2用語と定義
行列式 は、n\times n 行列に対して定まる数で、2 次では
\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
である。
2Terms and definitions
For a 2\times2 matrix,
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},
the determinant is
\det A=ad-bc.
For an n\times n matrix, the determinant is characterized by multilinearity in rows or columns, alternation when two rows or columns coincide, and \det I=1.
3方針
2 次では平行四辺形の面積から導入し、つぎに連立一次方程式や逆行列との接続を確認する。さらに高次元では、多重線型性・交代性・正規化という定義原理で特徴づける。
3Plan
In dimension 2, we introduce the determinant from the area of a parallelogram, and then connect it to systems of linear equations and inverse matrices. In higher dimensions, we characterize it by the defining principles of multilinearity, alternation, and normalization.
4直感的な説明
列ベクトルを 2 本並べると、平行四辺形が定まる。行列式の絶対値は、その面積である。より一般に、\mathbb R^2 では |\det A| が線型写像 x\mapsto Ax による面積の倍率であり、\mathbb R^3 では体積の倍率である。符号は向きを記録し、負なら向きを反転し、正なら保つ。
したがって \det A=0 とは、面積や体積が 0 に潰れるということである。2 次では、2 本の列が一直線上に潰れている。方向が失われているので、このとき逆には復元できない。
4Intuitive explanation
Putting two column vectors side by side determines a parallelogram. The absolute value of the determinant is its area. More generally, in \mathbb R^2, |\det A| is the area scale factor under the linear map x\mapsto Ax. In \mathbb R^3, it is the volume scale factor. The sign records orientation: a negative determinant reverses orientation, while a positive determinant preserves it.
Therefore, \det A=0 means that area or volume collapses to zero. In dimension 2, the two columns collapse onto a single line. Some direction has been lost, so the map cannot be inverted.
5計算例
たとえば
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
では、
\det A=2\cdot1-1\cdot1=1
である。これは、単位正方形の形を変えながら、面積倍率を 1 に保つと読める。
また
B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
では、
\det B=1\cdot4-2\cdot2=0
である。列が比例しているので、平面は直線に潰れ、この変換は可逆ではない。
5Worked examples
For
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},
we have
\det A=2\cdot1-1\cdot1=1.
This can be read as preserving area scale by a factor of 1 while changing the shape of the unit square.
For
B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},
we have
\det B=1\cdot4-2\cdot2=0.
The columns are proportional, so the plane collapses to a line and the transformation cannot be inverted.
6厳密な説明
6.11. 2 次の公式
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
に対して
\det A=ad-bc
である。
6.22. なぜ 0 が特別か
\det A\neq 0 なら、A^{-1} が存在し、
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
と表示できる。したがって \det A=0 では分母が 0 になり、逆行列を構成できない。
6.33. 具体例
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
なら
\det A=2\cdot 1-1\cdot 1=1
である。これは面積を 1 倍のまま保ちつつ、形だけを変えていると解釈できる。
一方
B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
では
\det B=1\cdot 4-2\cdot 2=0
である。列が比例していて、平面を直線へ潰す。
6.44. 高次元での定義原理
一般の n\times n 行列の行列式は、2 次の公式 ad-bc を形だけ伸ばしたものではない。本質は、列ベクトルが構成する向き付けられた体積を測定する関数として、次の 3 条件で特徴づけられることにある。
- 各列について線型である。
- 2 本の列が等しいと 0 になる。列を交換すると符号が反転する。
- \det I=1 である。
この 3 条件を満たす関数は一意に決まる。実際には、置換を用いて
\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)
a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
と定義する。ここで S_n は \{1,\ldots,n\} のすべての置換の集合であり、\operatorname{sgn}(\sigma) は置換の偶奇から決まる符号である。各項は、各行から 1 個ずつ、かつ各列から 1 個ずつ成分を選ぶ選択を表す。
この式の詳しい意味と、多重線型性・交代性・積の公式の証明は次の講義で扱う。
data/lecture/math/linear-algebra/determinants-by-permutations.lecture.n.md
6Precise explanation
6.11. The 2 by 2 formula
For
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},
we have
\det A=ad-bc.
6.22. Why zero is special
If \det A\ne0, then A^{-1} exists and
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.
