線型性せんけいせいlinearityの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_409a83bf1849062a03c7b6c414f30756description線型性を加法性と同次性から定義し、線型結合、基底ベクトルの像、行列の列へ接続する導入講義である。prerequisites高校ベクトルの和とスカラー倍 / 関数・写像の基本type講義content_typelecturestatusactive

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Basics of linearity線型性せんけいせい

1導入どうにゅう

線型性せんけいせいlinearityは、線型代数せんけいだいすうlinear algebra全体ぜんたいの入口いりぐちである。ここでいう「線型せんけい」とは、ベクトルvectorの足たし算ざんとスカラー倍scalar multiplicationを、写像しゃぞうの前後ぜんごで矛盾むじゅんなく扱あつかえるという意味いみである。

先さきにこの見方みかたを置くterm理由りゆうは、後でterm出でてくる行列ぎょうれつmatrix、基底きていbasis、階数かいすうrank、核かくkernel、像ぞうimageが、すべて「線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが何なにを保ちterm、何なにを潰すtermか」という同じterm問いtermで理解りかいできるからである。

1Introduction

Linearity線型性せんけいせい is the entrance to linear algebra線型代数せんけいだいすう. A map is linear when it is compatible with vectorベクトル addition and scalar multiplicationスカラー倍: doing the operation before the map gives the same result as mapping first and then doing the corresponding operation.

This viewpoint is placed first because later objects such as matrices行列ぎょうれつ, bases基底きてい, rank階数かいすう, the kernel核かく, and the image像ぞう are all understood through the same question: what does a linear map線型写像せんけいしゃぞう preserve, and what does it collapse?

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごう $V$ , $W$ が同じterm体たい $K$ 上うえのベクトルvector空間くうかんであるとする。写像しゃぞう $T : V - > W$ が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであるとは、任意にんいの $u, v i n V$ と任意にんいの $c i n K$ について、次つぎの2条件じょうけんを満たすtermことである。

T (u + v) = T (u) + T (v)

T (c v) = c T (v)

前者ぜんしゃを加法性かほうせいadditivity、後者こうしゃを同次性どうじせいhomogeneityという。この2つを合わせtermた性質せいしつが線型性せんけいせいlinearityである。

2Terms and definition

Let $V$ and $W$ be vector spaces[ベクトル空間] over the same field体たい $K$ . A map $T : V - > W$ is a linear map線型写像せんけいしゃぞう when the following two conditions hold for every $u, v i n V$ and every $c i n K$ .

T (u + v) = T (u) + T (v)

T (c v) = c T (v)

The first condition is additivity加法性かほうせい; the second is homogeneity同次性どうじせい. Together they are called linearity線型性せんけいせい.

3方針ほうしん

この講義こうぎでは、線型せんけい性せいを「公式こうしきを満たすterm条件じょうけん」として暗記あんきしない。次つぎの順じゅんに理解りかいする。

足し算termを保つtermので、平行四辺形へいこうしへんけいparallelogramの足しterm合わせterm方かたが保たtermれる。
スカラー倍ばいを保つtermので、原点げんてんからの伸びterm縮みtermが保たtermれる。
したがって、線型結合せんけいけつごうlinear combinationがそのまま移るterm。
その結果けっか、基底きていbasisベクトルの像ぞうimageだけで写像しゃぞう全体ぜんたいが決まるterm。

この順じゅんに見るtermと、行列ぎょうれつの列れつが「基底きていベクトルの行きterm先さき」であることも自然しぜんに導かtermれる。

3Plan

In this lecture, linearity is not treated as a formula to memorize. We use the following order.

Additivity preserves how vectors are added, so the parallelogram rule is preserved.
Homogeneity preserves scalar stretching from the origin.
Therefore every linear combination線型結合せんけいけつごう is carried to the corresponding linear combination of images.
As a consequence, the whole map is determined by the images像ぞう of the basis基底きてい vectors.

