固有値こゆうちeigenvalue・対角化たいかくかdiagonalization・発展はってん-基本演習きほんえんしゅう

Eigenvalues固有値こゆうち, diagonalization対角化たいかくか, and further topics - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

固有こゆうベクトルeigenvectorは、線型変換せんけいへんかんlinear transformationで向むきが変かわらない方向ほうこうである。対角化たいかくかdiagonalizationは、空間くうかんをその方向ほうこうごとに分解ぶんかいし、線型変換せんけいへんかんlinear transformationを倍率ばいりつだけに単純化たんじゅんかする。

二次形式にじけいしきquadratic form、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial、ジョルダン標準形ひょうじゅんけい、SVD、擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつpseudoinverse matrixは関連演習かんれんえんしゅうに分割ぶんかつしている。

固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemでは、先さきに $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 で固有値こゆうちeigenvalueを求もとめ、次つぎに $\ker (A-\lambda I)$\ker(A-\lambda I) で固有こゆうベクトルeigenvectorを求もとめる。同伴行列どうはんぎょうれつでは、多項式たこうしきの根こんが固有値こゆうちeigenvalueになることを確認かくにんする。

1Exercise plan

An eigenvector固有こゆうベクトル is a direction whose orientation does not change under a linear transformation線型変換せんけいへんかん. Diagonalization対角化たいかくか decomposes the space into such directions and simplifies the transformation to scaling along each direction.

Quadratic forms二次形式にじけいしき, minimal polynomials最小多項式さいしょうたこうしき, Jordan form, SVD, and the pseudoinverse擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつ are separated into related exercises.

For the eigenvalue problem固有値問題こゆうちもんだい, first solve $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0, then compute $\ker (A-\lambda I)$\ker(A-\lambda I). For companion matrices, check that polynomial roots become eigenvalues.

2問題もんだい 1

の固有値こゆうちeigenvalueと固有こゆうベクトルeigenvectorを求もとめ、幾何的きかてきな意味いみを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

固有値こゆうちeigenvalueは $2$2 と $3$3 である。$\lambda =2$\lambda=2 に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorは $e_1$e_1 の非零ひれいな倍ばい、$\lambda =3$\lambda=3 に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorは $e_2$e_2 の非零ひれいな倍ばいである。

2.2解説かいせつ

$A$A は $x$x 軸方向じくほうこうを 2 倍ばい、$y$y 軸方向じくほうこうを 3 倍ばいに伸のばす。軸じくの向むきは変かわらないので、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisがそのまま固有こゆうベクトルeigenvectorになる。零れいベクトルzero vectorは方向ほうこうを表あらわさないため、固有こゆうベクトルeigenvectorには含ふくめない。

2Problem 1

Find the eigenvalues固有値こゆうち and eigenvectors固有こゆうベクトル of

and state the geometric meaning.

2.1Answer example

The eigenvalues are $2$2 and $3$3. Eigenvectors for $\lambda =2$\lambda=2 are nonzero multiples of $e_1$e_1, and eigenvectors for $\lambda =3$\lambda=3 are nonzero multiples of $e_2$e_2.

2.2Explanation

$A$A stretches the $x$x-axis direction by 2 and the $y$y-axis direction by 3. The axis directions do not change, so the standard basis標準基底ひょうじゅんきてい vectors are eigenvectors. The zero vector零れいベクトル is not an eigenvector because it has no direction.

3問題もんだい 2

が対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

固有値こゆうちeigenvalueは $\lambda =1$\lambda=1 だけである。

なので、固有空間こゆうくうかんeigenspaceは $y=0$y=0、つまり $e_1$e_1 の張はる 1 次元じげんdimensionの空間くうかんである。$2\times 2$2\times2 行列ぎょうれつmatrixを対角化たいかくかdiagonalizationするには一次独立いちじどくりつlinear independenceな固有こゆうベクトルeigenvectorが 2 本ほん必要ひつようなので、$B$B は対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。

3.2解説かいせつ

固有値こゆうちeigenvalueを求もとめるだけでは不十分ふじゅうぶんである。対角化たいかくかdiagonalizationには、空間全体くうかんぜんたいを固有こゆうベクトルeigenvectorの基底きていbasisで埋うめる必要ひつようがある。

3Problem 2

Determine whether

is diagonalizable対角化可能たいかくかかのう.

