原始関数げんしかんすうantiderivativeと不定積分ふていせきぶんindefinite integral

date2026-07-15document_iddoc_ef5c7e041ad973fa75cb7449b0bc08fadescription不定積分を原始関数の集合として整理し、定積分との違いと積分定数の意味を説明する講義である。prerequisites極限と連続 / 導関数の定義と差商type講義content_typelecturestatusactive

mathcalculusantiderivativelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、不定積分ふていせきぶんindefinite integralを面積めんせきではなく、微分びぶんdifferentiationの逆問題ぎゃくもんだいとして定義ていぎする。さらに、区間くかん上じょうで同一どういつの導関数どうかんすうを持もつ関数かんすうが定数差ていすうさであることから、積分定数せきぶんていすうが必要ひつようとなる理由りゆうを説明せつめいする。

区間くかん $I$ 上じょうで $F^{'} (x) = f (x)$ を満みたす $F$ を、 $I$ 上じょうの $f$ の原始関数げんしかんすうantiderivativeという。

2積分定数せきぶんていすう

平均値へいきんちの定理ていりmean value theoremによれば、関数かんすう $H$ が $[u, v]$ 上じょうで連続れんぞくかつ $(u, v)$ 上じょうで微分可能びぶんかのうならば、ある $c \in (u, v)$ が存在そんざいして

H (v) - H (u) = H^{'} (c) (v - u)

が成立せいりつする。

この定理ていりは次つぎのように証明しょうめいできる。まず、微分可能びぶんかのうな関数かんすうが内点ないてん $c$ で局所的きょくしょてきな最大値さいだいちまたは最小値さいしょうちを取とるならば、左右さゆうからの差商さしょうの符号ふごうを比較ひかくすることにより $H^{'} (c) = 0$ となる。これをFermat の停留条件ていりゅうじょうけんFermat's stationary-point theoremという。

次つぎに、 $H (u) = H (v)$ とする。極限きょくげんと連続れんぞくで導入どうにゅうした最大値さいだいち・最小値さいしょうち定理ていりにより、 $H$ は $[u, v]$ で最大値さいだいちと最小値さいしょうちを達成たっせいする。 $H$ が定数関数ていすうかんすうでなければ、いずれかの極値きょくちは内点ないてんで達成たっせいされ、Fermat の停留条件ていりゅうじょうけんから $H^{'} (c) = 0$ となる。 $H$ が定数関数ていすうかんすうならば任意にんいの内点ないてんで同おなじ結論けつろんを得える。これがRolle の定理ていりRolle's theoremである。

一般いっぱんの $H$ に対たいして

K (x) = H (x) - \frac{H (v) - H (u)}{v - u} (x - u)

とおくと $K (u) = K (v)$ である。Rolle の定理ていりにより、ある $c \in (u, v)$ で $K^{'} (c) = 0$ となる。これを整理せいりすれば平均値へいきんちの定理ていりを得える。

$f$ が区間くかん $I$ 上じょうで原始関数げんしかんすう $F$ を持もつと仮定かていする。任意にんいの定数ていすう $C$ について $(F + C)^{'} = f$ である。逆ぎゃくに、 $I$ 上じょうで $G^{'} = f$ ならば、 $(G - F)^{'} = 0$ である。 $F$ と $G$ は微分可能びぶんかのうであるため連続れんぞくでもあり、 $I$ の任意にんいの 2 点てん $u < v$ に平均値へいきんちの定理ていりを適用てきようできる。したがって、ある $c \in (u, v)$ に対たいして

G (v) - F (v) - (G (u) - F (u)) = (G - F)^{'} (c) (v - u) = 0

となる。したがって $G - F$ は $I$ 上じょうで一定いっていであり、ある定数ていすう $C$ により $G = F + C$ と表あらわされる。よって、不定積分ふていせきぶんは

\int f (x) d x = {F + C ∣ C \in R}

と書かく。この $C$ を積分定数せきぶんていすうconstant of integrationという。

$f$ が $I$ 上じょうで原始関数げんしかんすうを持もたない場合ばあい、その原始関数げんしかんすうの集合しゅうごうは空集合くうしゅうごうであり、上記じょうきの $F + C$ という表示ひょうじは使用しようできない。

