#bem-ruby("つく")[作]るには、#bem-ruby("おお")[多]くの#bem-ruby("はちょう")[波長]を#bem-ruby("かさ")[重]ねる#bem-ruby("ひつよう")[必要]があり、#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]の#bem-ruby("はば")[幅]が#bem-ruby("ひろ")[広]がる。 この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("りょうしりきがく")[量子力学]の#bem-ruby("きほんげんり")[基本原理]として#bem-ruby("つか")[使]う。#bem-ruby("げんみつ")[厳密]な#bem-ruby("しょうめい")[証明]には、#bem-ruby("はどうかんすう")[波動関数]とフーリエ#bem-ruby("かいせき")[解析]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]である。 == #bem-ruby("ぐたいれい")[具体例]：#bem-ruby("でんしかいせつ")[電子回折] #bem-ruby("でんし")[電子]を#bem-ruby("けっしょう")[結晶]へ#bem-ruby("あ")[当]てると、#bem-ruby("かいせつ")[回折]や#bem-ruby("かんしょう")[干渉]の#bem-ruby("もよう")[模様]が#bem-ruby("あらわ")[現]れる。#bem-ruby("かいせつ")[回折]は#bem-ruby("なみ")[波]に#bem-ruby("とくゆう")[特有]の#bem-ruby("げんしょう")[現象]なので、これは#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]として#bem-ruby("ふ")[振]る#bem-ruby("ま")[舞]うことを#bem-ruby("しめ")[示]す。 #bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]が#bem-ruby("おお")[大]きいほど #mitex("\\lambda=h/p", block: false) は#bem-ruby("ちい")[小]さくなる。そのため、#bem-ruby("たか")[高]い#bem-ruby("でんあつ")[電圧]で#bem-ruby("かそく")[加速]した#bem-ruby("でんし")[電子]ほど#bem-ruby("はちょう")[波長]は#bem-ruby("みじか")[短]い。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("りゅうし")[粒子]の#bem-ruby("はちょう")[波長]が#bem-ruby("と")[問]われたら、まず #mitex("\\lambda=h/p", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。 - #bem-ruby("でんあつ")[電圧]で#bem-ruby("かそく")[加速]された#bem-ruby("でんし")[電子]なら、まず #mitex("eV=mv^2/2", block: false) で#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]を#bem-ruby("もと")[求]める。 - #bem-ruby("えんきどう")[円軌道]と#bem-ruby("ていじょうは")[定常波]が#bem-ruby("で")[出]たら、#mitex("2\\pi r=n\\lambda", block: false) を#bem-ruby("た")[立]てる。 - #bem-ruby("いち")[位置]と#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]を#bem-ruby("どうじ")[同時]に#bem-ruby("するど")[鋭]く#bem-ruby("と")[問]われたら、#bem-ruby("ふかくていせい")[不確定性]#bem-ruby("かんけい")[関係]を#bem-ruby("かくにん")[確認]する。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか #mitex("\\lambda=h/p", block: false) は#bem-ruby("りょうし")[量子]の#bem-ruby("きほんかんけい")[基本関係]である。#bem-ruby("かそくでんし")[加速電子]の#bem-ruby("こうしき")[公式] #mitex("\\lambda=h/\\sqrt{2meV}", block: false) は、#bem-ruby("ひそうたいろんてき")[非相対論的]で、#bem-ruby("しょそく")[初速]を#bem-ruby("むし")[無視]でき、エネルギー#bem-ruby("そんしつ")[損失]がない#bem-ruby("ばあい")[場合]に#bem-ruby("つか")[使]う。#bem-ruby("でんあつ")[電圧]が#bem-ruby("ひじょう")[非常]に#bem-ruby("おお")[大]きい#bem-ruby("ばあい")[場合]は、#bem-ruby("そうたいろんてき")[相対論的]な#bem-ruby("ほせい")[補正]が#bem-ruby("ひつよう")[必要]になる。