3.1Answer example

The only eigenvalue is $\lambda =1$\lambda=1. Since

its eigenspace固有空間こゆうくうかん is $y=0$y=0, the 1-dimensional space spanned by $e_1$e_1. A $2\times 2$2\times2 matrix needs two linearly independent一次独立いちじどくりつ eigenvectors to be diagonalized, so $B$B is not diagonalizable.

3.2Explanation

Finding eigenvalues is not enough. Diagonalization対角化たいかくか requires a basis of eigenvectors filling the whole space.

4問題もんだい 3

を直交対角化ちょっこうたいかくかorthogonal diagonalizationせよ。

4.1解答例かいとうれい

固有値こゆうちeigenvalueは $3$3 と $1$1 である。対応たいおうする単位たんい固有こゆうベクトルeigenvectorとして

を取とれる。したがって、

とすると、

である。

4.2解説かいせつ

$C$C は対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixなので、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有こゆうベクトルeigenvectorを直交ちょっこうorthogonalに選えらべる。直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixによる基底変換きていへんかんchange of basisは長ながさと角度かくどを保存ほぞんする。

4Problem 3

Orthogonally diagonalize直交対角化ちょっこうたいかくか

4.1Answer example

The eigenvalues are $3$3 and $1$1. Corresponding unit eigenvectors are

Thus

and

4.2Explanation

Because $C$C is a symmetric matrix対称行列たいしょうぎょうれつ, eigenvectors belonging to distinct eigenvalues can be chosen orthogonal直交ちょっこう. A change of basis基底変換きていへんかん by an orthogonal matrix直交行列ちょっこうぎょうれつ preserves lengths and angles.

5問題もんだい 4

を対角化たいかくかdiagonalizationし、$A^n$A^n を求もとめよ。

5.1解答例かいとうれい

$\lambda =2$\lambda=2 に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorは $(1,0{)}^T$(1,0)^T、$\lambda =3$\lambda=3 に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorは $(1,1{)}^T$(1,1)^T と取とれる。したがって

とすると $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} である。よって

である。

5.2解説かいせつ

対角化たいかくかdiagonalizationは、累乗るいじょうを固有方向こゆうほうこうeigendirectionごとの倍率ばいりつの累乗るいじょうへ分解ぶんかいする道具どうぐである。

5Problem 4

Diagonalize対角化たいかくか

and find $A^n$A^n.

5.1Answer example

For $\lambda =2$\lambda=2, an eigenvector is $(1,0{)}^T$(1,0)^T. For $\lambda =3$\lambda=3, one may take $(1,1{)}^T$(1,1)^T. Therefore

and $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}. Hence

5.2Explanation

Diagonalization converts powers into powers of scale factors along eigendirections固有方向こゆうほうこう.

6問題もんだい 5

を解とけ。

6.1解答例かいとうれい

第だい 1 成分せいぶんcomponentは $x_{1^{\prime }}\left(t\right)=x_1\left(t\right)$x_1'(t)=x_1(t)、第だい 2 成分せいぶんcomponentは $x_{2^{\prime }}\left(t\right)=-2x_2\left(t\right)$x_2'(t)=-2x_2(t) を満みたす。したがって

である。

6.2解説かいせつ

固有値こゆうちeigenvalueは時間発展じかんはってんの伸のび方かたを決きめる。この例れいでは、第だい 1 方向ほうこうは $e^t$e^t で増加ぞうかし、第だい 2 方向ほうこうは $e^{-2t}$e^{-2t} で減衰げんすいする。

6Problem 5

Solve

6.1Answer example

The components satisfy $x_{1^{\prime }}\left(t\right)=x_1\left(t\right)$x_1'(t)=x_1(t) and $x_{2^{\prime }}\left(t\right)=-2x_2\left(t\right)$x_2'(t)=-2x_2(t). Therefore

6.2Explanation

Eigenvalues determine growth and decay in time evolution: the first direction grows by $e^t$e^t and the second decays by $e^{-2t}$e^{-2t}.

