線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの階数かいすうrankと退化次数たいかじすうnullity

date2026-07-14document_iddoc_868aa526a85c14560b087c2dd8bc1c19description行列の列空間として導入した階数を、線型写像の像と核の次元として定義し直し、行列表現との一致と階数・退化次数定理を証明する講義である。prerequisites階数の基本 / 線型写像と行列 / ベクトル空間と基底type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecture

Rank階数かいすう and nullity退化次数たいかじすう of a linear map線型写像せんけいしゃぞう

1導入どうにゅう

前まえの講義こうぎでは、 $m \times n$ 行列ぎょうれつmatrix $A$ の階数かいすうrankを、列空間れつくうかんcolumn spaceの次元じげんdimensionとして読よんだ。この講義こうぎでは、それを線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものの言葉ことばへ一般化いっぱんかする。

ここで重要じゅうようなのは、一般化後いっぱんかごの階数かいすうrankは、行列ぎょうれつの見みた目めではなく、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが出力側しゅつりょくがわに実際じっさいに届とどかせる部分空間ぶぶんくうかんsubspaceの次元じげんdimensionであるということである。

したがって、定義ていぎし直なおすが別べつの量りょうを作つくるわけではない。基底きていを選えらんで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを作つくると、前まえの行列版ぎょうれつばんの階数かいすうrankと一致いっちする。

1Introduction

The previous rank lecture read the rank of a matrix as the dimension of its column space. This lecture generalizes that definition to linear maps: rank is the dimension of the image of the map. This does not create a new quantity; after choosing bases and writing a representation matrix, the two definitions agree.

2用語ようごと定義ていぎ

$T : V \to W$ を線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとする。

像ぞうimageとは、 $T$ によって実際じっさいに到達とうたつできる出力しゅつりょくの集合しゅうごうである。

im T = {T (v) ∣ v \in V}

核かくkernelとは、 $T$ によって 0 へ送おくられる入力にゅうりょくの集合しゅうごうである。

\ker T = {v \in V ∣ T (v) = 0}

一般化後いっぱんかごの階数かいすうrankを

rank (T) = \dim im T

で定義ていぎする。また、退化次数たいかじすうnullityを

nullity (T) = \dim \ker T

で定義ていぎする。

ここで混同こんどうしてはいけない。行列版ぎょうれつばんでは「列れつが張はる空間くうかんspaceの次元じげんdimension」として定義ていぎした。一般化後いっぱんかごでは「線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの次元じげんdimension」として定義ていぎする。この 2 つが一致いっちすることは定理ていりとして証明しょうめいする。

2Terms and definitions

Let $T : V \to W$ be a linear map線型写像せんけいしゃぞう.

The image像ぞう is

im T = {T (v) ∣ v \in V} .

The kernel核かく is

\ker T = {v \in V ∣ T (v) = 0} .

The generalized definition of rank is

rank (T) = \dim im T,

and the nullity退化次数たいかじすう is

nullity (T) = \dim \ker T .

Do not confuse the two levels of definition. For a matrix, rank was introduced as the dimension of the column space. For a linear map, rank is the dimension of the image. Their agreement is a theorem.

3方針ほうしん

証明しょうめいの中心ちゅうしんは、基底きていbasisを選えらんで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを行列ぎょうれつmatrixで表あらわしたとき、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixの列空間れつくうかんcolumn spaceが、もとの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationになる、という点てんである。

次つぎの順序じゅんじょで確認かくにんする。

$im T$ と $\ker T$ が部分空間ぶぶんくうかんsubspaceであることを示しめす。
$T$ の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix $A$ について、 $rank (T) = rank (A)$ を証明しょうめいする。
階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theoremを証明しょうめいする。
可逆性かぎゃくせいとの関係かんけいを整理せいりする。

3Plan

The proof strategy is to choose bases and compare the image of a linear map with the column space of its representation matrix. Then we prove rank-nullity and connect it to invertibility.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、入力空間にゅうりょくくうかんから出力空間しゅつりょくくうかんへベクトルvectorを送おくる。そのとき、入力にゅうりょくの方向ほうこうのうち、出力しゅつりょくに残のこる方向ほうこうと、0 へ潰つぶれる方向ほうこうがある。

