ジョルダン標準形ひょうじゅんけいの入口いりぐち

Introduction to Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化たいかくかdiagonalizationできない行列ぎょうれつmatrixを完全かんぜんに諦あきらめるのではなく、対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixに近ちかい形かたちまで整理せいりする方法ほうほうであるということである。

対角化たいかくかdiagonalizationは、固有ベクトルeigenvectorだけで基底きていbasisを構成こうせいできる場合ばあいの理想形りそうけいである。しかし、固有ベクトルeigenvectorが不足ふそくする行列ぎょうれつmatrixも存在そんざいする。その場合ばあい、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうすると、行列ぎょうれつmatrixはジョルダンブロックの直和ちょくわとして表示ひょうじできる。

1Introduction

The key point of this lecture is that Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい does not give up on matrices that cannot be diagonalized. Instead, it organizes them into a form as close to diagonal as possible.

Diagonalization対角化たいかくか is the ideal case in which eigenvectors固有こゆうベクトル alone form a basis基底きてい. When there are not enough eigenvectors固有こゆうベクトル, generalized eigenvectors一般化いっぱんか固有こゆうベクトル complete the missing directions, and the matrix becomes a direct sum of Jordan blocks.

2用語ようごと定義ていぎ

一般化いっぱんか固有こゆうベクトルGeneralized eigenvector とは、固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいして、ある正整数せいせいすう $$k$$k で

を満みたす $$v\ne 0$$v\ne0 のことである。

ジョルダンブロックJordan block とは、

で定義ていぎされる $$k\times k$$k\times k 行列ぎょうれつmatrixである。これは

と表あらわせる。ここで $$N$$N は上隣うえどなりの成分せいぶんcomponentだけが 1 の冪零行列べきれいぎょうれつである。

2Terms and definitions

A generalized eigenvector一般化いっぱんか固有こゆうベクトル for an eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda is a nonzero vector $v$v such that

for some positive integer $k$k.

A Jordan blockジョルダンブロック is

It can be written as

where $N$N is nilpotent and has ones just above the diagonal.

3方針ほうしん

方針ほうしんは、固有値こゆうちeigenvalueごとに対角成分たいかくせいぶん $$\lambda I$$\lambda I と、対角化たいかくかdiagonalizationを妨さまたげる冪零成分べきれいせいぶん $$N$$N を分離ぶんりすることである。

3Plan

For each eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda, separate the diagonal part $\lambda I$\lambda I from the nilpotent part $N$N that prevents diagonalization.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixでは、各基底かくきていベクトルが自分自身じぶんじしんの方向ほうこうに伸縮しんしゅくするだけである。ジョルダンブロックでは、それに加くわえて隣となりの方向ほうこうへ少量しょうりょうの混合こんごうが残のこる。

この混合こんごうが冪零成分べきれいせいぶんである。何度なんどか作用さようさせると消滅しょうめつするため、完全かんぜんな対角化たいかくかdiagonalizationではないが、構造こうぞうstructureは明確めいかくに記述きじゅつできる。

4Intuitive explanation

In a diagonal matrix, each basis基底きてい vector is only scaled in its own direction. In a Jordan blockジョルダンブロック, a small coupling to the neighboring direction remains. This coupling is nilpotent: after applying it enough times, it disappears.

Therefore a Jordan blockジョルダンブロック is not fully diagonal, but its structure is still explicit: eigenvalue固有値こゆうち plus nilpotent drift along a chain.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 標準形ひょうじゅんけい

複素数体ふくそすうたいのような代数的閉体だいすうてきへいたいの上うえでは、任意にんいの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A は、ある正則行列せいそくぎょうれつ $$P$$P によって

と表示ひょうじできる。ここで $$J$$J はジョルダンブロックを対角方向たいかくほうこうに並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、ブロックの順序じゅんじょを除のぞいて一意いちいである。したがって「どの固有値こゆうちeigenvalueに、どの大おおきさのブロックがいくつ存在そんざいするか」は、基底きていbasisの選択せんたくに依存いぞんしない不変量ふへんりょうである。

5.22. 対角化たいかくかdiagonalizationとの関係かんけい

ジョルダンブロックの大おおきさがすべて 1 なら、ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。したがって

である。

5.33. 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとの関係かんけい

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを $$s_{\lambda }$$s_\lambda とすると、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialには

が因子いんしとして表あらわれる。したがって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの指数しすうは、対角化たいかくかdiagonalizationからの逸脱いつだつを測定そくていする。

5.44. ジョルダン鎖さ

ジョルダンブロックを構成こうせいする基底きていbasisは、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorの列れつcolumnとして考察こうさつできる。固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいして

を満みたす列れつcolumnをジョルダン鎖さという。$$v_1$$v_1 は固有ベクトルeigenvectorであり、$$v_2,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},v_k$$v_2,\dots,v_k は一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorである。この鎖くさりを基底きていbasisとして採用さいようすると、行列ぎょうれつmatrixの表示ひょうじにジョルダンブロックが現あらわれる。

5.55. 一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんとブロックサイズ

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいする一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんgeneralized eigenspaceは

である。ここで $$N$$N は十分じゅうぶんに大おおきい整数せいすうで、有限次元ゆうげんじげんでは $$N=n$$N=n としてよい。この空間くうかんは $$\lambda$$\lambda に対応たいおうするすべてのジョルダンブロックを集あつめる。

は $$\lambda$$\lambda のジョルダンブロックの個数こすうであり、

の増ふえ方かたはジョルダン鎖さの成長せいちょうを記録きろくして、ブロックサイズを決きめる。

5Precise explanation

5.11. Standard form

Over an algebraically closed field such as $\mathbb{C}$\mathbb C, every square matrix正方行列せいほうぎょうれつ $A$A has a Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい: there exists an invertible可逆かぎゃく matrix $P$P such that

where $J$J is a block diagonal matrix whose blocks are Jordan blocks.

More explicitly,

The form is unique up to reordering of the blocks.

5.22. Relation with diagonalization

If every Jordan blockジョルダンブロック has size $1$1, then the Jordan form is diagonal. Thus

5.33. Relation with the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき

If $s_{\lambda }$s_\lambda is the largest Jordan blockジョルダンブロック size for eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda, then the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき contains the factor

Thus the exponent in the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき measures the obstruction to diagonalization.

5.44. Jordan chains

A Jordan blockジョルダンブロック corresponds to a chain of generalized eigenvectors一般化いっぱんか固有こゆうベクトル:

Here $v_1$v_1 is an eigenvector固有こゆうベクトル, and $v_2,\dots ,v_k$v_2,\ldots,v_k are generalized eigenvectors一般化いっぱんか固有こゆうベクトル. Using such chains as a basis基底きてい produces Jordan blocks in the matrix representation.

5.55. Generalized eigenspaces and block sizes

The generalized eigenspace一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかん for $\lambda$\lambda is

for sufficiently large $N$N; in finite dimension one may take $N=n$N=n. This space collects all Jordan blocks for $\lambda$\lambda.

The dimension of

is the number of Jordan blocks for $\lambda$\lambda. The sequence of dimensions of

records how chains grow and determines the block sizes.

6具体例ぐたいていれい

は $$J_2\left(1\right)$$J_2(1) そのものである。固有値こゆうちeigenvalueは $$1$$1 だけであるが、固有空間こゆうくうかんeigenspaceは

であり、次元じげんdimensionは 1 である。したがって $$R^2$$\mathbb R^2 の基底きていbasisを固有ベクトルeigenvectorだけで構成こうせいできない。

しかし

であるため、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうすると構造こうぞうstructureを記述きじゅつできる。

この例れいでは $$v_1=e_1$$v_1=e_1、$$v_2=e_2$$v_2=e_2 とすると

である。したがって $$v_1,v_2$$v_1,v_2 は長ながさ 2 のジョルダン鎖さを構成こうせいする。$$v_2$$v_2 は固有ベクトルeigenvectorではないが、$$A-I$$A-I を 1 回かい作用さようさせると固有ベクトルeigenvectorへ移行いこうする。この構成こうせいが、不足ふそくした固有ベクトルeigenvectorを一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorで補完ほかんする仕組しくみである。

6Concrete examples

For

we have $A=J_2\left(1\right)$A=J_2(1). The only eigenvalue固有値こゆうち is $1$1, and

so there is only one eigenvector固有こゆうベクトル direction. But

With $v_1=e_1$v_1=e_1 and $v_2=e_2$v_2=e_2,

Thus $v_1,v_2$v_1,v_2 form a Jordan chain of length $2$2.