7補強問題ほきょうもんだい：スペクトル定理spectral theoremと射影分解しゃえいぶんかい

7.1問題もんだい 6

$A$A を実対称行列じつたいしょうぎょうれつreal symmetric matrixとする。異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorが直交ちょっこうorthogonalすることを証明しょうめいせよ。

7.2解答例かいとうれい

$Av=\lambda v$Av=\lambda v、$Aw=\mu w$Aw=\mu w、$\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu とする。$A^T=A$A^T=A なので、

である。したがって $(\lambda -\mu )⟨v,w⟩=0$(\lambda-\mu)\langle v,w\rangle=0 である。$\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu より、$⟨v,w⟩=0$\langle v,w\rangle=0 となる。

7.3解説かいせつ

これはスペクトル定理spectral theoremの背後はいごにある基本きほんの直交性ちょっこうせいである。対称性たいしょうせいにより、行列ぎょうれつを内積ないせきinner productの片側かたがわから反対側はんたいがわへ移うつせる。

7.4問題もんだい 7

スペクトル定理spectral theoremを使つかって、

を「固有値こゆうちeigenvalue × 直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projection」の和わとして書かけ。

7.5解答例かいとうれい

問題もんだい 3 より、

を取とれ、対応たいおうする固有値こゆうちeigenvalueは $3$3 と $1$1 である。したがって

である。実際じっさい、

なので、

となる。

7.6解説かいせつ

スペクトル定理spectral theoremは、行列ぎょうれつを直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projectionの和わとして読よむ定理ていりでもある。$q_i$q_i 方向ほうこうへ射影しゃえいし、その方向ほうこうを ${\lambda }_i$\lambda_i 倍ばいして足たし戻もどしている。

7.7問題もんだい 8

について、$A^n{x}_0$A^nx_0 を求もとめ、正規化せいきかした方向ほうこうが長期的ちょうきてきにどうなるかを説明せつめいせよ。

7.8解答例かいとうれい

$A$A は対角行列たいかくぎょうれつなので、

である。$n$n が大おおきくなると第だい 1 成分せいぶんが支配的しはいてきになる。したがって正規化せいきかした方向ほうこうは $e_1$e_1 に近ちかづく。

7.9解説かいせつ

対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableな行列ぎょうれつの累乗るいじょうでは、初期しょきベクトルが最大さいだいの固有値こゆうちeigenvalueの方向ほうこうに成分せいぶんを持もつなら、その方向ほうこうが長期的ちょうきてきに支配しはいする。

8関連演習かんれんえんしゅう

7Supplementary theorem and worked-example problems

7.1Problem 6

Let $A$A be a real symmetric matrix対称行列たいしょうぎょうれつ. Prove that eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal直交ちょっこう.

7.2Answer example

Let $Av=\lambda v$Av=\lambda v and $Aw=\mu w$Aw=\mu w with $\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu. Since $A^T=A$A^T=A,

Thus $(\lambda -\mu )⟨v,w⟩=0$(\lambda-\mu)\langle v,w\rangle=0. Because $\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu, we get $⟨v,w⟩=0$\langle v,w\rangle=0.

7.3Explanation

This is the basic orthogonality mechanism behind the spectral theorem. Symmetry lets the matrix move from one side of the inner product to the other.

7.4Problem 7

Use the spectral theoremスペクトル定理 to write

as a sum of eigenvalue times orthogonal projections.

7.5Answer example

From Problem 3,

with eigenvalues $3$3 and $1$1. Therefore

Explicitly,

Adding gives

7.6Explanation

The spectral theorem can be read as a projection decomposition. The matrix stretches the $q_i$q_i direction by ${\lambda }_i$\lambda_i and adds the orthogonal components back together.

