行列式ぎょうれつしきdeterminantと可逆性かぎゃくせい-基本演習きほんえんしゅう

date2026-06-30document_iddoc_7b1f80887c5c853fb0a761c560be6430description行列式の計算規則・余因子展開・可逆性判定を、体積倍率と操作ごとの変化に注目して確認する基本演習である。prerequisites行列式 / 置換による行列式の定義 / 行列式の計算規則 / 余因子展開と可逆性の判定 / 逆行列の基本type問題演習content_typeexercisestatusactive

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data/lecture/math/linear-algebra/determinant-computation-rules.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/determinants-by-permutations.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/cofactor-expansion-and-invertibility.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/determinants.lecture.n.md

Determinants行列式ぎょうれつしき and invertibility - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

行列式ぎょうれつしきdeterminantは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixが体積たいせきをどれだけ伸縮しんしゅくし、向むきを保たもつか反転はんてんするかを表あらわす。計算けいさんでは、行ぎょうrowや列れつcolumnの操作そうさoperationが行列式ぎょうれつしきdeterminantを変かえるか変かえないかを必かならず追跡ついせきする。

行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさんは、数値すうちを出だすだけでなく構造こうぞうstructureを判定はんていするために使つかう。行列式ぎょうれつしきdeterminantが $0$ なら列れつcolumnは一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceで、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixは可逆かぎゃくinvertibleではなく、対応たいおうする線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは体積たいせきを $0$ へ潰つぶす。行列式ぎょうれつしきdeterminantが $0$ でなければ可逆かぎゃくinvertibleであり、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを使つかう議論ぎろんが許ゆるされる。

各かく操作そうさが行列式ぎょうれつしきdeterminantに与あたえる影響えいきょうを記録きろくする。2 行ぎょうまたは 2 列れつの交換こうかんは符号ふごうを反転はんてんし、1 行ぎょうまたは 1 列れつの定数倍ていすうばいは行列式ぎょうれつしきdeterminantをその定数ていすう倍ばいにし、他ほかの行ぎょうまたは列れつの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationは行列式ぎょうれつしきdeterminantを変かえない。これらの規則きそくは直接ちょくせつ展開てんかいより安全あんぜんな場合ばあいが多おおいが、操作そうさと影響えいきょうを同時どうじに書かき残のこす。

1Exercise plan

The determinant行列式ぎょうれつしき tells how much a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ scales volume and whether orientation is preserved or reversed. In computations, track which row or column operations change the determinant and which leave it unchanged.

Use determinant computations to answer structural questions, not only to get a number. A zero determinant means the columns are dependent, the matrix is not invertible, and the associated square linear map collapses volume to zero. A nonzero determinant means invertibility and gives permission to use inverse-matrix arguments.

Track how each operation affects the determinant. Swapping two rows or columns changes the sign, scaling one row or column scales the determinant, and adding a multiple of one row or column to another leaves it unchanged. These rules are often safer than expanding directly, but the operation and its effect must be recorded.

2問題もんだい 1

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを求もとめ、幾何的きかてきな意味いみを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1

したがって、この線型変換せんけいへんかんlinear transformationは面積めんせきを $1$ 倍ばいに保たもち、向むきも反転はんてんしない。

2.2解説かいせつ

$2 \times 2$ 行列ぎょうれつmatrixの行列式ぎょうれつしきdeterminantは、2 本ほんの列れつベクトルcolumn vectorが作つくる平行四辺形へいこうしへんけいの向むき付づき面積めんせきである。値あたいが $1$ であることは、見みた目めの形かたちは変かわっても面積めんせきが保存ほぞんされることを意味いみする。

2Problem 1

Find the determinant of

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

and state its geometric meaning.

2.1Answer example

\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1.

Thus the linear transformation線型変換せんけいへんかん preserves area by factor 1 and does not reverse orientation.

2.2Explanation

For a $2 \times 2$ matrix, the determinant is the signed area of the parallelogram made by the two column vectors列れつベクトル.

