逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの基本きほん

Basics of the inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ

1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは公式こうしきとして記憶きおくするものではなく、「写像しゃぞうmapを復元ふくげんできるか」という視点してんで理解りかいするものだということである。

行列ぎょうれつmatrix $$A$$A が入力にゅうりょくを出力しゅつりょくへ送おくるなら、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrix $$A^{-1}$$A^{-1} はその出力しゅつりょくから元もとの入力にゅうりょくを一意いちいに復元ふくげんする役割やくわりをもつ。情報じょうほうが失うしなわれる場合ばあい、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

1Introduction

The most important point in this lecture is that an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ is not merely a formula to memorize. It should be understood as the question of whether the map represented by a matrix can be recovered.

If a matrix行列ぎょうれつ $A$A sends an input to an output, then $A^{-1}$A^{-1} recovers the original input uniquely from that output. When information is lost, no inverse matrix exists.

2用語ようごと定義ていぎ

逆行列ぎゃくぎょうれつInverse matrix とは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A に対たいして $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$AA^{-1}=A^{-1}A=I を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。左ひだりからも右みぎからも単位行列たんいぎょうれつidentity matrixになるため、両側逆りょうがわぎゃくであることが本質ほんしつである。

単位行列たんいぎょうれつIdentity matrix とは、掛かけても何なにも変かえない行列ぎょうれつmatrix $$I$$I である。

2Terms and definitions

An inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ of a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ $A$A is a matrix satisfying

The essential point is that it is a two-sided inverse: multiplication from both the left and the right gives the identity matrix単位行列たんいぎょうれつ. The identity matrix is the matrix $I$I that changes nothing when multiplied.

3方針ほうしん

まず逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを「出力しゅつりょくから入力にゅうりょくを復元ふくげんする写像しゃぞうmap」として解釈かいしゃくする。そのあと、掃はき出だし法ほうGaussian eliminationで $$A$$A を $$I$$I に変形へんけいする過程かていが、そのまま $$A^{-1}$$A^{-1} を構成こうせいする過程かていになることを確認かくにんする。

3Strategy

First interpret an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ as the map that recovers the input from the output. Then check that the process of using Gaussian elimination to transform $A$A into $I$I is exactly the process that constructs $A^{-1}$A^{-1}.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

拡大かくだいだけなら、後あとで縮小しゅくしょうすれば復元ふくげんできる。回転かいてんだけなら、逆向ぎゃくむきに回転かいてんすれば復元ふくげんできる。しかし、平面へいめんを 1 本ぽんの直線ちょくせんへつぶす写像しゃぞうmapは、情報じょうほうが失うしなわれるので復元ふくげんできない。これが逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixがない場合ばあいである。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 定義ていぎ

$$A$$A を $$n\times n$$n\times n 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。$$A^{-1}$$A^{-1} が存在そんざいするとき

である。長方行列ちょうほうぎょうれつでは左右さゆうの行列ぎょうれつmatrixサイズが一致いっちしないため、この意味いみでの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは定義ていぎしない。

5.22. 掃はき出だしで求もとめる

を構成こうせいし、左側ひだりがわを $$I$$I へ掃はき出だす。すると右側みぎがわが $$A^{-1}$$A^{-1} になる。

5.33. 存在そんざいしない場合ばあい

掃はき出だしの途中とちゅうで主成分しゅせいぶんpivotを確保かくほできず、階数かいすうrankが不足ふそくするときは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

5.44. 可逆性かぎゃくせいの同値条件どうちじょうけん

$$A$$A を $$n\times n$$n\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。このとき、次つぎの条件じょうけんは互たがいに同値どうちequivalentである。

ただし、行列式ぎょうれつしきdeterminantによる判定はんていは、あとでくわしく導入どうにゅうする先取さきどりである。このページの本流ほんりゅうでは、掃はき出だし、階数かいすうrank、核かくkernel、解かいの一意性いちいせいで可逆性かぎゃくせいinvertibilityを判定はんていする。

1. $$A^{-1}$$A^{-1} が存在そんざいする。
2. $$\mathrm{rank}\left(A\right)=n$$\operatorname{rank}(A)=n である。
3. $$\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$$\ker(A)=\{0\} である。
4. $$A:K^n\to K^n$$A:K^n\to K^n は単射たんしゃであり、全射ぜんしゃである。
5. 任意にんいの $$b\in K^n$$b\in K^n に対たいして、$$Ax=b$$Ax=b が一意解いちいかいを持もつ。
6. $$\det A\ne 0$$\det A\neq 0 である（あとで行列式ぎょうれつしきdeterminantとして扱あつかう同値条件どうちじょうけん）。
7. 掃はき出だしで全列ぜんれつに主成分しゅせいぶんpivotが存在そんざいする。

