単位行列たんいぎょうれつidentity matrix・零行列れいぎょうれつzero matrix・転置てんちtransposeの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_f5538408e41aa7dea09f22bd7c1e6c18description単位行列・零行列・転置を、行列演算の基準となる特別な行列と操作として整理し、転置が保存するもの・入れ替えるもの・行基本変形や列基本変形との対応まで説明する講義である。prerequisites行列のサイズ / 行列の基本演算type講義content_typelecturestatusactive

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Basics of the identity matrix単位行列たんいぎょうれつ, zero matrix零行列れいぎょうれつ, and transpose転置てんち

1導入どうにゅう

単位行列たんいぎょうれつidentity matrix、零行列れいぎょうれつzero matrix、転置てんちtransposeは、複雑ふくざつな行列ぎょうれつ計算けいさんを始めるterm前まえに必ずterm整理せいりしておくべき基準きじゅんである。

単位たんい行列ぎょうれつは「何なにもしない」変換へんかん、零れい行列ぎょうれつは「すべてを原点げんてんへ潰すterm」変換へんかん、転置てんちは「行くだりと列れつの役割やくわりを入れ替えるterm」操作そうさである。この3つを区別くべつできると、逆ぎゃく行列ぎょうれつ、直交ちょっこう行列ぎょうれつ、対称たいしょう行列ぎょうれつ、エルミート行列ぎょうれつの意味いみが読みtermやすくなる。

1Introduction

The identity matrix単位行列たんいぎょうれつ, the zero matrix零行列れいぎょうれつ, and the transpose転置てんち are reference objects and operations that should be clarified before more complicated matrix calculations.

The identity matrix represents doing nothing, the zero matrix collapses everything to the origin, and transpose exchanges the roles of rows and columns. Keeping these three roles separate makes inverse matrices, orthogonal matrices, symmetric matrices, and Hermitian matrices easier to read.

2用語ようごと定義ていぎ

$n$ 次つぎの単位たんい行列ぎょうれつ $I_{n}$ は、対たい角かく成分せいぶんが $1$ 、そ以外いがいが $0$ の正方せいほう行列ぎょうれつである。。

I_{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

零れい行列ぎょうれつ $O_{m, n}$ は、すべての成分せいぶんが $0$ の $m x n$ 行列ぎょうれつである。サイズが文脈ぶんみゃくから明らかtermなときは $O$ と書くterm。

$m x n$ 行列ぎょうれつ $A = (a_{i j})$ の転置てんち $A^{T}$ は、 $i$ 行ぎょう $j$ 列れつの成分せいぶんを $j$ 行ぎょう $i$ 列れつへ移しtermた $n x m$ 行列ぎょうれつである。

(A^{T})_{i j} = a_{j i}

2Terms and definitions

The $n$ by $n$ identity matrix $I_{n}$ is the square matrix whose diagonal entries are $1$ and whose other entries are $0$ .

I_{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}) .

The zero matrix $O_{m, n}$ is the $m x n$ matrix whose entries are all $0$ . When the size is clear from context, we write simply $O$ .

For an $m x n$ matrix $A = (a_{i j})$ , the transpose $A^{T}$ is the $n x m$ matrix obtained by moving the entry in row $i$ , column $j$ to row $j$ , column $i$ .

(A^{T})_{i j} = a_{j i} .

3直感的ちょっかんてきな説明せつめい

単位たんい行列ぎょうれつは、ベクトルをそのまま返すterm線型せんけい写像しゃぞうである。

I_{n} v = v

零れい行列ぎょうれつは、すべてのベクトルを零れいベクトルへ送るterm線型せんけい写像しゃぞうである。

O v = 0

転置てんちは、行列ぎょうれつの情報じょうほうを捨てるterm操作そうさではない。成分せいぶんの配置はいちを鏡かがみ映うつのように入れ替えterm、行くだりとして見みていた情報じょうほうを列れつとして見みられるようにする操作そうさである。したがって、転置てんちは行空間ぎょうくうかんrow spaceと列空間れつくうかんcolumn spaceの関係かんけいを読むtermときに重要じゅうようになる。

3Intuitive explanation

The identity matrix is the linear map that returns every vector unchanged.

