線型写像せんけいしゃぞうlinear mapと行列ぎょうれつmatrix

Linear maps線型写像せんけいしゃぞう and matrices行列ぎょうれつ

1導入どうにゅう

線型代数せんけいだいすうlinear algebraで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、行列ぎょうれつmatrixを数表すうひょうとしてではなく、「ベクトルvectorをどう移うつすか」を表あらわした座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationとして理解りかいすることである。

行列ぎょうれつmatrixの計算けいさんcalculationだけを追跡ついせきすると、掛かけ算ざんや成分せいぶんcomponent計算けいさんcalculationの規則きそくruleだけが残存ざんそんする。しかし本体ほんたいは、空間くうかんspaceの中なかでベクトルvectorをどう変換へんかんtransformationするかという作用さようactionである。この講義こうぎでは、基底きていbasisの像ぞうimageから行列ぎょうれつmatrixが決定けっていされることと、列れつベクトルcolumn vectorが何なにを表あらわしているかを接続せつぞくする。

1Introduction

In linear algebra線型代数せんけいだいすう, the most important point is to understand a matrix行列ぎょうれつ not merely as a table of numbers, but as a coordinate representation座標表示ざひょうひょうじ of how a map moves vectors.

If one follows only matrix calculations, the rules of multiplication and component calculation remain, but the main object is the action作用さよう on a space空間くうかん. This lecture connects two facts: a linear map線型写像せんけいしゃぞう is determined by the images of a basis基底きてい, and each column of a matrix records those images in coordinates.

2用語ようごと定義ていぎ

線型写像せんけいしゃぞうlinear map とは、ベクトルvectorの加法かほうadditionとスカラー倍ばいscalar multiplicationを保たもつ写像しゃぞうmapである。正確せいかくには、すべてのベクトルvector $u,v$u,v とすべてのスカラーscalar $c$c について

を満みたす写像しゃぞうmapである。

前半ぜんはんの

を加法性かほうせいadditivity という。これは「先さきに足たしてから写うつしても、先さきに写うつしてから足たしても同おなじ」という条件じょうけんconditionである。幾何的きかてきgeometricには、ベクトルvectorの平行四辺形へいこうしへんけいparallelogramの合成ごうせいcompositionのしかたを壊こわさない、という意味いみになる。

後半こうはんの

を同次性どうじせいhomogeneity という。これは「先さきに $c$c 倍ばいしてから写うつしても、写うつしてから $c$c 倍ばいしても同おなじ」という条件じょうけんconditionである。幾何的きかてきgeometricには、原点げんてんoriginを通とおる直線ちょくせんlineの上うえでの倍率ばいりつscale factorの関係かんけいrelationを保たもつ、という意味いみになる。

線型性せんけいせいlinearityとは、この加法性かほうせいadditivityと同次性どうじせいhomogeneityを同時どうじに満みたす性質せいしつpropertyである。どちらか片方かたほうだけでは十分じゅうぶんではない。線型写像せんけいしゃぞうlinear mapでは、より一般いっぱんに

が成立せいりつする。つまり、線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくってから写うつすことと、各かくベクトルvectorを写うつしてから同おなじ係数けいすうcoefficientで線型結合せんけいけつごうlinear combinationすることが一致いっちする。

この性質せいしつpropertyがあるから、基底きていベクトルbasis vectorの行ゆき先さきだけで写像しゃぞうmap全体ぜんたいが決きまる。逆ぎゃくにいうと、線型性せんけいせいlinearityがなければ、基底きていbasisの像ぞうimageを知しっても、それらの和わsumやスカラー倍ばいscalar multiplicationがどこへ行いくかを復元ふくげんできない。

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが保存ほぞんするのは、和わsum、スカラー倍ばいscalar multiplication、線型結合せんけいけつごうlinear combination、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceとしての構造こうぞうstructureである。ただし、すべてをそのまま保たもつわけではない。異ことなるベクトルvectorが同おなじベクトルvectorへ潰つぶれることはあり、長ながさlength・角度かくどangle・面積めんせきarea・体積たいせきvolumeも一般いっぱんには変化へんかする。したがって、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは「空間くうかんspaceの加法かほうadditionと倍率ばいりつscale factorの骨組ほねぐみを保たもつ変換へんかんtransformation」だと理解りかいするとよい。

