複素内積ふくそないせきcomplex inner productとユニタリ行列ぎょうれつunitary matrix-基本演習きほんえんしゅう

Complex inner products複素内積ふくそないせき and unitary matricesユニタリ行列ぎょうれつ - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

複素ふくそcomplexの計算けいさんでは、複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateを取とる場所ばしょが本質的ほんしつてきである。この演習えんしゅうでは、複素内積ふくそないせきcomplex inner product、共役転置きょうやくてんちconjugate transpose、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrix、ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixが何なにを保存ほぞんし、何なにを判定はんていするための条件じょうけんなのかを確認かくにんする。

複素内積ふくそないせきcomplex inner productの問題もんだいでは、共役きょうやくconjugateを明示めいじして書かく。直交ちょっこうorthogonality、ノルムnormの保存ほぞん、ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixの判定はんていでは、ただの $A^T$A^T ではなく共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $A^{*}$A^* を使つかう。これは実じつベクトル空間くうかんから複素ふくそcomplexベクトル空間くうかんへ移うつるときの典型的てんけいてきな誤あやまりである。

ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixは、$U^{*}U=I$U^*U=I、内積ないせきinner productを保存ほぞんすること、または列れつcolumnが正規直交せいきちょっこうorthonormalであることによって判定はんていできる。これらは同値どうちだが、具体的ぐたいてきな行列ぎょうれつmatrixでは列れつの確認かくにんが速はやく、長ながさ・角度かくど・射影しゃえいprojectionが変かわらない理由りゆうを説明せつめいするときは内積ないせきinner productの保存ほぞんが役やくに立たつ。

1Exercise plan

In complex calculations, the position of the complex conjugate複素共役ふくそきょうやく is essential. These exercises check what complex inner products複素内積ふくそないせき, conjugate transposes共役転置きょうやくてんち, Hermitian matricesエルミート行列ぎょうれつ, and unitary matricesユニタリ行列ぎょうれつ preserve or test.

For complex inner-product exercises, write conjugates explicitly. The test for orthogonality, norm preservation, and unitarity uses $A^{*}$A^*, the conjugate transpose, not just $A^T$A^T. This is the most common source of wrong answers when moving from real to complex vector spaces.

A unitary matrixユニタリ行列 can be checked by $U^{*}U=I$U^*U=I, by preservation of inner products, or by having orthonormal columns. These are equivalent tests, but each is useful in a different problem: column checks are quick for a concrete matrix, while inner-product preservation explains why lengths, angles, and projections are unchanged.

2問題もんだい 1

この系列けいれつの規約きやく

で、

について、$⟨u,v⟩$\langle u,v\rangle、$⟨v,u⟩$\langle v,u\rangle、$\parallel u\parallel$\|u\| を求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

2.2解説かいせつ

複素内積ふくそないせきcomplex inner productでは、第だい 2 変数へんすうの成分せいぶんcomponentに複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateが付つく。この問題もんだいは、直交ちょっこうorthogonalityの判定はんていで共役きょうやくを忘わすれると結果けっかが変かわることを確認かくにんしている。

2Problem 1

Using the convention

for $u=(1,i{)}^T$u=(1,i)^T and $v=(i,1{)}^T$v=(i,1)^T, find $⟨u,v⟩$\langle u,v\rangle, $⟨v,u⟩$\langle v,u\rangle, and $\parallel u\parallel$\|u\|.

2.1Answer example

and

2.2Explanation

In this convention, the second variable is conjugated. Forgetting that conjugate changes orthogonality computations.

3問題もんだい 2

について、$A^{*}$A^* を求もとめ、$A$A がエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixかどうかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

まず転置てんちしてから各成分かくせいぶんの共役きょうやくを取とる。

したがって $A^{*}=A$A^*=A であり、$A$A はエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixである。

3.2解説かいせつ

エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixでは、対角成分たいかくせいぶんが実数じっすうreal numberになり、非対角成分ひたいかくせいぶんは鏡映位置きょうえいいちで複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateになる。この条件じょうけんは実対称行列じつたいしょうぎょうれつreal symmetric matrixの複素数版ふくそすうばんcomplex versionである。

3Problem 2

For $A=\left(\begin{array}{cc}2& i\\ -i& 3\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&3\end{pmatrix}, find $A^{*}$A^* and decide whether $A$A is Hermitianエルミート行列ぎょうれつ.

