固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemの基本きほん

Basics of the eigenvalue problem固有値問題こゆうちもんだい

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemは、固有値こゆうちeigenvalue $\lambda$\lambda と 0 でない固有こゆうベクトルeigenvector $v$v を同時どうじに求もとめる問題もんだいであるということである。

を見みると、$v$v だけでなく $\lambda$\lambda も未知みちである。そのため、いきなり連立一次方程式れんりついちじほうていしきとして解とくことはできない。まず、$A-\lambda I$A-\lambda I が階数落かいすうおちrank deficientする $\lambda$\lambda を探さがし、そのあとで

の核かくkernelを求もとめる。この 2 段階だんかいが固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemの基本構造きほんこうぞうである。

1Introduction

The eigenvalue problem固有値問題こゆうちもんだい asks for a scalar $\lambda$\lambda and a nonzero vector $v$v such that

Both $\lambda$\lambda and $v$v are unknown. The method is therefore two-stage: first find the values of $\lambda$\lambda for which $A-\lambda I$A-\lambda I loses rank, then find the kernel of $A-\lambda I$A-\lambda I.

2用語ようごと定義ていぎ

$A$A を $n\times n$n\times n 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。標準固有値問題ひょうじゅんこゆうちもんだいstandard eigenvalue problemとは、

を満みたすスカラーscalar $\lambda$\lambda と 0 でないベクトルvector $v$v を求もとめる問題もんだいである。

固有空間こゆうくうかんeigenspaceを

で定義ていぎする。ただし、$\lambda$\lambda が固有値こゆうちeigenvalueでない場合ばあいには $E_{\lambda }=\left\{0\right\}$E_\lambda=\{0\} である。

特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを

で定義ていぎする。$\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 と ${\chi }_A\left(\lambda \right)=0$\chi_A(\lambda)=0 は、符号ふごうが $(-1{)}^n$(-1)^n 倍ばいだけ違ちがう同おなじ根こんの条件じょうけんである。

2Terms and definitions

Let $A$A be an $n\times n$n\times n square matrix正方行列せいほうぎょうれつ. The standard eigenvalue problem標準固有値問題ひょうじゅんこゆうちもんだい is

The eigenspace固有空間こゆうくうかん for $\lambda$\lambda is

The characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき is

3方針ほうしん

固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemを解とく方針ほうしんは次つぎの順序じゅんじょである。

1. $Av=\lambda v$Av=\lambda v を $(A-\lambda I)v=0$(A-\lambda I)v=0 へ移項いこうする。
2. 0 でない解かいが存在そんざいする条件じょうけんとして、$\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 を立式りっしきする。
3. 特性方程式特性方程式とくせいほうていしきを解といて固有値こゆうちeigenvalueを求もとめる。
4. 各かく固有値こゆうちeigenvalue $\lambda$\lambda について、$(A-\lambda I)v=0$(A-\lambda I)v=0 を解とき、固有空間こゆうくうかんeigenspaceを求もとめる。

この順序じゅんじょを守まもるのは、$\lambda$\lambda が決きまるまで $(A-\lambda I)v=0$(A-\lambda I)v=0 が通常つうじょうの連立一次方程式れんりついちじほうていしきにならないからである。

3Plan

The solving order is:

1. Rewrite $Av=\lambda v$Av=\lambda v as $(A-\lambda I)v=0$(A-\lambda I)v=0.
2. Require a nonzero solution, so $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0.
3. Solve the characteristic equation.
4. For each eigenvalue, solve $(A-\lambda I)v=0$(A-\lambda I)v=0 to obtain the eigenspace.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemは、「$A$A が向むきを変かえない方向ほうこうを探さがす問題もんだい」である。$Av=\lambda v$Av=\lambda v は、$Av$Av が $v$v と同おなじ直線上ちょくせんじょうに残のこることを意味いみする。