3問題もんだい 2

$\det A = 6$ とする。次つぎの操作そうさoperationの後あとで行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変かわるかを答こたえよ。

$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$
$R_{3} \leftarrow 4 R_{3}$
$R_{2} \leftarrow R_{2} - 5 R_{1}$

3.1解答例かいとうれい

$- 6$
$24$
$6$

3.2解説かいせつ

行ぎょうrowの交換こうかんは向むきを反転はんてんするので符号ふごうを変かえる。行ぎょうrowの定数倍ていすうばいは、その方向ほうこうの伸縮率しんしゅくりつだけ体積たいせきを変かえる。他ほかの行ぎょうrowの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationは、平行へいこうに押おし傾かたむけるだけなので体積たいせきを変かえない。操作そうさoperationの結果けっかだけでなく、何なにが保存ほぞんされるかを確認かくにんする問題もんだいである。

3Problem 2

Suppose $\det A = 6$ . How does the determinant change after each operation?

$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$
$R_{3} \leftarrow 4 R_{3}$
$R_{2} \leftarrow R_{2} - 5 R_{1}$

3.1Answer example

$- 6$
$24$
$6$

3.2Explanation

Swapping rows reverses sign. Multiplying a row by 4 multiplies the determinant by 4. Adding a multiple of one row to another does not change the determinant.

4問題もんだい 3

B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 5 & 6 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを、第だい2 列れつcolumnに沿そって余因子展開よいんしてんかいして求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

第だい2 列れつcolumnは $0, 0, 5$ なので、

\det B = 5 (- 1)^{3 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = - 5 (4 - 6) = 10

4.2解説かいせつ

余因子展開よいんしてんかいでは、 $0$ が多おおい行ぎょうrowまたは列れつcolumnを選えらぶと計算量けいさんりょうが減へる。第だい2 列れつcolumnを選えらんだ理由りゆうは、非零ひれいの項こうが 1 個こだけだからである。符号ふごう $(- 1)^{i + j}$ の確認かくにんを省略しょうりゃくすると、値あたいの符号ふごうを誤あやまりやすい。

4Problem 3

Compute

B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 5 & 6 \end{matrix})

by cofactor expansion余因子展開よいんしてんかい along the second column.

4.1Answer example

The second column is $0, 0, 5$ , so

\det B = 5 (- 1)^{3 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = - 5 (4 - 6) = 10.

4.2Explanation

Choose a row or column with many zeros to reduce computation, and do not omit the cofactor sign $(- 1)^{i + j}$ .

5問題もんだい 4

C = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

は可逆かぎゃくinvertibleか。理由りゆうを述のべよ。

5.1解答例かいとうれい

可逆かぎゃくinvertibleではない。三角行列さんかくぎょうれつなので、

\det C = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0

である。したがって逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

5.2解説かいせつ

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは、 $\det C \neq 0$ と可逆かぎゃくinvertibleであることは同値どうちequivalentである。この問題もんだいでは対角成分たいかくせいぶんに $0$ があるため、体積たいせきが $0$ 倍ばいに潰つぶれる。情報じょうほうが失うしなわれるので入力にゅうりょくを一意いちいに復元ふくげんできない。

5Problem 4

C = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

invertible可逆かぎゃく? Give a reason.

5.1Answer example

No. Since it is triangular,

\det C = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0.

Therefore its inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ does not exist.

5.2Explanation

For square matrices, nonzero determinant is equivalent to invertibility. A zero determinant means volume collapses to 0 and input information cannot be recovered uniquely.

6問題もんだい 5

次つぎの主張しゅちょうが正ただしいかを判定はんていせよ。

「 $A$ が正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixで、同おなじ行ぎょうrowをもつなら $\det A = 0$ である。」

6.1解答例かいとうれい

正ただしい。

6.2解説かいせつ

同おなじ行ぎょうrowが 2 本ほんあると、行ぎょうベクトルrow vectorが一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceになる。幾何的きかてきには、互たがいに独立どくりつindependentな方向ほうこうが不足ふそくするため、体積たいせきが $0$ になる。行交換ぎょうこうかんで符号ふごうが反転はんてんする一方いっぽう、同おなじ行ぎょうrowを交換こうかんしても行列ぎょうれつmatrixは変かわらない。したがって $\det A = - \det A$ となり、 $\det A = 0$ である。

6Problem 5

Decide whether this statement is true:

"If a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ has two identical rows, then $\det A = 0$ ."

6.1Answer example

True.