行列ぎょうれつmatrix は、ある基底きていbasisを選択せんたくしたときの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの表現ひょうげんrepresentationである。

座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate map とは、基底きていbasis $$B$$B に関かんしてベクトルvector $$v$$v を座標ざひょうベクトルcoordinate vector $$[v{]}_B$$[v]_B へ対応たいおうさせる写像しゃぞうmapである。

表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix とは、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to W$$T:V\to W を、定義域ていぎいきdomainの基底きていbasis $$B$$B と終域しゅういきcodomainの基底きていbasis $$C$$C に関かんする座標ざひょうcoordinateで記述きじゅつした行列ぎょうれつmatrixである。

2Terms and definitions

A linear map線型写像せんけいしゃぞう is a map写像しゃぞう that preserves vector addition加法かほう and scalar multiplicationスカラー倍ばい. Precisely, for all vectors $u,v$u,v and all scalars $c$c,

must hold.

The first condition,

is called additivity加法性かほうせい. It says that adding first and then mapping gives the same result as mapping first and then adding. Geometrically, the parallelogram rule for vector addition is not broken.

The second condition,

is called homogeneity同次性どうじせい. It says that scaling first and then mapping gives the same result as mapping first and then scaling. Geometrically, scale relationships along lines through the origin are preserved.

Linearity線型性せんけいせい means satisfying additivity and homogeneity at the same time. One condition alone is not enough. More generally, a linear map線型写像せんけいしゃぞう satisfies

Thus forming a linear combination線型結合せんけいけつごう before applying the map is the same as applying the map to each vector and then taking the same linear combination.

This property is why the images of the basis vectors determine the whole map. Without linearity線型性せんけいせい, knowing the images of the basis vectors would not determine where their sums or scalar multiples go.

A linear map線型写像せんけいしゃぞう preserves sums, scalar multiples, linear combinations, and the structure of subspaces部分空間ぶぶんくうかん. It does not necessarily preserve everything: different vectors may collapse to the same vector, and lengths, angles, areas, and volumes may change. A useful interpretation is that a linear map preserves the additive and scaling skeleton of a vector space.

A matrix行列ぎょうれつ is a representation表現ひょうげん of a linear map after bases have been chosen.

A coordinate map座標写像ざひょうしゃぞう sends a vector $v$v to its coordinate vector座標ざひょうベクトル $[v{]}_B$[v]_B with respect to a basis $B$B.

A representation matrix表現行列ひょうげんぎょうれつ of a linear map線型写像せんけいしゃぞう $T:V\to W$T:V\to W is the matrix that describes $T$T in coordinates with respect to a basis $B$B of the domain and a basis $C$C of the codomain.

3方針ほうしん

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを理解りかいするときは、まず基底きていベクトルbasis vectorがどう移うつるかを確認かくにんする。あとは線型性せんけいせいlinearityにより全体ぜんたいが決定けっていされる。

3Strategy

To understand a linear map線型写像せんけいしゃぞう, first check where each basis vector goes. Then linearity線型性せんけいせい determines the entire map.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4.11. 写像しゃぞうmapとしての解釈かいしゃく

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、原点げんてんoriginを原点げんてんoriginへ保たもち、和わsumとスカラー倍ばいscalar multiplicationを保たもつ変換へんかんtransformationである。原点げんてんoriginを通とおる直線ちょくせんlineは直線ちょくせんlineまたは 1 点てんpointへ移うつる。拡大かくだいexpansion、縮小しゅくしょうcontraction、回転かいてんrotation、せん断だんshearは、どれも線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの典型例てんけいれいである。

この定義ていぎdefinitionを採とる理由りゆうは、ベクトルvectorの和わsumと定数倍ていすうばいscalar multipleという空間くうかんspaceの基本操作きほんそうさbasic operationを壊こわさない変換へんかんtransformationだけを抽出ちゅうしゅつするためである。これにより、基底きていbasisの像ぞうimageから全体ぜんたいを復元ふくげんできる。