With this order, the columns of a matrix naturally become the destinations of the basis vectors.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4.11. 線型せんけい性せいは骨組みtermを保つterm

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、原点げんてんを基準きじゅんにした「まっすぐな構造こうぞう」を保つterm。曲げるterm、平行へいこう移動いどうする、二乗にじょうする、といった操作そうさは一般いっぱんに線型せんけいではない。なぜなら、足し算termやスカラー倍ばいを通しtermた後のちの関係かんけいが変わるtermからである。

4.22. 線型せんけい結合けつごうがそのまま移るterm

線型せんけい性せいの一番いちばん重要じゅうような帰結きけつは、有限ゆうげん個このベクトルvector $v_{1}, . . ., v_{n}$ とスカラー $c_{1}, . . ., c_{n}$ について、次つぎが成立するtermことである。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

つまり、材料ざいりょうを混ぜtermてから写しtermても、材料ざいりょうを先さきに写しtermてから同じterm係数けいすうで混ぜtermても同じtermになる。

4.33. 基底きていベクトルの像ぞうだけで全体ぜんたいが決まるterm

基底きていbasis $e_{1}, . . ., e_{n}$ を取るtermと、任意にんいの $v$ は一意いちいに

v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}

と書けるterm。線型せんけい性せいより、

T (v) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n})

である。したがって、 $T (e_{1}), . . ., T (e_{n})$ が分かれtermば、すべての $v$ に対するterm $T (v)$ が分かるterm。

4Intuitive explanation

4.11. Linearity preserves the skeleton

A linear map線型写像せんけいしゃぞう preserves the straight structure measured from the origin. Operations such as bending, translating, or squaring are usually not linear, because they change the relationships created by addition and scalar multiplication.

4.22. Linear combinations are transported unchanged

The central consequence of linearity is that, for finitely many vectorsベクトル $v_{1}, . . ., v_{n}$ and scalars $c_{1}, . . ., c_{n}$ , we have

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) .

In words, mixing the ingredients first and then applying the map gives the same result as mapping the ingredients first and then mixing them with the same coefficients.

4.33. The images of basis vectors determine the whole map

If $e_{1}, . . ., e_{n}$ is a basis基底きてい, every vector $v$ has a unique expression

v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} .

By linearity,

T (v) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n}) .

Therefore, once $T (e_{1}), . . ., T (e_{n})$ are known, $T (v)$ is known for every $v$ .

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 零れいベクトルは零れいベクトルへ移るterm

線型せんけい写像しゃぞう $T$ では、 $T (0) = 0$ が必ずterm成立するterm。理由りゆうは、同どう次つぎ性せいに $c = 0$ を入れるtermと、任意にんいの $v$ について

T (0 v) = 0 T (v)

となるからである。左辺さへんは $T (0)$ 、は $0$ である。ここでは割り算termをしていないので、追加ついかの非ひ零れい条件じょうけんは不要ふようである。る。

5.22. 線型せんけい結合けつごうの保存ほぞん

2項こうの場合ばあいは定義ていぎそのものである。多項たこうの場合ばあいは、加法かほう性せいを繰り返しtermてから同どう次つぎ性せいを使うterm。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = T (c_{1} v_{1}) + \dots + T (c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

この事実じじつが後でterm、張る空間span、列空間れつくうかんcolumn space、階数かいすうrankの説明せつめいに使わtermれる。

5.33. 基底きていの像ぞうによる決定けってい

$V$ の基底きていを $e_{1}, . . ., e_{n}$ とする。もし2つの線型せんけい写像しゃぞう $S, T : V - > W$ がすべての基底きていベクトルで一致いっちするなら、任意にんいの $v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ について、

S (v) = x_{1} S (e_{1}) + \dots + x_{n} S (e_{n}) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n}) = T (v)

である。よって $S = T$ である。

5Formal explanation

5.11. The zero vector is sent to the zero vector

For a linear map $T$ , the identity $T (0) = 0$ always holds. Substituting $c = 0$ into homogeneity gives, for any $v$ ,

T (0 v) = 0 T (v) .

The left side is $T (0)$ , and the right side is $0$ . No division is used here, so no extra nonzero condition is needed.

