原始関数げんしかんすうantiderivativeと不定積分ふていせきぶんindefinite integral-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-15document_iddoc_b0d4578d54ecf7aa2dc299a5a38bf279description原始関数、不定積分、積分定数、定積分との違いを確認する基本演習である。prerequisites原始関数と不定積分type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexerciseantiderivative

data/lecture/math/calculus/antiderivatives-and-indefinite-integrals.lecture.n.md

1問題もんだい 1

$\int (3 x^{2} - 2) d x$ を求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

${x \mapsto x^{3} - 2 x + C ∣ C \in R}$ である。実際じっさいに微分びぶんすると $(x^{3} - 2 x + C)^{'} = 3 x^{2} - 2$ となる。

1.2解説かいせつ

不定積分ふていせきぶんindefinite integralは 1 つの関数かんすうではなく、すべての原始関数げんしかんすうからなる関数族かんすうぞくである。

2問題もんだい 2

$F : R \to R$ とする。 $F^{'} (x) = 2 x$ 、 $F (1) = 5$ を満みたす $F$ を求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

$F (x) = x^{2} + C$ である。 $F (1) = 1 + C = 5$ より $C = 4$ 、したがって $F (x) = x^{2} + 4$ である。

2.2解説かいせつ

条件じょうけんが与あたえられると積分定数せきぶんていすうconstant of integrationが決きまる。

3問題もんだい 3

$\int_{0}^{1} 2 x d x$ と $\int 2 x d x$ の出力しゅつりょくの種類しゅるいを説明せつめいせよ。

3.1解答例かいとうれい

$\int_{0}^{1} 2 x d x$ は端点たんてんを指定していした定積分ていせきぶんdefinite integralであり、出力しゅつりょくは 1 つの数すうである。 $\int 2 x d x$ は不定積分ふていせきぶんindefinite integralであり、出力しゅつりょくは関数族かんすうぞく ${x \mapsto x^{2} + C ∣ C \in R}$ である。

3.2解説かいせつ

積分記号せきぶんきごうが共通きょうつうであっても、定積分ていせきぶんと不定積分ふていせきぶんの定義ていぎおよび出力しゅつりょくは異ことなる。

Antiderivatives and Indefinite Integrals — Basic Exercises

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1Problem 1

Evaluate $\int (3 x^{2} - 2) d x$ .

1.1Sample Solution

The result is ${x \mapsto x^{3} - 2 x + C ∣ C \in R}$ . Differentiation verifies that $(x^{3} - 2 x + C)^{'} = 3 x^{2} - 2$ .

1.2Explanation

An indefinite integral is not a single function but the family of all antiderivatives.

2Problem 2

Let $F : R \to R$ . Find $F$ satisfying $F^{'} (x) = 2 x, F (1) = 5.$

2.1Sample Solution

Write $F (x) = x^{2} + C$ . The condition gives $F (1) = 1 + C = 5$ , so $C = 4$ and therefore $F (x) = x^{2} + 4$ .

2.2Explanation

An additional condition determines the constant of integration.

3Problem 3

Explain the types of output produced by $\int_{0}^{1} 2 x d x$ and $\int 2 x d x$ .

3.1Sample Solution

The expression $\int_{0}^{1} 2 x d x$ is a definite integral with specified endpoints, so its output is a single number. The expression $\int 2 x d x$ is an indefinite integral, so its output is the family of functions ${x \mapsto x^{2} + C ∣ C \in R}$ .

3.2Explanation

Although the notation is related, definite and indefinite integrals have different definitions and different types of output.

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1.1解答例かいとうれい

1.2解説かいせつ

2問題もんだい 2

2.1解答例かいとうれい

2.2解説かいせつ

3問題もんだい 3

3.1解答例かいとうれい

3.2解説かいせつ

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