1演習方針
線型写像かどうかは、いくつかの数値例ではなく、任意のベクトルとスカラーについて加法性と同次性を確認して判定する。
反例を示すときは、加法性または同次性のどちらかが破れる 1 例を出せばよい。証明するときは、任意の文字で計算する。
1Exercise plan
To decide whether a map is a linear map, do not rely on a few numerical examples. Check additivity and homogeneity for arbitrary vectors and scalars.
To give a counterexample, one example where additivity or homogeneity fails is enough. To prove linearity, compute with arbitrary symbols.
2問題 1
T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を
T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+y\\
2x-y
\end{pmatrix}
で定義する。T が線型写像であることを示せ。
2.1解答例
u=(x_1,y_1)^T、v=(x_2,y_2)^T とする。
T(u+v)
=
\begin{pmatrix}
x_1+x_2+y_1+y_2\\
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)
\end{pmatrix}
であり、
T(u)+T(v)
=
\begin{pmatrix}
x_1+y_1\\
2x_1-y_1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
x_2+y_2\\
2x_2-y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1+x_2+y_1+y_2\\
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)
\end{pmatrix}
なので加法性が成立する。
また、スカラー c について
T(cu)
=
\begin{pmatrix}
cx_1+cy_1\\
2cx_1-cy_1
\end{pmatrix}
=
c
\begin{pmatrix}
x_1+y_1\\
2x_1-y_1
\end{pmatrix}
=
cT(u)
なので同次性も成立する。したがって T は線型写像である。
2.2解説
この問題では、線型性を定義から確認している。係数つきの一次式で作られていても、任意の u,v,c について加法性と同次性を確認するまでは証明にならない。
2Problem 1
Define T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 by
T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\\2x-y\end{pmatrix}.
Show that T is a linear map.
2.1Answer example
Let u=(x_1,y_1)^T and v=(x_2,y_2)^T. Then
T(u+v)=\begin{pmatrix}x_1+x_2+y_1+y_2\\2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\end{pmatrix},
and
T(u)+T(v)=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\2x_1-y_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2+y_2\\2x_2-y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+y_1+y_2\\2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\end{pmatrix}.
Thus additivity holds. For a scalar c,
T(cu)=\begin{pmatrix}cx_1+cy_1\\2cx_1-cy_1\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}x_1+y_1\\2x_1-y_1\end{pmatrix}=cT(u),
so homogeneity holds. Therefore T is linear.
2.2Explanation
The proof returns to the definition of linearity. A formula that looks linear is not proved linear until additivity and homogeneity are checked for arbitrary inputs.
3問題 2
S:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を
S\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+1\\
y
\end{pmatrix}
で定義する。S が線型写像ではないことを示せ。
3.1解答例
線型写像なら S(0)=0 でなければならない。しかし
S\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
である。したがって S は線型写像ではない。
3.2解説
平行移動は直線を直線へ移すが、原点を原点へ保たないため線型ではない。線型性の反例では、まず T(0)=0 を満たすかを確認すると早い。
3Problem 2
Define S:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 by
S\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+1\\y\end{pmatrix}.
Show that S is not a linear map.
3.1Answer example
A linear map must satisfy S(0)=0, but
S\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.
Therefore S is not linear.
3.2Explanation
A translation sends lines to lines, but it does not keep the origin fixed. Checking T(0)=0 is often the fastest way to find a counterexample.
4問題 3
R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を
R\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^2\\
y
\end{pmatrix}
で定義する。R が線型写像ではないことを、同次性の失敗から示せ。
4.1解答例
u=(1,0)^T、c=2 とすると、
R(2u)=R\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}
である。一方、
2R(u)
=
2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}
である。したがって R(2u)\ne2R(u) であり、同次性が成立しない。
4.2解説
x^2 のような非線型な項があると、スカラー倍の倍率が保たれない。この問題は、原点を保つだけでは線型性に十分でないことを確認している。
4Problem 3
Define R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 by
R\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^2\\y\end{pmatrix}.
Show that R is not linear by showing failure of homogeneity.
4.1Answer example
Let u=(1,0)^T and c=2. Then
R(2u)=R\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix},
but
2R(u)=2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}.
Thus R(2u)\ne2R(u), so homogeneity fails.
4.2Explanation
A nonlinear term such as x^2 does not preserve scalar multiplication. Preserving the origin alone is not enough for linearity.
5問題 4
線型写像 T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 が
T(e_1)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad
T(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix},\qquad
T(e_3)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
を満たすとする。T の標準基底に関する行列を求め、T(2,-1,4)^T を計算せよ。
5.1解答例
行列の列は標準基底の像なので、
A=
\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
0&2&1
\end{pmatrix}
である。また
(2,-1,4)^T=2e_1-e_2+4e_3
したがって、
T(2,-1,4)^T
=
2T(e_1)-T(e_2)+4T(e_3)
=
\begin{pmatrix}15\\2\end{pmatrix}
である。
5.2解説
この問題は、行列の列が基底ベクトルの行き先を記録していることを確認している。線型性があるため、任意の入力は基底の像の同じ係数による線型結合で計算できる。
5Problem 4
A linear map T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 satisfies
T(e_1)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix},\qquad T(e_3)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.