7.7Problem 8

For

compute $A^n{x}_0$A^n x_0 and explain the long-term direction after normalization.

7.8Answer example

Since $A$A is diagonal,

For large $n$n, the first component dominates. After normalization, the direction approaches $e_1$e_1.

7.9Explanation

Powers of a diagonalizable matrix amplify the eigendirection with the largest eigenvalue magnitude, provided the initial vector has a nonzero component in that direction.

8Related exercises

9関連講義かんれんこうぎ

9Related lectures

10証明しょうめい演習えんしゅう：固有値こゆうちと対角化たいかくかの基本定理きほんていり

10.1問題もんだい

異ことなる固有値こゆうちに対応たいおうする固有ベクトルeigenvectorが線型独立せんけいどくりつであることを証明しょうめいせよ。また、対角化たいかくかできることと固有ベクトルeigenvectorの基底きていを持もつことが同値どうちである理由りゆうを説明せつめいせよ。

10.2解答かいとう

$\sum a_i{v}_i=0$\sum a_iv_i=0 とし、両辺りょうへんに $A$A を作用さようさせる。さらに最初さいしょの式しきに一ひとつの固有値こゆうちを掛かけた式しきを引ひくと、より少すくない固有ベクトルeigenvectorの線型関係せんけいかんけいになる。帰納法きのうほうにより、すべての係数けいすうは 0 である。

$A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} なら、$AP=PD$AP=PD である。$P$P の列れつを比くらべると、それぞれが固有ベクトルeigenvectorである。逆ぎゃくに固有ベクトルeigenvectorの基底きていを列れつに並ならべて $P$P を作つくると、$AP=PD$AP=PD となり $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} である。

10.3解説かいせつ

対角化たいかくかは、基底きていを固有ベクトルeigenvectorへ取とり替かえることに対応たいおうする。

11関連講義かんれんこうぎ

10Proof exercise: basic theorem on eigenvalues and diagonalization

10.1Problem

Prove that eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues固有値こゆうち are linearly independent線型独立せんけいどくりつ. Also explain why diagonalizability is equivalent to having a basis基底きてい of eigenvectors.

10.2Answer

Assume $\sum a_i{v}_i=0$\sum a_iv_i=0 and apply $A$A. Subtract the equation obtained by multiplying the original relation by one eigenvalue. This gives a relation among fewer eigenvectors. By induction, all coefficients are 0.

If $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}, then $AP=PD$AP=PD. Comparing columns shows that the columns of $P$P are eigenvectors. Conversely, if a basis of eigenvectors is placed in the columns of $P$P, then $AP=PD$AP=PD, hence $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}.

10.3Explanation

Diagonalization is exactly the operation of replacing the basis by eigenvectors.

11Related lectures

12補強問題ほきょうもんだい：スペクトル定理spectral theoremと射影分解しゃえいぶんかい

12.1問題もんだい 6

$A$A を実対称行列じつたいしょうぎょうれつreal symmetric matrixとする。異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorが直交ちょっこうorthogonalすることを証明しょうめいせよ。

12.2解答例かいとうれい

$Av=\lambda v$Av=\lambda v、$Aw=\mu w$Aw=\mu w、$\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu とする。$A^T=A$A^T=A なので、

である。したがって $(\lambda -\mu )⟨v,w⟩=0$(\lambda-\mu)\langle v,w\rangle=0 である。$\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu より、$⟨v,w⟩=0$\langle v,w\rangle=0 となる。

12.3解説かいせつ

これはスペクトル定理spectral theoremの背後はいごにある基本きほんの直交性ちょっこうせいである。対称性たいしょうせいにより、行列ぎょうれつを内積ないせきinner productの片側かたがわから反対側はんたいがわへ移うつせる。

12.4問題もんだい 7

スペクトル定理spectral theoremを使つかって、

を「固有値こゆうちeigenvalue × 直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projection」の和わとして書かけ。