4.22. 列れつベクトルcolumn vectorの意味いみ

行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnをただの数字すうじの並ならびとして処理しょりすると、その意味いみが不明瞭ふめいりょうになる。一般いっぱんの基底きていbasisでは、各列かくれつeach columnは「基底きていベクトルbasis vector 1 本ほんの像ぞうimageそのもの」ではなく、終域しゅういきcodomainの基底きていbasisに関かんする座標ざひょうcoordinateである。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisの場合ばあいだけ、列れつcolumnが像ぞうimageそのものとして解釈かいしゃくできる。

4.33. 計算けいさんcalculationとのつながり

座標ざひょうベクトルcoordinate vectorに行列ぎょうれつmatrixを掛かけるときは、入力にゅうりょくベクトルinput vectorの係数けいすうcoefficientを用もちいて、基底きていbasisの像ぞうimageを線型結合せんけいけつごうlinear combinationしている。つまり、行列積ぎょうれつせきmatrix productは謎なぞの規則きそくruleではなく、「基底きていbasisの像ぞうimageを組くみ合あわせて出力しゅつりょくoutputを構成こうせいする」操作そうさoperationそのものである。

4Intuitive explanation

4.11. Interpretation as a map

A linear map線型写像せんけいしゃぞう is a transformation that sends the origin原点げんてん to the origin and preserves sums and scalar multiples. A line through the origin is sent to a line through the origin or collapses to a point. Expansions, contractions, rotations, and shears are typical examples of linear maps.

The reason for this definition is that it extracts transformations that do not break the basic operations of vector spaces: vector addition and scalar multiplication. This is what makes the whole map recoverable from the images of a basis.

4.22. Meaning of column vectors

If the columns of a matrix行列ぎょうれつ are treated as mere lists of numbers, their meaning is hidden. In a general basis, each column is not necessarily the image vector itself; it is the coordinate vector of the image of one basis vector in the codomain basis. Only for the standard basis標準基底ひょうじゅんきてい can the column be read directly as the image vector itself.

4.33. Connection with calculation

When a matrix is multiplied by a coordinate vector, the coefficients of the input vector are used to take a linear combination線型結合せんけいけつごう of the images of the basis vectors. Matrix multiplication is therefore not a mysterious rule. It is the operation of constructing the output by combining the images of the basis vectors.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 基底きていbasisの像ぞうimageで写像しゃぞうmapが決きまる

基底きていbasis $$e_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},e_n$$e_1,\dots,e_n を採用さいようすると、任意にんいのベクトルvector $$v$$v は

と表示ひょうじできる。すると線型性せんけいせいlinearityにより

である。したがって $$T\left(e_i\right)$$T(e_i) が判明はんめいすれば $$T$$T は完全かんぜんに決定けっていされる。

ここで直感的ちょっかんてきな説明せつめいで示しめした「列れつcolumnが基底きていbasisの像ぞうimageを表あらわす」という主張しゅちょうが、ちょうどこの式しきequationに対応たいおうする。

5.22. 行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnは何なにか

まず標準基底ひょうじゅんきていstandard basisで考察こうさつする。この $$T\left(e_i\right)$$T(e_i) を列れつcolumnとして並ならべたものが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの行列ぎょうれつmatrixである。つまり

と解釈かいしゃくできる、ということである。

すると入力にゅうりょくベクトルinput vector $$x=(x_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},x_n{)}^T$$x=(x_1,\dots,x_n)^T に対たいして

となり、行列積ぎょうれつせきmatrix productが列れつベクトルcolumn vectorの線型結合せんけいけつごうlinear combinationになっていることを確認かくにんできる。

つまり行列積ぎょうれつせきmatrix productの定義ていぎdefinitionも、「基底きていbasisの像ぞうimageを入力にゅうりょくinputの係数けいすうcoefficientで組くみ合あわせる」と解釈かいしゃくできるように設定せっていされている、ということである。ここが「なぜこの掛かけ算ざんなのか」への回答かいとうである。

この解釈かいしゃくを確認かくにんすると、行列積ぎょうれつせきmatrix product $$AB$$AB も「まず $$B$$B を適用てきようapplicationし、その結果けっかに $$A$$A を適用てきようapplicationする」という合成写像ごうせいしゃぞうcomposite mapの表現ひょうげんrepresentationだと理解りかいできる。つまり行列積ぎょうれつせきmatrix productの順序じゅんじょorderが重要じゅうようなのは、写像しゃぞうmapの合成ごうせいcompositionの順序じゅんじょorderが重要じゅうようであるためである。