6.2Explanation

Two identical rows are linearly dependent一次従属いちじじゅうぞく. Also, swapping them leaves the matrix unchanged but changes the determinant sign, so $\det A = - \det A$ and hence $\det A = 0$ .

7補充問題ほじゅうもんだい：行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさんと可逆性かぎゃくせい

7.1問題もんだい 6

$\det (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ を計算けいさんせよ。

7.2解答例かいとうれい

$4 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 10$ である。

7.3問題もんだい 7

2 行ぎょうrowを交換こうかんしたとき、行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするか述のべよ。

7.4解答例かいとうれい

符号ふごうが反転はんてんする。

7.5問題もんだい 8

2 列れつcolumnを交換こうかんしたとき、行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするか述のべよ。

7.6解答例かいとうれい

符号ふごうが反転はんてんする。

7.7問題もんだい 9

行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 になる $2 \times 2$ 行列ぎょうれつmatrixを 1 つ構成こうせいせよ。

7.8解答例かいとうれい

たとえば

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

は 2 行目ぎょうめが 1 行目ぎょうめの 2 倍ばいなので行列式ぎょうれつしきdeterminantは 0 である。

7.9問題もんだい 10

第二列だいにれつに零れいが多おおい $3 \times 3$ 行列ぎょうれつmatrixを余因子展開よいんしてんかいで計算けいさんせよ。

7.10解答例かいとうれい

たとえば

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})

なら、第二列だいにれつで展開てんかいすると

\det A = 5 (- 1)^{2 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = 20

である。

7.11問題もんだい 11

余因子よいんしの符号ふごうを $3 \times 3$ の表ひょうで書かけ。

7.12解答例かいとうれい

(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix})

7.13問題もんだい 12

$\det A = 0$ のとき、 $A^{- 1}$ が存在そんざいしない理由りゆうを説明せつめいせよ。

7.14解答例かいとうれい

$\det A = 0$ は線型変換せんけいへんかんlinear transformationが体積たいせきを 0 倍ばいに潰つぶすことを意味いみする。情報じょうほうが失うしなわれるため、出力しゅつりょくから入力にゅうりょくを一意いちいに復元ふくげんできず、 $A^{- 1}$ は存在そんざいしない。

7.15問題もんだい 13

列れつベクトルcolumn vector $a, b, c$ について

\det (a, b, c) = 5

であるとする。多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearityと交代性こうたいせいだけを使つかって、次つぎを求もとめよ。

$\det (a + 2 b, b, c)$
$\det (2 a, c, b)$
$\det (a, b, a + c)$

7.16解答例かいとうれい

多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearityより

\det (a + 2 b, b, c) = \det (a, b, c) + 2 \det (b, b, c) = 5

である。2 本ほんの列れつcolumnが一致いっちする項こうは 0 になる。

第だい 2 式しきでは

\det (2 a, c, b) = 2 \det (a, c, b) = - 2 \det (a, b, c) = - 10

である。 $b$ と $c$ を交換こうかんすると符号ふごうが反転はんてんする。

第だい 3 式しきでは

\det (a, b, a + c) = \det (a, b, a) + \det (a, b, c) = 5

である。

7.17解説かいせつ

この問題もんだいは、行列式ぎょうれつしきdeterminantを公式こうしきに代入だいにゅうするだけでなく、列れつcolumnに関かんする線型性せんけいせいlinearityと「同おなじ列れつcolumnが 2 本ほんあると 0」という原理げんりから値あたいを読よむ練習れんしゅうである。

7.18問題もんだい 14

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix})

について、 $B$ が $A^{- 1}$ であることを $A B$ と $B A$ の両方りょうほうを計算けいさんして確認かくにんせよ。

7.19解答例かいとうれい

A B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

である。したがって $B = A^{- 1}$ である。

この問題もんだいは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixが片側かたがわだけの記号操作きごうそうさではなく、左右さゆうから掛かけて単位行列たんいぎょうれつidentity matrixを返かえす行列ぎょうれつmatrixであることを確認かくにんする。

7.20問題もんだい 15

問題もんだい 14 の $A$ について、

b = (\begin{matrix} 5 \\ 17 \end{matrix})

