積分せきぶんと計算法けいさんほう―総合演習そうごうえんしゅう

date2026-07-15document_iddoc_0b51cb35fb722b4012853008388ac3a1descriptionリーマン和、符号付き面積、微分積分学の基本定理、置換積分、部分積分を横断して確認する総合演習である。prerequisites積分の定義：リーマン和と符号付き面積 / 原始関数と不定積分 / 微分積分学の基本定理 / 積分公式と計算法type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexerciseintegralfundamental-theorem

data/lecture/math/calculus/integral-definition-riemann-sums-and-signed-area.lecture.n.md data/lecture/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.lecture.n.md data/lecture/math/calculus/integration-rules-and-computation.lecture.n.md

1演習方針えんしゅうほうしん

この演習えんしゅうでは、定積分ていせきぶんの定義ていぎ、符号付ふごうつき面積めんせき、可変端点かへんたんてんの微分びぶん、置換積分ちかんせきぶん、部分積分ぶぶんせきぶんを順じゅんに確認かくにんする。各問かくもんでは、計算結果けいさんけっかだけでなく、使用しようする定義ていぎまたは定理ていりとその適用条件てきようじょうけんを明示めいじすること。

2問題もんだい 1

$[0, 1]$ を $n$ 等分とうぶんし、各小区間かくしょうくかんの右端点うたんてんを標本点ひょうほんてんとするリーマン和わから

\int_{0}^{1} x^{2} d x

を計算けいさんせよ。ただし、

\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

を使用しようしてよい。

2.1解答例かいとうれい

$f (x) = x^{2}$ とする。 $f$ は $[0, 1]$ 上じょうで連続れんぞくであるため、リーマン積分可能せきぶんかのうである。小区間しょうくかんの幅はばは $Δ x = 1 / n$ 、右端点うたんてんは $x_{i} = i / n$ である。したがって、リーマン和わは

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \frac{1}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}}

である。よって、

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \lim_{n \to \infty} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} = \frac{1}{3}

となる。

2.2解説かいせつ

リーマン和わの各項かくこうは、関数値かんすうち $f (x_{i})$ と小区間しょうくかんの幅はば $Δ x$ の積せきである。 $Δ x$ を省略しょうりゃくすると、面積要素めんせきようそではなく関数値かんすうちだけを加算かさんすることになる。

3問題もんだい 2

\int_{- 1}^{2} (x - 1) d x

と、 $y = x - 1$ 、 $x$ 軸じく、 $x = - 1$ 、 $x = 2$ で囲かこまれる幾何学的面積きかがくてきめんせきをそれぞれ計算けいさんせよ。

3.1解答例かいとうれい

$x - 1$ は $[- 1, 2]$ 上じょうで連続れんぞくであり、微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりを適用てきようできる。 $F (x) = (x - 1)^{2} / 2$ は $x - 1$ の原始関数げんしかんすうであるから、

\int_{- 1}^{2} (x - 1) d x = {[\frac{(x - 1)^{2}}{2}]}_{{- 1}^{2}} = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}

である。一方いっぽう、 $x - 1$ の符号ふごうは $x = 1$ で変化へんかするため、幾何学的面積きかがくてきめんせきは

- \int_{- 1}^{1} (x - 1) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

である。

3.2解説かいせつ

定積分ていせきぶんは符号付ふごうつき面積めんせきを表あらわし、 $x$ 軸じくの下側したがわの寄与きよを負ふとして加算かさんする。幾何学的面積きかがくてきめんせきでは、零点れいてんで区間くかんを分割ぶんかつし、各部分かくぶぶんの絶対値ぜったいちを加算かさんする。

4問題もんだい 3

H (x) = \int_{x}^{x^{2}} \sin t d t

とする。 $H^{'} (x)$ を計算けいさんせよ。

4.1解答例かいとうれい

$\sin t$ は連続れんぞくであり、端点関数たんてんかんすう $x$ と $x^{2}$ は微分可能びぶんかのうであるため、可変端点かへんたんてんの公式こうしきを適用てきようできる。固定端点こていたん $0$ を導入どうにゅうすると、

H (x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t d t - \int_{0}^{x} \sin t d t

である。微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりと連鎖律れんさりつにより、

H^{'} (x) = 2 x \sin (x^{2}) - \sin x

となる。

4.2解説かいせつ

上端じょうたん $x^{2}$ からは $\sin (x^{2}) \cdot 2 x$ 、下端かたん $x$ からは $- \sin x$ が生しょうじる。下端かたんの項こうに負号ふごうが付つくこと、および各端点かくたんてんの導関数どうかんすうを乗じょうじることが要点ようてんである。

