微分積分びぶんせきぶんの応用おうよう

date2026-07-15document_iddoc_a8836c05a3377b058a8821f1a194227edescription局所的な変化、区間上の累積、導関数の総変化を区別し、応用問題で微分と積分を選択する基準を整理する。prerequisites微分法の基本 / 局所線型近似と微分可能性 / 微分公式と計算法 / 積分法の基本 / 積分公式と計算法 / 微分積分学の基本定理 / 関数のグラフtype講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、問題もんだいが局所的きょくしょてきな変化へんか、区間上くかんじょうの累積るいせき、または導関数どうかんすうの総変化そうへんかのいずれを要求ようきゅうするかを分類ぶんるいし、微分びぶんと積分せきぶんを選択せんたくする基準きじゅんを説明せつめいする。接線せっせん・瞬間速度しゅんかんそくど・増減ぞうげん・極値きょくちには微分びぶんを、面積めんせき・質量しつりょう・平均値へいきんち・変位へんいには積分せきぶんを使用しようする。微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりは、局所的きょくしょてきな変化率へんかりつと区間全体くかんぜんたいの変化量へんかりょうを接続せつぞくする。

2局所量きょくしょりょうと微分びぶん

$f$ が $a$ で微分可能びぶんかのうならば、 $h \to 0$ のとき

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + r (h), \frac{r (h)}{h} \to 0

である。この一次近似いちじきんじは、 $f^{'} (a)$ が $a$ における局所的きょくしょてきな変化率へんかりつであり、誤差項ごさこう $r (h)$ が $h$ より高次こうじであることを示しめす。したがって、接線せっせん、瞬間速度しゅんかんそくど、局所近似きょくしょきんじでは導関数どうかんすうを計算けいさんする。

$f$ が区間くかんで微分可能びぶんかのうならば、 $f^{'} (x) > 0$ の区間くかんで $f$ は増加ぞうかし、 $f^{'} (x) < 0$ の区間くかんで $f$ は減少げんしょうする。定義域ていぎいきの内点ないてん $c$ で $f^{'} (c) = 0$ となるか、 $f$ が $c$ で微分不能びぶんふのうであるとき、 $c$ を臨界点りんかいてんcritical pointと呼よぶ。内点ないてん $c$ で局所的きょくしょてきな極値きょくちを取とり、 $f$ が $c$ で微分可能びぶんかのうならば、フェルマーの停留条件ていりゅうじょうけんFermat's stationary-point theoremにより $f^{'} (c) = 0$ である。ただし、 $f^{'} (c) = 0$ は極値きょくちの十分条件じゅうぶんじょうけんではない。導関数どうかんすうの符号変化ふごうへんかまたは別べつの判定法はんていほうを確認かくにんする必要ひつようがある。

2.1極値きょくちの例れい

$f (x) = x^{3} - 3 x$ ならば、

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)

である。 $f^{'}$ の符号ふごうは $x = - 1$ で正せいから負ふへ、 $x = 1$ で負ふから正せいへ変化へんかする。したがって、 $x = - 1$ で極大値きょくだいちを取とり、 $x = 1$ で極小値きょくしょうちを取とる。

3累積量るいせきりょうと積分せきぶん

積分せきぶんは、区間くかんを細分さいぶんして局所的きょくしょてきな寄与きよを加算かさんし、その極限きょくげんを取とる操作そうさである。連続関数れんぞくかんすう $f$ が $[a, b]$ 上じょうで非負ひふならば、

\int_{a}^{b} f (x) d x

は $f$ のグラフと $x$ 軸じくの間あいだの面積めんせきである。棒ぼうの線密度せんみつどを位置いちについて積分せきぶんすれば質量しつりょう、流量りゅうりょうを時間じかんについて積分せきぶんすれば総量そうりょうとなる。このとき、被積分関数ひせきぶんかんすうの単位たんいに積分変数せきぶんへんすうの単位たんいを乗じょうじると、累積量るいせきりょうの単位たんいを得える。

