微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりfundamental theorem of calculus-基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

$$G\left(x\right)={\int }_0^x\cos tdt$$G(x)=\int_0^x\cos t\,dt の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

被積分関数ひせきぶんかんすう $\cos t$\cos t は連続れんぞくである。基本定理きほんていりの第一部だいいちぶにより、$$G^{\prime }\left(x\right)=\cos x$$G'(x)=\cos x である。

1.2解説かいせつ

上端じょうたんを $h$h だけ増加ぞうかさせたときの符号付ふごうつき寄与きよは、幅はば $h$h、値あたいがほぼ $\cos x$\cos x の局所項きょくしょこうに対応たいおうする。

2問題もんだい 2

$$H\left(x\right)={\int }_x^{x^2}{e}^{t}dt$$H(x)=\int_x^{x^2}e^t\,dt の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

可変端点かへんたんてんの公式こうしきにより

である。

2.2解説かいせつ

上端じょうたんには正せいの項こう、下端かたんには負ふの項こうが対応たいおうし、それぞれに連鎖律れんさりつchain ruleを適用てきようする。

3問題もんだい 3

$${\int }_1^2\left(3x^2-2x\right)dx$$\int_1^2\left(3x^2-2x\right)\,dx を計算けいさんせよ。

3.1解答例かいとうれい

$3x^2-2x$3x^2-2x の原始関数げんしかんすうは $x^3-x^2$x^3-x^2 である。基本定理きほんていりの第二部だいにぶにより

である。

3.2解説かいせつ

不定積分ふていせきぶんでは積分定数せきぶんていすうを含ふくむ関数族かんすうぞくを求もとめるが、定積分ていせきぶんでは積分定数せきぶんていすうが端点差たんてんさで相殺そうさいされ、1 つの数すうを得える。

4問題もんだい 4

位置いち $s\left(t\right)$s(t) の速度そくどが $s^{\prime }\left(t\right)=3t^2-2t$s'(t)=3t^2-2t である。$t=1$t=1 から $t=2$t=2 までの位置いちの総変化量そうへんかりょうを求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

総変化量そうへんかりょうの公式こうしきにより

である。

4.2解説かいせつ

導関数どうかんすうの累積るいせきは、元もとの関数かんすうの端点差たんてんさに一致いっちする。速度そくどの符号ふごうが変化へんかする場合ばあい、これは移動距離いどうきょりではなく位置いちの正味変化しょうみへんかである。

5関連かんれんリンク

Fundamental Theorem of Calculus — Basic Exercises

1Problem 1

Find the derivative of $$G\left(x\right)={\int }_0^x\cos tdt$$G(x)=\int_0^x\cos t\,dt.

1.1Sample Solution

The integrand $\cos t$\cos t is continuous. Part I of the fundamental theorem gives $$G^{\prime }\left(x\right)=\cos x$$G'(x)=\cos x.

1.2Explanation

Increasing the upper endpoint by $h$h adds a signed contribution of width $h$h whose local value is approximately $\cos x$\cos x.

2Problem 2

Find the derivative of $$H\left(x\right)={\int }_x^{x^2}{e}^{t}dt$$H(x)=\int_x^{x^2}e^t\,dt.

2.1Sample Solution

The variable-endpoint formula gives

2.2Explanation

The upper endpoint contributes a positive term, the lower endpoint contributes a negative term, and the chain rule applies to both.

3Problem 3

Evaluate $${\int }_1^2\left(3x^2-2x\right)dx$$\int_1^2\left(3x^2-2x\right)\,dx.

3.1Sample Solution

An antiderivative of $3x^2-2x$3x^2-2x is $x^3-x^2$x^3-x^2. Part II of the fundamental theorem gives

3.2Explanation

An indefinite integral is a family containing a constant of integration. In a definite integral, that constant cancels in the endpoint difference, leaving a single number.

4Problem 4

The position $s\left(t\right)$s(t) has velocity $s^{\prime }\left(t\right)=3t^2-2t$s'(t)=3t^2-2t. Find the total change in position from $t=1$t=1 to $t=2$t=2.

4.1Sample Solution

The total-change formula gives

4.2Explanation

Accumulating a derivative gives the endpoint difference of the original function. If velocity changes sign, this quantity is net displacement rather than total distance traveled.

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