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\lambda=\\frac{h}{p}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\lambda=\\frac{h}{\\sqrt{2meV}}\\quad\\text{非相対論的な加速電子}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{2\\pi r=n\\lambda\\Rightarrow mvr=n\\hbar}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta x\\,\\Delta p\\gtrsim \\hbar}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言] #bem-ruby("ぶっしつは")[物質波]は、#bem-ruby("りゅうし")[粒子]の#bem-ruby("うんどうりょう")[運動量]を#bem-ruby("はちょう")[波長]へ#bem-ruby("ほんやく")[翻訳]する#bem-ruby("みかた")[見方]であり、ボーアの#bem-ruby("りょうしじょうけん")[量子条件]にも#bem-ruby("ていじょうは")[定常波]としての#bem-ruby("いみ")[意味]を#bem-ruby("あた")[与]える。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[ボーア模型の基本]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/bohr-model-basics.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/standing-waves-basics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[basics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[standing-waves]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[waves]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/waves/standing-waves-basics.lecture/] ]] ] #pagebreak() #block(above: 0.1em, below: 0.45em, width: 100%)[#text(size: 7pt, fill: luma(125))[data/lecture/physics/modern/atomic-nuclei-and-radiation.lecture.n.md#h(0.7em)md 021d2e1]] = #bem-ruby("げんしかく")[原子核]と#bem-ruby("ほうしゃせん")[放射線] == #bem-ruby("どうにゅう")[導入] この#bem-ruby("こうぎ")[講義]では、#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("へんか")[変化]を、#bem-ruby("ほうしゃせん")[放射線]の#bem-ruby("なまえ")[名前]ではなく、#strong[#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数]、#bem-ruby("げんしばんごう")[原子番号]、エネルギーの#bem-ruby("ほぞん")[保存]]で#bem-ruby("お")[追]う#bem-ruby("ほうほう")[方法]を#bem-ruby("せつめい")[説明]する。 #bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("はんのう")[反応]では、#bem-ruby("かがくはんのう")[化学反応]よりもはるかに#bem-ruby("おお")[大]きなエネルギーが#bem-ruby("でい")[出入]りする。その#bem-ruby("りゆう")[理由]は、#bem-ruby("かくし")[核子]が#bem-ruby("けつごう")[結合]した#bem-ruby("じょうたい")[状態]と、ばらばらの#bem-ruby("じょうたい")[状態]で#bem-ruby("しつりょう")[質量]が#bem-ruby("かんぜん")[完全]には#bem-ruby("いっち")[一致]しないからである。この#bem-ruby("さ")[差]を#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]といい、#mitex("E=\\Delta mc^2", block: false) によって#bem-ruby("けつごう")[結合]エネルギーへ#bem-ruby("たいおう")[対応]する。 == #bem-ruby("ようご")[用語]と#bem-ruby("ていぎ")[定義] #bem-anno("nuclide")[#bem-ruby("かくしゅ")[核種]]は、#bem-ruby("ようしすう")[陽子数]と#bem-ruby("ちゅうせいしすう")[中性子数]で#bem-ruby("くべつ")[区別]される#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("しゅるい")[種類]である。 #bem-ruby("かくしゅ")[核種]を #align(center)[#mitex("{}^{A}_{Z}X")] と#bem-ruby("か")[書]く。#mitex("A", block: false) は#bem-anno("mass number")[#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数]]、#mitex("Z", block: false) は#bem-anno("atomic number")[#bem-ruby("げんしばんごう")[原子番号]]である。#mitex("A", block: false) は#bem-ruby("ようし")[陽子]と#bem-ruby("ちゅうせいし")[中性子]の#bem-ruby("ごうけい")[合計]、#mitex("Z", block: false) は#bem-ruby("ようしすう")[陽子数]である。 #bem-anno("mass defect")[#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]]とは、#bem-ruby("げんしかく")[原子核]をばらばらの#bem-ruby("かくし")[核子]にしたときの#bem-ruby("しつりょう")[質量]の#bem-ruby("わ")[和]と、#bem-ruby("じっさい")[実際]の#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("しつりょう")[質量]の#bem-ruby("さ")[差]である。 #align(center)[#mitex("\\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-M_{\\text{nuc}}")] #bem-anno("binding energy")[#bem-ruby("けつごう")[結合]エネルギー] #mitex("E_B", block: false) は #align(center)[#mitex("\\boxed{E_B=\\Delta mc^2}")] で#bem-ruby("ていぎ")[定義]される。 == #bem-ruby("ほうしん")[方針] #bem-ruby("かくはんのう")[核反応]では、まず#bem-ruby("しき")[式]の#bem-ruby("さへん")[左辺]と#bem-ruby("うへん")[右辺]で #mitex("A", block: false) と #mitex("Z", block: false) を#bem-ruby("くら")[比]べる。#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数]と#bem-ruby("でんか")[電荷]が#bem-ruby("ほぞん")[保存]するため、#bem-ruby("みち")[未知]の#bem-ruby("りゅうし")[粒子]や#bem-ruby("かくしゅ")[核種]を#bem-ruby("き")[決]められる。 #bem-ruby("はんげんき")[半減期]では、「#bem-ruby("いっていじかん")[一定時間]で#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("こすう")[個数]だけ#bem-ruby("へ")[減]る」のではなく、「#bem-ruby("いっていじかん")[一定時間]で#bem-ruby("おな")[同]じ#bem-ruby("わりあい")[割合]だけ#bem-ruby("へ")[減]る」と#bem-ruby("み")[見]る。この#bem-ruby("ちが")[違]いが、#bem-ruby("いちじかんすう")[一次関数]ではなく#bem-ruby("しすうかんすう")[指数関数]になる#bem-ruby("りゆう")[理由]である。 == #bem-ruby("ほぞんそく")[保存則] 1：#bem-ruby("かくはんのう")[核反応]での #mitex("A", block: false) と #mitex("Z", block: false) の#bem-ruby("ほぞん")[保存] #bem-ruby("かくはんのう")[核反応]では、#bem-ruby("はんのうまえ")[反応前]と#bem-ruby("はんのうご")[反応後]で#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数] #mitex("A", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]と#bem-ruby("げんしばんごう")[原子番号] #mitex("Z", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]が#bem-ruby("ひと")[等]しい。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("しつりょうすう")[質量数] #mitex("A", block: false) は#bem-ruby("ようし")[陽子]と#bem-ruby("ちゅうせいし")[中性子]の#bem-ruby("ごうけい")[合計]である。#bem-ruby("かくはんのう")[核反応]では、#bem-ruby("かくし")[核子]が#bem-ruby("べつ")[別]の#bem-ruby("かく")[核]へ#bem-ruby("く")[組]み#bem-ruby("か")[替]わったり、#bem-ruby("ほうしゃせん")[放射線]として#bem-ruby("で")[出]たりするが、#bem-ruby("はんのうしき")[反応式]に#bem-ruby("あらわ")[現]れる#bem-ruby("かくし")[核子]の#bem-ruby("そうすう")[総数]は#bem-ruby("ほぞん")[保存]する。したがって #mitex("A", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]は#bem-ruby("ひと")[等]しい。 また、#mitex("Z", block: false) は#bem-ruby("ようしすう")[陽子数]であり、#bem-ruby("でんか")[電荷]の#bem-ruby("たんい")[単位]で#bem-ruby("み")[見]た#bem-ruby("せい")[正]の#bem-ruby("でんか")[電荷]に#bem-ruby("たいおう")[対応]する。#bem-ruby("でんか")[電荷]は#bem-ruby("ほぞん")[保存]するため、#bem-ruby("でんし")[電子]や#bem-ruby("ようでんし")[陽電子]も#bem-ruby("ふく")[含]めて#bem-ruby("はんのうしき")[反応式]を#bem-ruby("か")[書]けば、#bem-ruby("はんのうぜんご")[反応前後]で #mitex("Z", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]も#bem-ruby("ひと")[等]しい。 == #bem-ruby("せいり")[整理] 2：#bem-ruby("だいひょうてき")[代表的]な#bem-ruby("ほうしゃせいほうかい")[放射性崩壊] #bem-ruby("ほうしゃせいほうかい")[放射性崩壊]では、#bem-ruby("つぎ")[次]の#bem-ruby("へんか")[変化]が#bem-ruby("お")[起]こる。 #align(center)[#mitex("\\boxed{\\alpha\\text{崩壊}:\\quad A\\to A-4,\\quad Z\\to Z-2}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\beta^-\\text{崩壊}:\\quad A\\to A,\\quad Z\\to Z+1}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\gamma\\text{崩壊}:\\quad A\\to A,\\quad Z\\to Z}")] === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #mitex("\\alpha", block: false) #bem-ruby("せん")[線]はヘリウム#bem-ruby("げんしかく")[原子核]であり、 #align(center)[#mitex("{}^{4}_{2}\\mathrm{He}")] として#bem-ruby("あらわ")[表]される。したがって #align(center)[#mitex("{}^{A}_{Z}X\\to {}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^{4}_{2}\\mathrm{He}")] と#bem-ruby("か")[書]けば、#bem-ruby("うへん")[右辺]の#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数]の#bem-ruby("わ")[和]は #mitex("(A-4)+4=A", block: false)、#bem-ruby("げんしばんごう")[原子番号]の#bem-ruby("わ")[和]は #mitex("(Z-2)+2=Z", block: false) である。よって#bem-ruby("おやかく")[親核]から#bem-ruby("み")[見]ると #mitex("A", block: false) は 4 #bem-ruby("へ")[減]り、#mitex("Z", block: false) は 2 #bem-ruby("へ")[減]る。 #mitex("\\beta^-", block: false) #bem-ruby("ほうかい")[崩壊]では、#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("なか")[中]で#bem-ruby("ちゅうせいし")[中性子]が#bem-ruby("ようし")[陽子]へ#bem-ruby("か")[変]わり、#bem-ruby("でんし")[電子]が#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]される。#bem-ruby("ちゅうせいし")[中性子]と#bem-ruby("ようし")[陽子]はいずれも#bem-ruby("かくし")[核子]なので #mitex("A", block: false) は#bem-ruby("か")[変]わらない。#bem-ruby("ようしすう")[陽子数]は 1 #bem-ruby("ふ")[増]えるため、#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の #mitex("Z", block: false) は 1 #bem-ruby("ふ")[増]える。#bem-ruby("ほうしゅつ")[放出]された#bem-ruby("でんし")[電子]の#bem-ruby("でんか")[電荷]を#bem-ruby("ふく")[含]めると、#bem-ruby("ぜんたい")[全体]の#bem-ruby("でんか")[電荷]は#bem-ruby("ほぞん")[保存]する。 #mitex("\\gamma", block: false) #bem-ruby("せん")[線]は#bem-ruby("たか")[高]いエネルギーの#bem-ruby("でんじは")[電磁波]であり、#bem-ruby("しつりょうすう")[質量数]も#bem-ruby("でんか")[電荷]も#bem-ruby("も")[持]たない。したがって #mitex("A", block: false) と #mitex("Z", block: false) は#bem-ruby("か")[変]わらない。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 3：#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]と#bem-ruby("けつごう")[結合]エネルギー #bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]を #mitex("\\Delta m", block: false) とすると、その#bem-ruby("けつごう")[結合]エネルギーは #align(center)[#mitex("\\boxed{E_B=\\Delta mc^2}")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #bem-ruby("げんしかく")[原子核]を#bem-ruby("ようし")[陽子]と#bem-ruby("ちゅうせいし")[中性子]にばらした#bem-ruby("じょうたい")[状態]の#bem-ruby("しつりょう")[質量]を #align(center)[#mitex("M_{\\text{sep}}=Zm_p+(A-Z)m_n")] とする。#bem-ruby("じっさい")[実際]の#bem-ruby("げんしかく")[原子核]の#bem-ruby("しつりょう")[質量]を #mitex("M_{\\text{nuc}}", block: false) とすると、#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]は #align(center)[#mitex("\\Delta m=M_{\\text{sep}}-M_{\\text{nuc}}")] である。 #bem-ruby("しつりょう")[質量]とエネルギーの#bem-ruby("たいおう")[対応] #mitex("E=mc^2", block: false) を#bem-ruby("もち")[用]いると、この#bem-ruby("しつりょうさ")[質量差]に#bem-ruby("たいおう")[対応]するエネルギーは #align(center)[#mitex("\\Delta mc^2")] である。#bem-ruby("げんしかく")[原子核]をばらばらにするには、この#bem-ruby("さ")[差]に#bem-ruby("たいおう")[対応]するエネルギーを#bem-ruby("がいぶ")[外部]から#bem-ruby("あた")[与]える#bem-ruby("ひつよう")[必要]がある。したがって#bem-ruby("けつごう")[結合]エネルギーは #align(center)[#mitex("E_B=\\Delta mc^2")] である。 == #bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 4：#bem-ruby("はんげんき")[半減期]の#bem-ruby("せいすうかい")[整数回]の#bem-ruby("しき")[式] #bem-ruby("はんげんき")[半減期]を #mitex("T", block: false)、#bem-ruby("しょき")[初期]の#bem-ruby("こすう")[個数]を #mitex("N_0", block: false) とする。#mitex("n", block: false) #bem-ruby("かい")[回]の#bem-ruby("はんげんき")[半減期]が#bem-ruby("けいか")[経過]した#bem-ruby("あと")[後]の#bem-ruby("こすう")[個数]は #align(center)[#mitex("\\boxed{N_n=N_0\\left(\\frac12\\right)^n}")] である。 === #bem-ruby("しょうめい")[証明] #mitex("n=0", block: false) のとき、 #align(center)[#mitex("N_0=N_0\\left(\\frac12\\right)^0")] であり、#bem-ruby("しき")[式]は#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。 #mitex("n", block: false) #bem-ruby("かい")[回]の#bem-ruby("はんげんき")[半減期]の#bem-ruby("あと")[後]に #align(center)[#mitex("N_n=N_0\\left(\\frac12\\right)^n")] であると#bem-ruby("かてい")[仮定]する。#bem-ruby("はんげんき")[半減期]がさらに 1 #bem-ruby("かい")[回]#bem-ruby("けいか")[経過]すると、#bem-ruby("こすう")[個数]は#bem-ruby("はんぶん")[半分]になるので #align(center)[#mitex("N_{n+1}=\\frac12N_n\n=\\frac12N_0\\left(\\frac12\\right)^n\n=N_0\\left(\\frac12\\right)^{n+1}")] である。したがって#bem-ruby("すうがくてききのうほう")[数学的帰納法]により、すべての#bem-ruby("しぜんすう")[自然数] #mitex("n", block: false) で#bem-ruby("せいりつ")[成立]する。 == #bem-ruby("しすうげんすい")[指数減衰]としての#bem-ruby("はんげんき")[半減期] #bem-ruby("れんぞくじかん")[連続時間] #mitex("t", block: false) で#bem-ruby("あつか")[扱]うときは、 #align(center)[#mitex("\\boxed{N(t)=N_0\\left(\\frac12\\right)^{t/T}}")] と#bem-ruby("か")[書]く。これは、#mitex("t/T", block: false) #bem-ruby("かい")[回]ぶんの#bem-ruby("はんげん")[半減]が#bem-ruby("お")[起]こったと#bem-ruby("み")[見]る#bem-ruby("しすうかんすう")[指数関数]の#bem-ruby("かたち")[形]である。#mitex("t=T", block: false) なら #mitex("N=N_0/2", block: false)、#mitex("t=2T", block: false) なら #mitex("N=N_0/4", block: false) になり、#bem-ruby("かんけいしき")[関係式] 4 と#bem-ruby("いっち")[一致]する。 == #bem-ruby("みわ")[見分]け#bem-ruby("かた")[方] - #bem-ruby("かくはんのうしき")[核反応式]では、まず #mitex("A", block: false) と #mitex("Z", block: false) の#bem-ruby("わ")[和]を#bem-ruby("さゆう")[左右]で#bem-ruby("あ")[合]わせる。 - #mitex("\\alpha", block: false) #bem-ruby("ほうかい")[崩壊]では #mitex("A", block: false) が 4、#mitex("Z", block: false) が 2 #bem-ruby("へ")[減]る。 - #mitex("\\beta^-", block: false) #bem-ruby("ほうかい")[崩壊]では #mitex("A", block: false) は#bem-ruby("か")[変]わらず、#mitex("Z", block: false) が 1 #bem-ruby("ふ")[増]える。 - エネルギーが#bem-ruby("と")[問]われたら、#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損] #mitex("\\Delta m", block: false) を#bem-ruby("もと")[求]めて #mitex("E=\\Delta mc^2", block: false) を#bem-ruby("つか")[使]う。 - #bem-ruby("はんげんき")[半減期]では、#bem-ruby("なん")[何]#bem-ruby("かい")[回]ぶん#bem-ruby("はんぶん")[半分]になるかを#bem-ruby("さき")[先]に#bem-ruby("かぞ")[数]える。 == どこまで#bem-ruby("せいりつ")[成立]するか #mitex("E=\\Delta mc^2", block: false) は#bem-ruby("しつりょう")[質量]とエネルギーの#bem-ruby("とうかせい")[等価性]を#bem-ruby("つか")[使]う。#bem-ruby("はんのう")[反応]の#bem-ruby("しょうさい")[詳細]では、#bem-ruby("うんどう")[運動]エネルギー、#bem-ruby("ほうしゃせん")[放射線]のエネルギー、ニュートリノなどがエネルギーを#bem-ruby("ぶんたん")[分担]する。#bem-ruby("はんげんき")[半減期]は#bem-ruby("たいりょう")[大量]の#bem-ruby("げんしかく")[原子核]についての#bem-ruby("とうけいてき")[統計的]な#bem-ruby("ほうそく")[法則]であり、#bem-ruby("ここ")[個々]の#bem-ruby("げんしかく")[原子核]がいつ#bem-ruby("ほうかい")[崩壊]するかを#bem-ruby("けってい")[決定]する#bem-ruby("しき")[式]ではない。 == #bem-ruby("さいしゅうけい")[最終形] #align(center)[#mitex("\\boxed{\\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-M_{\\text{nuc}}}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{E_B=\\Delta mc^2}")] #align(center)[#mitex("\\boxed{N=N_0\\left(\\frac12\\right)^{t/T}}")] == #bem-ruby("ひとこと")[一言] #bem-ruby("げんしかく")[原子核]では、#bem-ruby("かくはんのう")[核反応]を #mitex("A", block: false) と #mitex("Z", block: false) の#bem-ruby("ほぞん")[保存]で#bem-ruby("お")[追]い、エネルギーを#bem-ruby("しつりょうけっそん")[質量欠損]で#bem-ruby("はか")[測]る。 == #bem-ruby("かんれん")[関連]リンク #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[quanta.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[原子と量子の入口]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[modern]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/modern/introduction-to-atoms-and-quanta.lecture/] ]] ] #block(above: 1.35em, below: 1.0em, width: 100%)[ #link("https://study.bem130.com/lecture/physics/thermodynamics/first-law-of-thermodynamics.lecture/")[#box(width: 100%, inset: (x: 7pt, y: 5pt), stroke: 0.55pt + rgb("d8dee8"), radius: 3pt, fill: rgb("fbfcfe"))[ #set par(justify: false, leading: 0.35em) #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[→]#h(0.32em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("f4f6f9"), stroke: 0.45pt + rgb("d7dde6"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("54657a"))[thermodynamics.lecture]]#h(0.32em)#text(size: 9.2pt, weight: 700, fill: rgb("182232"))[first-law-of]#h(0.5em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[lecture]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[physics]]#h(0.24em)#box(inset: (x: 3.8pt, y: 1.5pt), radius: 6pt, fill: rgb("eef6ff"), stroke: 0.45pt + rgb("9cc8f7"))[#text(size: 6.8pt, fill: rgb("215f9f"))[thermodynamics]]#h(0.24em) \ #text(size: 7pt, fill: rgb("5d7796"))[https://study.bem130.com/lecture/physics/thermodynamics/first-law-of-thermodynamics.lecture/] ]] ]