像ぞうimageは「残のこった出力方向しゅつりょくほうこうの全体ぜんたい」であり、核かくkernelは「潰つぶれた入力方向にゅうりょくほうこうの全体ぜんたい」である。階数かいすうrankは残のこった次元じげんdimension、退化次数たいかじすうnullityは潰つぶれた次元じげんdimensionを数かぞえる。

有限次元ゆうげんじげんでは、入力にゅうりょくの次元じげんdimensionは消きえるわけではない。出力しゅつりょくに残のこる部分ぶぶんと、核かくとして潰つぶれる部分ぶぶんへ分わかれる。この分解ぶんかいを式しきにしたものが、階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theoremである。

4Intuitive explanation

A linear map sends input vectors to output vectors. Some input directions survive as output directions; others collapse to zero. The image is the space of surviving outputs. The kernel is the space of collapsed inputs. Rank counts the surviving dimension, and nullity counts the collapsed dimension.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 像ぞうimageと核かくkernelは部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである

まず $im T$ を確認かくにんする。 $y_{1}, y_{2} \in im T$ とする。すると、ある $v_{1}, v_{2} \in V$ が存在そんざいして

y_{1} = T (v_{1}), y_{2} = T (v_{2})

である。任意にんいのスカラーscalar $a, b$ について、線型性せんけいせいlinearityより

a y_{1} + b y_{2} = a T (v_{1}) + b T (v_{2}) = T (a v_{1} + b v_{2})

である。したがって $a y_{1} + b y_{2}$ も $im T$ に属ぞくする。よって $im T$ は部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

つぎに $\ker T$ を確認かくにんする。 $u_{1}, u_{2} \in \ker T$ なら

T (u_{1}) = 0, T (u_{2}) = 0

である。任意にんいのスカラーscalar $a, b$ について、

T (a u_{1} + b u_{2}) = a T (u_{1}) + b T (u_{2}) = 0

となる。したがって $a u_{1} + b u_{2} \in \ker T$ である。よって $\ker T$ も部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

5.22. 行列版ぎょうれつばんの階数かいすうrankとの一致いっち

$V$ の基底きていbasisを $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ 、 $W$ の基底きていbasisを $C = (w_{1}, \dots, w_{m})$ とし、 $T : V \to W$ の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $A = [T]_{C \leftarrow B}$ とする。

$A$ の第だい $j$ 列れつcolumnは、 $T (v_{j})$ の $C$ に関かんする座標ざひょうcoordinateである。したがって、 $A$ の列空間れつくうかんcolumn spaceは、 $im T$ を基底きていbasis $C$ で座標表示ざひょうひょうじした集合しゅうごうである。

座標写像ざひょうしゃぞうは同型どうけいisomorphism、すなわち次元じげんを保たもつ可逆かぎゃくinvertibleな線型写像せんけいしゃぞうlinear mapである。よって

\dim im T = \dim Col (A)

である。つまり

rank (T) = rank (A)

が成立せいりつする。

この定理ていりが、一般化前いっぱんかまえの行列版ぎょうれつばんの階数かいすうrankと、一般化後いっぱんかごの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの階数かいすうrankを接続せつぞくしている。

5.33. 階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theorem

定理ていり
$V$ を有限次元ゆうげんじげんのベクトル空間くうかんvector spaceとし、 $T : V \to W$ を線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとする。このとき

\dim V = rank (T) + nullity (T)

である。

証明しょうめい
$\ker T$ の基底きていbasisを

u_{1}, \dots, u_{k}

とする。これを $V$ の基底きていbasis

u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r}

へ拡張かくちょうする。このとき $k = nullity (T)$ であり、 $\dim V = k + r$ である。

$T (v_{1}), \dots, T (v_{r})$ が $im T$ の基底きていbasisであることを示しめす。まず生成せいせいを示しめす。任意にんいの $y \in im T$ を取とると、ある $x \in V$ が存在そんざいして $y = T (x)$ である。 $x$ を上うえの基底きていbasisで

x = a_{1} u_{1} + \dots + a_{k} u_{k} + b_{1} v_{1} + \dots + b_{r} v_{r}

と書かく。 $u_{i} \in \ker T$ なので $T (u_{i}) = 0$ であり、

y = T (x) = b_{1} T (v_{1}) + \dots + b_{r} T (v_{r})