5.22. Preservation of linear combinations

For two terms this is exactly the definition. For several terms, repeat additivity and then use homogeneity.

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = T (c_{1} v_{1}) + \dots + T (c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) .

This fact will be used later to explain the span張る空間, the column space列空間れつくうかん, and rank階数かいすう.

5.33. Determination by images of a basis

Let $e_{1}, . . ., e_{n}$ be a basis of $V$ . If two linear maps $S, T : V - > W$ agree on every basis vector, then for every $v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ ,

S (v) = x_{1} S (e_{1}) + \dots + x_{n} S (e_{n}) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n}) = T (v) .

Hence $S = T$ .

6例題れいだい：基底きていの像ぞうから行列ぎょうれつを作るterm

6.1問題もんだい

$T : R^{2} - > R^{2}$ が

T (e_{1}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}), T (e_{2}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})

を満たすterm線型せんけい写像しゃぞうであるとする。 $T$ を表すterm標準ひょうじゅん基底きていでの行列ぎょうれつを求めterm、さらに $v = (4, 5)^{T}$ の像ぞうを求めtermよ。

6.2解説かいせつ

標準ひょうじゅん基底きていでは、行列ぎょうれつの第だい1列れつが $T (e_{1})$ 、列れつが $T (e_{2})$ である。したがって、て、

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})

である。 $v = 4 e_{1} + 5 e_{2}$ なので、線型せんけい性せいより

T (v) = 4 T (e_{1}) + 5 T (e_{2}) = 4 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + 5 (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix}) .

これは行列ぎょうれつ積せきでも同じtermである。

A v = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix})

この例題れいだいの目的もくてきは、行列ぎょうれつを「数かずの表ひょう」ではなく、「基底きていベクトルの像ぞうを列れつに並べtermたもの」と見るtermことである。この見方みかたが後ごの線型写像と行列linear maps and matrices、基底変換きていへんかんchange of basis、固有値こゆうちeigenvalueの理解りかいにつながる。

6Worked example: building a matrix from basis images

6.1Problem

Let $T : R^{2} - > R^{2}$ be a linear map satisfying

T (e_{1}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}), T (e_{2}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) .

Find the matrix of $T$ in the standard basis, and then find the image of $v = (4, 5)^{T}$ .

6.2Explanation

In the standard basis, the first column of the matrix is $T (e_{1})$ , and the second column is $T (e_{2})$ . Therefore

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) .

Since $v = 4 e_{1} + 5 e_{2}$ , linearity gives

T (v) = 4 T (e_{1}) + 5 T (e_{2}) = 4 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + 5 (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix}) .

The same result is obtained by matrix multiplication.

A v = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix}) .

The point of this example is to view a matrix not merely as a table of numbers, but as a list of the images of the basis vectors. This viewpoint prepares for linear maps and matrices線型写像と行列, change of basis基底変換きていへんかん, and eigenvalues固有値こゆうち.

7操作そうさで変わるtermもの・保存ほぞんされるもの

線型せんけい写像しゃぞうは、線型せんけい結合けつごう、部分ぶぶん空間くうかんの構造こうぞう、零れいベクトルを保つterm。一方いっぽうで、長ながさ、角度かくど、面積めんせき、次元じげんを常にterm保つtermわけではない。たとえば射影しゃえいは平面へいめん上じょうの情報じょうほうを直線ちょくせんへ潰すtermので、線型せんけいではあるが次元じげんを減らすterm。

この区別くべつは重要じゅうようである。直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixやユニタリ行列unitary matrixは長ながさや角度かくども保つterm特別とくべつな線型せんけい写像しゃぞうであり、階数かいすうrankは潰れtermずに残るterm方向ほうこうの数かずを表すterm。

射影しゃえい、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、ユニタリ行列ぎょうれつは後あとで定義ていぎする。ここでは、線型せんけいであっても何なにを保存ほぞんするかは操作そうさごとに異ことなる、という見通みとおしとして読よめばよい。

7What changes and what is preserved

A linear map preserves linear combinations, subspace structure, and the zero vector. It does not necessarily preserve length, angle, area, or dimension. For example, a projection can collapse information from a plane onto a line; it is linear, but it reduces dimension.