5.33. 座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate mapと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix

定義域ていぎいきdomain $$V$$V の順序付じゅんじょづき基底きていordered basisを

終域しゅういきcodomain $$W$$W の順序付じゅんじょづき基底きていordered basisを

とする。基底きていbasis $$B$$B を選択せんたくすると、座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate map

が定義ていぎされる。同様どうように $$C$$C から

が定義ていぎされる。ここで $$F$$F は実数体じっすうたいreal fieldまたは複素数体ふくそすうたいcomplex fieldである。

このとき線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to W$$T:V\to W の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} は、

を任意にんいの $$x\in V$$x\in V について満みたす唯一ゆいいつの $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとして定義ていぎされる。矢印やじるし $$C\leftarrow B$$C\leftarrow B は、$$B$$B の座標ざひょうcoordinateから $$C$$C の座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationすることを表あらわす。

各かく $$j$$j について

と表示ひょうじしたとき、係数けいすうcoefficient $$a_{ij}$$a_{ij} を並ならべた

が $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} である。このとき $$A$$A の第だい $$j$$j 列れつcolumnは、$$T\left(v_j\right)$$T(v_j) そのものではない。正確せいかくには

である。したがって、行列ぎょうれつmatrixは線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものではなく、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを選択せんたくした後あとに得えられる座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationである。

5.44. 合成ごうせいcompositionと行列積ぎょうれつせきmatrix product

線型写像せんけいしゃぞうlinear map

を考察こうさつする。$$V,W,Z$$V,W,Z の基底きていbasisをそれぞれ $$B,C,D$$B,C,D とすると、合成写像ごうせいしゃぞうcomposite map $$S\circ T:V\to Z$$S\circ T:V\to Z の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

である。順序じゅんじょorderは右みぎから左ひだりへ作用さようactionする。すなわち、まず $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} が $$B$$B 座標ざひょうcoordinateを $$C$$C 座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationし、つぎに $$[S{]}_{D\leftarrow C}$$[S]_{D\leftarrow C} が $$C$$C 座標ざひょうcoordinateを $$D$$D 座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationする。

したがって行列積ぎょうれつせきmatrix productの順序じゅんじょorderが逆向ぎゃくむきに感かんじられる理由りゆうは、関数合成かんすうごうせいfunction compositionの記法きほうnotationで「先さきに適用てきようapplicationする写像しゃぞうmap」を右側みぎがわに置おくためである。行列積ぎょうれつせきmatrix productは単たんなる成分計算せいぶんけいさんcomponent calculationではなく、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationされた写像しゃぞうmapの合成ごうせいcompositionである。

5.55. 標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでの具体例ぐたいれい

たとえば $$R^2$$\mathbb R^2 で

なら、行列ぎょうれつmatrixは

である。したがって

となる。この具体例ぐたいれいで確認かくにんできるのは、行列ぎょうれつmatrixの各列かくれつeach columnが写像しゃぞうmapの作用さようactionを直接ちょくせつ保持ほじしている、ということである。

5.66. 非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisでの具体例ぐたいれい

同一どういつsameの写像しゃぞうmapであっても、基底きていbasisを変更へんこうchangeすると表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは変化へんかchangeする。$$R^2$$\mathbb R^2 の線型写像せんけいしゃぞうlinear map

を考察こうさつする。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは

である。

つぎに非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basis

を採用さいようする。このとき

であり、

である。したがって $$B$$B に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

となる。

具体ぐたいconcreteなベクトルvector $$x=(3,1{)}^T$$x=(3,1)^T で確認かくにんする。これは

である。したがって

である。この座標ざひょうは

を表あらわす。一方いっぽう、写像しゃぞうmapを直接ちょくせつ適用てきようapplicationしても

を得える。したがって変化へんかchangeしたのは写像しゃぞうmapではなく、座標系ざひょうけいcoordinate systemと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixである。

5.77. 基底きていbasisを変かえると表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixはどう変かわるか