とする。 $A x = b$ を $x = A^{- 1} b$ により解とき、解かいが一意いちいである理由りゆうを述のべよ。

7.21解答例かいとうれい

x = A^{- 1} b = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

である。 $A$ が可逆かぎゃくinvertibleなので、 $A x = b$ の解かいが 2 つあれば、その差さは $A (x_{1} - x_{2}) = 0$ を満みたす。 $A^{- 1}$ を掛かけると $x_{1} - x_{2} = 0$ となるため、解かいは一意いちいである。

この問題もんだいは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixが連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの一意解いちいかいと結むすびつくことを確認かくにんする。

7.22問題もんだい 16

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

について、 $A B$ と $B A$ を計算けいさんし、片側かたがわだけで単位行列たんいぎょうれつidentity matrixになっても逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixとは言いえないことを説明せつめいせよ。

7.23解答例かいとうれい

A B = (\begin{matrix} 1 \end{matrix}) = I_{1}

である。一方いっぽう、

B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq I_{2}

である。したがって、 $B$ は $A$ の両側りょうがわの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixではない。

この問題もんだいは、長方行列ちょうほうぎょうれつでは片側逆かたがわぎゃくが現あらわれても、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixと同おなじようには扱あつかえないことを確認かくにんする。

7.24問題もんだい 17

$\det A = 6$ とする。次つぎの列操作れつそうさの後あとで行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするかを答こたえよ。

$C_{1} \leftrightarrow C_{3}$
$C_{2} \leftarrow 3 C_{2}$
$C_{3} \leftarrow C_{3} - 5 C_{1}$

7.25解答例かいとうれい

列れつcolumnの交換こうかんなので $- 6$ 。
列れつcolumnの 3 倍ばいなので $18$ 。
他列たれつの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationなので $6$ 。

この問題もんだいは、行ぎょうrowだけでなく列れつcolumnの基本変形きほんへんけいelementary operationでも行列式ぎょうれつしきdeterminantの変化へんかを追跡ついせきできることを確認かくにんする。

7.26問題もんだい 18

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationによる変化へんかを追跡ついせきしながら求もとめよ。

7.27解答例かいとうれい

まず $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$ とする。この交換こうかんで行列式ぎょうれつしきdeterminantの符号ふごうが反転はんてんする。

(\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix})

つぎの 2 つの行ぎょうrowへの加算かさんは行列式ぎょうれつしきdeterminantを変かえない。

R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1}, R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{2}

したがって

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

を得える。さらに $R_{2} \leftarrow \frac{1}{2} R_{2}$ とすると、

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

となる。この定数倍ていすうばいでは行列式ぎょうれつしきdeterminantが $\frac{1}{2}$ 倍ばいになる。最後さいごの三角行列さんかくぎょうれつの行列式ぎょうれつしきdeterminantは

1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

である。よって、定数倍ていすうばいの前まえの行列式ぎょうれつしきdeterminantは $4$ 、最初さいしょの行交換ぎょうこうかんの前まえの行列式ぎょうれつしきdeterminantは

\det A = - 4

である。

この問題もんだいは、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを計算けいさんの道具どうぐとして使つかうときに、交換こうかん、非零定数倍ひぜろていすうばい、他行たぎょうの倍ばいの加算かさんがそれぞれ行列式ぎょうれつしきdeterminantをどう変かえるかを同時どうじに管理かんりする練習れんしゅうである。

7Supplementary problems: determinant computation and invertibility

7.1Problem 6

Compute $\det (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ .

7.2Answer example

4 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 10.

7.3Problem 7

What happens to the determinant when two rows are swapped?

7.4Answer example

The sign is reversed.

7.5Problem 8

What happens to the determinant when two columns are swapped?

7.6Answer example

The sign is reversed.

7.7Problem 9

Construct a $2 \times 2$ matrix with determinant 0.

7.8Answer example

$(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ has determinant 0 because the second row is twice the first.

7.9Problem 10

Compute a $3 \times 3$ determinant with many zeros in the second column by cofactor expansion.

7.10Answer example

For

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}),

expanding along the second column gives

\det A = 5 (- 1)^{2 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = 20.

7.11Problem 11

Write the cofactor sign pattern for $3 \times 3$ .

7.12Answer example

(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}) .

7.13Problem 12

Explain why $A^{- 1}$ does not exist if $\det A = 0$ .