3.1Answer example

Transpose first and conjugate each entry:

Thus $A^{*}=A$A^*=A, so $A$A is Hermitian.

3.2Explanation

In a Hermitian matrix, diagonal entries are real and off-diagonal mirror entries are complex conjugates.

4問題もんだい 3

がユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixであることを確認かくにんし、任意にんいの $x=(x_1,x_2{)}^T$x=(x_1,x_2)^T について $\parallel Ux\parallel =\parallel x\parallel$\|Ux\|=\|x\| が成立せいりつすることを説明せつめいせよ。

4.1解答例かいとうれい

なので、

である。したがって $U$U はユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixである。また

だから

である。

4.2解説かいせつ

ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixは位相いそうphaseを変かえることはあるが、長ながさlengthと内積ないせきinner productを保存ほぞんする。この問題もんだいは、「複素数ふくそすうcomplex numberを掛かける」と「長ながさを変かえる」が同おなじでないことを確認かくにんしている。

4Problem 3

Confirm that $U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right)$U=\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix} is unitary, and explain why $\parallel Ux\parallel =\parallel x\parallel$\|Ux\|=\|x\| for arbitrary $x=(x_1,x_2{)}^T$x=(x_1,x_2)^T.

4.1Answer example

so

Also $Ux=(x_1,i{x}_2{)}^T$Ux=(x_1,ix_2)^T, hence

4.2Explanation

A unitary matrix may change phase位相いそう, but it preserves lengths and inner products.

5問題もんだい 4

について、$y$y の $\mathrm{span}\left(u\right)$\operatorname{span}(u) への直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projectionを求もとめよ。

5.1解答例かいとうれい

この規約きやくでは

である。まず

また

なので、

5.2解説かいせつ

分母ぶんぼの $⟨u,u⟩$\langle u,u\rangle は、$u\ne 0$u\ne0 と正定値性せいていちせいpositive definitenessにより正せいの実数じっすうreal numberである。ここでは $u\ne 0$u\ne0 なので 0 除算じょさんは起おきない。この問題もんだいは、射影係数しゃえいけいすうprojection coefficientの式しきでも共役きょうやくの位置いちが重要じゅうようであることを確認かくにんしている。

5Problem 4

For $y=(1,1+i{)}^T$y=(1,1+i)^T and $u=(1,i{)}^T$u=(1,i)^T, find the orthogonal projection直交射影ちょっこうしゃえい of $y$y onto $\mathrm{span}\left(u\right)$\operatorname{span}(u).

5.1Answer example

Under this convention,

Now

and $⟨u,u⟩=2$\langle u,u\rangle=2. Therefore

5.2Explanation

The denominator is positive real because $u\ne 0$u\ne0. The conjugate position in the projection coefficient matters.

6先取さきどり復習ふくしゅう：固有値こゆうちeigenvalue・固有ベクトルeigenvector・対角化たいかくかdiagonalization・正規行列せいきぎょうれつnormal matrix

問題もんだい 5 以降いこうでは、後続こうぞくの演習えんしゅうで本格的ほんかくてきに扱あつかう固有値こゆうちeigenvalue、対角化たいかくかdiagonalization、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixを先取さきどりして使つかう。ここでは問題もんだいを解とくための最小限さいしょうげんだけを復習ふくしゅうする。

• $Av=\lambda v$Av=\lambda v を満みたす $v\ne 0$v\ne0 があるとき、$\lambda$\lambda を固有値こゆうちeigenvalue、$v$v を固有ベクトルeigenvectorという。
• 固有ベクトルeigenvectorが基底きていbasisを作つくるとき、$A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} と書かける。この形かたちを対角化たいかくかdiagonalizationという。
• ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrix $U$U を使つかって $U^{*}AU=D$U^*AU=D と書かけるとき、ユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationという。
• 正規行列せいきぎょうれつnormal matrixとは $A^{*}A=A{A}^{*}$A^*A=AA^* を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。複素ふくそcomplexの有限次元ゆうげんじげんでは、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixがユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationできるという定理ていりへ進すすむ。

6Preview review: eigenvalues, eigenvectors, diagonalization, and normal matrices

Problems 5 and later use eigenvalues, diagonalization, and normal matrices before the later exercise sets develop them fully. This review gives only the minimum needed to solve the problems here.