Thus when \det A=0, the denominator is zero and the inverse matrix cannot be constructed.
6.33. Concrete examples
For
A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},
\det A=2\cdot1-1\cdot1=1.
This can be interpreted as preserving area while changing shape. On the other hand,
B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
has
\det B=1\cdot4-2\cdot2=0.
Its columns are proportional, so the plane is collapsed onto a line.
7High-dimensional definition principle
For a general n\times n matrix, the determinant is not merely a formal extension of the 2\times2 formula ad-bc. It is the unique function of the columns that satisfies three principles: multilinearity in each column, alternation when two columns are equal or exchanged, and normalization by \det I=1.
Equivalently,
\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)
a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.
Here S_n is the set of all permutations of \{1,\ldots,n\}, and \operatorname{sgn}(\sigma) is the sign of the permutation. This formula encodes both multilinearity and alternation. The details are developed in the permutation-definition lecture.
data/lecture/math/linear-algebra/determinants-by-permutations.lecture.n.md
7別の観点
幾何的には面積・体積の伸縮率である。代数的には逆行列の存在条件である。連立一次方程式の立場では、「解が 1 つに決定されるか」を判定する量である。
8判定基準
- 逆行列の存在、連立一次方程式の一意解、面積や体積の伸縮が問われたら行列式を検討する。
- 正方行列の列ベクトルどうしが独立かどうかを数値で判定したいときにも、行列式が有効である。
9どこまで成立するか
2 次や 3 次では公式を直接記述できるが、高次元では置換や余因子展開などの定義が必要になる。この場合においても「体積の伸縮と可逆性を判定する」という本質は変わらない。
10定理の見通し：行列式と可逆性
n\times n 行列 A について、
A\text{ is invertible}\iff \det A\ne0
である。この時点では、これは後続の講義で証明する目標として読む。行基本変形による行列式の変化を追跡すると、掃き出しでこの同値を証明できる。また、余因子から随伴行列を作ると、\det A\ne0 なら
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)
という具体的な逆行列の公式が得られる。詳しい証明は次の 2 講義で扱う。
data/lecture/math/linear-algebra/determinant-computation-rules.lecture.n.md
data/lecture/math/linear-algebra/cofactor-expansion-and-invertibility.lecture.n.md
11よくある誤解
- 行列式は正方行列に対して定義される。
- 行列式は公式だけではなく、可逆性と体積の伸縮を記録する。
- \det A=0 は計算失敗ではなく、構造的な情報である。
7Another viewpoint
Geometrically, the determinant is the area or volume scale factor. Algebraically, it is the existence criterion for an inverse matrix. From the viewpoint of systems of linear equations, it tests whether a solution is determined uniquely.
8Criteria
- Use the determinant when invertibility, a unique solution of a square system, or area and volume scaling is at issue.
- The determinant is also useful as a numerical test for whether the column vectors of a square matrix are independent.
9Scope and limitations
In dimensions 2 and 3, formulas can be written directly. In higher dimensions, permutations or cofactor expansion provide definitions and computations. The essential meaning remains the same: determinant measures volume scaling and detects invertibility.
10Theorem preview: determinant and invertibility
For an n\times n matrix A,
A\text{ is invertible}\iff \det A\ne0.
At this point, read this as a theorem to be proved in the following lectures. Row reduction proves it after determinant changes under elementary operations have been established. Cofactors prove it by constructing
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)
when \det A\ne0.
data/lecture/math/linear-algebra/determinant-computation-rules.lecture.n.md
data/lecture/math/linear-algebra/cofactor-expansion-and-invertibility.lecture.n.md
11Common misunderstandings
- Determinants are defined for square matrices, not arbitrary rectangular matrices.
- The determinant is not just a formula; it records invertibility and volume scaling.
- A zero determinant is structural information, not a calculation failure.
12最終形
\boxed{\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc}
\boxed{\det A\neq 0 \iff A\text{ は可逆}}
\boxed{\det\text{ は多重線型性・交代性・}\det I=1\text{ で特徴づけられる}}
12Final forms
\boxed{\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc}
\boxed{A\text{ is invertible}\iff \det A\ne0}
\boxed{|\det A|=\text{area or volume scale factor}}
\boxed{\det\text{ is characterized by multilinearity, alternation, and }\det I=1}