This distinction matters. An orthogonal matrix直交行列ちょっこうぎょうれつ or a unitary matrixユニタリ行列 is a special linear map that also preserves lengths and angles, while rank階数かいすう measures the number of directions that survive without being collapsed.

Projection, orthogonal matrices, and unitary matrices are defined later. Here they are only a preview of the fact that being linear does not determine which additional quantities an operation preserves.

8定理ていりと証明しょうめい：核かくと像ぞうは線型せんけい構造こうぞうを保つterm

8.1定理ていり

線型せんけい写像しゃぞう $T : V - > W$ に対してterm、 $k e r T$ は $V$ の部分ぶぶん空間くうかんであり、 $i m T$ は $W$ の部分ぶぶん空間くうかんである。

8.2証明しょうめい

まず $k e r T = v i n V | T (v) = 0$ を考えるterm。 $T (0) = 0$ なので $0 i n k e r T$ である。 $u, v i n k e r T$ なら、

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0

だから $u + v i n k e r T$ である。また $c i n K$ について、

T (c u) = c T (u) = c 0 = 0

だから $c u i n k e r T$ である。よって $k e r T$ は部分ぶぶん空間くうかんである。

次にterm $i m T = T (v) | v i n V$ を考えるterm。 $T (0) = 0$ なので $0 i n i m T$ である。 $y_{1} = T (v_{1})$ , $y_{2} = T (v_{2})$ と書けるtermとき、

y_{1} + y_{2} = T (v_{1}) + T (v_{2}) = T (v_{1} + v_{2})

だから $y_{1} + y_{2} i n i m T$ である。同様どうように、

c y_{1} = c T (v_{1}) = T (c v_{1})

だから $c y_{1} i n i m T$ である。よって $i m T$ は部分ぶぶん空間くうかんである。

8Theorem and proof: the kernel and image preserve linear structure

8.1Theorem

For a linear map $T : V - > W$ , $k e r T$ is a subspace of $V$ , and $i m T$ is a subspace of $W$ .

8.2Proof

First consider $k e r T = v i n V | T (v) = 0$ . Since $T (0) = 0$ , we have $0 i n k e r T$ . If $u, v i n k e r T$ , then

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0,

so $u + v i n k e r T$ . Also, for $c i n K$ ,

T (c u) = c T (u) = c 0 = 0,

so $c u i n k e r T$ . Hence $k e r T$ is a subspace.

Next consider $i m T = T (v) | v i n V$ . Since $T (0) = 0$ , we have $0 i n i m T$ . If $y_{1} = T (v_{1})$ and $y_{2} = T (v_{2})$ , then

y_{1} + y_{2} = T (v_{1}) + T (v_{2}) = T (v_{1} + v_{2}),

so $y_{1} + y_{2} i n i m T$ . Similarly,

c y_{1} = c T (v_{1}) = T (c v_{1}),

so $c y_{1} i n i m T$ . Hence $i m T$ is a subspace.

9最終形さいしゅうけい

線型せんけい性せいとは、加法かほう性せいと同どう次つぎ性せいを同時にterm満たすtermことである。

T (u + v) = T (u) + T (v), T (c v) = c T (v)

本質ほんしつは、線型せんけい結合けつごうがそのまま移るtermことにある。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

このため、基底きていベクトルの像ぞうを指定していすれば線型せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいが決まりterm、標準ひょうじゅん基底きていではその像ぞうが行列ぎょうれつの列れつになる。

9Final form

Linearity means satisfying additivity and homogeneity at the same time.

T (u + v) = T (u) + T (v), T (c v) = c T (v) .

The essence is that linear combinations are transported unchanged.

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) .

Therefore, specifying the images of the basis vectors determines the whole linear map, and in the standard basis those images become the columns of the matrix.