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、この小節しょうせつは後続こうぞくの基底変換きていへんかんchange of basis・相似そうじsimilarity・固有値こゆうちeigenvalueへの先取さきどりである。ここでの $$P^{-1}$$P^{-1} は $$P^{-1}P=P{P}^{-1}=I$$P^{-1}P=PP^{-1}=I を満みたす逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrix、相似そうじsimilarityは $$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P で結むすばれる関係かんけいを意味いみする。固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが相似そうじsimilarityで保存ほぞんされる証明しょうめいは、後続こうぞくの講義こうぎで行おこなう。

同おなじ空間くうかんspace $$V$$V の旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisを考察こうさつする。座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrix $$P$$P が

を満みたすとする。$$T:V\to V$$T:V\to V の旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $$A_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$$A_{\mathrm{old}} とすれば、

である。これを新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationすると

となる。したがって

である。定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえる場合ばあいは、定義域側ていぎいきがわdomain sideの変換へんかんtransformationを $$P$$P、終域側しゅういきがわcodomain sideの変換へんかんtransformationを $$Q$$Q として

となる。この式しきformulaが、対角化たいかくかdiagonalizationで現あらわれる $$P^{-1}AP$$P^{-1}AP の基礎きそbasisである。

同おなじ空間くうかんspaceの基底きていbasisだけを変更へんこうchangeする場合ばあい、$$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P の関係かんけいrelationにある 2 つの行列ぎょうれつmatrixを相似そうじsimilarityであるという。相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは同一どういつsameの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを異ことなる基底きていbasisで表示ひょうじしたものであり、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを共有きょうゆうする。

5Precise explanation

5.11. Images of a basis determine the map

Choose a basis基底きてい $e_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},e_n$e_1,\dots,e_n. Every vector $v$v can be written as

By linearity線型性せんけいせい,

Therefore, once $T\left(e_i\right)$T(e_i) is known for every basis vector, $T$T is completely determined. This is the precise form of the statement that the columns of a matrix record the images of basis vectors.

5.22. What the columns of a matrix are

First consider the standard basis標準基底ひょうじゅんきてい. The matrix of a linear map is obtained by arranging the vectors $T\left(e_i\right)$T(e_i) as columns:

For an input vector $x=(x_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},x_n{)}^T$x=(x_1,\dots,x_n)^T,

So matrix-vector multiplication is a column-wise linear combination.

5.33. Coordinate maps and representation matrices

Let the ordered basis of the domain $V$V be

and let the ordered basis of the codomain $W$W be

The coordinate maps are

The representation matrix表現行列ひょうげんぎょうれつ is the matrix $[T{]}_{C\leftarrow B}$[T]_{C\leftarrow B} satisfying

If

then the coefficients $a_{ij}$a_{ij} form the matrix

Equivalently, the $j$j-th column is

5.44. Composition and matrix products

For linear maps

with compatible bases $B,C,D$B,C,D,

Thus a matrix product represents composition of maps. In $ABx$ABx, the matrix $B$B acts first and $A$A acts second.

5.55. Concrete example with the standard basis

Suppose

Then the matrix is

For an input vector $(x,y{)}^T$(x,y)^T,

This example shows directly that each column stores the action of the map on one basis vector.

5.66. Concrete example with a nonstandard basis

The same map can have a different representation matrix when the basis is changed. Consider the linear map on $R^2$\mathbb R^2

In the standard basis,

Now use the nonstandard basis非標準基底ひひょうじゅんきてい

Then

and

Therefore the representation matrix with respect to $B$B is

Check this with the concrete vector $x=(3,1{)}^T$x=(3,1)^T. In the basis $B$B,

Then

This coordinate vector represents

Directly applying the map also gives

The map did not change; the coordinate system and the representation matrix changed.

5.77. How a representation matrix changes with a basis

Order note: this subsection previews later lectures on change of basis基底変換きていへんかん, similarity相似そうじ, and eigenvalues固有値こゆうち. Here $$P^{-1}$$P^{-1} means the inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ satisfying $$P^{-1}P=P{P}^{-1}=I$$P^{-1}P=PP^{-1}=I, and similarity相似そうじ means the relation $$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P. The proofs that eigenvalues, characteristic polynomials, and minimal polynomials are preserved by similarity are deferred to later lectures.