Find the matrix of T in the standard basis, and compute T(2,-1,4)^T.
5.1Answer example
The columns are the images of the standard basis vectors:
A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\end{pmatrix}.
Since (2,-1,4)^T=2e_1-e_2+4e_3,
T(2,-1,4)^T=2T(e_1)-T(e_2)+4T(e_3)=\begin{pmatrix}15\\2\end{pmatrix}.
5.2Explanation
The columns of a matrix record the destinations of the basis vectors. Linearity lets every input be computed using the same coefficients on the images.
6問題 5
線型写像 T:V\to W とベクトル v_1,v_2 について、v_2=3v_1 が成立するとする。このとき T(v_2) と T(v_1) の関係を述べよ。
6.1解答例
同次性より
T(v_2)=T(3v_1)=3T(v_1)
である。
6.2解説
線型写像は線型結合の関係を保存する。したがって、入力側で従属している関係は、出力側でも同じ係数の関係として残る。ただし、逆に出力側で従属しているからといって、入力側で同じ関係があったとは限らない。
6Problem 5
Let T:V\to W be linear and suppose v_2=3v_1. State the relation between T(v_2) and T(v_1).
6.1Answer example
By homogeneity,
T(v_2)=T(3v_1)=3T(v_1).
6.2Explanation
A linear map preserves linear-combination relations. Therefore, if the input side has a dependent relation, the output side keeps the same coefficients in the corresponding relation. The converse need not hold: even if the output vectors are dependent, the same relation need not have existed on the input side, because the map may collapse directions.
7問題 6
T:\mathbb C\to\mathbb C を
T(z)=\overline z
で定義する。\mathbb C を \mathbb R 上のベクトル空間と見ると T が実線型であり、\mathbb C 上のベクトル空間と見ると複素線型ではないことを示せ。
7.1解答例
z,w\in\mathbb C について
T(z+w)=\overline{z+w}=\overline z+\overline w=T(z)+T(w)
である。また、a\in\mathbb R なら
T(az)=\overline{az}=a\overline z=aT(z)
なので、T は実線型である。
一方、複素のスカラー i を使うと、
T(i\cdot 1)=\overline i=-i
だが、
iT(1)=i
である。したがって T(i\cdot1)\ne iT(1) であり、複素線型ではない。
7.2解説
この問題は、線型性が「どの体をスカラーとして使うか」に依存することを確認している。同じ写像でも、実数のスカラーだけを許す場合と、複素数のスカラーを許す場合で同次性の意味が変わる。
7Problem 6
Define T:\mathbb C\to\mathbb C by T(z)=\overline z. Show that T is real-linear when \mathbb C is a vector space over \mathbb R, but not complex-linear over \mathbb C.
7.1Answer example
For z,w\in\mathbb C,
T(z+w)=\overline{z+w}=\overline z+\overline w=T(z)+T(w).
If a\in\mathbb R, then
T(az)=\overline{az}=a\overline z=aT(z),
so T is real-linear. But for the complex scalar i,
T(i\cdot1)=\overline i=-i,
while
iT(1)=i.
Thus T(i\cdot1)\ne iT(1), so T is not complex-linear.
7.2Explanation
Linearity depends on which field supplies the scalars. The same map may be linear over \mathbb R but not over \mathbb C.
9証明演習：核と像が部分空間であること
9.1問題
T:V\to W を線型写像とする。\ker T が V の部分空間であり、\operatorname{Im}T が W の部分空間であることを証明せよ。
9.2解答
u,v\in\ker T、a,b をスカラーとする。線型性より
T(au+bv)=aT(u)+bT(v)=0
である。よって au+bv\in\ker T である。
y_1,y_2\in\operatorname{Im}T なら、ある v_1,v_2 について y_1=T(v_1)、y_2=T(v_2) と書ける。このとき
ay_1+by_2=T(av_1+bv_2)
なので、ay_1+by_2\in\operatorname{Im}T である。
9.3解説
核は 0 に潰れる方向、像は到達できる範囲である。どちらも線型結合で閉じることが本質である。
9Proof exercise: the kernel and image are subspaces
9.1Problem
Let T:V\to W be a linear map. Prove that \ker T is a subspace of V and \operatorname{Im}T is a subspace of W.
9.2Answer
If u,v\in\ker T and a,b are scalars, then by linearity
T(au+bv)=aT(u)+bT(v)=0.
Thus au+bv\in\ker T.
If y_1,y_2\in\operatorname{Im}T, write y_1=T(v_1) and y_2=T(v_2). Then
ay_1+by_2=T(av_1+bv_2),
so ay_1+by_2\in\operatorname{Im}T.
9.3Explanation
The kernel is the set of directions collapsed to 0, and the image is the reachable range. Both are closed under linear combinations.