この一覧いちらんは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixが単たんなる計算公式けいさんこうしきではなく、情報じょうほうが失うしなわれないことを表あらわす複数ふくすうの判定条件はんていじょうけんの交点こうてんであることを示しめす。核かくkernelが $\left\{0\right\}$\{0\} であれば 0 に潰つぶれる非零ひれいの方向ほうこうがなく、階数かいすうrankが $n$n であれば出力空間しゅつりょくくうかんを全体ぜんたいとして到達とうたつできる。

論理ろんりの橋渡はしわたしを書かくと、まず $\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$\ker(A)=\{0\} は「異ことなる入力にゅうりょくが同おなじ出力しゅつりょくへ潰つぶれない」ことを意味いみする。したがって $Ax=b$Ax=b の解かいが存在そんざいすれば、その解かいは一意いちいである。有限次元ゆうげんじげんの $K^n\to K^n$K^n\to K^n では、$\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$\ker(A)=\{0\} なら階数かいすうrank・退化次数たいかじすうnullity定理ていりより $\mathrm{rank}\left(A\right)=n$\operatorname{rank}(A)=n である。すると像ぞうimageは $K^n$K^n 全体ぜんたいなので、任意にんいの $b\in K^n$b\in K^n に対たいして $Ax=b$Ax=b は存在そんざいする。以上いじょうから「任意にんいの $b$b に対たいして一意解いちいかいを持もつ」ことが従したがい、その解かいを $b$b に対応たいおうさせる写像しゃぞうmapが $A^{-1}$A^{-1} である。

5.55. 長方行列ちょうほうぎょうれつの片側逆かたがわぎゃく

$$A$$A が $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixの場合ばあい、両側逆りょうがわぎゃくの代かわりに片側逆かたがわぎゃくを考察こうさつできる。$$LA=I_n$$LA=I_n を満みたす $$L$$L は左逆ひだりぎゃくであり、これは $$A$$A が列満階数れつまんかいすう、すなわち $$\mathrm{rank}\left(A\right)=n$$\operatorname{rank}(A)=n のときに存在そんざいする。$$AR=I_m$$AR=I_m を満みたす $$R$$R は右逆みぎぎゃくであり、これは $$A$$A が行満階数ぎょうまんかいすう、すなわち $$\mathrm{rank}\left(A\right)=m$$\operatorname{rank}(A)=m のときに存在そんざいする。

片側逆かたがわぎゃくは一意いちいとは限かぎらない。列れつcolumnが不足ふそくしたり行ぎょうrowが不足ふそくしたりする場合ばあいには、最小二乗解さいしょうにじょうかいや最小さいしょうノルム解かいを選択せんたくする基準きじゅんが必要ひつようになる。この基準きじゅんを標準的ひょうじゅんてきに与あたえるのが擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつpseudoinverse matrixである。

擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつpseudoinverse matrixは、あとの発展項目はってんこうもくである。ここでは、長方行列ちょうほうぎょうれつには正方行列せいほうぎょうれつと同おなじ両側逆りょうがわぎゃくがないことを見通みとおしとしておさえる。

6判定基準はんていきじゅん

• 写像しゃぞうmapを復元ふくげんしたい、または $$Ax=b$$Ax=b を一括いっかつで解ときたいなら、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを検討けんとうする。
• 掃はき出だして左側ひだりがわを $$I$$I にできるかが、存在判定そんざいはんていの鍵かぎである。
• 行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 でないこと、階数かいすうrankが $$n$$n であること、核かくkernelが $$\left\{0\right\}$$\{0\} であることは、同おなじ可逆性かぎゃくせいを別べつの角度かくどから述のべた条件じょうけんである。
• 核かくkernel、階数かいすうrank、任意にんいの右辺うへんright-hand sideへの一意解いちいかい、逆写像ぎゃくしゃぞうの存在そんざいは、情報じょうほうが失うしなわれないことを別表現べつひょうげんしたものである。

4Intuitive explanation

A pure expansion can be reversed by shrinking, and a pure rotation can be reversed by rotating in the opposite direction. But a map that collapses a plane onto a single line loses information, so it cannot be recovered. This is the situation in which no inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ exists.

5Rigorous explanation

5.11. Definition

Let $A$A be an $n\times n$n\times n square matrix正方行列せいほうぎょうれつ. If $A^{-1}$A^{-1} exists, then

For a rectangular matrix, the left and right sizes do not match, so an inverse matrix in this two-sided sense is not defined.

