1演習方針
行基本変形は方程式を同値に変形するので、解集合を保存する。列基本変形は列空間と階数を保存するが、未知数の意味を変える。
このファイルでは入口として、何を保存し何を変えるかを確認する。階段形、掃き出し、列基本変形の詳細は関連演習へ分割している。
1Exercise plan
Elementary row operations transform equations into equivalent equations, so they preserve the solution set. Elementary column operations preserve column space and rank, but change the meaning of the unknowns.
This file checks what each operation preserves and what it changes.
2問題 1
連立一次方程式
\begin{cases}
x+2y=5,\\
3x+4y=11
\end{cases}\begin{cases}
x+2y=5,\\
3x+4y=11
\end{cases}
を拡大係数行列で表し、行基本変形で解け。
2.1解答例
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
3&4&11
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&-2&-4
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&2
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&1\\
0&1&2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
3&4&11
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&-2&-4
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&2
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&1\\
0&1&2
\end{array}\right)
したがって x=1、y=2 である。
2.2解説
行基本変形は、方程式どうしを入れ替える、非零定数倍する、一方に他方の倍を加える操作である。いずれも逆操作を持つので、解集合を変えない。
2Problem 1
Write the system
\begin{cases}
x+2y=5,\\
3x+4y=11
\end{cases}\begin{cases}
x+2y=5,\\
3x+4y=11
\end{cases}
as an augmented matrix and solve it by elementary row operations.
2.1Answer example
\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&4&11\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&-2&-4\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&1&2\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&2\end{array}\right).\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&4&11\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&-2&-4\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&1&2\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&2\end{array}\right).
Therefore x=1 and y=2.
2.2Explanation
Row operations swap equations, multiply an equation by a nonzero constant, or add a multiple of one equation to another. Each has an inverse, so the solution set is unchanged.
3問題 2
\left(\begin{array}{cc|c}
1&-1&2\\
0&0&3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&-1&2\\
0&0&3
\end{array}\right)
が表す連立一次方程式に解があるかを判定せよ。
3.1解答例
第 2 行は
0x+0y=3
を表す。これは成立しないので、解は存在しない。
3.2解説
零行と矛盾行を区別する。すべての係数が 0 で右辺も 0 なら条件を追加しないが、右辺が 0 でなければ矛盾である。
3Problem 2
Decide whether the system represented by
\left(\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\0&0&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\0&0&3\end{array}\right)
has a solution.
3.1Answer example
The second row represents 0x+0y=3, which is impossible. Therefore no solution exists.
3.2Explanation
Distinguish a zero row from a contradictory row. A zero right-hand side adds no condition; a nonzero right-hand side creates contradiction.
4問題 3
3 種類の行基本変形を列挙し、それぞれが何を保存するかを述べよ。
4.1解答例
3 種類は、行の交換、行の非零定数倍、ある行に別の行の定数倍を加える操作である。
いずれも解集合を保存する。
4.2解説
0 倍は行基本変形ではない。0 倍すると行の情報が消え、元に戻せないからである。非零の定数で割る場合は、その定数が 0 でないことが前提である。
4Problem 3
List the three types of elementary row operations and state what they preserve.
4.1Answer example
The three types are row exchange, multiplication of a row by a nonzero constant, and adding a constant multiple of one row to another. All preserve the solution set.
4.2Explanation
Multiplication by 0 is not an elementary row operation because it erases information and cannot be undone.
5問題 4
行列
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}
に列基本変形 C_2\leftarrow C_2-2C_1 を行う。新しい行列を求め、この操作が列空間と Ax=b に対して何を変えるかを説明せよ。
5.1解答例
\begin{pmatrix}
1&0\\
3&-2
\end{pmatrix}
になる。列基本変形は列空間と階数を保存する。しかし Ax=b の未知数の意味はそのままでは保存されない。
5.2解説
列基本変形は、列ベクトルの生成系を別の生成系に取り替える操作である。到達できる出力の集合は変わらないが、各未知数が担当する方向は変わる。
5Problem 4
For
A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},
perform C_2\leftarrow C_2-2C_1. Find the new matrix and explain what changes for the column space and for Ax=b.
5.1Answer example
The new matrix is
\begin{pmatrix}1&0\\3&-2\end{pmatrix}.
A column operation preserves the column space and rank, but it does not preserve the meaning of the unknown variables in Ax=b.
5.2Explanation
Column operations replace the generating system of column vectors. The reachable outputs do not change, but the direction assigned to each unknown changes.
6問題 5
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}\right)
から解集合を読み取れ。
6.1解答例
ピボットは第 1 列と第 2 列にある。したがって x_1,x_2 が主変数、x_3 が自由変数である。x_3=t とおくと、
x_2=4-3t,
\qquad
x_1=-8+7t
である。したがって
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-8\\4\\0\end{pmatrix}
+t
\begin{pmatrix}7\\-3\\1\end{pmatrix}
\qquad (t\in\mathbb R)
である。
6.2解説
階段形は、解の構造を読むための形である。ピボットがない列は自由変数を表し、零行は条件を追加しない。
6Problem 5
Read the solution set from
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}\right).\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}\right).
6.1Answer example
Pivots are in columns 1 and 2, so x_1,x_2 are leading variables and x_3 is a free variable. Let x_3=t. Then
x_2=4-3t,\qquad x_1=-8+7t.
Thus
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-8\\4\\0\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}7\\-3\\1\end{pmatrix}
\qquad(t\in\mathbb R).
6.2Explanation
An echelon form reveals the structure of solutions. Columns without pivots give free variables, and zero rows add no conditions.
7問題 6
つぎの説明の誤りを指摘せよ。
「A に列基本変形を行って AF にしても階数は変わらない。したがって Ax=b と AFx=b は同じ解集合を持つ。」
7.1解答例
階数が保存されることと、解集合が同じであることは別である。AFx=b は A(Fx)=b を意味するので、元の未知数を z=Fx と置けば Az=b になる。したがって、解を比較するには未知数変換を追跡する必要がある。
7.2解説
行基本変形は方程式を同値に変形する。一方、列基本変形は入力側の座標を取り替える。この違いが、保存される対象の違いである。
7Problem 6
Point out the error:
"Column operations preserve rank, so Ax=b and AFx=b have the same solution set."
7.1Answer example
Preserving rank is different from preserving the solution set. AFx=b means A(Fx)=b. If the original unknown is z=Fx, then the equation becomes Az=b. Comparing solutions requires tracking this change of variables.
7.2Explanation
Row operations change equations equivalently. Column operations change coordinates on the input side, so the preserved object is different.
10証明演習：行基本変形が解集合を保つこと
10.1問題
拡大係数行列に行基本変形を行っても、連立一次方程式の解集合が変わらない理由を説明せよ。
10.2解答
行の交換は方程式の順番を替えるだけである。行の 0 でない定数倍は、両辺を 0 でない数で掛けるだけであり、逆操作で戻せる。行への加算は、もとの方程式の線型結合を追加する操作であり、これも逆操作で戻せる。
10.3解説
行基本変形は可逆な同値変形である。したがって解を探しやすい形へ変えても、解集合は保たれる。
10Proof exercise: row operations preserve solution sets
10.1Problem
Explain why applying row operations to an augmented matrix does not change the solution set of the system.
10.2Answer
Swapping rows only changes equation order. Multiplying a row by a nonzero constant multiplies both sides by a nonzero number and can be undone. Adding a multiple of one row to another adds a linear combination of equations and can also be undone.
10.3Explanation
Row operations are invertible equivalent transformations, so they can make a system easier to solve without changing its solutions.