• If $Av=\lambda v$Av=\lambda v for some $v\ne 0$v\ne0, then $\lambda$\lambda is an eigenvalue固有値こゆうち and $v$v is an eigenvector固有ベクトル.
• If eigenvectors form a basis, then $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}. This form is called diagonalization対角化たいかくか.
• If a unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ $U$U gives $U^{*}AU=D$U^*AU=D, then this is unitary diagonalizationユニタリ対角化たいかくか.
• A normal matrix正規行列せいきぎょうれつ is a matrix satisfying $A^{*}A=A{A}^{*}$A^*A=AA^*. Over finite-dimensional complex spaces, the later theorem says that normal matrices are exactly the matrices that can be unitarily diagonalized.

7問題もんだい 5

の固有値こゆうちeigenvalueを求もとめ、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixの固有値こゆうちeigenvalueが実数じっすうreal numberになることと対応たいおうしているかを確認かくにんせよ。

7.1解答例かいとうれい

である。したがって

より、固有値こゆうちeigenvalueは $1,3$1,3 である。どちらも実数じっすうreal numberである。

7.2解説かいせつ

$B^{*}=B$B^*=B なので $B$B はエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixである。エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは複素数ふくそすうcomplex numberを成分せいぶんcomponentに持もっていても、固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうreal numberになる。この性質せいしつが、量子力学りょうしりきがくquantum mechanicsなどで観測量かんそくりょうobservableをエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixで表あらわす理由りゆうの 1 つである。

7Problem 5

Find the eigenvalues of $B=\left(\begin{array}{cc}2& i\\ -i& 2\end{array}\right)$B=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix} and check that they are real as expected for a Hermitian matrix.

7.1Answer example

Thus the eigenvalues are $1,3$1,3, both real.

7.2Explanation

Since $B^{*}=B$B^*=B, the matrix is Hermitian. Hermitian matrices may have complex entries, but their eigenvalues are real. This is one reason Hermitian matrices are used to represent observables in contexts such as quantum mechanics.

8問題もんだい 6

つぎの文ぶんの正誤せいごを判定はんていし、理由りゆうを述のべよ。

1. ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixは内積ないせきinner productを保存ほぞんする。
2. エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは必かならず正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。
3. ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixは必かならずエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixである。

8.1解答例かいとうれい

1 は正せいしい。$U^{*}U=I$U^*U=I より $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle である。

2 は正せいしい。$A^{*}=A$A^*=A なら $A^{*}A=A^2=A{A}^{*}$A^*A=A^2=AA^* である。

3 は誤あやまりである。$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix} はユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixだが、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixではない。

8.2解説かいせつ

ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrix、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrix、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixは互たがいに近ちかいが、同おなじ概念がいねんではない。何なにを保存ほぞんする条件じょうけんなのか、何なにを対角化たいかくかdiagonalizationする条件じょうけんなのかを分わけて読よむことが重要じゅうようである。

8Problem 6

Decide whether each statement is true and explain why.

1. A unitary matrix preserves the inner product.
2. A Hermitian matrix is always normal.
3. A unitary matrix is always Hermitian.

8.1Answer example

1 is true because $U^{*}U=I$U^*U=I implies $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle. 2 is true because if $A^{*}=A$A^*=A, then $A^{*}A=A^2=A{A}^{*}$A^*A=A^2=AA^*. 3 is false: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix} is unitary but not Hermitian.

8.2Explanation

Unitary, Hermitian, and normal matrices are related but distinct. Separate preservation of inner products from diagonalization conditions.

