余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionと可逆性かぎゃくせいinvertibilityの判定はんてい

date2026-07-14document_iddoc_948ed6f28f579f32c052b1cacfb93935description余因子展開を置換による行列式の定義から証明し、余因子行列・随伴行列・逆行列公式を通して行列式と可逆性を接続する講義である。prerequisites置換による行列式の定義 / 行列式の計算規則 / 逆行列の基本 / 正方行列type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecturedeterminant

Cofactor expansion余因子展開よいんしてんかい and testing invertibility可逆性かぎゃくせい

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは新あたらしい行列式ぎょうれつしきdeterminantの定義ていぎではなく、置換ちかんpermutationによる定義ていぎから導みちびかれる展開公式てんかいこうしきであるということである。

行列式ぎょうれつしきdeterminantの置換定義ちかんていぎは概念がいねんの根拠こんきょとして強力きょうりょくだが、計算けいさんでは項こうが $n!$ 個こに増ふえる。余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは、1 本ほんの行ぎょうrowまたは列れつcolumnに注目ちゅうもくし、 $n$ 次じの行列式ぎょうれつしきdeterminantを $(n - 1)$ 次じの行列式ぎょうれつしきdeterminantへ分解ぶんかいする。

さらに、余因子よいんしcofactorを並ならべると随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixが得えられ、そこから $A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A)$ が証明しょうめいできる。したがって、この講義こうぎは計算手順けいさんてじゅんだけでなく、行列式ぎょうれつしきdeterminantと可逆性かぎゃくせいinvertibilityの関係かんけいを証明しょうめいする場所ばしょでもある。

1Introduction

The key point is that cofactor expansion余因子展開よいんしてんかい is not a new definition of the determinant行列式ぎょうれつしき. It is a theorem derived from the permutation definition. It reduces an $n \times n$ determinant to determinants of size $(n - 1) \times (n - 1)$ .

Cofactors also form the adjugate matrix随伴行列ずいはんぎょうれつ, which proves the inverse formula

A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A)

when $\det A \neq 0$ .

2用語ようごと定義ていぎ

$A = (a_{i j})$ を $n \times n$ 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。

小行列しょうぎょうれつsubmatrix $A^{(i | j)}$ とは、 $A$ から第だい $i$ 行ぎょうrowと第だい $j$ 列れつcolumnを除のぞいて得える $(n - 1) \times (n - 1)$ 行列ぎょうれつmatrixである。

小行列式しょうぎょうれつしきminorを

M_{i j} = \det A^{(i | j)}

で定義ていぎする。余因子よいんしcofactorを

C_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}

で定義ていぎする。 $(- 1)^{i + j}$ は市松模様いちまつもようの符号ふごうsignであり、除のぞいた行ぎょうrowと列れつcolumnを先頭せんとうへ移動いどうするために必要ひつような交換回数こうかんかいすうの偶奇ぐうきparityを記録きろくしている。

余因子行列よいんしぎょうれつcofactor matrixを $C (A) = (C_{i j})$ と書かく。随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixを

adj (A) = C (A)^{T}

で定義ていぎする。つまり、随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixは余因子行列よいんしぎょうれつcofactor matrixを転置てんちtransposeしたものである。

2Terms and definitions

Let $A = (a_{i j})$ be an $n \times n$ square matrix正方行列せいほうぎょうれつ. The submatrix小行列しょうぎょうれつ $A^{(i | j)}$ is obtained by deleting row $i$ and column $j$ .

The minor小行列式しょうぎょうれつしき and cofactor余因子よいんし are

M_{i j} = \det A^{(i | j)}, C_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j} .

The cofactor matrix余因子行列よいんしぎょうれつ is $C (A) = (C_{i j})$ , and the adjugate matrix随伴行列ずいはんぎょうれつ is

adj (A) = C (A)^{T} .

3方針ほうしん

証明しょうめいの方針ほうしんは明確めいかくである。置換ちかんpermutationによる行列式ぎょうれつしきdeterminantの和わを、選えらんだ行ぎょうrowの成分せいぶんごとに分類ぶんるいする。

たとえば第だい $i$ 行ぎょうrowで展開てんかいするなら、置換ちかんの項こうを

σ (i) = 1, σ (i) = 2, \dots, σ (i) = n

の $n$ 群ぐんに分わける。 $σ (i) = j$ の群ぐんでは、第だい $i$ 行ぎょうrowから $a_{i j}$ を選えらんでいる。その残のこりの選択せんたくは、第だい $i$ 行ぎょうrowと第だい $j$ 列れつcolumnを除のぞいた小行列しょうぎょうれつsubmatrixの行列式ぎょうれつしきdeterminantそのものである。

この分類ぶんるいで現あらわれる符号ふごうsignが $(- 1)^{i + j}$ であり、それが余因子よいんしcofactorの定義ていぎである。

3Plan

To expand along row $i$ , group the permutation sum by the value of $σ (i)$ . The group with $σ (i) = j$ contains the factor $a_{i j}$ , and the remaining choices are exactly the determinant of the submatrix obtained by deleting row $i$ and column $j$ . The sign correction is $(- 1)^{i + j}$ .

