行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_8ae033f0135b9133968f42e9d959282cdescription行基本変形を、連立一次方程式の解集合を保ったまま係数を整理する三種類の操作として説明し、左から基本行列を掛ける意味と列基本変形との違いまで整理する講義である。prerequisites拡大係数行列 / 行列の基本演算type講義content_typelecturestatusactive

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Basics of elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい

1導入どうにゅう

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsを解くtermための中心ちゅうしん的てきな操作そうさである。係数けいすうを見やすくterm変形へんけいしても、解かい集合しゅうごうを変えtermないことが目的もくてきである。

なぜこの操作そうさを考えるtermのか。理由りゆうは、行基ぎょうき本ほん変形へんけいが「方程式ほうていしきを同値どうちな方程式ほうていしきに置き換えるterm操作そうさ」だからである。後でterm掃き出しterm法ほう、階数かいすう、逆ぎゃく行列ぎょうれつ、行列ぎょうれつ式しき計算けいさんに使うtermが、根本こんぽんには解かい集合しゅうごうを保つtermという性質せいしつがある。

1Introduction

An elementary row operation行基本変形ぎょうきほんへんけい is a central operation for solving a system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき. Its purpose is to make the coefficients easier to read without changing the solution set.

Why do we consider these operations? Because each row operation replaces equations by equivalent equations. Later they are used in elimination, rank, inverse matrices, and determinant computation, but the basic reason is that they preserve the solution set.

2用語ようごと定義ていぎ

行基ぎょうき本ほん変形へんけいは、行くだりに対してterm行うterm次つぎの3種類しゅるいの可逆かぎゃくな操作そうさである。

\begin{array}{c|c|c} \text{操作} & \text{記号} & \text{意味}\\ \hline \text{行の交換} & R_i\leftrightarrow R_j & i\text{行目と}j\text{行目を交換する}\\ \text{行の非零定数倍} & R_i\leftarrow cR_i,\ c\ne 0 & i\text{行目全体を}c\text{倍する}\\ \text{行への加算} & R_i\leftarrow R_i+cR_j & i\text{行目に}j\text{行目の}c\text{倍を加える} \end{array}\begin{array}{c|c|c} \text{操作} & \text{記号} & \text{意味}\\ \hline \text{行の交換} & R_i\leftrightarrow R_j & i\text{行目と}j\text{行目を交換する}\\ \text{行の非零定数倍} & R_i\leftarrow cR_i,\ c\ne 0 & i\text{行目全体を}c\text{倍する}\\ \text{行への加算} & R_i\leftarrow R_i+cR_j & i\text{行目に}j\text{行目の}c\text{倍を加える} \end{array}

c != 0 が必要ひつようなのは、行くだりの定数ていすう倍ばいを元もとに戻すtermときに 1/c を使うtermからである。ここでは文字もじで割るtermので、割るterm相手あいてが非ひ零れいであることを明示めいじする。

2Terms and definitions

Elementary row operations are the following three reversible operations on rows.

\begin{array}{c|c|c} \text{Operation} & \text{Notation} & \text{Meaning}\\ \hline \text{Row swap} & R_i\leftrightarrow R_j & \text{exchange row }i\text{ and row }j\\ \text{Nonzero row scaling} & R_i\leftarrow cR_i,\ c\ne 0 & \text{multiply row }i\text{ by }c\\ \text{Row replacement} & R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{add }c\text{ times row }j\text{ to row }i \end{array}\begin{array}{c|c|c} \text{Operation} & \text{Notation} & \text{Meaning}\\ \hline \text{Row swap} & R_i\leftrightarrow R_j & \text{exchange row }i\text{ and row }j\\ \text{Nonzero row scaling} & R_i\leftarrow cR_i,\ c\ne 0 & \text{multiply row }i\text{ by }c\\ \text{Row replacement} & R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{add }c\text{ times row }j\text{ to row }i \end{array}

The condition c != 0 is necessary because undoing the scaling uses 1/c. Since we divide by a symbolic quantity here, the nonzero condition must be stated explicitly.