9問題もんだい 7

を $\mathbb{C}$\mathbb C 上じょうで考かんがえる。$A$A が正規行列せいきぎょうれつnormal matrixであることを確認かくにんし、ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixで対角化たいかくかdiagonalizationせよ。

9.1解答例かいとうれい

$A^{*}=-A$A^*=-A であり、$A^2=-I$A^2=-I なので

である。したがって $A^{*}A=A{A}^{*}$A^*A=AA^* であり、$A$A は正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。

固有値こゆうちeigenvalueは $i,-i$i,-i である。$i$i に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorとして $(1,i{)}^T$(1,i)^T、$-i$-i に対たいする固有こゆうベクトルeigenvectorとして $(1,-i{)}^T$(1,-i)^T を取とれる。これらを正規化せいきかして

とおくと、

である。

9.2解説かいせつ

この行列ぎょうれつmatrixはエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixではないが、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。複素ふくそcomplexでは、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixだけでなく、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixもユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationの自然しぜんな対象たいしょうになる。

9Problem 7

Over $\mathbb{C}$\mathbb C, confirm that

is normal and diagonalize it by a unitary matrix.

9.1Answer example

Since $A^{*}=-A$A^*=-A and $A^2=-I$A^2=-I,

Thus $A$A is normal. Its eigenvalues are $i,-i$i,-i. Eigenvectors may be chosen as $(1,i{)}^T$(1,i)^T and $(1,-i{)}^T$(1,-i)^T. Normalizing gives

with $U^{*}AU=D$U^*AU=D.

9.2Explanation

This matrix is not Hermitian, but it is normal. Normal matrices are the natural class for unitary diagonalization over complex spaces.

10問題もんだい 8

この系列けいれつの規約きやく

で、

に Gram-Schmidt の直交化ちょっこうかorthogonalizationを行おこなえ。

10.1解答例かいとうれい

まず

とする。$u_1\ne 0$u_1\ne0 であり、$⟨u_1,u_1⟩=2$\langle u_1,u_1\rangle=2 なので、射影係数しゃえいけいすうを定義ていぎできる。

である。

10.2解説かいせつ

複素内積ふくそないせきcomplex inner productでは、射影係数しゃえいけいすうの分子ぶんしに現あらわれる共役きょうやくの位置いちが重要じゅうようである。この問題もんだいでは $⟨x_2,u_1⟩=1$\langle x_2,u_1\rangle=1 であり、$u_2$u_2 は $u_1$u_1 に直交ちょっこうorthogonalする。

10Problem 8

Using the convention $⟨x,y⟩=\sum _k{x}_k\stackrel{\_}{y_k}$\langle x,y\rangle=\sum_kx_k\overline{y_k}, apply Gram-Schmidt to $x_1=(1,i{)}^T$x_1=(1,i)^T and $x_2=(1,0{)}^T$x_2=(1,0)^T.

10.1Answer example

Let $u_1=x_1=(1,i{)}^T$u_1=x_1=(1,i)^T. Since $⟨u_1,u_1⟩=2$\langle u_1,u_1\rangle=2,

10.2Explanation

The conjugate in the numerator is essential. Here $u_2$u_2 is orthogonal to $u_1$u_1.

11問題もんだい 9

について、$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩$\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle を具体計算ぐたいけいさんで確認かくにんせよ。

11.1解答例かいとうれい

なので

である。また

だから

であり、

である。したがって両辺りょうへんは一致いっちする。

11.2解説かいせつ

共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $A^{*}$A^* は、複素内積ふくそないせきcomplex inner productに対たいする随伴ずいはんadjointである。この等式とうしきは、$A^{*}$A^* が単たんなる記号きごうではなく、内積ないせきinner productの中なかで $A$A を反対側はんたいがわへ移うつすための操作そうさoperationであることを示しめしている。

11Problem 9

For

verify $⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩$\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle.

11.1Answer example

so

Also

so

11.2Explanation

The conjugate transpose is the adjoint随伴ずいはん relative to the complex inner product.