しかし、同おなじ方向ほうこうに残のこるかどうかは、$\lambda$\lambda を決きめないと確認かくにんできない。そこで、$A-\lambda I$A-\lambda I を考かんがえる。これは「$A$A の作用さようから $\lambda$\lambda 倍ばいの作用さようを引ひく」行列ぎょうれつmatrixである。もし 0 でない $v$v が

を満みたすなら、$A$A と $\lambda I$\lambda I はその方向ほうこうで同おなじ作用さようをしている。つまり、その方向ほうこうが固有こゆうベクトルeigenvectorである。

4Intuitive explanation

The eigenvalue problem looks for directions that $A$A does not turn. The matrix $A-\lambda I$A-\lambda I compares the action of $A$A with pure scaling by $\lambda$\lambda. A nonzero vector in the kernel of $A-\lambda I$A-\lambda I is a direction where these two actions agree.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 固有値こゆうちeigenvalueと階数落かいすうおちrank deficiency

$v\ne 0$v\ne0 とする。固有こゆうベクトルeigenvectorの定義ていぎから

である。したがって、$\lambda$\lambda が固有値こゆうちeigenvalueであることは、同次方程式どうじほうていしきhomogeneous equation

が非自明解ひじめいかいを持もつことと同値どうちequivalentである。

$A-\lambda I$A-\lambda I は $n\times n$n\times n 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixであるため、次つぎは同値どうちequivalentである。

この連鎖れんさが、固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemに階数かいすうrankと行列式ぎょうれつしきdeterminantが現あらわれる理由りゆうである。

5.22. 解法かいほうの正当化せいとうか

特性方程式とくせいほうていしき

を解とくと、非自明解ひじめいかいが存在そんざいしうる $\lambda$\lambda だけが残のこる。それ以外いがいの $\lambda$\lambda では $A-\lambda I$A-\lambda I が可逆かぎゃくinvertibleなので、$(A-\lambda I)x=0$(A-\lambda I)x=0 の解かいは $x=0$x=0 だけである。

したがって、固有値こゆうちeigenvalueを先さきに求もとめ、そのあとで固有空間こゆうくうかんeigenspaceを求もとめる手順てじゅんは、定義ていぎから必然的ひつぜんてきに出でる。

5.33. 一般化固有値問題いっぱんかこゆうちもんだいとの区別くべつ

一般化固有値問題いっぱんかこゆうちもんだいgeneralized eigenvalue problemでは、

を扱あつかう。$B$B が可逆かぎゃくinvertibleなら、これは

という標準固有値問題ひょうじゅんこゆうちもんだいへ戻もどる。一方いっぽう、$B$B が可逆かぎゃくinvertibleでない場合ばあいは、$B^{-1}$B^{-1} を使つかえないため、

という行列束ぎょうれつそくmatrix pencilの条件じょうけんを直接ちょくせつ扱あつかう。この講義こうぎの本流ほんりゅうは $B=I$B=I の標準固有値問題ひょうじゅんこゆうちもんだいである。

5Precise explanation

5.11. Eigenvalues and rank deficiency

For $v\ne 0$v\ne0,

Thus $\lambda$\lambda is an eigenvalue exactly when the homogeneous system $(A-\lambda I)x=0$(A-\lambda I)x=0 has a nontrivial solution. Since $A-\lambda I$A-\lambda I is square,

This is why rank and determinants enter the eigenvalue problem.

5.22. Why the algorithm is valid

Solving $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 keeps exactly the $\lambda$\lambda values for which a nonzero kernel can exist. For every other $\lambda$\lambda, $A-\lambda I$A-\lambda I is invertible and the kernel is zero.

5.33. Generalized eigenvalue problem

The generalized eigenvalue problem一般化固有値問題いっぱんかこゆうちもんだい is

If $B$B is invertible, this reduces to $B^{-1}Av=\lambda v$B^{-1}Av=\lambda v. If $B$B is not invertible, one studies the matrix pencil $\det (A-\lambda B)=0$\det(A-\lambda B)=0 directly.