For the same vector space, suppose the old and new coordinates are related by the change-of-coordinates matrix座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつ $P$P:

If

then converting the output back to new coordinates gives

Therefore

If the bases in the domain and codomain are changed separately, using $P$P on the domain side and $Q$Q on the codomain side gives

When only the basis of the same space is changed, matrices related by $A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P are called similar相似そうじ. Similar matrices represent the same linear map線型写像せんけいしゃぞう in different bases and share invariants such as eigenvalues, characteristic polynomial, and minimal polynomial.

6後続こうぞく概念がいねんへの橋渡はしわたし

この節せつでは、後あとで正式せいしきに扱あつかう列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation、階数かいすうrank、行列式ぎょうれつしきdeterminantが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの立場たちばで何なにを測はかるかを先さきに整理せいりする。ここで使つかう階数かいすうrankと行列式ぎょうれつしきdeterminantは後続こうぞくで定義ていぎを詳述しょうじゅつするが、読よみ方かたはこの時点じてんで固定こていしておく。

6.11. 列空間れつくうかんcolumn spaceは像ぞうimageである

$A=[a_1\cdots a_n]$A=[a_1\ \cdots\ a_n] を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとし、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T_A:K^n\to K^m$T_A:K^n\to K^m を $T_A\left(x\right)=Ax$T_A(x)=Ax で定義ていぎする。このとき

である。

証明しょうめいする。$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x_1,\ldots,x_n)^T と書かくと、

である。したがって $Ax$Ax として現あらわれる出力しゅつりょくoutputは、$A$A の列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。逆ぎゃくに、列れつcolumnの任意にんいの線型結合せんけいけつごうlinear combination $x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n$x_1a_1+\cdots+x_na_n は、$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x_1,\ldots,x_n)^T を入力にゅうりょくすれば $Ax$Ax として得えられる。よって像ぞうimageと列空間れつくうかんcolumn spaceは一致いっちする。

この証明しょうめいにより、階数かいすうrankが「列れつcolumnの独立どくりつな本数ほんすう」であり、同時どうじに「線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの次元じげんdimension」である理由りゆうが見みえる。

6.22. 列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは入力側にゅうりょくがわの可逆かぎゃくinvertibleな変更へんこうである

$F$F を可逆かぎゃくinvertibleな $n\times n$n\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。$AF$AF が表あらわす線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、$A$A の写像しゃぞうの前まえに $F$F の写像しゃぞうを適用てきようしたものである。

であるから、$AF$AF は $T_A\circ T_F$T_A\circ T_F を表あらわす。特とくに $F$F が列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationに対応たいおうする基本行列きほんぎょうれつelementary matrixなら、$A\mapsto AF$A\mapsto AF は列れつcolumnの表示ひょうじを変かえる操作そうさであり、入力にゅうりょくの座標ざひょうcoordinateを $x=Fy$x=Fy と置おき直なおすことに対応たいおうする。

この見方みかたから、像ぞうimageが保存ほぞんされることも直ただちに分わかる。$F$F が可逆かぎゃくinvertibleなら $T_F\left(K^n\right)=K^n$T_F(K^n)=K^n なので、

である。よって

となり、階数かいすうrankも保存ほぞんされる。

6.33. 行列式ぎょうれつしきdeterminantは正方せいほうの場合ばあいの体積倍率たいせきばいりつvolume scale factorである

行列式ぎょうれつしきdeterminantは後続こうぞくで定義ていぎするが、役割やくわりだけを先さきに述のべると、$n\times n$n\times n 行列ぎょうれつmatrixが表あらわす線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの向むき付づき体積たいせきoriented volumeの倍率ばいりつscale factorである。階数かいすうrankが $n$n より小ちいさいと、$n$n 次元じげんの体積たいせきvolumeは低次元ていじげんへ潰つぶれるため、行列式ぎょうれつしきdeterminantは 0 になる。逆ぎゃくに、行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 でなければ体積たいせきが潰つぶれていないので、階数かいすうrankは $n$n であり、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは可逆かぎゃくinvertibleである。

この関係かんけいは後続こうぞくで

として証明しょうめいする。

6Bridge to later concepts

This section previews how elementary column operations, rank, and determinants are read from the linear-map viewpoint. Rank and determinants are defined in detail later, but the structural interpretation starts here.

