積分公式せきぶんこうしきと計算法けいさんほう

date2026-07-15document_iddoc_50256826235ebc4698c74dfd027e2a49description積分公式を微分公式の逆として導出し、置換積分と部分積分の選択基準および適用条件を整理する。prerequisites積分法の基本 / 微分公式と計算法 / 微分積分学の基本定理type講義content_typelecturestatusactive

mathcalculusintegrallecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分公式びぶんこうしきから積分公式せきぶんこうしきを導出どうしゅつし、被積分関数ひせきぶんかんすうの構造こうぞうに応おうじて直接公式ちょくせつこうしき、置換積分ちかんせきぶん、部分積分ぶぶんせきぶんを選択せんたくする方法ほうほうを説明せつめいする。不定積分ふていせきぶんは原始関数げんしかんすうの集合しゅうごうであり、微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりによって定積分ていせきぶんの計算けいさんに接続せつぞくする。

2線型性せんけいせいと積分定数せきぶんていすう

$F^{'} = f$ 、 $G^{'} = g$ ならば $(a F + b G)^{'} = a f + b g$ である。したがって、 $a f + b g$ の原始関数げんしかんすうの集合しゅうごうは

\int (a f (x) + b g (x)) d x = {a F (x) + b G (x) + C ∣ C \in R}

である。不定積分ふていせきぶんの等式とうしきは特定とくていの関数かんすうではなく、定数差ていすうさを許容きょようする原始関数げんしかんすうの集合しゅうごうを表あらわす。

3直接公式ちょくせつこうしき

積分公式せきぶんこうしきは、右辺うへんを微分びぶんして検証けんしょうする。 $n$ を $- 1$ ではない整数せいすうとする。 $n < 0$ の場合ばあいは $x \neq 0$ の区間くかんで、

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

である。 $n = - 1$ では別べつの公式こうしき

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C

を使用しようする。この公式こうしきは $0$ を含ふくまない区間くかんごとに成立せいりつし、そのような区間くかんを越こえて一ひとつの原始関数げんしかんすうを定義ていぎするものではない。

基本的きほんてきな指数関数しすうかんすうと三角関数さんかくかんすうについては、

\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int \sin x d x = - \cos x + C, \int \cos x d x = \sin x + C

である。また、 $a > 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C

が成立せいりつする。公式こうしきを適用てきようする際さいには、微分公式びぶんこうしきだけでなく関数かんすうの定義域ていぎいきも確認かくにんする。

4置換積分ちかんせきぶん

置換積分ちかんせきぶんは連鎖律れんさりつchain ruleの逆ぎゃくである。 $F^{'} = f$ かつ $g$ が微分可能びぶんかのうならば、

\frac{d}{d x} F (g (x)) = f (g (x)) g^{'} (x)

であるため、

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C

が成立せいりつする。被積分関数ひせきぶんかんすうに合成関数ごうせいかんすう $f (g (x))$ と内部関数ないぶかんすうの導関数どうかんすう $g^{'} (x)$ が存在そんざいすることが、選択せんたくの基準きじゅんである。

具体例ぐたいれいとして、 $u = x^{2}$ と置おけば $d u = 2 x d x$ であるから、

\int 2 x \cos (x^{2}) d x = \int \cos u d u = \sin (x^{2}) + C

となる。計算後けいさんごに微分びぶんすれば、係数けいすう $2 x$ を含ふくめて元もとの被積分関数ひせきぶんかんすうが回復かいふくすることを確認かくにんできる。

定積分ていせきぶんでは、 $u = g (x)$ に対応たいおうして端点たんてんも変換へんかんする。 $g$ が $[a, b]$ 上じょうで連続微分可能れんぞくびぶんかのう、すなわち $g^{'}$ が連続れんぞくであり、 $f$ が $g ([a, b])$ を含ふくむ区間くかんで連続れんぞくならば、

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u

が成立せいりつする。 $p < q$ に対たいして $\int_{q}^{p} f (u) d u = - \int_{p}^{q} f (u) d u$ と定義ていぎするため、 $g (a) > g (b)$ の場合ばあいにも同おなじ式しきを使用しようできる。

5部分積分ぶぶんせきぶん

部分積分ぶぶんせきぶんは積せきの微分公式びぶんこうしきproduct ruleの逆ぎゃくである。 $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ を積分せきぶんして整理せいりすると、

