局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationと微分可能性びぶんかのうせいdifferentiability

date2026-07-15document_iddoc_ab16a2d57d7dee743b84b81338bfeb4cdescription微分を局所線型近似として捉え、基準点で保存される値と傾き、増分に比して無視できる剰余を整理する講義である。prerequisites導関数の定義と差商 / 線型性の基本type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分びぶんdifferentiationを接線せっせんの傾かたむきとしてだけでなく、関数かんすうの増分ぞうぶんを基準点きじゅんてんの近傍きんぼうで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapによって近似きんじする方法ほうほうとして説明せつめいする。

data/lecture/math/linear-algebra/linearity-basics.lecture.n.md

2直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分可能びぶんかのうな関数かんすうのグラフは、基準点きじゅんてんの近傍きんぼうでは接線せっせんによって近似きんじできる。この接線せっせんによる近似きんじを局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationという。

基準点きじゅんてんを $a$ とすると、近似式きんじしきは

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)

である。 $h = x - a$ とすれば、増分ぞうぶん $h$ に作用さようする $L (h) = f^{'} (a) h$ は $R$ から $R$ への線型写像せんけいしゃぞうである。一方いっぽう、 $f (a) + L (h)$ は定数項ていすうこうを含ふくむためアフィン写像しゃぞうaffine mapである。「局所線型近似きょくしょせんけいきんじ」の線型せんけいとは、増分ぞうぶんに対たいする $L$ の線型性せんけいせいを意味いみする。

3厳密げんみつな説明せつめい

$D \subseteq R$ 、 $f : D \to R$ 、 $a \in int D$ とする。 $f$ が $a$ で微分可能びぶんかのうdifferentiableであることは、ある実数じっすう $c$ と剰余じょうよ $r (h)$ が存在そんざいして

f (a + h) = f (a) + c h + r (h)

と書かけ、さらに

\lim_{h \to 0} \frac{r (h)}{h} = 0

が成立せいりつすることと同値どうちである。この条件じょうけんを $r (h) = o (h)$ とも表記ひょうきする。これは $| r (h) | / | h | \to 0$ 、すなわち誤差ごさの絶対値ぜったいちが $| h |$ に比ひして無視むしできることを意味いみする。実際じっさい、 $h \neq 0$ に対たいして上式じょうしきを $h$ で割わると

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} = c + \frac{r (h)}{h}

となるため、差商さしょうの極限きょくげんは $c$ であり、 $c = f^{'} (a)$ である。逆ぎゃくに、 $f^{'} (a)$ が存在そんざいするならば、 $r (h) = f (a + h) - f (a) - f^{'} (a) h$ と定義ていぎすることで $r (h) / h \to 0$ を得える。

4具体例ぐたいれい

例れいとして $\sqrt{4.1}$ を近似きんじする。 $f : (0, \infty) \to R$ 、 $f (x) = \sqrt{x}$ 、 $a = 4$ とする。差商さしょうを有理化ゆうりかすると

\frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h} = \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2} (h \neq 0, 4 + h > 0)

であるため、 $f^{'} (4) = 1 / 4$ である。したがって

\sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4} (x - 4)

であり、 $x = 4.1$ を代入だいにゅうして

\sqrt{4.1} \approx 2.025

を得える。実際じっさいの値あたいは $\sqrt{4.1} \approx 2.02485$ であり、基準点きじゅんてんに近ちかい範囲はんいでは一次近似いちじきんじの誤差ごさが小ちいさいことを確認かくにんできる。

6演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/local-linear-approximation-and-differentiability.exercise.n.md

Local Linear Approximation and Differentiability

1Introduction

This lecture explains differentiation not only as the slope of a tangent line but also as a method for approximating the increment of a function near a base point by a linear map.

data/lecture/math/linear-algebra/linearity-basics.lecture.n.md

2Geometric Interpretation

The graph of a differentiable function can be approximated near a base point by its tangent line. This tangent-line approximation is called a local linear approximation.

At a base point $a$ , the approximation is

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Setting $h = x - a$ , the map $L (h) = f^{'} (a) h$ acting on the increment is a linear map from $R$ to $R$ . In contrast, $f (a) + L (h)$ is an affine map because it includes a constant term. The word linear in local linear approximation refers to the linearity of $L$ as a function of the increment.

3Precise Characterization

Let $D \subseteq R$ , $f : D \to R$ , and $a \in int D$ . The function $f$ is differentiable at $a$ if and only if there are a real number $c$ and a remainder $r (h)$ such that

f (a + h) = f (a) + c h + r (h)

with

\lim_{h \to 0} \frac{r (h)}{h} = 0.

This condition is also written as $r (h) = o (h)$ . It means that $| r (h) | / | h | \to 0$ , so the absolute error is negligible relative to $| h |$ . Indeed, for $h \neq 0$ , division by $h$ gives

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} = c + \frac{r (h)}{h},

so the difference quotient tends to $c$ and hence $c = f^{'} (a)$ . Conversely, if $f^{'} (a)$ exists, defining $r (h) = f (a + h) - f (a) - f^{'} (a) h$ gives $r (h) / h \to 0$ .

4Example

As an example, approximate $\sqrt{4.1}$ . Let $f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = \sqrt{x}$ , and $a = 4$ . Rationalizing the difference quotient gives

\frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h} = \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2} (h \neq 0, 4 + h > 0),

so $f^{'} (4) = 1 / 4$ . Therefore,

\sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4} (x - 4),

and substitution of $x = 4.1$ yields

\sqrt{4.1} \approx 2.025 .

The actual value is $\sqrt{4.1} \approx 2.02485$ , confirming that the error of the first-order approximation is small near the base point.

5Related Material

data/lecture/math/linear-algebra/linear-maps-and-matrices.lecture.n.md

6Exercises