3方針ほうしん

行基ぎょうき本ほん変形へんけいを見るterm観点かんてんは2つある。

1つ目めは方程式ほうていしきの観点かんてんである。各行かくこうは1本ほんの方程式ほうていしきを表すterm。方程式ほうていしきを入れ替えるterm、非ひ零れい倍ばいする、他たの方程式ほうていしきの倍ばいを足すterm、という操作そうさは、同じterm解かいを持つterm方程式ほうていしき系けいを作るterm。

2つ目めは行列ぎょうれつの観点かんてんである。行基ぎょうき本ほん変形へんけいは、左ひだりから基本行列きほんぎょうれつelementary matrixを掛けるterm操作そうさである。

A ⟼ E A

この式しきは、左ひだりから掛けるterm行列ぎょうれつが $A$ の行くだりを線型せんけい結合けつごうして新しいterm行くだりを作るtermことを表しtermている。

3Plan

There are two viewpoints on row operations.

The first is the equation viewpoint. Each row represents one equation. Swapping equations, multiplying an equation by a nonzero scalar, or adding a multiple of one equation to another creates an equivalent system with the same solutions.

The second is the matrix viewpoint. An elementary row operation is multiplication by an elementary matrix基本行列きほんぎょうれつ from the left.

A ⟼ E A .

This formula means that the matrix on the left forms new rows as linear combinations of the rows of $A$ .

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきでは、式しきの並びterm順じゅんを変えtermても解かいは変わらtermない。式しき全体ぜんたいを非ひ零れい倍ばいしても、同じterm条件じょうけんを別べつの尺度しゃくどで書いtermただけである。さらに、すでに満たすtermべき式しきの倍ばいを別べつの式しきに足しtermても、解かいが満たすterm条件じょうけんは変わらtermない。

したがって、行基ぎょうき本ほん変形へんけいは「解かいを保っtermたまま見た目termを整えるterm」操作そうさである。掃き出しterm法ほうで階段かいだん形がたにするのは、解かいを変えるtermためではなく、隠れtermていた制約せいやくを読みtermやすくするためである。

4Intuitive explanation

In a system of linear equations, changing the order of equations does not change the solutions. Multiplying an entire equation by a nonzero scalar only writes the same condition using a different scale. Adding a multiple of an already required equation to another equation also keeps the same solution set.

Thus elementary row operations clean up the appearance while preserving the solutions. Row reduction produces echelon forms not to change the solutions, but to make the hidden constraints easier to read.

5具体例ぐたいれい

5.1問題もんだい

次つぎの拡大かくだい係数けいすう行列ぎょうれつを行くだり基本きほん変形へんけいで整理せいりし、対応たいおうする解かいを求めtermよ。

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)

5.2解説かいせつ

まず $R_{2} < - R_{2} - 3 R_{1}$ とする。

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)

次にterm $R_{2} < - - \frac{1}{2} R_{2}$ とする。このとき割っtermているのは数かず $- 2$ であり非ひ零れいである。

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&1&2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&1&2 \end{array}\right)

最後さいごに $R_{1} < - R_{1} - 2 R_{2}$ とする。

\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2 \end{array}\right)

したがって解かいは $x = 1$ , $y = 2$ である。この例題れいだいでは、各かく操作そうさが解かい集合しゅうごうを変えtermないことを使っtermて、見やすいterm同値どうちな形かたちへ移しtermている。

5Worked example

5.1Problem

Use elementary row operations to simplify the augmented matrix and find the corresponding solution.

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)

5.2Explanation

First apply $R_{2} < - R_{2} - 3 R_{1}$ .

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)

Next apply $R_{2} < - - \frac{1}{2} R_{2}$ . The division is by the number $- 2$ , which is nonzero.

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&1&2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&1&2 \end{array}\right)

Finally apply $R_{1} < - R_{1} - 2 R_{2}$ .