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

を得える。 $u^{'}$ と $v^{'}$ が $[a, b]$ 上じょうで連続れんぞくならば、定積分ていせきぶんについて

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a^{b}} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

である。

因子いんしの一方いっぽうを微分びぶんすると単純化たんじゅんかし、他方たほうの原始関数げんしかんすうを容易よういに求もとめられるとき、部分積分ぶぶんせきぶんが有効ゆうこうである。たとえば $u = x$ 、 $v^{'} = e^{x}$ とすれば、

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C

となる。 $m$ が非負整数ひふせいすうである $x^{m} e^{x}$ のような積せきでは、多項式たこうしきの次数じすうが 0 になるまで部分積分ぶぶんせきぶんを反復はんぷくできる。

6有理関数ゆうりかんすうの分解ぶんかい

有理関数ゆうりかんすうは多項式たこうしきの商しょうである。分子ぶんしの次数じすうが分母ぶんぼの次数じすう以上いじょうならば、まず多項式除法たこうしきじょほうを適用てきようする。真分数しんぶんすうの分母ぶんぼを因数分解いんすうぶんかいできる場合ばあいには、部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかいによって直接公式ちょくせつこうしきへ還元かんげんできる。たとえば、 $x \neq \pm 1$ で

\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})

であるから、 $1$ と $- 1$ を含ふくまない各区間かくくかんで

\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln | x - 1 | - \frac{1}{2} \ln | x + 1 | + C

が成立せいりつする。

7構造こうぞうによる選択せんたく

被積分関数ひせきぶんかんすうの構造こうぞう	第一候補だいいちこうほ	判定根拠はんていこんきょ
基本関数きほんかんすうまたはその線型結合せんけいけつごう	直接公式ちょくせつこうしき	既知きちの微分公式びぶんこうしき
$f (g (x)) g^{'} (x)$	置換積分ちかんせきぶん	連鎖律れんさりつ
$g^{'} (x) / g (x)$	置換積分ちかんせきぶん	$(\ln \| g \|)^{'} = g^{'} / g$
異種関数いしゅかんすうの積せき	部分積分ぶぶんせきぶん	一方いっぽうの微分びぶんによる単純化たんじゅんか
有理関数ゆうりかんすう	除法じょほうと部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかい	代数的分解だいすうてきぶんかい

この表ひょうは機械的きかいてきな優先順位ゆうせんじゅんいではない。変形後へんけいごの積分せきぶんが単純たんじゅんになるかを確認かくにんし、必要ひつようなら複数ふくすうの方法ほうほうを組くみ合あわせる。

8適用条件てきようじょうけんと限界げんかい

置換積分ちかんせきぶんでは、 $g^{'} (x)$ に対応たいおうする因子いんしとその定数倍ていすうばいを過不足かぶそくなく処理しょりし、定積分ていせきぶんの端点たんてんも変換へんかんする。部分積分ぶぶんせきぶんでは、境界項きょうかいこう $[u v]_{a^{b}}$ を省略しょうりゃくしてはならない。また、 $1 / x$ のように特異点とくいてんを有ゆうする関数かんすうでは、通常つうじょうの定積分ていせきぶんの区間くかんが特異点とくいてんを含ふくまないことを確認かくにんする。端点たんてんまたは内部ないぶに特異点とくいてんがある積分せきぶんは、本講義ほんこうぎで扱あつかう通常つうじょうの定積分ていせきぶんの適用範囲外てきようはんいがいである。

本講義ほんこうぎで導出どうしゅつした公式こうしきだけでは、すべての連続関数れんぞくかんすうの原始関数げんしかんすうを直ただちに既知きちの式しきへ還元かんげんできない。たとえば $e^{- x^{2}}$ に三みっつの方法ほうほうを直接適用ちょくせつてきようしても、ここまでの基本公式きほんこうしきには還元かんげんされない。定積分ていせきぶんの値あたいが必要ひつような場合ばあいには、数値積分すうちせきぶんによる近似きんじも選択肢せんたくしとなる。

9演習えんしゅう

data/exercise/math/calculus/integration-methods-and-computation.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/substitution-and-integration-by-parts.exercise.n.md

Integration Rules and Computation

1Introduction

This lecture derives integration rules from differentiation rules and explains how the structure of an integrand determines whether direct formulas, substitution, or integration by parts is appropriate. An indefinite integral is a set of antiderivatives, and the fundamental theorem of calculus connects that set to the evaluation of definite integrals.

