微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていり

date2026-07-15document_iddoc_cda641e14445c65a6d6cce05df3ca54cdescription累積関数の微分と原始関数による定積分計算を結び、上端変数・下端変数・総変化量の形を一つの定理として整理する。prerequisites極限と連続 / 微分法の基本 / 微分公式と計算法 / 積分法の基本 / 積分の定義：リーマン和と符号付き面積 / 原始関数と不定積分type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、連続関数れんぞくかんすうの累積量るいせきりょうを微分びぶんすると元もとの関数かんすうが回復かいふくすること、および定積分ていせきぶんを原始関数げんしかんすうの端点差たんてんさで計算けいさんできることを証明しょうめいする。この 2 つの主張しゅちょうが微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりfundamental theorem of calculusである。

2第一部だいいちぶ：累積関数るいせきかんすうの微分びぶん

$f$ を閉区間へいくかん $[a, b]$ 上じょうの連続関数れんぞくかんすうとし、

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

と定義ていぎする。このとき $F$ は $(a, b)$ 上じょうで微分可能びぶんかのうであり、

F^{'} (x) = f (x)

が成立せいりつする。端点たんてんでは片側微分かたがわびぶんとして同様どうようの結論けつろんを得える。

2.1証明しょうめい

$h \neq 0$ かつ $x + h \in [a, b]$ とすると、定積分ていせきぶんの加法性かほうせいにより

\frac{F (x + h) - F (x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

したがって

\frac{F (x + h) - F (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .

$I_{h}$ を $x$ と $x + h$ を端点たんてんとする閉区間へいくかんとし、 $M_{h} = \max_{t \in I_{h}} | f (t) - f (x) |$ とおくと、

| \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] M_{h}

である。 $f$ は $x$ で連続れんぞくであるため $M_{h} \to 0$ であり、 $F^{'} (x) = f (x)$ を得える。この評価ひょうかは $h < 0$ の場合ばあいにも成立せいりつする。

3第二部だいにぶ：原始関数げんしかんすうによる計算けいさん

$f$ を $[a, b]$ 上じょうの連続関数れんぞくかんすうとし、 $G$ は $[a, b]$ 上じょうで連続れんぞく、 $(a, b)$ 上じょうで微分可能びぶんかのうかつ $G^{'} = f$ を満みたすとする。このとき

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a)

が成立せいりつする。

3.1証明しょうめい

第一部だいいちぶで定義ていぎした $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ は $F^{'} = f$ を満みたす。したがって $(F - G)^{'} = 0$ である。原始関数げんしかんすうの定数差ていすうさにより、 $F - G$ は $[a, b]$ 上じょうで一定いっていである。 $F (a) = 0$ なので

F (x) = G (x) - G (a)

となり、 $x = b$ を代入だいにゅうすれば結論けつろんを得える。

4可変端点かへんたんてん

通常つうじょうの定義ていぎで $p < q$ とし、向むき付つき積分せきぶんを

\int_{q}^{p} f (t) d t = - \int_{p}^{q} f (t) d t, \int_{p}^{p} f (t) d t = 0

と定義ていぎする。 $f$ が区間くかん $J$ 上じょうで連続れんぞくであり、 $a, b \in J$ を固定こていする。 $u, v$ が区間くかん $D$ から $J$ への微分可能びぶんかのうな関数かんすうならば、 $D$ の内点ないてんで第一部だいいちぶと連鎖律れんさりつchain ruleにより

\frac{d}{d x} \int_{a}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x),

\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{b} f (t) d t = - f (u (x)) u^{'} (x)

である。両端りょうたんが変数へんすうの場合ばあいは

\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

となる。下端かたんの項こうに負号ふごうが付つくのは、下端かたんの増加ぞうかによって積分区間せきぶんくかんが縮小しゅくしょうするためである。

5総変化量そうへんかりょう

$g^{'}$ が $[a, b]$ 上じょうで連続れんぞくならば、第二部だいにぶを $f = g^{'}$ に適用てきようして

\int_{a}^{b} g^{'} (x) d x = g (b) - g (a)