\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2 \end{array}\right)

Therefore the solution is $x = 1$ , $y = 2$ . This example uses the fact that each row operation preserves the solution set while moving the system to a more readable equivalent form.

6操作そうさごとに保存ほぞんされるもの・変わるtermもの

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、このページの本流ほんりゅうは「拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつに行基本変形ぎょうきほんへんけいを施ほどこしても解集合かいしゅうごうが変かわらない」ことである。階数かいすうrankと行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょうは後続こうぞくの講義こうぎで定義ていぎ・証明しょうめいする先取さきどりであり、ここでは何なにが変かわりうるかを見通みとおすために名前なまえだけを使つかう。

行基ぎょうき本ほん変形へんけいは、拡大かくだい係数けいすう行列ぎょうれつに対してterm行えtermば連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきの解かい集合しゅうごうを保つterm。係数けいすう行列ぎょうれつだけを見るtermと、階数かいすうも保つterm。これは行基ぎょうき本ほん変形へんけいが可逆かぎゃく行列ぎょうれつを左ひだりから掛けるterm操作そうさだからである。

一方いっぽう、行列ぎょうれつそのものの成分せいぶん、行くだり空間くうかんの具体ぐたい的てきな基底きてい、行列ぎょうれつ式しきの値ねは変わるtermことがある。正方せいほう行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきへの影響えいきょうは次つぎの通りtermである。

\begin{array}{c|c} \text{行操作} & \det A\text{への影響}\\ \hline R_i\leftrightarrow R_j & \text{符号が反転する}\\ R_i\leftarrow cR_i & c\text{倍される}\\ R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{変わらない} \end{array}\begin{array}{c|c} \text{行操作} & \det A\text{への影響}\\ \hline R_i\leftrightarrow R_j & \text{符号が反転する}\\ R_i\leftarrow cR_i & c\text{倍される}\\ R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{変わらない} \end{array}

したがって、行基ぎょうき本ほん変形へんけいは「何なにでも保存ほぞんする」操作そうさではない。何なにを目的もくてきに使っtermているかに応じtermて、保存ほぞんされる量りょうと変わるterm量りょうを区別くべつする必要ひつようがある。

6What each operation preserves and changes

As an order note, the main point of this page is that applying row operations to an augmented matrix preserves the solution set. Statements about rank階数かいすう and the determinant行列式ぎょうれつしき are previews of later lectures where these quantities are defined and proved carefully. Here they are named only to show what can change or remain unchanged.

When applied to an augmented matrix, elementary row operations preserve the solution set of the system. For the coefficient matrix alone, they also preserve rank. This is because a row operation is multiplication by an invertible matrix from the left.

However, the actual entries, the particular basis of the row space, and the value of the determinant may change. For a square matrix, the determinant changes as follows.

\begin{array}{c|c} \text{Row operation} & \text{Effect on }\det A\\ \hline R_i\leftrightarrow R_j & \text{changes sign}\\ R_i\leftarrow cR_i & \text{is multiplied by }c\\ R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{does not change} \end{array}\begin{array}{c|c} \text{Row operation} & \text{Effect on }\det A\\ \hline R_i\leftrightarrow R_j & \text{changes sign}\\ R_i\leftarrow cR_i & \text{is multiplied by }c\\ R_i\leftarrow R_i+cR_j & \text{does not change} \end{array}

Thus row operations do not preserve everything. One must distinguish what is preserved and what changes according to the purpose of the calculation.

7列れつ基本きほん変形へんけいとの比較ひかく

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列れつに作用さようするので、右みぎから基本きほん行列ぎょうれつを掛けるterm。

A ⟼ A F

列れつ基本きほん変形へんけいは列れつ空間くうかんや階数かいすうを保つtermが、連立れんりつ方程式ほうていしき $A x = b$ の未知数みちすうの意味いみを変えるterm。したがって、方程式ほうていしきを解くterm目的もくてきでは行基ぎょうき本ほん変形へんけいを使うtermのが自然しぜんである。列れつ基本きほん変形へんけいを使うtermなら、未知数みちすうの変換へんかんも同時にterm追跡ついせきする必要ひつようがある。

7Comparison with elementary column operations

An elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい acts on columns, so it is represented by multiplication by an elementary matrix from the right.