2Linearity and Constants of Integration

If $F^{'} = f$ and $G^{'} = g$ , then $(a F + b G)^{'} = a f + b g$ . Consequently, the set of antiderivatives of $a f + b g$ is

\int (a f (x) + b g (x)) d x = {a F (x) + b G (x) + C ∣ C \in R} .

An indefinite-integral identity represents a set of antiderivatives that differ by constants, not one particular function.

3Direct Formulas

Each integration formula can be verified by differentiating its right-hand side. Let $n$ be an integer other than $- 1$ . When $n < 0$ , the formula holds on intervals where $x \neq 0$ :

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C .

The exceptional exponent $n = - 1$ has the separate formula

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C .

This formula holds on each interval that excludes $0$ ; it does not define one antiderivative across that singular point.

For basic exponential and trigonometric functions,

\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int \sin x d x = - \cos x + C, \int \cos x d x = \sin x + C .

If $a > 0$ and $a \neq 1$ , then

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C .

Applying a formula requires checking both the corresponding differentiation rule and the domain of the function.

4Substitution

Substitution reverses the chain rule. If $F^{'} = f$ and $g$ is differentiable, then

\frac{d}{d x} F (g (x)) = f (g (x)) g^{'} (x),

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

The identifying feature is the simultaneous presence of a composite function $f (g (x))$ and the derivative $g^{'} (x)$ of its inner function.

For example, let $u = x^{2}$ , so that $d u = 2 x d x$ . Then

\int 2 x \cos (x^{2}) d x = \int \cos u d u = \sin (x^{2}) + C .

Differentiation of the result recovers the original integrand, including the factor $2 x$ .

For a definite integral, the endpoints must also be transformed. If $g$ is continuously differentiable on $[a, b]$ , meaning that $g^{'}$ is continuous, and $f$ is continuous on an interval containing $g ([a, b])$ , then

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .

For $p < q$ , define $\int_{q}^{p} f (u) d u = - \int_{p}^{q} f (u) d u$ . The same substitution formula therefore applies when $g (a) > g (b)$ .

5Integration by Parts

Integration by parts reverses the product rule. Integrating and rearranging $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ gives

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x .

If $u^{'}$ and $v^{'}$ are continuous on $[a, b]$ , then for definite integrals,

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a^{b}} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x .

This method is useful when differentiating one factor simplifies it and the other factor has an accessible antiderivative. Taking $u = x$ and $v^{'} = e^{x}$ yields

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C .

For a product such as $x^{m} e^{x}$ with $m$ a nonnegative integer, the method can be repeated until the polynomial degree reaches zero.

6Decomposition of Rational Functions

A rational function is a quotient of polynomials. If the numerator degree is at least the denominator degree, apply polynomial division first. If the denominator of the resulting proper fraction can be factored, partial-fraction decomposition can reduce the integral to direct formulas. For example, when $x \neq \pm 1$ ,

\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) .

Hence, on each interval that excludes $1$ and $- 1$ ,

\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln | x - 1 | - \frac{1}{2} \ln | x + 1 | + C .

7Selection by Structure

Structure of the integrand	First candidate	Basis for the choice
Basic functions or their linear combinations	Direct formulas	Known differentiation rules
$f (g (x)) g^{'} (x)$	Substitution	Chain rule
$g^{'} (x) / g (x)$	Substitution	$(\ln \| g \|)^{'} = g^{'} / g$
Product of different types of functions	Integration by parts	Simplification after differentiating one factor
Rational function	Division and partial fractions	Algebraic decomposition

This table is not a mechanical priority list. One must check whether the transformed integral is simpler and combine methods when necessary.

8Conditions and Limitations

In substitution, account exactly for the factor corresponding to $g^{'} (x)$ and any constant multiple, and transform the endpoints of a definite integral. In integration by parts, do not omit the boundary term $[u v]_{a^{b}}$ . For an integrand with a singularity, such as $1 / x$ , an ordinary definite-integral interval must exclude the singular point. An integral with a singularity at an endpoint or in the interior lies outside the ordinary definite integrals treated in this lecture.

The formulas derived in this lecture do not immediately reduce an antiderivative of every continuous function to previously known expressions. For example, directly applying the three methods to $e^{- x^{2}}$ does not reduce it to the basic formulas presented so far. When a definite value is required, numerical integration is another option.

9Exercises