複素内積ふくそないせきcomplex inner productとユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)

date2026-07-14document_iddoc_ad6e9f10409aa84e65545f158ccc22fcdescription複素内積空間で必要になるエルミート内積、共役転置、随伴、ユニタリ行列、エルミート行列、正規行列を整理する講義である。prerequisites内積空間の基本 / 単位行列・零行列・転置の基本 / 行列の積の意味type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecturecomplex-vector-space

Complex inner products複素内積ふくそないせき and unitary matricesユニタリ行列ぎょうれつ

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、複素ふくそcomplexの線型代数せんけいだいすうlinear algebraでは、転置てんちtranspose $A^{T}$ だけでは内積ないせきinner productと両立りょうりつしないということである。

実数じっすうreal numberの世界せかいでは、対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrix、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、転置てんちtranspose $A^{T}$ が中心ちゅうしんになる。一方いっぽう、複素数ふくそすうcomplex numberを使つかうと、成分せいぶんcomponentを入いれ替かえるだけでなく複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateも取とる必要ひつようがある。その操作そうさoperationが共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $A^{*}$ である。

data/lecture/math/linear-algebra/inner-product-space-basics.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/identity-zero-and-transpose-matrices.lecture.n.md

1Introduction

The main point of this lecture is that in complex linear algebra線型代数せんけいだいすう, ordinary transpose $A^{T}$ is not compatible with the inner product内積ないせき. Complex entries have phases, so the operation compatible with inner products is the conjugate transpose共役転置きょうやくてんち $A^{*}$ .

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2用語ようごと定義ていぎ

複素内積空間ふくそないせきくうかんcomplex inner product spaceとは、複素ふくそベクトル空間くうかんcomplex vector spaceに複素内積ふくそないせきcomplex inner productが入はいった空間くうかんspaceである。

エルミート内積ないせきHermitian inner productとは、共役対称性きょうやくたいしょうせいconjugate symmetryと半線型性はんせんけいせいsesquilinearityを持もつ複素内積ふくそないせきcomplex inner productである。この系列けいれつでは、第だい 1 変数へんすうを線型せんけいlinear、第だい 2 変数へんすうを共役線型きょうやくせんけいconjugate-linearとする。

⟨ a u + b v, w ⟩ = a ⟨ u, w ⟩ + b ⟨ v, w ⟩

⟨ u, a v + b w ⟩ = \overline{a} ⟨ u, v ⟩ + \overline{b} ⟨ u, w ⟩

⟨ u, v ⟩ = \overline{⟨ v, u ⟩}

共役転置きょうやくてんちconjugate transposeとは、複素行列ふくそぎょうれつcomplex matrix $A = (a_{i j})$ に対たいして、転置てんちしてから各成分かくせいぶんの複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateを取とる操作そうさoperationである。

(A^{*})_{i j} = \overline{a_{j i}}

随伴ずいはんadjointとは、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T : V \to V$ に対たいして

⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩

を満みたす線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T^{*}$ である。標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを使つかう行列表示ぎょうれつひょうじでは、随伴ずいはんadjointは共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $A^{*}$ に対応たいおうする。

エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixとは、

A^{*} = A

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。これは自己随伴じこずいはんself-adjointな行列ぎょうれつmatrixである。

ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)とは、

U^{*} U = U U^{*} = I

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。

正規行列せいきぎょうれつnormal matrixとは、

A^{*} A = A A^{*}

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。

2Terms and definitions

A complex inner product space複素内積空間ふくそないせきくうかん is a complex vector space equipped with a complex inner product.

A Hermitian inner productエルミート内積ないせき has conjugate symmetry and sesquilinearity. In this series, the first variable is linear and the second is conjugate-linear:

⟨ a u + b v, w ⟩ = a ⟨ u, w ⟩ + b ⟨ v, w ⟩,

⟨ u, a v + b w ⟩ = \overline{a} ⟨ u, v ⟩ + \overline{b} ⟨ u, w ⟩,

⟨ u, v ⟩ = \overline{⟨ v, u ⟩} .

The conjugate transpose共役転置きょうやくてんち of a complex matrix $A = (a_{i j})$ is

(A^{*})_{i j} = \overline{a_{j i}} .