For a $3$3 by $3$3 block,

Here

Therefore

and the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is

7見分みわけ方かた：AM、GM、ブロック

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda について：

• 代数的重複度だいすうてきちょうふくどalgebraic multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの大おおきさの総和そうわである。
• 幾何的重複度きかてきちょうふくどgeometric multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうである。
• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) の指数しすうは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいブロックサイズである。

したがって AM と GM が一致いっちすることは、すべてのブロックが大おおきさ 1 であることを意味いみする。

8数値計算上すうちけいさんじょうの注意ちゅうい

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、理論上りろんじょうは強力きょうりょくである。ただし数値計算すうちけいさんでは不安定ふあんていになりやすい。そのため実際じっさいの計算けいさんでは、特異値分解とくいちぶんかいsingular value decompositionSVDやシュール分解ぶんかいが選択せんたくされることが多おおい。

7How to read AM, GM, and blocks

For an eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda:

• The algebraic multiplicity代数的重複度だいすうてきちょうふくど is the sum of the sizes of all Jordan blocks for $\lambda$\lambda.
• The geometric multiplicity幾何的重複度きかてきちょうふくど is the number of Jordan blocks for $\lambda$\lambda.
• The exponent of $(t-\lambda )$(t-\lambda) in the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is the largest block size for $\lambda$\lambda.

Thus AM equals GM exactly when all blocks for that eigenvalue固有値こゆうち have size $1$1.

8Numerical warning

Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい is extremely useful for theoretical classification, but it is numerically unstable. Small perturbations can split or merge apparent Jordan behavior. In practical computation, Schur decomposition or SVD is often preferred.

9判定基準はんていきじゅん

• 固有ベクトルeigenvectorが不足ふそくするとき、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうする。
• ジョルダンブロックの大おおきさが 1 だけなら対角化可能たいかくかかのうである。
• 最大さいだいのブロックサイズは最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの重根じゅうこんの指数しすうに対応たいおうする。
• ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、ブロックの順序じゅんじょを除のぞいて一意いちいである。

9Criteria

• When eigenvectors固有こゆうベクトル are insufficient, introduce generalized eigenvectors一般化いっぱんか固有こゆうベクトル.
• A matrix is diagonalizable exactly when all Jordan blocks have size $1$1.
• The largest block size is the exponent in the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき.
• Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい is unique up to block order.
• The result is naturally stated over a field where the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき splits.

10どこまで成立せいりつするか

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが一次因子いちじいんしに分解ぶんかいする体たいの上うえで記述きじゅつされる。実数じっすうreal numberだけでは複素固有値ふくそこゆうちが現あらわれる場合ばあいがあるため、複素数ふくそすうcomplex numberへ拡張かくちょうして考察こうさつすることが標準ひょうじゅんである。

10Scope and limitations

Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい is stated over fields where the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき splits into linear factors. Over the real numbers, complex eigenvalues固有値こゆうち may be missing, so one often extends to $\mathbb{C}$\mathbb C.

11存在定理そんざいていりの正確せいかくな形かたち

代数的閉体だいすうてきへいたい（たとえば $$\mathbb{C}$$\mathbb C）の上うえでは、任意にんいの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A はジョルダン標準形ひょうじゅんけいを持もつ。つまり、ある可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $$P$$P が存在そんざいして

と書かける。ブロックの順序じゅんじょを除のぞけば、この形かたちは一意いちいである。

この定理ていりは「対角化たいかくかできない行列ぎょうれつにも標準形ひょうじゅんけいがある」という主張しゅちょうである。ただし、実数じっすうの範囲はんいだけでは複素固有値ふくそこゆうちが不足ふそくするため、通常つうじょうは $$\mathbb{C}$$\mathbb C 上じょうで考かんがえる。

12最終形さいしゅうけい

11Precise form of the existence theorem

Over an algebraically closed field, for example $\mathbb{C}$\mathbb C, every square matrix正方行列せいほうぎょうれつ $A$A has a Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい. That is, there exists an invertible matrix可逆行列かぎゃくぎょうれつ $P$P such that

This form is unique up to the order of the blocks. The theorem says that even a non-diagonalizable matrix still has a standard form. Over the real numbers alone, complex eigenvalues固有値こゆうち may be missing, so the usual setting is $\mathbb{C}$\mathbb C.