5問題もんだい 4

適切てきせつな積分法せきぶんほうを選択せんたくし、

\int_{0}^{1} 3 x^{2} e^{x^{3}} d x

を計算けいさんせよ。選択理由せんたくりゆうと変換後へんかんごの積分区間せきぶんくかんも明示めいじすること。

5.1解答例かいとうれい

$g (x) = x^{3}$ は $[0, 1]$ 上じょうで連続微分可能れんぞくびぶんかのうであり、 $e^{u}$ は $g ([0, 1]) = [0, 1]$ 上じょうで連続れんぞくである。さらに、被積分関数ひせきぶんかんすうは $e^{g (x)} g^{'} (x)$ の形かたちであるため、置換積分ちかんせきぶんを選択せんたくする。 $u = x^{3}$ と置おくと $d u = 3 x^{2} d x$ であり、端点たんてんは $0$ と $1$ のままである。したがって、

\int_{0}^{1} 3 x^{2} e^{x^{3}} d x = \int_{0}^{1} e^{u} d u = [e^{u}]_{0^{1}} = e - 1

となる。

5.2解説かいせつ

被積分関数ひせきぶんかんすうは、合成関数ごうせいかんすう $e^{x^{3}}$ と内部関数ないぶかんすう $x^{3}$ の導関数どうかんすう $3 x^{2}$ を因子いんしとして含ふくむ。定積分ていせきぶんの変数へんすうを $u$ に変更へんこうした後あとは、端点たんてんも $u$ の値あたいに変換へんかんする。

6問題もんだい 5

適切てきせつな積分法せきぶんほうを選択せんたくし、

\int_{0}^{1} x \sin x d x

を計算けいさんせよ。選択理由せんたくりゆうも明示めいじすること。

6.1解答例かいとうれい

$u = x$ 、 $v^{'} = \sin x$ とすると、 $u^{'} = 1$ 、 $v = - \cos x$ であり、これらの導関数どうかんすうは $[0, 1]$ 上じょうで連続れんぞくである。多項式たこうしきを微分びぶんすると単純化たんじゅんかするため、部分積分ぶぶんせきぶんを選択せんたくする。したがって、

\int_{0}^{1} x \sin x d x = [- x \cos x]_{0^{1}} + \int_{0}^{1} \cos x d x = - \cos 1 + \sin 1

となる。

6.2解説かいせつ

多項式因子たこうしきいんし $x$ は微分びぶんによって 1 に単純化たんじゅんかし、 $\sin x$ には容易よういに求もとめられる原始関数げんしかんすう $- \cos x$ がある。定積分ていせきぶんの部分積分ぶぶんせきぶんでは、境界項きょうかいこう $[u v]_{0^{1}}$ と残のこる積分せきぶんの双方そうほうを評価ひょうかする。

7基礎演習きそえんしゅう

data/exercise/math/calculus/substitution-and-integration-by-parts.exercise.n.md

Integration and Computation — Comprehensive Exercises

1Exercise Objectives

These exercises review the definition of a definite integral, signed area, differentiation with variable endpoints, substitution, and integration by parts. For each problem, identify the definition or theorem being used and state the conditions required for its application, rather than reporting only the numerical result.

2Problem 1

Partition $[0, 1]$ into $n$ equal subintervals and use the right endpoint of each subinterval as the sample point. Evaluate

\int_{0}^{1} x^{2} d x

from the resulting Riemann sum. You may use

\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6.}

2.1Sample Solution

Let $f (x) = x^{2}$ . The function $f$ is continuous, hence Riemann integrable, on $[0, 1]$ . The subinterval width is $Δ x = 1 / n$ , and the right endpoint is $x_{i} = i / n$ . Therefore, the Riemann sum is

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \frac{1}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} .

Consequently,

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \lim_{n \to \infty} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} = \frac{1}{3.}

2.2Explanation

Each term of a Riemann sum is the product of a function value $f (x_{i})$ and a subinterval width $Δ x$ . Omitting $Δ x$ would sum function values rather than area elements.

3Problem 2

Evaluate

\int_{- 1}^{2} (x - 1) d x

and the geometric area bounded by $y = x - 1$ , the $x$ -axis, $x = - 1$ , and $x = 2$ .