12.5解答例かいとうれい

問題もんだい 3 より、

を取とれ、対応たいおうする固有値こゆうちeigenvalueは $3$3 と $1$1 である。したがって

である。実際じっさい、

なので、

となる。

12.6解説かいせつ

スペクトル定理spectral theoremは、行列ぎょうれつを直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projectionの和わとして読よむ定理ていりでもある。$q_i$q_i 方向ほうこうへ射影しゃえいし、その方向ほうこうを ${\lambda }_i$\lambda_i 倍ばいして足たし戻もどしている。

12.7問題もんだい 8

について、$A^n{x}_0$A^nx_0 を求もとめ、正規化せいきかした方向ほうこうが長期的ちょうきてきにどうなるかを説明せつめいせよ。

12.8解答例かいとうれい

$A$A は対角行列たいかくぎょうれつなので、

である。$n$n が大おおきくなると第だい 1 成分せいぶんが支配的しはいてきになる。したがって正規化せいきかした方向ほうこうは $e_1$e_1 に近ちかづく。

12.9解説かいせつ

対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableな行列ぎょうれつの累乗るいじょうでは、初期しょきベクトルが最大さいだいの固有値こゆうちeigenvalueの方向ほうこうに成分せいぶんを持もつなら、その方向ほうこうが長期的ちょうきてきに支配しはいする。

12.10問題もんだい 9

について、固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemを解とけ。すなわち、固有値こゆうちeigenvalueと各かく固有空間こゆうくうかんeigenspaceを求もとめよ。

12.11解答例かいとうれい

まず

である。したがって固有値こゆうちeigenvalueは $1,2$1,2 である。

$\lambda =1$\lambda=1 では

なので $-x+y=0$-x+y=0、したがって

である。$\lambda =2$\lambda=2 では

なので $-2x+y=0$-2x+y=0、したがって

である。

12.12解説かいせつ

この問題もんだいは、固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemを「固有値こゆうちを先さきに決きめ、次つぎに核かくkernelを求もとめる」という手順てじゅんで確認かくにんする問題もんだいである。$\lambda$\lambda を求もとめる前まえに固有こゆうベクトルeigenvectorを探さがそうとすると、未知数みちすうが増ふえて方針ほうしんが不明確ふめいかくになる。

12.13問題もんだい 10

の同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixを作つくり、$\lambda =2$\lambda=2 に対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorを 1 つ示しめせ。

12.14解答例かいとうれい

$p\left(t\right)=t^3+c_2{t}^2+c_{1}t+c_0$p(t)=t^3+c_2t^2+c_1t+c_0 と見みると、$c_2=-6,c_1=11,c_0=-6$c_2=-6,\ c_1=11,\ c_0=-6 である。したがって

である。$p\left(2\right)=0$p(2)=0 なので、

は固有値こゆうちeigenvalue $2$2 に対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorである。実際じっさい、

である。

12.15解説かいせつ

同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixでは、多項式たこうしきの係数けいすうが最後さいごの行ぎょうに入はいる。符号ふごうを反転はんてんして $-c_0,-c_1,\dots ,-c_{n-1}$-c_0,-c_1,\ldots,-c_{n-1} と並ならべる点てんが典型的てんけいてきな誤あやまり箇所かしょである。

13証明しょうめい演習えんしゅう：固有値こゆうちと対角化たいかくかの基本定理きほんていり

13.1問題もんだい

異ことなる固有値こゆうちに対応たいおうする固有ベクトルeigenvectorが線型独立せんけいどくりつであることを証明しょうめいせよ。また、対角化たいかくかできることと固有ベクトルeigenvectorの基底きていを持もつことが同値どうちである理由りゆうを説明せつめいせよ。

13.2解答かいとう

$\sum a_i{v}_i=0$\sum a_iv_i=0 とし、両辺りょうへんに $A$A を作用さようさせる。さらに最初さいしょの式しきに一ひとつの固有値こゆうちを掛かけた式しきを引ひくと、より少すくない固有ベクトルeigenvectorの線型関係せんけいかんけいになる。帰納法きのうほうにより、すべての係数けいすうは 0 である。