を得える。左辺さへんは瞬間変化率しゅんかんへんかりつの累積るいせき、右辺うへんは区間全体くかんぜんたいの変化量へんかりょうである。

6具体例ぐたいれい

$G (x) = \int_{0}^{x} \cos t d t$ とすると、第一部だいいちぶにより $G^{'} (x) = \cos x$ である。また、

\int_{0}^{1} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0^{1}} = \frac{1}{3}

である。ここで $[G (x)]_{a^{b}} = G (b) - G (a)$ は端点差たんてんさを表あらわす記法きほうである。

7適用条件てきようじょうけん

本講義ほんこうぎでは $f$ の連続性れんぞくせいを仮定かていした。この仮定かていにより、 $f$ のリーマン積分可能性せきぶんかのうせいと、累積関数るいせきかんすうが各点かくてんで $f$ を導関数どうかんすうに持もつことが保証ほしょうされる。より弱よわい仮定かていの下もとでは、結論けつろんを成立せいりつさせる点てんや微分びぶんの意味いみを調整ちょうせいする必要ひつようがある。

8演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/integration-methods-and-computation.exercise.n.md

Fundamental Theorem of Calculus

1Introduction

This lecture proves that differentiating the accumulation of a continuous function recovers the original function and that a definite integral can be evaluated by the endpoint difference of an antiderivative. These are the two parts of the fundamental theorem of calculus.

2Part I: Differentiating an Accumulation Function

Let $f$ be continuous on a closed interval $[a, b]$ , and define

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .

Then $F$ is differentiable on $(a, b)$ and satisfies $F^{'} (x) = f (x)$ . At the endpoints, the analogous statement holds with one-sided derivatives.

2.1Proof

For $h \neq 0$ with $x + h \in [a, b]$ , additivity of the definite integral gives

\frac{F (x + h) - F (x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Therefore,

\frac{F (x + h) - F (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .

Let $M_{h}$ be the maximum of $| f (t) - f (x) |$ between $x$ and $x + h$ . Then

| \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] M_{h} .

Continuity at $x$ gives $M_{h} \to 0$ , proving $F^{'} (x) = f (x)$ . The estimate also applies when $h < 0$ .

3Part II: Evaluation by an Antiderivative

Let $f$ be continuous on $[a, b]$ . Suppose that $G$ is continuous on $[a, b]$ , differentiable on $(a, b)$ , and satisfies $G^{'} = f$ on $(a, b)$ . Then

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a) .

3.1Proof

The function $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ from Part I satisfies $F^{'} = f$ . Hence $(F - G)^{'} = 0$ . The constant-difference theorem for antiderivatives shows that $F - G$ is constant on $[a, b]$ . Since $F (a) = 0$ , we have $F (x) = G (x) - G (a)$ . Substituting $x = b$ proves the formula.

4Variable Endpoints

For $p < q$ under the usual definition, extend the integral by setting

\int_{q}^{p} f (t) d t = - \int_{p}^{q} f (t) d t, \int_{p}^{p} f (t) d t = 0.

Let $f$ be continuous on an interval $J$ , and fix $a, b \in J$ . Let $u, v$ be differentiable functions from an interval $D$ into $J$ . At interior points of $D$ , Part I and the chain rule give

\frac{d}{d x} \int_{a}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x),

\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{b} f (t) d t = - f (u (x)) u^{'} (x),

and therefore

\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) .

The lower-endpoint term has a minus sign because increasing the lower endpoint shortens the interval of integration.

5Total Change

If $g^{'}$ is continuous on $[a, b]$ , Part II applied to $f = g^{'}$ gives

\int_{a}^{b} g^{'} (x) d x = g (b) - g (a) .

The left-hand side accumulates the instantaneous rate of change, while the right-hand side is the total change over the interval.

6Examples

For $G (x) = \int_{0}^{x} \cos t d t,$ Part I gives $G^{'} (x) = \cos x$ . Also,

\int_{0}^{1} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0^{1}} = \frac{1}{3.}

Here $[G (x)]_{a^{b}} = G (b) - G (a)$ denotes an endpoint difference.

7Scope of the Assumptions

This lecture assumes that $f$ is continuous. This hypothesis guarantees both Riemann integrability and that the accumulation function has derivative $f$ at every point. Under weaker hypotheses, one must adjust the set of points where the conclusion holds or the meaning of differentiation.

8Exercises