3.1Sample Solution

The function $x - 1$ is continuous on $[- 1, 2]$ , so the fundamental theorem of calculus applies. The function $F (x) = (x - 1)^{2} / 2$ is an antiderivative of $x - 1$ . Hence,

\int_{- 1}^{2} (x - 1) d x = {[\frac{(x - 1)^{2}}{2}]}_{{- 1}^{2}} = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2.}

In contrast, $x - 1$ changes sign at $x = 1$ , so the geometric area is

- \int_{- 1}^{1} (x - 1) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2.}

3.2Explanation

A definite integral represents signed area and counts contributions below the $x$ -axis as negative. To obtain geometric area, split the interval at each zero and add the absolute value of each contribution.

4Problem 3

Let

H (x) = \int_{x}^{x^{2}} \sin t d t .

Find $H^{'} (x)$ .

4.1Sample Solution

The integrand $\sin t$ is continuous, and the endpoint functions $x$ and $x^{2}$ are differentiable, so the variable-endpoint formula applies. Introducing the fixed endpoint $0$ gives

H (x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t d t - \int_{0}^{x} \sin t d t .

The fundamental theorem of calculus and the chain rule yield

H^{'} (x) = 2 x \sin (x^{2}) - \sin x .

4.2Explanation

The upper endpoint $x^{2}$ contributes $\sin (x^{2}) \cdot 2 x$ , while the lower endpoint $x$ contributes $- \sin x$ . The lower-endpoint term has a minus sign, and each endpoint contribution is multiplied by the derivative of that endpoint.

5Problem 4

Select an appropriate integration method and evaluate

\int_{0}^{1} 3 x^{2} e^{x^{3}} d x .

State the reason for your choice and the transformed interval of integration.

5.1Sample Solution

The function $g (x) = x^{3}$ is continuously differentiable on $[0, 1]$ , and $e^{u}$ is continuous on $g ([0, 1]) = [0, 1]$ . Moreover, the integrand has the form $e^{g (x)} g^{'} (x)$ , so substitution is appropriate. Let $u = x^{3}$ , so $d u = 3 x^{2} d x$ ; the transformed endpoints remain $0$ and $1$ . Therefore,

\int_{0}^{1} 3 x^{2} e^{x^{3}} d x = \int_{0}^{1} e^{u} d u = [e^{u}]_{0^{1}} = e - 1.

5.2Explanation

The integrand contains the composite function $e^{x^{3}}$ and the derivative $3 x^{2}$ of the inner function $x^{3}$ as factors. After changing the variable of a definite integral to $u$ , transform the endpoints to values of $u$ as well.

6Problem 5

Select an appropriate integration method and evaluate

\int_{0}^{1} x \sin x d x .

State the reason for your choice.

6.1Sample Solution

Take $u = x$ and $v^{'} = \sin x$ , so that $u^{'} = 1$ and $v = - \cos x$ ; their derivatives are continuous on $[0, 1]$ . Differentiating the polynomial simplifies it, so integration by parts is appropriate. Therefore,

\int_{0}^{1} x \sin x d x = [- x \cos x]_{0^{1}} + \int_{0}^{1} \cos x d x = - \cos 1 + \sin 1.

6.2Explanation

The polynomial factor $x$ simplifies to $1$ after differentiation, while $\sin x$ has the readily available antiderivative $- \cos x$ . For a definite integral, evaluate both the boundary term $[u v]_{0^{1}}$ and the remaining integral.

7Basic Exercises

data/exercise/math/calculus/substitution-and-integration-by-parts.exercise.n.md

積分せきぶんと計算法けいさんほう―総合演習そうごうえんしゅう

1演習方針えんしゅうほうしん

2問題もんだい 1

2.1解答例かいとうれい

2.2解説かいせつ

3問題もんだい 2

3.1解答例かいとうれい

3.2解説かいせつ

4問題もんだい 3

4.1解答例かいとうれい

4.2解説かいせつ

5問題もんだい 4

5.1解答例かいとうれい

5.2解説かいせつ

6問題もんだい 5

6.1解答例かいとうれい

6.2解説かいせつ

7基礎演習きそえんしゅう

8関連講義かんれんこうぎ

Integration and Computation — Comprehensive Exercises

1Exercise Objectives

2Problem 1

2.1Sample Solution

2.2Explanation

3Problem 2

3.1Sample Solution

3.2Explanation

4Problem 3

4.1Sample Solution

4.2Explanation

5Problem 4

5.1Sample Solution

5.2Explanation

6Problem 5

6.1Sample Solution

6.2Explanation

7Basic Exercises

8Related Lectures