行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算規則けいさんきそく

date2026-07-14document_iddoc_2d05fd229053bef87a3ff31380604d15description行列式を計算するための基本規則を、置換定義から得た多重線型性・交代性と、行基本変形・列基本変形への影響から整理する講義である。prerequisites正方行列 / 置換による行列式の定義 / 行基本変形 / 列基本変形 / 行列の基本演算type講義content_typelecturestatusactive

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Calculation rules for the determinant行列式ぎょうれつしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、行列式ぎょうれつしきdeterminantは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixに対たいして定義ていぎされ、可逆性かぎゃくせいと体積たいせきの伸縮率しんしゅくりつを判定はんていする量りょうであるということである。

ただし初学段階しょがくだんかいでは、まず計算規則けいさんきそくを安定あんていさせる必要ひつようがある。2×2 の公式こうしき、3×3 の計算けいさん、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationによる変化へんかを分離ぶんりして確認かくにんする。

1Introduction

The determinant行列式ぎょうれつしき is defined for square matrices正方行列せいほうぎょうれつ and detects invertibility可逆性かぎゃくせい and oriented volume scaling体積の伸縮率. For computation, the key is to track how elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい and elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい change the determinant行列式ぎょうれつしき.

2用語ようごと定義ていぎ

行列式ぎょうれつしきDeterminant とは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $A$ に対たいして対応たいおうする数かず $\det A$ である。2×2 行列ぎょうれつmatrixでは

\det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

で定義ていぎされる。

$n \times n$ の一般いっぱんの定義ていぎでは、置換ちかんpermutationを使つかって各行かくぎょう・各列かくれつから 1 個こずつ成分せいぶんを選えらぶ。この定義ていぎから、多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearityと交代性こうたいせいが導みちびかれる。

data/lecture/math/linear-algebra/determinants-by-permutations.lecture.n.md

3方針ほうしん

2×2 では対角方向たいかくほうこうの積せきの差さとして計算けいさんする。3×3 以上いじょうでは、余因子展開よいんしてんかい、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationのうち、0 を作つくりやすい方法ほうほうで三角行列さんかくぎょうれつへ近ちかづける。

data/lecture/math/linear-algebra/elementary-row-operations.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/elementary-column-operations.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

行列式ぎょうれつしきdeterminantは、行列ぎょうれつmatrixが空間くうかんの面積めんせきや体積たいせきをどれだけ伸縮しんしゅくするかを表あらわす。値あたいが 0 なら、面積めんせきや体積たいせきが 0 に潰つぶれるため、情報じょうほうが失うしなわれる。逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

5厳密げんみつな説明せつめい

2×2 の場合ばあい、

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

に対たいして

\det A = a d - b c

である。3×3 の場合ばあいは、余因子展開よいんしてんかいで 2×2 の行列式ぎょうれつしきdeterminantへ還元かんげんできる。

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと行列式ぎょうれつしきdeterminantの関係かんけいは次つぎの通とおりである。

2 行ぎょうrowを交換こうかんすると、行列式ぎょうれつしきdeterminantの符号ふごうが反転はんてんする。
1 行ぎょうrowを $c$ 倍ばいすると、行列式ぎょうれつしきdeterminantも $c$ 倍ばいされる。
ある行ぎょうrowに他ほかの行ぎょうrowの定数倍ていすうばいを加くわえても、行列式ぎょうれつしきdeterminantは変化へんかしない。

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationでも同おなじ規則きそくが成立せいりつする。

変形へんけい	行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょう
2 行ぎょうrowまたは 2 列れつcolumnを交換こうかんする	符号ふごうが反転はんてんする
1 行ぎょうrowまたは 1 列れつcolumnを $c$ 倍ばいする	$c$ 倍ばいされる
他ほかの行ぎょうrowまたは列れつcolumnの定数倍ていすうばいを加くわえる	変かわらない

5.1列操作れつそうさでなぜ同おなじ規則きそくになるか

行列式ぎょうれつしきdeterminantを列れつベクトルcolumn vectorの関数かんすうとして

D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n}) = \det [\begin{matrix} C_{1} & \dots & C_{n} \end{matrix}]

と書かく。行列式ぎょうれつしきdeterminantは各列かくれつについて線型せんけいであり、2 本ほんの列れつcolumnが等ひとしいと 0 になる。

列れつcolumnの定数倍ていすうばいについては、第だい $i$ 列れつcolumnだけに線型性せんけいせいlinearityを使つかえば

D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], λ C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n}) = λ D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n})

となる。したがって行列式ぎょうれつしきdeterminantは $λ$ 倍ばいされる。

列れつcolumnへの加算かさんについては、

\begin{aligned} D(C_1,\dots,C_i+\lambda C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) &= D(C_1,\dots,C_i,\dots,C_j,\dots,C_n)\\ &\quad+ \lambda D(C_1,\dots,C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) \end{aligned}\begin{aligned} D(C_1,\dots,C_i+\lambda C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) &= D(C_1,\dots,C_i,\dots,C_j,\dots,C_n)\\ &\quad+ \lambda D(C_1,\dots,C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) \end{aligned}