The adjoint随伴ずいはん of a linear map $T$ is the map $T^{*}$ satisfying

⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩ .

For standard complex inner products, the matrix of the adjoint is $A^{*}$ .

A Hermitian matrixエルミート行列ぎょうれつ satisfies

A^{*} = A .

A unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ satisfies

U^{*} U = U U^{*} = I .

A normal matrix正規行列せいきぎょうれつ satisfies

A^{*} A = A A^{*} .

3方針ほうしん

まず、複素内積ふくそないせきcomplex inner productでは共役きょうやくがどこに現あらわれるかを固定こていする。つぎに、共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $A^{*}$ が内積ないせきinner productの中なかで何なにを移動いどうしているかを確認かくにんする。そこから、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は長ながさlengthと直交ちょっこうorthogonalityを保存ほぞんし、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは内積ないせきinner productと両立りょうりつする伸縮しんしゅくを表あらわす、と整理せいりする。

3Plan

We first fix where conjugation appears in complex inner products. Then we explain why $A^{*}$ moves a matrix from one side of the inner product to the other. From there, unitary matrices are seen as transformations preserving length and orthogonality, while Hermitian matrices are self-adjoint transformations compatible with the inner product.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

複素数ふくそすうcomplex numberには大おおきさと位相いそうphaseがある。位相いそうphaseを持もつ成分せいぶんcomponentどうしを比くらべるには、ただ掛かけるだけではなく、一方いっぽうを共役きょうやくにして位相差いそうさを測はかる必要ひつようがある。

例れいとして $z = i$ を考かんがえる。もし単純たんじゅんに $z^{2}$ を長ながさの 2 乗じょうと見みると、 $i^{2} = - 1$ になり、長ながさが負ふになる。そこで

z \overline{z} = | z |^{2}

を使つかう。複素内積ふくそないせきcomplex inner productで複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateが現あらわれる理由りゆうは、この単純たんじゅんな事実じじつにある。

4Intuitive explanation

For a complex number $z = i$ , the expression $z^{2} = - 1$ cannot represent squared length. Instead,

z \overline{z} = | z |^{2}

is nonnegative. This is why complex inner products use conjugation: they must measure magnitude and phase difference without destroying positivity.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner product

この系列けいれつでは、 $C^{n}$ の標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを

⟨ x, y ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \overline{y_{k}}

と置おく。この規約きやくでは第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearである。

⟨ a x, y ⟩ = a ⟨ x, y ⟩

一方いっぽう、第だい 2 変数へんすうでは複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateが現あらわれる。

⟨ x, a y ⟩ = \overline{a} ⟨ x, y ⟩

この規約きやくを明示めいじするのは、教科書きょうかしょによって第だい 2 変数へんすうを線型せんけいlinearにする流儀りゅうぎもあるからである。流儀りゅうぎが変かわると、射影係数しゃえいけいすうprojection coefficientや随伴ずいはんadjointの式しきで共役きょうやくの位置いちが変かわる。

5.22. $A^{*}$ が必要ひつようになる理由りゆう

実行列じつぎょうれつreal matrixでは、標準内積ひょうじゅんないせきに対たいして

⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{T} y ⟩

が成立せいりつする。複素行列ふくそぎょうれつcomplex matrixでは、同おなじ役割やくわりを果はたすのは $A^{T}$ ではなく $A^{*}$ である。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{*} y ⟩

したがって $A^{*}$ は、内積ないせきinner productの中なかで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを左側ひだりがわから右側みぎがわへ移うつす操作そうさoperationとして理解りかいできる。

5.33. ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)が保存ほぞんするもの

$U^{*} U = I$ なら、任意にんいの $x, y$ に対たいして

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, U^{*} U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

である。したがってユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は、内積ないせきinner product、長ながさlength、直交ちょっこうorthogonalityを保存ほぞんする。

∥ U x ∥ = ∥ x ∥, ⟨ x, y ⟩ = 0 \Rightarrow ⟨ U x, U y ⟩ = 0

これは実数じっすうreal numberの直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixの複素数版ふくそすうばんcomplex versionである。

5.44. エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixが意味いみするもの

$A^{*} = A$ なら

⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A y ⟩

である。つまり、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは内積ないせきinner productの左右さゆうを入いれ替かえても同おなじ作用さようとして読よめる行列ぎょうれつmatrixである。