12Final forms

13一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんとブロックサイズ

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいする一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんgeneralized eigenspaceは

である。ここで $$N$$N は十分じゅうぶんに大おおきい整数せいすうで、有限次元ゆうげんじげんでは $$N=n$$N=n としてよい。$$G_{\lambda }$$G_\lambda は、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするすべてのジョルダンブロックを集あつめた空間くうかんである。

は $$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうを表あらわす。一方いっぽう、$$\dim \ker (A-\lambda I{)}^r$$\dim\ker(A-\lambda I)^r は、長ながさ $$r$$r までのジョルダン鎖さがどれだけ蓄積ちくせきしているかを測はかる。この列れつの増ふえ方かたから、ブロックサイズを復元ふくげんできる。

14一言ひとことでいうと

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化不可能たいかくかふかのうな行列ぎょうれつmatrixを固有値こゆうちeigenvalueの部分ぶぶんと冪零成分べきれいせいぶんに分解ぶんかいして記述きじゅつする。

13Generalized eigenspaces and block sizes

The generalized eigenspace一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかん for an eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda is

where $N$N is sufficiently large; in finite dimension one may take $N=n$N=n. The space $G_{\lambda }$G_\lambda collects all Jordan blocks for $\lambda$\lambda.

The dimension

is the number of Jordan blocks for $\lambda$\lambda. The dimensions of

measure how chains of length up to $r$r accumulate, and this growth recovers the block sizes.

14In one sentence

Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい decomposes a non-diagonalizable matrix into eigenvalue固有値こゆうち parts and nilpotent parts.

15計算例けいさんれい：3 次じのジョルダンブロック

とする。このとき

である。したがって

なので最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは

である。固有値こゆうちは 2 だけだが、冪零成分べきれいせいぶんの長ながさが 3 であるため、対角化たいかくかから遠とおい構造こうぞうを持もつ。

16演習えんしゅうリンク

15Calculation example: a $3$3 by $3$3 Jordan block

Let

Then

Thus

so the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is

The only eigenvalue固有値こゆうち is $2$2, but the nilpotent part has length $3$3, so the structure is far from diagonalizable.

16Exercise link

17見分みわけ方かた：AM、GM、ブロック

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda について：

• 代数的重複度だいすうてきちょうふくどalgebraic multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの大おおきさの総和そうわである。
• 幾何的重複度きかてきちょうふくどgeometric multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうである。
• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) の指数しすうは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいブロックサイズである。

したがって、AM と GM が一致いっちすることは、すべてのブロックが大おおきさ 1 であること、つまり対角化可能たいかくかかのうであることを意味いみする。

18注意ちゅうい：理論りろんと数値計算すうちけいさんの違ちがい

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは理論上りろんじょうの分類ぶんるいには非常ひじょうに強力きょうりょくである。しかし、固有値こゆうちが近接きんせつしている行列ぎょうれつや摂動せつどうを受うける行列ぎょうれつでは、ジョルダンブロックの大おおきさは不安定ふあんていに変化へんかしうる。そのため、実際じっさいの数値計算すうちけいさんではシュール分解ぶんかいや SVD が好このまれる。

19最終形さいしゅうけい

20一言ひとことでいうと

• ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化たいかくかdiagonalizationできない行列ぎょうれつmatrixを、固有値こゆうちeigenvalueと冪零成分べきれいせいぶんに分解ぶんかいして記述きじゅつする標準形ひょうじゅんけいである。

21演習えんしゅうリンク

22関連かんれんリンク

17How to read AM, GM, and blocks

For an eigenvalue固有値こゆうち $\lambda$\lambda:

• The algebraic multiplicity代数的重複度だいすうてきちょうふくど is the sum of the sizes of all Jordan blocks for $\lambda$\lambda.
• The geometric multiplicity幾何的重複度きかてきちょうふくど is the number of Jordan blocks for $\lambda$\lambda.
• The exponent of $(t-\lambda )$(t-\lambda) in the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is the largest block size for $\lambda$\lambda.

Thus AM equals GM exactly when all blocks for that eigenvalue固有値こゆうち have size $1$1, meaning that the corresponding part is diagonalizable.

18Warning: theory versus numerical computation

Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい is powerful for theoretical classification. However, for matrices with close eigenvalues固有値こゆうち or small perturbations, Jordan block sizes can change unstably. Practical numerical computation often prefers Schur decomposition or SVD.

19Final forms

20In one sentence

• Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい describes a non-diagonalizable matrix行列ぎょうれつ by decomposing it into eigenvalue固有値こゆうち parts and nilpotent parts.

21Exercise link

22Related links