6具体例ぐたいれい

の固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemを解とく。特性方程式とくせいほうていしきは

である。したがって固有値こゆうちeigenvalueは $\lambda =3,2$\lambda=3,2 である。

$\lambda =3$\lambda=3 では

なので、$y=0$y=0、$x$x は自由じゆうである。よって

である。

$\lambda =2$\lambda=2 では

なので、$x+y=0$x+y=0 である。よって

である。

6Worked example

For

the characteristic equation is

Thus $\lambda =3,2$\lambda=3,2. For $\lambda =3$\lambda=3, the eigenspace is

For $\lambda =2$\lambda=2, the eigenspace is

7同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixへの接続せつぞく

固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemは、多項式たこうしきpolynomialの根こんを行列ぎょうれつの問題もんだいへ変換へんかんする入口いりぐちにもなる。同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixは、与あたえられたモニック多項式たこうしきpolynomialを特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialにもつように作つくった行列ぎょうれつmatrixである。

7Connection to companion matrices

The eigenvalue problem also converts polynomial root problems into matrix problems. A companion matrix同伴行列どうはんぎょうれつ is built so that a given monic polynomial becomes its characteristic polynomial.

8見分みわけ方かた

• $Av=\lambda v$Av=\lambda v が出でたら、まず $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 を解とく。
• 固有ベクトル固有こゆうベクトルは、固有値こゆうちeigenvalueを代入だいにゅうしたあとで $\ker (A-\lambda I)$\ker(A-\lambda I) として求もとめる。
• $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0 は「$A-\lambda I$A-\lambda I が可逆かぎゃくinvertibleでない」という判定はんていであり、根拠こんきょは階数かいすうrankと核かくkernelである。
• $Av=\lambda Bv$Av=\lambda Bv が出でたら、$B$B が可逆かぎゃくinvertibleかどうかを先さきに確認かくにんする。

8How to recognize the method

For $Av=\lambda v$Av=\lambda v, first solve $\det (A-\lambda I)=0$\det(A-\lambda I)=0. Then find eigenvectors as the kernel of $A-\lambda I$A-\lambda I. For $Av=\lambda Bv$Av=\lambda Bv, first check whether $B$B is invertible.

9どこまで成立せいりつするか

この講義こうぎでは有限次元ゆうげんじげんの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixを扱あつかう。実行列じつぎょうれつreal matrixでも固有値こゆうちeigenvalueが複素数ふくそすうcomplex numberになる場合ばあいがある。したがって、すべての固有値こゆうちeigenvalueを数かぞえるには、必要ひつように応おうじて複素数ふくそすうcomplex numberまで拡張かくちょうして考察こうさつする。

数値計算すうちけいさんでは、高次こうじの特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを直接ちょくせつ展開てんかいして根こんを求もとめる方法ほうほうは不安定ふあんていになりやすい。実用上じつようじょうは QR 法ほうなどの数値的すうちてきな方法ほうほうを使つかうが、この講義こうぎでは定義ていぎと証明しょうめいを優先ゆうせんする。

9Scope

This lecture treats finite-dimensional square matrices. Real matrices may have complex eigenvalues, so extending scalars to the complex numbers is often necessary. In numerical computation, directly expanding the characteristic polynomial is often unstable; practical algorithms such as the QR method are used, but this lecture focuses on definitions and proofs.

10最終形さいしゅうけい

10Final forms

11一言ひとことでいうと

• 固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemは、最初さいしょに固有値こゆうちeigenvalueで階数落かいすうおちを起おこす場所ばしょを探さがし、次つぎにその核かくkernelを求もとめる問題もんだいである。

12演習えんしゅうリンク

11In one sentence

• The eigenvalue problem first finds where rank drops, then finds the kernel at that value.

12Exercise links

13関連かんれんリンク

13Related links