次つぎの事実じじつは、固有値こゆうちeigenvalueと対角化たいかくかdiagonalizationを導入どうにゅうした後あとで本格的ほんかくてきに使つかう見通みとおしである。この性質せいしつにより、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixの固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうreal numberになり、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。さらに有限次元ゆうげんじげんでは、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)で対角化たいかくかdiagonalizationできる。

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5.55. エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixと正規行列せいきぎょうれつnormal matrixの違ちがい

正規行列せいきぎょうれつnormal matrixは $A^{*} A = A A^{*}$ を満みたす。これは $A$ と $A^{*}$ の作用さようが交換こうかんできるという条件じょうけんである。エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは $A^{*} = A$ なので自動的じどうてきに正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。

種類しゅるい	条件じょうけん	保存ほぞん・性質せいしつ
ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)	$U^{} U = U U^{} = I$	内積ないせきinner productと長ながさlengthを保存ほぞんする
エルミート行列ぎょうれつHermitian matrix	$A^{*} = A$	自己随伴じこずいはんself-adjointで、固有値こゆうちeigenvalueが実数じっすうreal numberになる
正規行列せいきぎょうれつnormal matrix	$A^{} A = A A^{}$	ユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationできる

表ひょうの固有値こゆうちと対角化たいかくかに関かんする性質せいしつは、後続こうぞくの固有値こゆうち・直交対角化ちょっこうたいかくかの講義こうぎで証明しょうめいする。

5Precise explanation

5.11. The standard complex inner product

On $C^{n}$ , this series uses

⟨ x, y ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \overline{y_{k}} .

Thus

⟨ a x, y ⟩ = a ⟨ x, y ⟩, ⟨ x, a y ⟩ = \overline{a} ⟨ x, y ⟩ .

Some textbooks choose the second variable to be linear. When that convention changes, the positions of conjugates in projection coefficients and adjoint formulas also change.

5.22. Why $A^{*}$ is needed

For real matrices and the standard dot product,

⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{T} y ⟩ .

For complex matrices, the corresponding identity is

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{*} y ⟩ .

Thus $A^{*}$ is the operation that moves a linear map from the left side of the inner product to the right side.

5.33. What unitary matrices preserve

If $U^{*} U = I$ , then for all $x, y$ ,

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, U^{*} U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩ .

Therefore a unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ preserves the inner product, length, and orthogonality:

∥ U x ∥ = ∥ x ∥, ⟨ x, y ⟩ = 0 \Rightarrow ⟨ U x, U y ⟩ = 0.

It is the complex analogue of a real orthogonal matrix.

5.44. Meaning of Hermitian matrices

If $A^{*} = A$ , then

⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A y ⟩ .

The following spectral facts are a preview used fully after eigenvalues and diagonalization have been introduced. This self-adjointness implies that eigenvalues of a Hermitian matrix are real, eigenvectors for distinct eigenvalues are orthogonal, and in finite dimensions the matrix can be diagonalized by a unitary matrix.

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5.55. Hermitian versus normal

Every Hermitian matrix is normal because $A^{*} = A$ implies $A^{*} A = A A^{*}$ . Normal matrices are the broader class that can be unitarily diagonalized over complex finite-dimensional inner product spaces.

Type	Condition	Property
unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ	$U^{} U = U U^{} = I$	preserves inner products and lengths
Hermitian matrixエルミート行列ぎょうれつ	$A^{*} = A$	self-adjoint; eigenvalues are real
normal matrix正規行列せいきぎょうれつ	$A^{} A = A A^{}$	unitarily diagonalizable

The eigenvalue and diagonalization properties in this table are proved later in the eigenvalue and orthogonal diagonalization lectures.