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは、高次こうじの体積たいせきvolumeを、1 方向ほうこうを基準きじゅんにして低次ていじの体積たいせきvolumeへ分解ぶんかいする操作そうさである。3 次じの体積たいせきを「高たかさ×底面積ていめんせき」として確認かくにんするのと同おなじように、行列式ぎょうれつしきdeterminantでも選えらんだ行ぎょうrowまたは列れつcolumnの成分せいぶんを係数けいすうとして、残のこった小行列式しょうぎょうれつしきminorを足たし合あわせる。

ただし、行列式ぎょうれつしきdeterminantは向むき付づきの量りょうである。行ぎょうと列れつを除のぞく位置いちによって向むきが反転はんてんする場合ばあいがあるため、 $(- 1)^{i + j}$ の符号ふごうsignが必要ひつようになる。

4Intuitive explanation

Cofactor expansion decomposes high-dimensional oriented volume by fixing one row or column. The selected entry becomes a coefficient, and the remaining determinant measures the lower-dimensional slice. The checkerboard sign $(- 1)^{i + j}$ corrects orientation.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionの定理ていり

$A$ を $n \times n$ 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。任意にんいの第だい $i$ 行ぎょうrowについて、

\det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

が成立せいりつする。また、任意にんいの第だい $j$ 列れつcolumnについて、

\det A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

が成立せいりつする。

5.22. 行展開ぎょうてんかいの証明しょうめい

置換ちかんpermutationによる定義ていぎから出発しゅっぱつする。

\det A = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) a_{1 σ (1)} \dots a_{i σ (i)} \dots a_{n σ (n)}

この和わを、 $σ (i) = j$ となる $j$ ごとに分割ぶんかつする。 $σ (i) = j$ の項こうでは、必かならず $a_{i j}$ が因子いんしとして現あらわれる。

第だい $i$ 行ぎょうrowを先頭せんとうへ移動いどうするには $i - 1$ 回かいの隣接交換りんせつこうかんが必要ひつようである。第だい $j$ 列れつcolumnを先頭せんとうへ移動いどうするには $j - 1$ 回かいの隣接交換りんせつこうかんが必要ひつようである。したがって、この取とり出だしで現あらわれる符号ふごうsignは

(- 1)^{(i - 1) + (j - 1)} = (- 1)^{i + j}

である。

残のこった行ぎょうと列れつについての選択せんたくは、まさに $A^{(i | j)}$ の置換ちかんpermutationによる行列式ぎょうれつしきdeterminantである。したがって、 $σ (i) = j$ の群ぐんの和わは

a_{i j} (- 1)^{i + j} \det A^{(i | j)} = a_{i j} C_{i j}

である。 $j = 1, \dots, n$ について足たし合あわせると、

\det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

を得える。

5.33. 列展開れつてんかいの証明しょうめい

列れつcolumnでの展開てんかいも同様どうようである。あるいは、置換ちかんpermutationの定義ていぎから $\det A = \det A^{T}$ が従したがうことを使つかって、 $A^{T}$ の行展開ぎょうてんかいを $A$ の列展開れつてんかいとして読よみ替かえればよい。

$\det A = \det A^{T}$ は、置換ちかん $σ$ と逆置換ぎゃくちかん $σ^{- 1}$ を対応たいおうさせることで確認かくにんできる。 $sgn (σ) = sgn (σ^{- 1})$ であり、積せきの因子いんしは順序じゅんじょを入いれ替かえても同おなじである。

5.44. 随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixの恒等式こうとうしき

随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixは、余因子よいんしcofactorを転置てんちして並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。ここで示しめす恒等式こうとうしきは

A adj (A) = adj (A) A = (\det A) I

である。

まず $A adj (A)$ の $(i, k)$ 成分せいぶんを計算けいさんする。 $adj (A)$ の $(j, k)$ 成分せいぶんは $C_{k j}$ なので、

(A adj (A))_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{k j}

である。 $i = k$ のとき、これは第だい $i$ 行ぎょうrowによる余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionであり、 $\det A$ に等ひとしい。

$i \neq k$ のとき、第だい $k$ 行ぎょうrowを第だい $i$ 行ぎょうrowで置おき換かえた行列ぎょうれつmatrixを $B$ とする。 $B$ は第だい $i$ 行ぎょうrowと第だい $k$ 行ぎょうrowが等ひとしいので、 $\det B = 0$ である。一方いっぽう、 $B$ を第だい $k$ 行ぎょうrowで展開てんかいすると、