である。第だい 2 項こうは 2 本ほんの列れつcolumnが等ひとしいため 0 になる。よって行列式ぎょうれつしきdeterminantは変かわらない。

列れつcolumnの交換こうかんは、2 本ほんの列れつcolumnが入いれ替かわると向むき付づけられた体積たいせきの向むきが反転はんてんすることに対応たいおうする。代数的だいすうてきには、交代性こうたいせいから

D ([PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{j}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]) = - D ([PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{j}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")])

が従したがう。

2Terms and definition

The determinant行列式ぎょうれつしき is a number $\det A$ associated with a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ $A$ . For a $2 \times 2$ matrix行列ぎょうれつ,

\det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c .

For the general $n \times n$ definition, the permutation formula chooses one entry from each row and one entry from each column. The calculation rules below are consequences of multilinearity and alternation.

data/lecture/math/linear-algebra/determinants-by-permutations.lecture.n.md

3Strategy

For a $2 \times 2$ matrix, compute the difference of diagonal products. For $3 \times 3$ and larger matrices, choose cofactor expansion, elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい, or elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい according to which method creates zeros most easily.

data/lecture/math/linear-algebra/elementary-row-operations.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/elementary-column-operations.lecture.n.md

4Intuitive explanation

The determinant行列式ぎょうれつしき measures how much a matrix stretches area or volume. If the value is zero, area or volume collapses to zero, information is lost, and an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ does not exist.

5Rigorous explanation

For

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}),

we have $\det A = a d - b c$ . For $3 \times 3$ matrices, cofactor expansion reduces the computation to $2 \times 2$ determinants.

The effects of row and column operations are as follows.

Operation	Effect on the determinant行列式ぎょうれつしき
Swap two rows or two columns	The sign changes
Multiply one row or one column by $c$	The determinant is multiplied by $c$
Add a multiple of one row or column to another	The determinant does not change

5.1Why column operations obey the same rules

View the determinant as a function of its columns:

D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n}) = \det [\begin{matrix} C_{1} & \dots & C_{n} \end{matrix}] .

The determinant is linear in each column and becomes zero when two columns are equal. Therefore,

D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], λ C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n}) = λ D (C_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{i}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], C_{n}),

and

\begin{aligned} D(C_1,\dots,C_i+\lambda C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) &=D(C_1,\dots,C_i,\dots,C_j,\dots,C_n)\\ &\quad+\lambda D(C_1,\dots,C_j,\dots,C_j,\dots,C_n). \end{aligned}\begin{aligned} D(C_1,\dots,C_i+\lambda C_j,\dots,C_j,\dots,C_n) &=D(C_1,\dots,C_i,\dots,C_j,\dots,C_n)\\ &\quad+\lambda D(C_1,\dots,C_j,\dots,C_j,\dots,C_n). \end{aligned}

The second term is zero because two columns are equal, so column addition does not change the determinant. Swapping two columns reverses orientation, and algebraically follows from alternation.

6具体例ぐたいれい

\det (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix}) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1

である。したがってこの行列ぎょうれつmatrixは可逆かぎゃくinvertibleである。

また

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix})

では第二行だいにぎょうが第一行だいいちぎょうの 3 倍ばいであり、

\det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}) = 6 - 6 = 0

となる。行ぎょうrowが一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceであるため、面積めんせきが 0 に潰つぶれる。

6.1列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationで確認かくにんする

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

とする。列れつcolumnを交換こうかんすると

A^{'} = (\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix})

なので、

\det A^{'} = b c - a d = - (a d - b c) = - \det A

となる。

第だい 1 列れつcolumnを $λ$ 倍ばいすると

A^{'} = (\begin{matrix} λ a & b \\ λ c & d \end{matrix})

であり、

\det A^{'} = (λ a) d - b (λ c) = λ (a d - b c) = λ \det A

である。

第だい 2 列れつcolumnに第だい 1 列れつcolumnの $λ$ 倍ばいを加くわえると

A^{'} = (\begin{matrix} a & b + λ a \\ c & d + λ c \end{matrix})

であり、

\begin{aligned} \det A' &= a(d+\lambda c)-c(b+\lambda a)\\ &= ad+\lambda ac-bc-\lambda ac\\ &= ad-bc\\ &= \det A \end{aligned}\begin{aligned} \det A' &= a(d+\lambda c)-c(b+\lambda a)\\ &= ad+\lambda ac-bc-\lambda ac\\ &= ad-bc\\ &= \det A \end{aligned}

となる。

6Worked examples

\det (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix}) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1.

Therefore this matrix行列ぎょうれつ is invertible可逆かぎゃく.