定義域ていぎいきを区間くかんとすることは重要じゅうようである。非連結ひれんけつな定義域ていぎいきでは、連結成分れんけつせいぶんごとに異ことなる定数ていすうを加くわえられるため、全域ぜんいきで 1 つの積分定数せきぶんていすうを選択せんたくできるとは限かぎらない。

3定積分ていせきぶんdefinite integralとの違ちがい

定積分ていせきぶんdefinite integralは区間くかんの端点たんてんを指定していして得えられる 1 つの数すうである。不定積分ふていせきぶんindefinite integralは原始関数げんしかんすうantiderivativeの集合しゅうごうである。両者りょうしゃは微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりによって接続せつぞくされるが、定義ていぎと出力しゅつりょくは異ことなる。

4具体例ぐたいれい

$f (x) = 2 x$ の原始関数げんしかんすうantiderivativeは $F (x) = x^{2}$ である。したがって

\int 2 x d x = {x \mapsto x^{2} + C ∣ C \in R}

である。この例れいでは、答こたえが 1 つの関数かんすうではなく、定数差ていすうさだけ異ことなる関数族かんすうぞくであることを確認かくにんしている。

5演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/antiderivatives-and-indefinite-integrals.exercise.n.md

Antiderivatives and Indefinite Integrals

1Introduction

This lecture defines an indefinite integral as an inverse problem for differentiation rather than as an area. It also explains why a constant of integration is necessary: functions with the same derivative on an interval differ by a constant.

On an interval $I$ , a function $F$ satisfying $F^{'} (x) = f (x)$ is called an antiderivative of $f$ on $I$ .

2Constant of Integration

The mean value theorem states that if $H$ is continuous on $[u, v]$ and differentiable on $(u, v)$ , then there is a point $c \in (u, v)$ such that

H (v) - H (u) = H^{'} (c) (v - u) .

Here is a proof. If a differentiable function has a local maximum or minimum at an interior point $c$ , comparison of the signs of the left and right difference quotients gives $H^{'} (c) = 0$ . This is Fermat's stationary-point theorem.

Now suppose $H (u) = H (v)$ . By the extreme value theorem introduced with limits and continuity, $H$ attains a maximum and a minimum on $[u, v]$ . If $H$ is not constant, at least one of these extrema occurs at an interior point, where Fermat's theorem gives $H^{'} (c) = 0$ . If $H$ is constant, the same conclusion holds at every interior point. This proves Rolle's theorem.

For a general $H$ , define

K (x) = H (x) - \frac{H (v) - H (u)}{v - u} (x - u) .

Then $K (u) = K (v)$ . Rolle's theorem gives a point $c \in (u, v)$ with $K^{'} (c) = 0$ , and rearranging this equality proves the mean value theorem.

Assume that $f$ has an antiderivative $F$ on the interval $I$ . Then $(F + C)^{'} = f$ for every constant $C$ . Conversely, if $G^{'} = f$ on $I$ , then $(G - F)^{'} = 0$ . Since differentiability implies continuity, the mean value theorem applies to $G - F$ on every closed subinterval $[u, v] \subset I$ . It gives a point $c \in (u, v)$ such that

G (v) - F (v) - (G (u) - F (u)) = (G - F)^{'} (c) (v - u) = 0.

Hence $G - F$ is constant on $I$ , so $G = F + C$ for some constant $C$ . The indefinite integral is therefore written as the family

\int f (x) d x = {F + C ∣ C \in R} .

The constant $C$ is called the constant of integration.

If $f$ has no antiderivative on $I$ , its set of antiderivatives is empty and the representation $F + C$ is unavailable.

The interval assumption is essential. On a disconnected domain, a different constant can be added on each connected component, so one constant need not describe all antiderivatives on the entire domain.

3Difference from a Definite Integral

A definite integral is a single number obtained after specifying the endpoints of an interval. An indefinite integral is the set of all antiderivatives. The fundamental theorem of calculus connects the two concepts, but their definitions and outputs are different.

4Example

An antiderivative of $f (x) = 2 x$ is $F (x) = x^{2}$ . Therefore,

\int 2 x d x = {x \mapsto x^{2} + C ∣ C \in R} .

The result is a family of functions that differ by constants, not a single function.

5Exercises