3.1関数かんすうの平均値へいきんち

$a < b$ とし、 $f$ を $[a, b]$ 上じょうの連続関数れんぞくかんすうとする。 $f$ の平均値へいきんちは、同おなじ総量そうりょうを与あたえる定数ていすう

f_{a v g} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

である。たとえば $f (x) = x^{2}$ の $[0, 3]$ 上じょうの平均値へいきんちは

\frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = 3

となる。定積分ていせきぶんそのものは総量そうりょうであり、区間長くかんちょうで除じょした値あたいが平均値へいきんちである。

4総変化量そうへんかりょうと基本定理きほんていり

$s$ を位置いち、 $v = s^{'}$ を速度そくどとする。 $v$ が $[a, b]$ 上じょうで連続れんぞくならば、基本定理きほんていりにより

\int_{a}^{b} v (t) d t = s (b) - s (a)

である。左辺さへんは瞬間変化率しゅんかんへんかりつの累積るいせき、右辺うへんは位置いちの総変化量そうへんかりょうである。

変位へんいと移動距離いどうきょりは区別くべつする。変位へんいは

\int_{a}^{b} v (t) d t

であるが、移動距離いどうきょりは

\int_{a}^{b} | v (t) | d t

である。速度そくどが符号ふごうを変かえる場合ばあい、変位へんいでは逆向ぎゃくむきの移動いどうが相殺そうさいされるが、移動距離いどうきょりでは相殺そうさいされない。

4.1変位へんいと距離きょりの例れい

$v (t) = t - 1$ を $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2$ で考かんがえる。変位へんいは

\int_{0}^{2} (t - 1) d t = 0

である。一方いっぽう、 $t = 1$ で速度そくどの符号ふごうが変化へんかするため、移動距離いどうきょりは

\int_{0}^{1} (1 - t) d t + \int_{1}^{2} (t - 1) d t = 1

となる。

5選択基準せんたくきじゅん

要求ようきゅうされる量りょう	主おもな方法ほうほう	確認事項かくにんじこう
接線せっせん、瞬間速度しゅんかんそくど、局所近似きょくしょきんじ	微分びぶん	評価点ひょうかてんで微分可能びぶんかのうか
増減ぞうげん	導関数どうかんすうの符号ふごう	各部分区間かくぶぶんくかんで $f^{'}$ の符号ふごうは何なにか
局所的きょくしょてきな極値きょくち	臨界点りんかいてんの前後ぜんごの増減ぞうげん	$f^{'}$ の符号ふごうが変化へんかするか
面積めんせき、質量しつりょう、総量そうりょう	積分せきぶん	局所的きょくしょてきな寄与きよと積分区間せきぶんくかんは何なにか
平均値へいきんち	積分せきぶんを区間長くかんちょうで除じょする	$a < b$ か
総変化量そうへんかりょう	導関数どうかんすうの積分せきぶん	基本定理きほんていりの仮定かていが成立せいりつするか
移動距離いどうきょり	速度そくどの絶対値ぜったいちの積分せきぶん	速度そくどの符号ふごうが変化へんかする点てんで区間くかんを分割ぶんかつしたか

6適用上てきようじょうの注意ちゅうい

$f^{'} (c) = 0$ だけでは $c$ が極値きょくちであると結論けつろんできない。また、 $f$ が微分不能びぶんふのうな点てんや定義域ていぎいきの端点たんてんも極値きょくちの候補こうほとなりうる。 $f$ が閉区間へいくかん $[a, b]$ 上じょうで連続れんぞくであるとき、最大値さいだいちまたは最小値さいしょうちを求もとめるには、内部ないぶの臨界点りんかいてんと両端点りょうたんてんにおける関数値かんすうちを比較ひかくする。

幾何学的面積きかがくてきめんせきを求もとめる場合ばあいは、上下関係じょうげかんけいまたは関数かんすうの符号ふごうが変化へんかする点てんで区間くかんを分割ぶんかつする。定積分ていせきぶんは符号付ふごうつき累積量るいせきりょうであり、常つねに幾何学的面積きかがくてきめんせきを表あらわすわけではない。

7演習えんしゅう

次つぎの演習えんしゅうは、本講義ほんこうぎの一変数微積分いちへんすうびせきぶんに加くわえて、偏微分へんびぶんと重積分じゅうせきぶん、微分方程式びぶんほうていしきを含ふくむ。対応たいおうする後続講義こうぞくこうぎを履修後りしゅうごに使用しようすること。

data/exercise/math/calculus/advanced-calculus-applications.exercise.n.md

Applications of Differential and Integral Calculus

1Introduction

This lecture classifies whether a problem asks for local change, accumulation over an interval, or total change obtained from a derivative, and explains how that classification determines the choice between differentiation and integration. Use differentiation for tangent lines, instantaneous velocity, monotonicity, and extrema. Use integration for area, mass, average value, and displacement. The fundamental theorem of calculus connects a local rate of change to the change over an entire interval.