I_{n} v = v .

The zero matrix is the linear map that sends every vector to the zero vector.

O v = 0.

Transpose does not discard information. It rearranges entries like a reflection across the main diagonal, turning information that was read as rows into information that can be read as columns. Therefore transpose is important when relating the row space行空間ぎょうくうかん and the column space列空間れつくうかん.

4基本法則きほんほうそく

サイズが合うtermとき、次つぎが成立するterm。

A I_{n} = A, I_{m} A = A

A + O = A

(A^{T})^{T} = A

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}

(c A)^{T} = c A^{T}

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

最後さいごの式しきでは順序じゅんじょが逆ぎゃくになる。これは積せき $A B$ の成分せいぶんが「 $A$ の行くだり」と「 $B$ の列れつ」の内積ないせきで作らtermれるため、転置てんちするとその役割やくわりが入れ替わるtermからである。

4Basic laws

When the sizes are compatible, the following identities hold.

A I_{n} = A, I_{m} A = A .

A + O = A .

(A^{T})^{T} = A .

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} .

(c A)^{T} = c A^{T} .

(A B)^{T} = B^{T} A^{T} .

The last identity reverses the order. This happens because the entries of $A B$ are made from rows of $A$ and columns of $B$ ; after transposing, those roles are exchanged.

5転置てんちで変わるtermもの・保存ほぞんされるもの

転置てんちで変わるtermものは、行くだり数すうと列term数すう、行くだり空間くうかんと列term空間くうかんの見えterm方かた、掛け算termの順序じゅんじょである。 $m x n$ 行列ぎょうれつは $n x m$ 行列ぎょうれつになる。

転置てんちで保存ほぞんされるものも多いterm。成分せいぶんの総数そうすうは変わらtermず、正方せいほう行列ぎょうれつでは行列ぎょうれつ式しきも保存ほぞんされる。

\det (A^{T}) = \det (A)

また、階数かいすうも保存ほぞんされる。

rank (A^{T}) = rank (A)

行列式ぎょうれつしきdeterminantと階数かいすうrankのしきは、あとでくわしく証明しょうめいする先取さきどりである。このページの本流ほんりゅうでは、転置てんちが行くだりと列れつを入いれ替かえ、積せきの順序じゅんじょを逆ぎゃくにすることをつかう。

このため、行くだりに関するterm議論ぎろんを転置てんちして列れつの議論ぎろんへ移すtermことができる。

5What transpose changes and preserves

Transpose changes the number of rows and columns, the way row space and column space are viewed, and the order of multiplication. An $m x n$ matrix becomes an $n x m$ matrix.

Transpose also preserves several quantities. It preserves the total number of entries, and for square matrices it preserves the determinant.

\det (A^{T}) = \det (A) .

It also preserves rank.

rank (A^{T}) = rank (A) .

The determinant and rank identities are previews proved in later lectures. The main point needed in this page is that transpose exchanges rows and columns and reverses the order of products.

For this reason, many statements about rows can be transposed into statements about columns.

6転置てんちと行基ぎょうき本ほん変形へんけい・列れつ基本きほん変形へんけい

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは左ひだりから基本きほん行列ぎょうれつを掛けるterm操作そうさである。一方いっぽう、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは右みぎから基本きほん行列ぎょうれつを掛けるterm操作そうさである。

転置てんちを取るtermと、左ひだりから掛けるterm操作そうさは右みぎから掛けるterm操作そうさへ移るterm。

(E A)^{T} = A^{T} E^{T}

したがって、行基ぎょうき本ほん変形へんけいの性質せいしつは、転置てんちを通してterm列れつ基本きほん変形へんけいの性質せいしつへ対応たいおうする。行列ぎょうれつ式しき計算けいさんで行くだり変形へんけいと列term変形へんけいが似にた規則きそくを持つtermのは、この対応たいおうがあるからである。

6Transpose and elementary row/column operations

An elementary row operation行基本変形ぎょうきほんへんけい is represented by multiplying by an elementary matrix from the left. An elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい is represented by multiplying by an elementary matrix from the right.