12問題もんだい 10

この系列けいれつの規約きやくで

とする。複素最小二乗問題ふくそさいしょうにじょうもんだいcomplex least-squares problem $Ax\simeq b$Ax\simeq b の正規方程式せいきほうていしきnormal equationを解とき、残差ざんさresidualが列空間れつくうかんcolumn spaceに直交ちょっこうorthogonalすることを確認かくにんせよ。

12.1解答例かいとうれい

ここでは

である。したがって

である。正規方程式せいきほうていしきnormal equation

は $2x=1$2x=1 となるので、

である。このとき

である。さらに

なので、残差ざんさresidualは列空間れつくうかんcolumn spaceに直交ちょっこうorthogonalする。

12.2解説かいせつ

この問題もんだいは、実数じっすうreal numberの最小二乗法さいしょうにじょうほうleast squares methodで現あらわれた「残差ざんさresidualが列空間れつくうかんcolumn spaceに直交ちょっこうorthogonalする」という幾何きかが、複素内積ふくそないせきcomplex inner productでも $A^{*}r=0$A^*r=0 として表あらわされることを確認かくにんしている。

この規約きやくでは内積ないせきinner productの第だい 2 変数へんすうに共役きょうやくを付つけるので、随伴ずいはんadjointは $A^{*}=(1,-i)$A^*=(1,-i) である。$A^{*}r=0$A^*r=0 は、残差ざんさresidualが $A$A の 1 次元じげんの列空間れつくうかんcolumn spaceに属ぞくするすべてのベクトルと内積ないせき 0 であることを意味いみする。

12Problem 10

Let $A=(1,i{)}^T$A=(1,i)^T and $b=(1,0{)}^T$b=(1,0)^T. Solve the complex least-squares normal equation and check residual orthogonality.

12.1Answer example

so

Thus $x=\frac{1}{2}$x=\frac12. Then

Finally,

12.2Explanation

The real least-squares statement "residual orthogonal to the column space" becomes $A^{*}r=0$A^*r=0 in the complex case.

Here the convention conjugates the second variable in the inner product, so the adjoint is $A^{*}=(1,-i)$A^*=(1,-i). The equation $A^{*}r=0$A^*r=0 says exactly that the residual has zero inner product with every vector in the one-dimensional column space列空間れつくうかん of $A$A.

13問題もんだい 11

がユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixであることを確認かくにんし、

について $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle を具体計算ぐたいけいさんで確認かくにんせよ。

13.1解答例かいとうれい

$U$U は実対称じつたいしょうであり、

なのでユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixである。また

である。この規約きやくでは第だい 2 変数へんすうに共役きょうやくを付つけるので、

である。一方いっぽう、

である。したがって $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle である。

13.2解説かいせつ

この問題もんだいは、ユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixが対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixでなくても、内積ないせきinner productと長ながさlengthを保存ほぞんすることを確認かくにんする。$Ux$Ux と $Uy$Uy の成分せいぶんcomponentは変かわるが、二ふたつのベクトルの幾何的きかてきな関係かんけいは変かわらない。

$U$U を作用さようさせると $x,y$x,y の成分せいぶんcomponentは変かわるが、内積ないせきinner productは変かわらない。これはユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixが複素内積空間ふくそないせきくうかんcomplex inner product spaceで長ながさと角度かくどを保存ほぞんするという幾何的役割きかてきやくわりそのものである。

13Problem 11

Confirm that

is unitary and verify $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle for $x=(1,i{)}^T$x=(1,i)^T and $y=(1,0{)}^T$y=(1,0)^T.

13.1Answer example

The matrix $U$U is real symmetric and $U^{*}U=U^{T}U=I$U^*U=U^TU=I, so it is unitary. Also

Therefore

while $⟨x,y⟩=1$\langle x,y\rangle=1.

13.2Explanation

Unitary matrices preserve inner products and lengths even when they are not diagonal.

Although the components of $x$x and $y$y change after applying $U$U, the inner product does not. This is the defining geometric role of a unitary matrixユニタリ行列: it preserves lengths and angles in a complex inner product space.

