逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの計算手順けいさんてじゅん

Procedure for computing an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの計算けいさんは、$$A$$A を単位行列たんいぎょうれつidentity matrixへ変形へんけいする行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを、右側みぎがわの $$I$$I にも同時どうじに作用さようさせる操作そうさoperationであるということである。

逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを公式こうしきだけで処理しょりすると、なぜ掃はき出だしで求もとまるのかが不明瞭ふめいりょうになる。左側ひだりがわを $$I$$I へ変形へんけいする操作そうさoperationの合成ごうせいが、まさに $$A^{-1}$$A^{-1} である。

1Introduction

The standard computation of $A^{-1}$A^{-1} uses row reduction on the augmented matrix拡大行列かくだいぎょうれつ $[A\mid I]$[A\mid I]. Row operations record reversible changes to the equations, and when the left side becomes $I$I, the right side has become $A^{-1}$A^{-1}.

2用語ようごと定義ていぎ

$$A$$A を正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$AA^{-1}=A^{-1}A=I を満みたす行列ぎょうれつmatrix $$A^{-1}$$A^{-1} を逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixという。

計算けいさんでは拡大行列かくだいぎょうれつaugmented matrix

を作つくり、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで

を目指めざす。

3方針ほうしん

$$A$$A を $$I$$I に変形へんけいできるかを確認かくにんする。できる場合ばあい、同おなじ行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを $$I$$I に適用てきようした結果けっかが $$A^{-1}$$A^{-1} になる。できない場合ばあい、$$A$$A は可逆かぎゃくinvertibleでない。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは左ひだりから可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを掛かける操作そうさoperationに対応たいおうする。いくつかの行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを合成ごうせいして $$A$$A が $$I$$I になるなら、その合成操作ごうせいそうさを $$E$$E として

である。したがって $$E=A^{-1}$$E=A^{-1} である。右側みぎがわの $$I$$I に同おなじ操作そうさoperationを適用てきようすると $$E$$E が現あらわれるため、右側みぎがわに $$A^{-1}$$A^{-1} が得えられる。

5厳密げんみつな説明せつめい

$$A$$A を正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixとする。拡大行列かくだいぎょうれつaugmented matrix

に行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを施ほどこすことは、左ひだりから可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを掛かけることに対応たいおうする。行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを合成ごうせいした行列ぎょうれつmatrixを $$E$$E とすると、

である。もし左側ひだりがわを単位行列たんいぎょうれつidentity matrixにできるなら、

である。したがって $$E$$E は $$A$$A の左逆行列ひだりぎゃくぎょうれつである。正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは、左逆行列ひだりぎゃくぎょうれつが存在そんざいすれば可逆かぎゃくinvertibleであり、$$E=A^{-1}$$E=A^{-1} になる。よって

が正当化せいとうかされる。

この議論ぎろんで使つかっている事実じじつは、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationが左ひだりから可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを掛かける操作そうさoperationであることと、単位行列たんいぎょうれつidentity matrixが合成ごうせいしても何なにも変かえない基準きじゅんであることである。

2Terms and definitions

Let $A$A be a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ. A matrix $A^{-1}$A^{-1} satisfying

is called the inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ of $A$A.

For computation, form the augmented matrix拡大行列かくだいぎょうれつ

and aim, by elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい, for

3Strategy

Check whether $A$A can be transformed into $I$I. If it can, applying the same row operations to the right block $I$I gives $A^{-1}$A^{-1}. If it cannot, then $A$A is not invertible可逆かぎゃく.

4Intuitive explanation

An elementary row operation行基本変形ぎょうきほんへんけい corresponds to multiplying by an invertible matrix可逆行列かぎゃくぎょうれつ on the left. If the combined row operation is $E$E and it changes $A$A into $I$I, then

Therefore $E=A^{-1}$E=A^{-1}. Applying the same operations to the right-side $I$I reveals $E$E, so the right block becomes $A^{-1}$A^{-1}.

5Precise explanation

Applying row operations to

is the same as multiplying on the left by an invertible matrix. If the product of the elementary matrices is $E$E, then

If the left block becomes $I$I, then $EA=I$EA=I. For square matrices, the existence of a left inverse implies invertibility, and $E=A^{-1}$E=A^{-1}. Hence

The key facts are that elementary row operations are invertible left multiplications and that the identity matrix is the neutral element for composition.

6手順てじゅんが成立せいりつする理由りゆう

各かく行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、左ひだりから可逆かぎゃくinvertibleな基本行列きほんぎょうれつを掛かけることに対応たいおうする。行操作ぎょうそうさの合成ごうせいを $$E$$E とすると、

である。$$EA=I$$EA=I になったとき、$$E=A^{-1}$$E=A^{-1} である。したがって右側みぎがわのブロックが正まさに逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixになる。

7具体例ぐたいれい

とする。拡大行列かくだいぎょうれつaugmented matrixを

とする。第二行だいにぎょうから第一行だいいちぎょうの 3 倍ばいを引ひくと

である。さらに第一行だいいちぎょうから第二行だいにぎょうの 2 倍ばいを引ひくと

となる。したがって

である。

6Why the procedure works

Each row operation is left multiplication by an invertible可逆かぎゃく elementary matrix. If the combined product of all row-operation matrices is $E$E, then

When $EA=I$EA=I, we have $E=A^{-1}$E=A^{-1}. Thus the right block is exactly the inverse.

7Worked example

Let

Start with the augmented matrix拡大行列かくだいぎょうれつ

Subtract three times the first row from the second row:

Then subtract two times the second row from the first row:

Therefore

8失敗しっぱいの確認かくにん

左側ひだりがわが単位行列たんいぎょうれつidentity matrixになる前まえに零行ぜろぎょうが現あらわれるなら、$$A$$A の列れつcolumnは一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceであり、$$A$$A は可逆かぎゃくinvertibleでない。その場合ばあい、拡大行列かくだいぎょうれつの計算けいさんは「逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない」という結論けつろんで止とまる。

9よくある誤解ごかい

• 逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixに対たいする両側逆りょうがわぎゃくである。長方行列ちょうほうぎょうれつでは同おなじ意味いみの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。
• 左側ひだりがわだけを操作そうさoperationしてはならない。右側みぎがわの $$I$$I にも同一どういつの行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを適用てきようする。
• 途中とちゅうで pivot が確保かくほできない場合ばあい、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

8Failure check

If a row of zeros appears on the left before the identity can be formed, the columns of $A$A are dependent and $A$A is not invertible可逆かぎゃく. In that case the augmented computation must stop with the conclusion that no inverse exists.

9Common misunderstandings

• Row operations must be applied to both blocks of $[A\mid I]$[A\mid I].
• The right block is not the inverse until the left block is exactly $I$I.
• Column operations are not the standard inverse algorithm unless variable changes are also tracked.

10どこまで成立せいりつするか

この手順てじゅんは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixに対たいする逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの計算けいさんである。階数落かいすうおちの行列ぎょうれつmatrixや長方行列ちょうほうぎょうれつでは、擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつpseudoinverse matrixや最小二乗法さいしょうにじょうほうleast squares methodを用もちいる。

11最終形さいしゅうけい

10Scope

This procedure computes the inverse matrix of a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ. For rank-deficient matrices or rectangular matrices, one uses the pseudoinverse matrix擬似逆行列ぎじぎゃくぎょうれつ or the least squares method最小二乗法さいしょうにじょうほう instead.

11Final forms

12演習えんしゅうリンク

12Exercise links

13関連かんれんリンク

13Related links