5.22. Computing by elimination

Form $(A\mid I)$(A\mid I) and use elimination to turn the left side into $I$I. Then the right side becomes $A^{-1}$A^{-1}.

5.33. When no inverse exists

If a pivot cannot be secured during elimination and the rank階数かいすう is deficient, then no inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ exists.

5.44. Equivalent criteria

For an $n\times n$n\times n matrix $A$A, the following conditions are equivalent.

The determinant criterion is a preview of the later determinant lectures. The main criteria used in this page are elimination, rank, kernel, and uniqueness of solutions.

1. $A^{-1}$A^{-1} exists.
2. $\mathrm{rank}\left(A\right)=n$\operatorname{rank}(A)=n.
3. $\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$\ker(A)=\{0\}.
4. $A:K^n\to K^n$A:K^n\to K^n is injective and surjective.
5. For every $b\in K^n$b\in K^n, $Ax=b$Ax=b has a unique solution.
6. $\det A\ne 0$\det A\ne0 (the determinant criterion introduced later).
7. Elimination has a pivot in every column.

This list shows that an inverse matrix is the intersection of several tests saying that no information is lost. The condition $\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$\ker(A)=\{0\} means different inputs do not collapse to the same output, so any existing solution of $Ax=b$Ax=b is unique. In finite dimension, rank-nullity then gives $\mathrm{rank}\left(A\right)=n$\operatorname{rank}(A)=n, so the image is all of $K^n$K^n and a solution exists for every $b$b. Sending $b$b to that unique solution defines $A^{-1}$A^{-1}.

5.55. One-sided inverses for rectangular matrices

If $A$A is an $m\times n$m\times n matrix, one-sided inverses can be considered instead. A left inverse $L$L satisfies $LA=I_n$LA=I_n and exists when $\mathrm{rank}\left(A\right)=n$\operatorname{rank}(A)=n. A right inverse $R$R satisfies $AR=I_m$AR=I_m and exists when $\mathrm{rank}\left(A\right)=m$\operatorname{rank}(A)=m.

One-sided inverses need not be unique. When columns or rows are missing, a criterion is needed to choose a least-squares solution or a minimum-norm solution. The pseudoinverse擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつ provides that standard criterion.

The pseudoinverse is a later advanced topic. At this point, the important distinction is that rectangular matrices do not have the same two-sided inverse as square matrices.

6Decision criteria

• Use an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ when you want to recover a map or solve $Ax=b$Ax=b all at once.
• The existence test is whether elimination can turn the left side into $I$I.
• $\det A\ne 0$\det A\ne0, $\mathrm{rank}\left(A\right)=n$\operatorname{rank}(A)=n, and $\ker \left(A\right)=\left\{0\right\}$\ker(A)=\{0\} are the same invertibility condition read from different angles.
• Kernel, rank, unique solutions for every right-hand side, and the existence of an inverse map all express that no information is lost.

7最終形さいしゅうけい

行列式ぎょうれつしきdeterminantと擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつpseudoinverse matrixは、あとでくわしく扱あつかう。このページで直接ちょくせつつかう判定はんていは、掃はき出だし、階数かいすうrank、核かくkernel、一意解いちいかいである。

7Final forms

Determinants and pseudoinverses are developed later. The direct criteria in this page are elimination, rank, kernel, and unique solvability.

8定理ていりと証明しょうめい：逆行列ぎゃくぎょうれつは一意いちいである

正方行列せいほうぎょうれつ $A$A に対たいして、$B$B と $C$C がどちらも $A$A の逆行列ぎゃくぎょうれつだとする。つまり

である。このとき $B=C$B=C である。

証明しょうめいする。

である。ここでは行列積ぎょうれつせきの結合法則けつごうほうそくを使つかっている。

この証明しょうめいは、逆行列ぎゃくぎょうれつが「あるかないか」だけでなく、あるなら一ひとつに決きまることを示しめす。逆ぎゃくに戻もどす操作そうさが二通ふたとおりあると、どちらを使つかっても同おなじ結果けっかになる。

9演習えんしゅうリンク

8Theorem and proof: the inverse is unique

Let $B$B and $C$C both be inverses of a square matrix $A$A. That is,

Then $B=C$B=C. The proof is

This uses associativity of matrix multiplication. The proof shows not only that an inverse may or may not exist, but also that if it exists, it is determined uniquely.

9Exercise links

10一言ひとことでいうと

• 逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは、行列ぎょうれつmatrixが表あらわす変換へんかんを復元ふくげんできるときにだけ存在そんざいする。

11関連かんれんリンク

10In one sentence

• An inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ exists exactly when the transformation represented by the matrix can be recovered.

11Related links