14関連講義かんれんこうぎ

14Related lectures

15証明しょうめい演習えんしゅう：ユニタリ行列ぎょうれつが内積ないせきを保たもつこと

15.1問題もんだい

$U^{*}U=I$U^*U=I なら、任意にんいの複素ふくそベクトル $x,y$x,y について

であることを証明しょうめいせよ。

15.2解答かいとう

この系列けいれつの規約きやくでは $⟨x,y⟩=y^{*}x$\langle x,y\rangle=y^*x と書かけるので、

である。特とくに $y=x$y=x とすれば $\parallel Ux\parallel =\parallel x\parallel$\|Ux\|=\|x\| も従したがう。

15.3解説かいせつ

ユニタリ行列ぎょうれつは複素内積ふくそないせきを保たもつので、長ながさと角度かくどを保たもつ変換へんかんとして理解りかいできる。

15Proof exercise: unitary matrices preserve inner products

15.1Problem

If $U^{*}U=I$U^*U=I, prove that for arbitrary complex vectors $x,y$x,y,

15.2Answer

With the convention used in this series, $⟨x,y⟩=y^{*}x$\langle x,y\rangle=y^*x, so

Taking $y=x$y=x gives $\parallel Ux\parallel =\parallel x\parallel$\|Ux\|=\|x\|.

15.3Explanation

A unitary matrix preserves the complex inner product, so it preserves lengths and angles.

16補強問題ほきょうもんだい：正規行列せいきぎょうれつnormal matrixとユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalization

16.1問題もんだい 12

$A$A がユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationでき、$U^{*}AU=D$U^*AU=D、ただし $U$U はユニタリ行列ぎょうれつunitary matrix、$D$D は対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixであるとする。このとき $A$A が正規行列せいきぎょうれつnormal matrixであることを証明しょうめいせよ。また、その逆ぎゃくが複素ふくその正規行列せいきぎょうれつnormal matrixに対たいするスペクトル定理spectral theoremであることを説明せつめいせよ。

16.2解答例かいとうれい

$U^{*}AU=D$U^*AU=D より、$A=UD{U}^{*}$A=UDU^*、$A^{*}=U{D}^{*}{U}^{*}$A^*=UD^*U^* である。したがって

であり、

である。対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixはその共役転置きょうやくてんちconjugate transposeと可換かかんなので、$D^{*}D=D{D}^{*}$D^*D=DD^* である。よって $A^{*}A=A{A}^{*}$A^*A=AA^* であり、$A$A は正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。逆ぎゃくに、複素ふくその正規行列せいきぎょうれつnormal matrixは必かならずユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationできる、というのが正規行列せいきぎょうれつのスペクトル定理spectral theoremである。

16.3解説かいせつ

正規性せいきせいnormalityは、$\mathbb{C}$\mathbb C 上じょうで正規直交せいきちょっこうな固有こゆうベクトルeigenvectorの分解ぶんかいを可能かのうにする条件じょうけんである。エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixとユニタリ行列ぎょうれつunitary matrixは、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixの重要じゅうような特別例とくべつれいである。

16Supplementary theorem-check problem: normal matrices and unitary diagonalization

16.1Problem 12

Let $A$A be unitarily diagonalizable, so $U^{*}AU=D$U^*AU=D with $U$U unitary and $D$D diagonal. Prove that $A$A is normal. Then explain why the converse is the complex spectral theorem for normal matrices.

16.2Answer example

From $U^{*}AU=D$U^*AU=D, we have $A=UD{U}^{*}$A=UDU^* and $A^{*}=U{D}^{*}{U}^{*}$A^*=UD^*U^*. Hence

and

Since diagonal matrices commute with their conjugate transposes, $D^{*}D=D{D}^{*}$D^*D=DD^*. Thus $A^{*}A=A{A}^{*}$A^*A=AA^*, so $A$A is normal. The converse theorem says that every complex normal matrix admits such a unitary diagonalization.

16.3Explanation

Normality is exactly the condition that makes orthonormal eigenvector decompositions possible over $\mathbb{C}$\mathbb C. Hermitian and unitary matrices are important special cases of normal matrices.