6.11. The column space is the image

Let $A=[a_1\cdots a_n]$A=[a_1\ \cdots\ a_n] and define $T_A:K^n\to K^m$T_A:K^n\to K^m by $T_A\left(x\right)=Ax$T_A(x)=Ax. Then

Indeed, for $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x_1,\ldots,x_n)^T,

Thus every output is a linear combination of the columns, and every linear combination of the columns is obtained as $Ax$Ax for a suitable $x$x.

6.22. Column operations are invertible input-side changes

If $F$F is invertible, then $AF$AF represents the composite map $T_A\circ T_F$T_A\circ T_F, because

Since $F$F maps $K^n$K^n onto $K^n$K^n,

Therefore

so rank is preserved.

6.33. The determinant is the square case volume scale factor

For a square matrix, the determinant, introduced later, measures oriented volume scaling. If rank is less than $n$n, $n$n-dimensional volume collapses and the determinant is zero. Later this becomes the theorem

7別べつの観点かんてん

7.1幾何的きかてきな観点かんてん

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、平面へいめんplaneや空間くうかんspaceを伸長しんちょうstretching、縮小しゅくしょうcontraction、回転かいてんrotation、せん断だんshearする変換へんかんtransformationである。この観点かんてんでは、像ぞうimageは「どこへ送おくられるか」、核かくkernelは「どの方向ほうこうdirectionがつぶれるか」を表あらわす。

たとえば行列ぎょうれつmatrix $$A$$A に対たいして $$Ax=0$$Ax=0 を解とくのは、写像しゃぞうmapで原点げんてんoriginへつぶれる方向ほうこうdirectionを検出けんしゅつすることである。したがって掃はき出だし法ほうGaussian eliminationで核かくkernelを確認かくにんする計算けいさんcalculationは、幾何的きかてきgeometricには「どの自由度じゆうどdegree of freedomが消きえるか」を判定はんていする操作そうさoperationとなる。

7.2代数的だいすうてきな観点かんてん

座標計算ざひょうけいさんcoordinate calculationの立場たちばでは、行列ぎょうれつmatrixは成分せいぶんcomponentの表ひょうである。入力にゅうりょくinputの係数けいすうcoefficientをどう組くみ替かえるかを追跡ついせきすれば、写像しゃぞうmapの作用さようactionを数式すうしきformulaとして確認かくにんできる。

7.3構造的こうぞうてきな観点かんてん

写像しゃぞうmapの立場たちばでは、行列ぎょうれつmatrixは空間くうかんspaceをどう変換へんかんtransformationするかそのものである。この 2 つを結合けつごうするのが、基底きていbasisの像ぞうimageという観点かんてんである。つまり行列ぎょうれつmatrixは本体ほんたいではなく、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapをある基底きていbasisで表示ひょうじしたものだと考察こうさつするのが大学数学だいがくすうがくuniversity mathematicsでの自然しぜんな立場たちばである。

7Other viewpoints

7.1Geometric viewpoint

A linear map線型写像せんけいしゃぞう stretches, contracts, rotates, or shears a plane or space while preserving the linear structure. From this viewpoint, the image像ぞう records where vectors can be sent, and the kernel核かく records which directions collapse to zero.

Solving $Ax=0$Ax=0 for a matrix $A$A detects directions that the map sends to the origin. Geometrically, Gaussian elimination for finding the kernel checks which degrees of freedom disappear.

7.2Algebraic viewpoint

From the perspective of coordinate calculation, a matrix is a table of components. By tracking how the input coefficients are recombined, one can read the action of the map as a formula.

7.3Structural viewpoint

From the perspective of maps, a matrix represents how a space is transformed. The bridge between the computational and structural viewpoints is the image of a basis. In university mathematics, it is natural to regard the matrix not as the map itself, but as the expression of a linear map線型写像せんけいしゃぞう after a basis has been chosen.

8どこまで成立せいりつするか

行列ぎょうれつmatrixは基底きていbasisに依存いぞんdependするが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものは基底きていbasisに依存いぞんdependしない。

基底きていbasisを変更へんこうchangeすると同おなじ写像しゃぞうmapであっても別べつの行列ぎょうれつmatrixになる。したがって、行列ぎょうれつmatrixだけを確認かくにんして「これが変換へんかんtransformationそのものだ」と誤認ごにんすると、基底きていbasis依存いぞんdependenceの部分ぶぶんを看過かんかする。