となる。したがって $T (v_{1}), \dots, T (v_{r})$ は $im T$ を生成せいせいする。

つぎに一次独立性いちじどくりつせいを示しめす。

c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{r} T (v_{r}) = 0

と仮定かていする。線型性せんけいせいlinearityより

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{r} v_{r}) = 0

であるから、 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{r} v_{r} \in \ker T$ である。したがって、あるスカラーscalar $d_{1}, \dots, d_{k}$ が存在そんざいして

c_{1} v_{1} + \dots + c_{r} v_{r} = d_{1} u_{1} + \dots + d_{k} u_{k}

と書かける。左辺さへんと右辺うへんを移項いこうすると、

d_{1} u_{1} + \dots + d_{k} u_{k} - c_{1} v_{1} - \dots - c_{r} v_{r} = 0

である。しかし $u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r}$ は $V$ の基底きていbasisなので、係数けいすうはすべて 0 でなければならない。したがって

c_{1} = \dots = c_{r} = 0

である。よって $T (v_{1}), \dots, T (v_{r})$ は一次独立いちじどくりつである。

したがって $T (v_{1}), \dots, T (v_{r})$ は $im T$ の基底きていbasisであり、 $rank (T) = r$ である。ゆえに

\dim V = k + r = nullity (T) + rank (T)

が成立せいりつする。

5.44. 可逆性かぎゃくせいとの関係かんけい

$T : V \to V$ を有限次元ゆうげんじげんのベクトル空間くうかんvector spaceの上うえの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとする。このとき、次つぎは同値どうちである。

$T$ は可逆かぎゃくinvertibleである。
$\ker T = {0}$ である。
$rank (T) = \dim V$ である。
$im T = V$ である。

証明しょうめいする。 $T$ が可逆かぎゃくinvertibleなら、 $T (v) = 0$ に $T^{- 1}$ を適用てきようして $v = 0$ だから $\ker T = {0}$ である。 $\ker T = {0}$ なら $nullity (T) = 0$ なので、階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theoremより $rank (T) = \dim V$ である。これは $im T$ の次元じげんdimensionが $V$ と同おなじで、しかも $im T \subset V$ であることを意味いみするため、 $im T = V$ である。

最後さいごに $im T = V$ かつ $\ker T = {0}$ なら、任意にんいの $y \in V$ に対たいして $T (x) = y$ を満みたす $x$ が存在そんざいし、さらに $\ker T = {0}$ によりその $x$ は一意いちいである。この一意解いちいかいを $T^{- 1} (y) = x$ と定義ていぎすれば、 $T^{- 1}$ が存在そんざいする。

5Precise explanation

5.11. Image and kernel are subspaces

If $y_{1} = T (v_{1})$ and $y_{2} = T (v_{2})$ are in $im T$ , then for scalars $a, b$ ,

a y_{1} + b y_{2} = T (a v_{1} + b v_{2}),

so the image is a subspace. If $u_{1}, u_{2} \in \ker T$ , then

T (a u_{1} + b u_{2}) = a T (u_{1}) + b T (u_{2}) = 0,

so the kernel is also a subspace.

5.22. Agreement with matrix rank

Let $A = [T]_{C \leftarrow B}$ be the representation matrix of $T : V \to W$ . The columns of $A$ are the coordinate vectors of $T (v_{1}), \dots, T (v_{n})$ in the basis $C$ . Therefore the column space of $A$ is the coordinate representation of $im T$ . Since coordinate maps are dimension-preserving isomorphisms,

rank (T) = rank (A) .

5.33. Rank-nullity theorem

Let $u_{1}, \dots, u_{k}$ be a basis of $\ker T$ , and extend it to a basis

u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r}

of $V$ . Then $T (v_{1}), \dots, T (v_{r})$ is a basis of $im T$ . Spanning follows by writing any $x \in V$ in this basis and using $T (u_{i}) = 0$ . Independence follows because any relation among $T (v_{i})$ gives an element of $\ker T$ , and uniqueness of the basis expression forces all coefficients to be zero. Hence

\dim V = nullity (T) + rank (T) .

5.44. Relation to invertibility

For a linear map $T : V \to V$ on a finite-dimensional vector space, the following are equivalent: $T$ is invertible, $\ker T = {0}$ , $rank (T) = \dim V$ , and $im T = V$ . Rank-nullity supplies the bridge between kernel and image.