$A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} なら、$AP=PD$AP=PD である。$P$P の列れつを比くらべると、それぞれが固有ベクトルeigenvectorである。逆ぎゃくに固有ベクトルeigenvectorの基底きていを列れつに並ならべて $P$P を作つくると、$AP=PD$AP=PD となり $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} である。

13.3解説かいせつ

対角化たいかくかは、基底きていを固有ベクトルeigenvectorへ取とり替かえることに対応たいおうする。

12Supplementary theorem and worked-example problems

12.1Problem 6

Let $A$A be a real symmetric matrix対称行列たいしょうぎょうれつ. Prove that eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal直交ちょっこう.

12.2Answer example

Let $Av=\lambda v$Av=\lambda v and $Aw=\mu w$Aw=\mu w with $\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu. Since $A^T=A$A^T=A,

Thus $(\lambda -\mu )⟨v,w⟩=0$(\lambda-\mu)\langle v,w\rangle=0. Because $\lambda \ne \mu$\lambda\ne\mu, we get $⟨v,w⟩=0$\langle v,w\rangle=0.

12.3Explanation

This is the basic orthogonality mechanism behind the spectral theorem. Symmetry lets the matrix move from one side of the inner product to the other.

12.4Problem 7

Use the spectral theoremスペクトル定理 to write

as a sum of eigenvalue times orthogonal projections.

12.5Answer example

From Problem 3,

with eigenvalues $3$3 and $1$1. Therefore

Explicitly,

Adding gives

12.6Explanation

The spectral theorem can be read as a projection decomposition. The matrix stretches the $q_i$q_i direction by ${\lambda }_i$\lambda_i and adds the orthogonal components back together.

12.7Problem 8

For

compute $A^n{x}_0$A^n x_0 and explain the long-term direction after normalization.

12.8Answer example

Since $A$A is diagonal,

For large $n$n, the first component dominates. After normalization, the direction approaches $e_1$e_1.

12.9Explanation

Powers of a diagonalizable matrix amplify the eigendirection with the largest eigenvalue magnitude, provided the initial vector has a nonzero component in that direction.

12.10Problem 9

Solve the eigenvalue problem固有値問題こゆうちもんだい for

Find the eigenvalues and the corresponding eigenspaces.

12.11Answer example

First,

Thus the eigenvalues are $1$1 and $2$2. For $\lambda =1$\lambda=1,

so

For $\lambda =2$\lambda=2,

so

12.12Explanation

This problem checks the two-stage eigenvalue-problem workflow: find $\lambda$\lambda first, then compute the kernel.

12.13Problem 10

Construct the companion matrix同伴行列どうはんぎょうれつ of

and give one eigenvector for $\lambda =2$\lambda=2.

12.14Answer example

Here $c_2=-6,c_1=11,c_0=-6$c_2=-6,\ c_1=11,\ c_0=-6, so

Since $p\left(2\right)=0$p(2)=0,

is an eigenvector for $\lambda =2$\lambda=2. Indeed,

12.15Explanation

The signs in the last row are the common error point: the entries are $-c_0,-c_1,\dots ,-c_{n-1}$-c_0,-c_1,\ldots,-c_{n-1}.

13Proof exercise: basic theorem on eigenvalues and diagonalization

13.1Problem

Prove that eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues固有値こゆうち are linearly independent線型独立せんけいどくりつ. Also explain why diagonalizability is equivalent to having a basis基底きてい of eigenvectors.

13.2Answer

Assume $\sum a_i{v}_i=0$\sum a_iv_i=0 and apply $A$A. Subtract the equation obtained by multiplying the original relation by one eigenvalue. This gives a relation among fewer eigenvectors. By induction, all coefficients are 0.

If $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}, then $AP=PD$AP=PD. Comparing columns shows that the columns of $P$P are eigenvectors. Conversely, if a basis of eigenvectors is placed in the columns of $P$P, then $AP=PD$AP=PD, hence $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}.

13.3Explanation

Diagonalization is exactly the operation of replacing the basis by eigenvectors.