A ⟼ A F .

Column operations preserve the column space and rank, but they change the meaning of the unknowns in a system $A x = b$ . Therefore row operations are the natural tool when solving systems. If column operations are used, the corresponding change of variables must also be tracked.

8定理ていりと証明しょうめい：行ぎょう基本きほん変形へんけいは解かい集合しゅうごうを保つterm

8.1定理ていり

拡大かくだい係数けいすう行列ぎょうれつに行基ぎょうき本ほん変形へんけいを施しtermて得えられる連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきは、もとの連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきと同じterm解かい集合しゅうごうを持つterm。

8.2証明しょうめい

行くだりの交換こうかんは、方程式ほうていしきの順序じゅんじょを入れ替えるtermだけなので解かい集合しゅうごうを変えtermない。

行くだりの非ひ零れい定数ていすう倍ばいでは、方程式ほうていしき $p (x) = q$ を $c p (x) = c q$ に置き換えるterm。c != 0 なので、逆ぎゃくに 1/c 倍すれtermば元もとの方程式ほうていしきに戻るterm。したがって同値どうちである。

行くだりへの加算かさんでは、方程式ほうていしき $p_{i} (x) = q_{i}$ を $p_{i} (x) + c p_{j} (x) = q_{i} + c q_{j}$ に置き換えるterm。もし $x$ が元もとの全ぜん方程式ほうていしきを満たすtermなら新しいterm方程式ほうていしきも満たすterm。逆ぎゃくに、新しいterm方程式ほうていしきと $p_{j} (x) = q_{j}$ が成立するtermなら、後者こうしゃの $c$ 倍ばいを引いtermて $p_{i} (x) = q_{i}$ が戻るterm。よって解かい集合しゅうごうは同じtermである。

8Theorem and proof: row operations preserve the solution set

8.1Theorem

A system obtained from an augmented matrix by elementary row operations has the same solution set as the original system.

8.2Proof

A row swap only changes the order of the equations, so it does not change the solution set.

For nonzero row scaling, the equation $p (x) = q$ is replaced by $c p (x) = c q$ . Since c != 0, multiplying back by 1/c recovers the original equation. Hence the two equations are equivalent.

For row replacement, the equation $p_{i} (x) = q_{i}$ is replaced by $p_{i} (x) + c p_{j} (x) = q_{i} + c q_{j}$ . If $x$ satisfies all original equations, it satisfies the new equation. Conversely, if the new equation and $p_{j} (x) = q_{j}$ both hold, subtracting $c$ times the latter recovers $p_{i} (x) = q_{i}$ . Hence the solution set is unchanged.

9最終形さいしゅうけい

行基ぎょうき本ほん変形へんけいは、次つぎの3種類しゅるいの可逆かぎゃくな行くだり操作そうさである。

R_{i} \leftrightarrow R_{j}, R_{i} \leftarrow c R_{i} (c \neq 0), R_{i} \leftarrow R_{i} + c R_{j}

連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきでは解かい集合しゅうごうを保つterm。階数かいすうrankや行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょうは後続こうぞくの講義こうぎで扱あつかう先取さきどりであり、ここでは「保存ほぞんされる量りょうと変かわる量りょうを分わける」ための見通みとおしとして読よむ。

9Final form

Elementary row operations are the following three reversible row operations.

R_{i} \leftrightarrow R_{j}, R_{i} \leftarrow c R_{i} (c \neq 0), R_{i} \leftarrow R_{i} + c R_{j} .

For systems of linear equations they preserve the solution set. Statements about rank and determinants are previews of later lectures; at this point, read them as a warning that row operations preserve the target quantity for solving systems but do not preserve every matrix quantity.