6具体例ぐたいれい

$T : R^{3} \to R^{2}$ を

T (x, y, z) = (x + y, y + z)

で定義ていぎする。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

である。列空間れつくうかんcolumn spaceは $R^{2}$ 全体ぜんたいを張はるので、 $rank (T) = 2$ である。

核かくkernelは

x + y = 0, y + z = 0

を満みたす $(x, y, z)$ の集合しゅうごうである。 $y = t$ と置おくと

(x, y, z) = (- t, t, - t) = t (- 1, 1, - 1)

となる。したがって $nullity (T) = 1$ である。

実際じっさいに

\dim R^{3} = 3 = 2 + 1 = rank (T) + nullity (T)

が成立せいりつしている。

6Worked example

Define $T : R^{3} \to R^{2}$ by

T (x, y, z) = (x + y, y + z) .

In standard bases,

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

Its columns span $R^{2}$ , so $rank (T) = 2$ . The kernel is given by

x + y = 0, y + z = 0,

so $(x, y, z) = t (- 1, 1, - 1)$ and $nullity (T) = 1$ . Thus

3 = 2 + 1.

7見分みわけ方かた

行列ぎょうれつmatrixが主役しゅやくなら、まず列空間れつくうかんcolumn spaceの次元じげんdimensionとして階数かいすうrankを読よむ。
線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが主役しゅやくなら、像ぞうimageの次元じげんdimensionとして階数かいすうrankを読よむ。
基底きていを選えらんで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixに戻もどしたら、2 つの定義ていぎdefinitionが一致いっちするかを確認かくにんする。
可逆性かぎゃくせいinvertibilityを調しらべるときは、核かくkernelが 0 だけか、像ぞうimageが全体ぜんたいか、階数かいすうrankが最大さいだいかを同時どうじに確認かくにんする。

7How to recognize the right definition

Use column-space rank when a matrix is the main object. Use image dimension when a linear map is the main object. After bases are chosen, the two definitions agree. For invertibility, check kernel zero, full image, or full rank.

8どこまで成立せいりつするか

階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theoremは、有限次元ゆうげんじげんのベクトル空間くうかんvector spaceで使つかう定理ていりである。無限次元むげんじげんでは、次元じげんの扱あつかいに別べつの注意ちゅういが必要ひつようになる。この講義こうぎの線型代数せんけいだいすうでは有限次元ゆうげんじげんだけを対象たいしょうにする。

また、行列式ぎょうれつしきdeterminantとの関係かんけいは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixや $T : V \to V$ の場合ばあいに現あらわれる。長方行列ちょうほうぎょうれつや $V \to W$ で $\dim V \neq \dim W$ の場合ばあい、階数かいすうrankは定義ていぎできるが、同おなじ意味いみの行列式ぎょうれつしきdeterminantは定義ていぎしない。

8Scope

Rank-nullity is used here for finite-dimensional vector spaces. Determinants enter only for square matrices or maps $T : V \to V$ . Rank is defined for rectangular matrices and maps $V \to W$ , but the same determinant criterion is not.

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] rank (T) = \dim im T

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] nullity (T) = \dim \ker T

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \dim V = rank (T) + nullity (T)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] rank (T) = rank ([T]_{C \leftarrow B})

9Final forms

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] rank (T) = \dim im T

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] nullity (T) = \dim \ker T

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \dim V = rank (T) + nullity (T)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] rank (T) = rank ([T]_{C \leftarrow B})

10一言ひとことでいうと

行列版ぎょうれつばんの階数かいすうrankは、列空間れつくうかんcolumn spaceの次元じげんdimensionである。
一般化後いっぱんかごの階数かいすうrankは、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの次元じげんdimensionである。
階数かいすう・退化たいか次数じすう定理ていりrank-nullity theoremは、入力にゅうりょくの次元じげんdimensionが「残のこる次元じげん」と「潰つぶれる次元じげん」に分わかれることを表あらわす。

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/vector-spaces-bases-and-rank.exercise.n.md

10In one sentence

Matrix rank is the dimension of the column space.
Linear-map rank is the dimension of the image.
Rank-nullity says input dimension splits into surviving dimension and collapsed dimension.

11Exercise links