7.14Answer example

$\det A = 0$ means the transformation collapses volume to 0. Information is lost, so inputs cannot be recovered uniquely.

7.15Problem 13

Let column vectors $a, b, c$ satisfy $\det (a, b, c) = 5$ . Using multilinearity and alternation, find:

$\det (a + 2 b, b, c)$
$\det (2 a, c, b)$
$\det (a, b, a + c)$

7.16Answer example

\det (a + 2 b, b, c) = \det (a, b, c) + 2 \det (b, b, c) = 5.

\det (2 a, c, b) = 2 \det (a, c, b) = - 2 \det (a, b, c) = - 10.

\det (a, b, a + c) = \det (a, b, a) + \det (a, b, c) = 5.

7.17Explanation

The terms with two equal columns are 0, and swapping columns reverses sign.

7.18Problem 14

For

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}),

confirm that $B = A^{- 1}$ by computing $A B$ and $B A$ .

7.19Answer example

A B = I_{2}, B A = I_{2.}

Therefore $B = A^{- 1}$ .

7.20Problem 15

For the same $A$ and $b = (5, 17)^{T}$ , solve $A x = b$ by $x = A^{- 1} b$ and explain uniqueness.

7.21Answer example

x = A^{- 1} b = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) .

If two solutions existed, their difference would satisfy $A (x_{1} - x_{2}) = 0$ . Multiplying by $A^{- 1}$ gives $x_{1} - x_{2} = 0$ , so the solution is unique.

7.22Problem 16

For

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}),

compute $A B$ and $B A$ and explain why a one-sided identity is not enough for an inverse matrix.

7.23Answer example

A B = I_{1},

but

B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq I_{2.}

Thus $B$ is not a two-sided inverse of $A$ .

7.24Problem 17

Suppose $\det A = 6$ . How does the determinant change after:

$C_{1} \leftrightarrow C_{3}$
$C_{2} \leftarrow 3 C_{2}$
$C_{3} \leftarrow C_{3} - 5 C_{1}$

7.25Answer example

$- 6$
$18$
$6$

7.26Problem 18

Find the determinant of

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix})

while tracking row-operation changes.

7.27Answer example

Swap $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$ , reversing sign:

(\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}) .

The additions $R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1}$ and $R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{2}$ do not change determinant, giving

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Then $R_{2} \leftarrow \frac{1}{2} R_{2}$ halves the determinant and gives triangular determinant $2$ , so before that scaling it was $4$ . Undoing the initial swap gives

\det A = - 4.

8関連講義かんれんこうぎ

8Related lectures

9証明しょうめい演習えんしゅう：列加算れつかさんで行列式ぎょうれつしきが変かわらないこと

9.1問題もんだい

行列式ぎょうれつしきの列れつに関かんする線型性せんけいせいと、二ふたつの列れつが等ひとしいと行列式ぎょうれつしきが 0 になることを使つかって、 $C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ で行列式ぎょうれつしきが変かわらないことを証明しょうめいせよ。

9.2解答かいとう

第だい $i$ 列れつについて線型性せんけいせいを使つかうと、

D (\dots, C_{i} + λ C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) = D (\dots, C_{i}, \dots, C_{j}, \dots) + λ D (\dots, C_{j}, \dots, C_{j}, \dots)

である。第二項だいにこうは二ふたつの列れつが等ひとしいため 0 である。よって行列式ぎょうれつしきは変かわらない。

9.3解説かいせつ

この証明しょうめいは、行列式ぎょうれつしきの計算規則けいさんきそくが多重線型性たじゅうせんけいせいから導みちびかれることを確認かくにんする演習えんしゅうである。

9Proof exercise: column addition does not change determinant

9.1Problem

Using column-linearity of the determinant and the fact that the determinant is 0 when two columns are equal, prove that $C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ does not change the determinant.

9.2Answer

By linearity in the $i$ -th column,

D (\dots, C_{i} + λ C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) = D (\dots, C_{i}, \dots, C_{j}, \dots) + λ D (\dots, C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) .

The second term is 0 because two columns are equal. Hence the determinant is unchanged.

9.3Explanation

This proof shows how determinant computation rules follow from multilinearity多重線型性たじゅうせんけいせい.