Also,

\det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}) = 6 - 6 = 0.

The second row is three times the first row, so the rows are linearly dependent一次従属いちじじゅうぞく and area collapses to zero.

6.1Checking by elementary column operations

Let

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) .

If the columns are swapped, then

A^{'} = (\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix}),

\det A^{'} = b c - a d = - (a d - b c) = - \det A .

If the first column is multiplied by $λ$ , then

A^{'} = (\begin{matrix} λ a & b \\ λ c & d \end{matrix}),

and

\det A^{'} = (λ a) d - b (λ c) = λ (a d - b c) = λ \det A .

If $λ$ times the first column is added to the second column, then

A^{'} = (\begin{matrix} a & b + λ a \\ c & d + λ c \end{matrix}),

and

\begin{aligned} \det A' &= a(d+\lambda c)-c(b+\lambda a)\\ &= ad+\lambda ac-bc-\lambda ac\\ &= ad-bc\\ &= \det A. \end{aligned}\begin{aligned} \det A' &= a(d+\lambda c)-c(b+\lambda a)\\ &= ad+\lambda ac-bc-\lambda ac\\ &= ad-bc\\ &= \det A. \end{aligned}

7よくある誤解ごかい

行列式ぎょうれつしきdeterminantは任意にんいの長方行列ちょうほうぎょうれつに定義ていぎされるわけではない。正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixが対象たいしょうである。
行列式ぎょうれつしきdeterminantは単たんなる計算公式けいさんこうしきではない。可逆性かぎゃくせいと体積たいせきの伸縮率しんしゅくりつを表あらわす。
行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするかを記録きろくしないと、値あたいを誤あやまる。
列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationでも行列式ぎょうれつしきdeterminantを計算けいさんできるが、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの解かいを直接ちょくせつ保たもつ操作そうさoperationではない。

7Common misunderstandings

The determinant行列式ぎょうれつしき is not defined for arbitrary rectangular matrices; it belongs to square matrices正方行列せいほうぎょうれつ.
The determinant is not merely a formula; it records invertibility and volume scaling.
If changes to the determinant during row operations are not recorded, the final value will be wrong.
Column operations can compute determinants, but they do not directly preserve the solution set of a system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき.

8どこまで成立せいりつするか

ここでは計算規則けいさんきそくを中心ちゅうしんにした。一般いっぱんの n×n 行列ぎょうれつmatrixでは、行ぎょうrowまたは列れつcolumnに関かんする多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearity、交代性こうたいせい、 $\det I = 1$ によって特徴とくちょうづけられる。

8Scope

Here the focus is on calculation rules. For a general $n \times n$ matrix, the determinant行列式ぎょうれつしき is characterized by multilinearity in rows or columns, alternation交代性こうたいせい, and $\det I = 1$ .

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det A \neq 0 \Rightarrow A は可逆

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 行加算・列加算では \det A は変わらない

9Final forms

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] roworcolumnadditionleaves \det A unchanged

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \det A \neq 0 \Rightarrow A isinvertible

10定理ていりと証明しょうめい：行列式ぎょうれつしきが列加算れつかさんで変かわらない理由りゆう

行列式ぎょうれつしきは各列かくれつについて線型せんけいであり、二ふたつの列れつが等ひとしいと 0 になる。この二ふたつから、

C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j} (i \neq j)

では行列式ぎょうれつしきが変かわらないことが従したがう。

証明しょうめいする。 $D (C_{1}, \dots, C_{n}) = \det [C_{1} \dots C_{n}]$ と書かく。第だい $i$ 列れつについて線型性せんけいせいを使つかうと

D (\dots, C_{i} + λ C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) = D (\dots, C_{i}, \dots, C_{j}, \dots) + λ D (\dots, C_{j}, \dots, C_{j}, \dots)

である。第だい第二項だいにこうは二ふたつの列れつが等ひとしいので 0 である。したがって行列式ぎょうれつしきは変かわらない。

この証明しょうめいは、行列式ぎょうれつしきの計算規則けいさんきそくを暗記あんきではなく、多重線型性たじゅうせんけいせいから導みちびく例れいである。

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/determinants-and-invertibility.exercise.n.md

10Theorem and proof: why column addition does not change the determinant行列式ぎょうれつしき

The determinant is linear in each column and becomes zero when two columns are equal. These two facts imply that

C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j} (i \neq j)

does not change the determinant.

Proof. Write $D (C_{1}, \dots, C_{n}) = \det [C_{1} \dots C_{n}]$ . Linearity in the $i$ -th column gives

D (\dots, C_{i} + λ C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) = D (\dots, C_{i}, \dots, C_{j}, \dots) + λ D (\dots, C_{j}, \dots, C_{j}, \dots) .

The second term is zero because two columns are equal. Therefore the determinant is unchanged. This proof derives the calculation rule from multilinearity rather than treating it as a memorized trick.

11Exercise links