\det B = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{k j}

である。したがって $(A adj (A))_{i k} = 0$ である。

以上いじょうより、 $A adj (A)$ は対角成分たいかくせいぶんが $\det A$ 、非対角成分ひたいかくせいぶんが $0$ の行列ぎょうれつmatrixである。すなわち

A adj (A) = (\det A) I

である。 $adj (A) A = (\det A) I$ も、列展開れつてんかいを使つかって同様どうように証明しょうめいできる。

5.55. 逆行列逆行列ぎゃくぎょうれつの公式こうしき

$\det A \neq 0$ とする。このとき、実数じっすうまたは複素数ふくそすうでは $\det A$ で割わることができる。したがって前節ぜんせつの恒等式こうとうしきを $\det A$ で割わると、

A (\frac{1}{\det A} adj (A)) = I, (\frac{1}{\det A} adj (A)) A = I

となる。よって

A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A)

である。

逆ぎゃくに、 $A$ が可逆かぎゃくinvertibleなら、積せきの公式こうしきproduct formulaより

\det A \cdot \det (A^{- 1}) = \det I = 1

である。したがって $\det A \neq 0$ である。ゆえに

A は可逆 ⟺ \det A \neq 0

が成立せいりつする。

5Precise explanation

5.11. Cofactor expansion theorem

For an $n \times n$ square matrix $A$ ,

\det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

for every row $i$ , and

\det A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

for every column $j$ .

5.22. Proof of row expansion

Start from the permutation definition and group terms by the value of $σ (i)$ . In the group with $σ (i) = j$ , the factor $a_{i j}$ appears. Moving row $i$ and column $j$ to the front requires $(i - 1) + (j - 1)$ adjacent swaps, giving the sign $(- 1)^{i + j}$ . The remaining signed sum is the determinant of $A^{(i | j)}$ . Thus that group contributes $a_{i j} C_{i j}$ , and summing over $j$ proves the row expansion.

Column expansion follows similarly, or by applying row expansion to $A^{T}$ and using $\det A = \det A^{T}$ .

5.33. Adjugate identity

The $(i, k)$ entry of $A adj (A)$ is

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{k j} .

If $i = k$ , this is the cofactor expansion of $\det A$ . If $i \neq k$ , it is the determinant of the matrix obtained by replacing row $k$ by row $i$ , expanded along row $k$ . That matrix has two equal rows, so its determinant is zero. Therefore

A adj (A) = (\det A) I .

The identity $adj (A) A = (\det A) I$ follows similarly from column expansion.

5.44. Inverse formula

If $\det A \neq 0$ , then division by $\det A$ is allowed, so

A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A) .

Conversely, if $A$ is invertible, then

\det A \cdot \det (A^{- 1}) = \det I = 1,

so $\det A \neq 0$ . Hence $A$ is invertible if and only if $\det A \neq 0$ .

6具体例ぐたいれい

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix})

を第だい 1 行ぎょうrowで展開てんかいする。第だい 1 行ぎょうrowの成分せいぶんは $1, 0, 2$ なので、0 の項こうは消きえる。

\begin{aligned} \det A &= 1\cdot(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} +0\cdot C_{12}\\ &\quad+ 2\cdot(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}\\ &= 1(1)+2(12)=25 \end{aligned}\begin{aligned} \det A &= 1\cdot(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} +0\cdot C_{12}\\ &\quad+ 2\cdot(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}\\ &= 1(1)+2(12)=25 \end{aligned}

したがって $\det A = 25 \neq 0$ であり、 $A$ は可逆かぎゃくinvertibleである。さらに、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを余因子よいんしから構成こうせいするなら、すべての $C_{i j}$ を計算けいさんして $adj (A)$ を作つくり、 $\frac{1}{25}$ を掛かければよい。

6Worked example

For

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}),

expansion along the first row gives

\begin{aligned} \det A &= 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}\\ &= 1(1)+2(12)=25. \end{aligned}\begin{aligned} \det A &= 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}\\ &= 1(1)+2(12)=25. \end{aligned}

Thus $\det A \neq 0$ , so $A$ is invertible.

