積分法せきぶんほうintegral calculusの基本きほん

date2026-07-15document_iddoc_5fce53fbba2870154685477331b36f69description積分法を、定積分の定義、不定積分、基本定理、計算法へ進むための全体像として整理する講義である。prerequisites極限と連続 / 導関数の定義と差商type講義content_typelecturestatusactive

mathcalculusintegrallecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、定積分ていせきぶんdefinite integralを局所的きょくしょてきな寄与きよの累積るいせきとして定義ていぎする方法ほうほうと、不定積分ふていせきぶんindefinite integralを原始関数げんしかんすうantiderivativeの集合しゅうごうとして記述きじゅつする方法ほうほうを説明せつめいする。さらに、微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりfundamental theorem of calculusが両者りょうしゃを接続せつぞくすることを紹介しょうかいする。

2学習がくしゅうの順序じゅんじょ

リーマン和わRiemann sumで定積分ていせきぶんdefinite integralを定義ていぎする。
定積分ていせきぶんが符号付ふごうつき面積めんせきsigned areaを表あらわすことを確認かくにんし、常つねに非負ひふである幾何学的面積きかがくてきめんせきと区別くべつする。
区間くかん $I$ 上じょうで、1 つの原始関数げんしかんすうantiderivativeと、それに任意定数にんいていすうを加くわえて得えられる不定積分ふていせきぶんindefinite integralを区別くべつする。
微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりfundamental theorem of calculusで累積るいせきと微分びぶんを接続せつぞくする。
置換積分ちかんせきぶんsubstitutionと部分積分ぶぶんせきぶんintegration by partsで計算けいさんする。

32 つの積分せきぶんの役割やくわり

概念がいねん	入力にゅうりょく	出力しゅつりょく	主要しゅような解釈かいしゃく
定積分ていせきぶん $\int_{a}^{b} f (x) d x$	関数かんすう $f$ と区間くかん $[a, b]$	1 つの数すう	区間くかんにわたる符号付ふごうつきの累積量るいせきりょう
不定積分ふていせきぶん $\int f (x) d x$	区間くかん $I$ 上じょうの関数かんすう $f$	$F^{'} = f$ を満みたす関数族かんすうぞく ${F + C ∣ C \in R}$	微分びぶんすると $f$ になる関数かんすうの総体そうたい

定積分ていせきぶんと不定積分ふていせきぶんは同一どういつの記号きごうを共有きょうゆうするが、定義ていぎも出力しゅつりょくも異ことなる。微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりは、適切てきせつな仮定かていの下もとで、原始関数げんしかんすうを用もちいて定積分ていせきぶんを計算けいさんできることを保証ほしょうする。

5演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/riemann-sums-and-definite-integrals.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/antiderivatives-and-indefinite-integrals.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/substitution-and-integration-by-parts.exercise.n.md

Foundations of Integral Calculus

1Introduction

This lecture explains how a definite integral is defined as an accumulation of local contributions and how an indefinite integral describes the family of antiderivatives. It also introduces the fundamental theorem of calculus as the connection between these two concepts.

2Learning Sequence

Define the definite integral through Riemann sums.
Interpret a definite integral as signed area and distinguish it from geometric area, which is always nonnegative.
On an interval $I$ , distinguish one antiderivative from the indefinite integral obtained by adding an arbitrary constant to it.
Use the fundamental theorem of calculus to connect accumulation with differentiation.
Compute integrals through substitution and integration by parts.

3Roles of the Two Types of Integral

Concept	Input	Output	Principal interpretation
Definite integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$	A function $f$ and an interval $[a, b]$	A single number	Signed accumulation over an interval
Indefinite integral $\int f (x) d x$	A function $f$ on an interval $I$	The family ${F + C ∣ C \in R}$ satisfying $F^{'} = f$	All functions whose derivative is $f$

Definite and indefinite integrals use the same integral symbol, but they have different definitions and different kinds of output. Under suitable hypotheses, the fundamental theorem of calculus guarantees that a definite integral can be evaluated through an antiderivative.