After transposing, an operation from the left becomes an operation from the right.

(E A)^{T} = A^{T} E^{T} .

Thus properties of row operations correspond to properties of column operations through transpose. This correspondence explains why row operations and column operations follow similar rules in determinant computations.

7例題れいだい：転置てんちの積せきの順序じゅんじょを確認かくにんする

7.1問題もんだい

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

について、 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ を確認かくにんせよ。

7.2解説かいせつ

まず、

A B = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 26 & 16 \end{matrix})

なので、

(A B)^{T} = (\begin{matrix} 2 & 26 \\ - 1 & 16 \end{matrix})

である。一方いっぽう、

B^{T} = (\begin{matrix} 2 & 0 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix}), A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \\ 0 & 4 \end{matrix})

したがって、

B^{T} A^{T} = (\begin{matrix} 2 & 26 \\ - 1 & 16 \end{matrix})

となり一致いっちする。この例題れいだいは、転置てんちで順序じゅんじょが逆ぎゃくになることを具体ぐたい的てきな数値すうちで確認かくにんするためのものである。

7Worked example: checking the reversed order under transpose

7.1Problem

For

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 5 & 3 \end{matrix}),

verify $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

7.2Explanation

First,

A B = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 26 & 16 \end{matrix}),

(A B)^{T} = (\begin{matrix} 2 & 26 \\ - 1 & 16 \end{matrix}) .

On the other hand,

B^{T} = (\begin{matrix} 2 & 0 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix}), A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \\ 0 & 4 \end{matrix}),

and therefore

B^{T} A^{T} = (\begin{matrix} 2 & 26 \\ - 1 & 16 \end{matrix}) .

The two results agree. This example is meant to make the reversal of order under transpose visible with concrete numbers.

8よくある誤解ごかい

$O$ はサイズを持つterm。 $A + O$ の $O$ と $A O$ の $O$ は、必要ひつようなサイズが異なるtermことがある。

$I$ もサイズを持つterm。 $A I_{n} = A$ と $I_{m} A = A$ では、左右さゆうで使うterm単位たんい行列ぎょうれつのサイズが異なるterm場合ばあいがある。

転置てんちは逆ぎゃく行列ぎょうれつではない。一般いっぱんに $A^{T} A = I$ は成立しtermない。この等式とうしきが成立するterm行列ぎょうれつは、直交ちょっこう行列ぎょうれつやユニタリ行列ぎょうれつのような特別とくべつな行列ぎょうれつである。

8Common misunderstandings

The symbol $O$ has a size. The zero matrix in $A + O$ and the zero matrix in $A O$ may require different sizes.

The symbol $I$ also has a size. In $A I_{n} = A$ and $I_{m} A = A$ , the identity matrices on the two sides may have different sizes.

Transpose is not the inverse. In general, $A^{T} A = I$ is not true. This identity holds only for special matrices such as orthogonal or unitary matrices.

9最終形さいしゅうけい

単位たんい行列ぎょうれつは何なにもしない行列ぎょうれつ、零れい行列ぎょうれつはすべてを零れいへ送るterm行列ぎょうれつ、転置てんちは行くだりと列termを入れ替えるterm操作そうさである。

I_{n} v = v, O v = 0, (A^{T})_{i j} = a_{j i}

転置てんちで特にterm重要じゅうようなのは、積せきの順序じゅんじょが逆ぎゃくになることである。

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

9Final form

The identity matrix does nothing, the zero matrix sends everything to zero, and transpose exchanges rows and columns.

I_{n} v = v, O v = 0, (A^{T})_{i j} = a_{j i} .

The especially important fact about transpose is that it reverses the order of multiplication.

(A B)^{T} = B^{T} A^{T} .