7階数かいすうrank・線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとの関係かんけい

$A$ が $n \times n$ 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixのとき、次つぎの条件じょうけんは同値どうちである。

A は可逆 ⟺ \det A \neq 0 ⟺ rank (A) = n ⟺ 列ベクトルが一次独立

行列式ぎょうれつしきdeterminantからの証明しょうめいは上うえの随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixの公式こうしきで与あたえた。階数かいすうrankからの見方みかたでは、 $rank (A) = n$ は列空間れつくうかんcolumn spaceが $K^{n}$ 全体ぜんたいであることを意味いみし、対応たいおうする線型写像せんけいしゃぞうlinear map $x \mapsto A x$ が情報じょうほうを失うしなわないことを意味いみする。

data/lecture/math/linear-algebra/rank-basics.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/rank-and-nullity-of-linear-maps.lecture.n.md

7Relation to rank and linear maps

For an $n \times n$ square matrix,

A isinvertible ⟺ \det A \neq 0 ⟺ rank (A) = n ⟺ thecolumnsarelinearlyindependent .

The determinant proof uses the adjugate formula above. The rank viewpoint says that full rank means the column space is all of $K^{n}$ , so the corresponding linear map loses no information.

data/lecture/math/linear-algebra/rank-basics.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/rank-and-nullity-of-linear-maps.lecture.n.md

8見分みわけ方かた

0 が多おおい行ぎょうrowまたは列れつcolumnがあるなら、余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionを選えらぶと項こうが減へる。
逆行列逆行列ぎゃくぎょうれつを理論的りろんてきに構成こうせいしたいなら、随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixを使つかう。
数値計算すうちけいさんだけが目的もくてきなら、大おおきい行列ぎょうれつmatrixでは余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionより行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationのほうが効率的こうりつてきである。

8How to choose the method

Use cofactor expansion when a row or column has many zeros. Use the adjugate when proving the inverse formula. For large numerical computations, row operations are usually more efficient than cofactor expansion.

9どこまで成立せいりつするか

この講義こうぎでは、成分せいぶんが実数じっすうまたは複素数ふくそすうである正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixを扱あつかう。余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは任意にんいの $n \times n$ 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixに適用てきようできるが、大規模だいきぼな行列ぎょうれつmatrixでは計算量けいさんりょうが急増きゅうぞうする。

長方行列ちょうほうぎょうれつrectangular matrixには、この意味いみの行列式ぎょうれつしきdeterminantや余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは定義ていぎしない。長方行列ちょうほうぎょうれつでは階数かいすうrankや片側逆かたがわぎゃくone-sided inverseを用もちいて情報じょうほうの残のこり方かたを調しらべる。

9Scope

This lecture treats square matrices over the real or complex numbers. Cofactor expansion applies to every square matrix, but it becomes computationally expensive for large matrices. Rectangular matrices do not have this determinant or cofactor expansion in the same sense; rank and one-sided inverses are used instead.

10最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] C_{i j} = (- 1)^{i + j} \det A^{(i | j)}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 第 i 行で \det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 第 j 列で \det A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A adj (A) = adj (A) A = (\det A) I

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det A \neq 0 \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A)

10Final forms

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] C_{i j} = (- 1)^{i + j} \det A^{(i | j)}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A adj (A) = adj (A) A = (\det A) I

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj (A) (\det A \neq 0)

11一言ひとことでいうと

余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionは、置換ちかんpermutationによる行列式ぎょうれつしきdeterminantを 1 行ぎょうまたは 1 列れつごとに分類ぶんるいした公式こうしきである。
随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixは、行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 でないときに逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを構成こうせいする。

12演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/determinants-and-invertibility.exercise.n.md

11In one sentence

Cofactor expansion groups the permutation definition by one chosen row or column.
The adjugate constructs the inverse when the determinant is nonzero.

12Exercise links

data/exercise/math/linear-algebra/determinants-and-invertibility.exercise.n.md

余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionと可逆性かぎゃくせいinvertibilityの判定はんてい

Cofactor expansion余因子展開よいんしてんかい and testing invertibility可逆性かぎゃくせい

1導入どうにゅう

1Introduction

2用語ようごと定義ていぎ

2Terms and definitions

3方針ほうしん

3Plan

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4Intuitive explanation

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 余因子展開よいんしてんかいcofactor expansionの定理ていり

5.22. 行展開ぎょうてんかいの証明しょうめい

5.33. 列展開れつてんかいの証明しょうめい

5.44. 随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixの恒等式こうとうしき

5.55. 逆行列逆行列ぎゃくぎょうれつの公式こうしき

5Precise explanation

5.11. Cofactor expansion theorem

5.22. Proof of row expansion

5.33. Adjugate identity

5.44. Inverse formula

6具体例ぐたいれい

6Worked example

7階数かいすうrank・線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとの関係かんけい

7Relation to rank and linear maps

8見分みわけ方かた

8How to choose the method

9どこまで成立せいりつするか

9Scope

10最終形さいしゅうけい

10Final forms

11一言ひとことでいうと

12演習えんしゅうリンク

11In one sentence

12Exercise links

13関連かんれんリンク

13Related links