2Local Quantities and Differentiation

If $f$ is differentiable at $a$ , then as $h \to 0$ ,

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + r (h), \frac{r (h)}{h} \to 0.

This linear approximation identifies $f^{'} (a)$ as the local rate of change at $a$ and shows that the error term $r (h)$ is of higher order than $h$ . Consequently, tangent lines, instantaneous velocity, and local approximation require a derivative.

If $f$ is differentiable on an interval, then $f$ increases where $f^{'} (x) > 0$ and decreases where $f^{'} (x) < 0$ . In this lecture, an interior point $c$ of the domain is called a critical point if $f^{'} (c) = 0$ or if $f$ is not differentiable at $c$ . If $f$ has a local extremum at an interior point $c$ and is differentiable there, Fermat's stationary-point theorem gives $f^{'} (c) = 0$ . The converse is false: one must also check a sign change of the derivative or use another valid test.

2.1Example: Local Extrema

For $f (x) = x^{3} - 3 x$ ,

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1) .

The sign of $f^{'}$ changes from positive to negative at $x = - 1$ and from negative to positive at $x = 1$ . Thus $f$ has a local maximum at $x = - 1$ and a local minimum at $x = 1$ .

3Accumulated Quantities and Integration

Integration partitions an interval, sums local contributions, and takes a limit. If a continuous function $f$ is nonnegative on $[a, b]$ , then

\int_{a}^{b} f (x) d x

is the area between its graph and the $x$ -axis. Integrating the linear density of a rod with respect to position gives its mass, and integrating a flow rate with respect to time gives the total amount transferred. Multiplying the unit of the integrand by the unit of the integration variable gives the unit of the accumulated quantity.

3.1Average Value of a Function

Let $a < b$ and let $f$ be continuous on $[a, b]$ . The average value of $f$ is the constant that produces the same total accumulation:

f_{a v g} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

For example, the average value of $f (x) = x^{2}$ on $[0, 3]$ is

\frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = 3.

The definite integral is the total accumulation; dividing it by the interval length gives the average value.

4Total Change and the Fundamental Theorem

Let $s$ denote position and let $v = s^{'}$ denote velocity. If $v$ is continuous on $[a, b]$ , the fundamental theorem gives

\int_{a}^{b} v (t) d t = s (b) - s (a) .

The left-hand side accumulates an instantaneous rate, while the right-hand side is the total change in position.

Displacement and distance traveled are different quantities. Displacement is

\int_{a}^{b} v (t) d t,

whereas distance traveled is

\int_{a}^{b} | v (t) | d t .

When velocity changes sign, motion in opposite directions cancels in displacement but not in distance traveled.

4.1Example: Displacement and Distance

Let $v (t) = t - 1$ for $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2$ . The displacement is

\int_{0}^{2} (t - 1) d t = 0.

Since velocity changes sign at $t = 1$ , the distance traveled is

\int_{0}^{1} (1 - t) d t + \int_{1}^{2} (t - 1) d t = 1.

5Selection Criteria

Requested quantity	Primary method	Required check
Tangent line, instantaneous velocity, local approximation	Differentiation	Is the function differentiable at the point?
Monotonicity	Sign of the derivative	What is the sign of $f^{'}$ on each subinterval?
Local extremum	Behavior on both sides of a critical point	Does the sign of $f^{'}$ change?
Area, mass, or total amount	Integration	What are the local contribution and interval?
Average value	Integral divided by interval length	Is $a < b$ ?
Total change	Integral of a derivative	Do the hypotheses of the fundamental theorem hold?
Distance traveled	Integral of speed	Has the interval been split where velocity changes sign?

6Conditions and Common Errors

The equation $f^{'} (c) = 0$ alone does not imply that $c$ is an extremum. Points where $f$ is not differentiable and endpoints of the domain may also be candidates. If $f$ is continuous on a closed interval $[a, b]$ , find an absolute maximum or minimum by comparing its values at all interior critical points and both endpoints.

To calculate geometric area, split the interval wherever the ordering of the curves or the sign of a function changes. A definite integral is a signed accumulation and does not always represent geometric area.

7Exercises

The following exercise set also includes partial derivatives, multiple integrals, and differential equations. Use it after completing the corresponding later lectures.