6具体例ぐたいれい

6.1例れい 1：複素内積ふくそないせきcomplex inner productを計算けいさんする

u = (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}), v = (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix})

とする。この規約きやくでは

⟨ u, v ⟩ = 1 \cdot \overline{i} + i \cdot \overline{1} = - i + i = 0

である。したがって $u$ と $v$ は直交ちょっこうorthogonalする。ここで共役きょうやくを忘わすれると $1 \cdot i + i \cdot 1 = 2 i$ となり、直交ちょっこうorthogonalを誤判定ごはんていする。

6.2例れい 2：エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixを判定はんていする

A = (\begin{matrix} 2 & i \\ - i & 3 \end{matrix})

では、

A^{*} = (\begin{matrix} 2 & i \\ - i & 3 \end{matrix}) = A

である。したがって $A$ はエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixである。対角成分たいかくせいぶんは実数じっすうreal numberで、非対角成分ひたいかくせいぶんは互たがいに複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateになっている。

6.3例れい 3：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)を判定はんていする

U = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix})

とする。このとき

U^{*} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - i \end{matrix})

であり、

U^{*} U = I

である。したがって $U$ はユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)である。この行列ぎょうれつmatrixは第だい 2 成分せいぶんcomponentの位相いそうphaseだけを回転かいてんし、長ながさは変かえない。

6Concrete examples

For

u = (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}), v = (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix}),

we get

⟨ u, v ⟩ = 1 \cdot \overline{i} + i \cdot \overline{1} = - i + i = 0.

Thus $u$ and $v$ are orthogonal. Forgetting conjugation would incorrectly give $2 i$ .

For

A = (\begin{matrix} 2 & i \\ - i & 3 \end{matrix}),

we have $A^{*} = A$ , so $A$ is Hermitian. Its diagonal entries are real and its off-diagonal entries are complex conjugates across the diagonal.

For

U = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}),

we have

U^{*} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}), U^{*} U = I .

So $U$ is unitary; it changes the phase of the second component without changing length.

7判定基準はんていきじゅん

複素ふくそ成分せいぶんcomplex entryを含ふくむ内積ないせきinner productでは、必かならず複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateの位置いちを確認かくにんする。
エルミート内積ないせきHermitian inner productでは、この系列けいれつの規約きやくとして第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearである。
ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は内積ないせきinner productと長ながさlengthを保存ほぞんする。
エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは実対称行列じつたいしょうぎょうれつreal symmetric matrixの複素数版ふくそすうばんcomplex versionである。
エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは正規行列せいきぎょうれつnormal matrixであるが、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixがすべてエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixであるわけではない。

7Criteria

In complex inner products, always check where conjugation appears.
In this series, the first variable is linear.
Unitary matrices preserve inner products and lengths.
Hermitian matrices are the complex analogue of real symmetric matrices.
Every Hermitian matrix is normal, but not every normal matrix is Hermitian.

8どこまで成立せいりつするか

随伴ずいはんadjointは内積ないせきinner productに依存いぞんする。標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを使つかう行列ぎょうれつmatrixでは $A^{*}$ が随伴ずいはんになるが、別べつの内積ないせきinner productを入いれた空間くうかんでは、同おなじ成分表示せいぶんひょうじの行列ぎょうれつmatrixでも随伴ずいはんの行列表示ぎょうれつひょうじが変かわることがある。

また、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixのユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationは有限次元ゆうげんじげんの複素内積空間ふくそないせきくうかんcomplex inner product spaceで扱あつかう主張しゅちょうである。実数じっすうreal numberだけで考かんがえると、回転行列かいてんぎょうれつのように実固有値じつこゆうちreal eigenvalueが足たりない場合ばあいがある。

8Scope and limitations

The adjoint depends on the inner product. For matrices with the standard complex inner product, it is $A^{*}$ . With a different inner product, the same array of entries can have a different adjoint representation. Unitary diagonalization of normal matrices is a finite-dimensional complex inner-product-space result; over the real numbers alone, eigenvalues may be missing.

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ x, y ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \overline{y_{k}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (A^{*})_{i j} = \overline{a_{j i}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{*} y ⟩

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] U^{*} U = I ⟺ U はエルミート内積を保存する

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{*} = A ⟺ A はエルミート行列である

9Final forms

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ x, y ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \overline{y_{k}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (A^{*})_{i j} = \overline{a_{j i}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{*} y ⟩

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] U^{*} U = I ⟺ U preservestheHermitianinnerproduct

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{*} = A ⟺ A isHermitian

10一言ひとことでいうと

エルミート内積ないせきHermitian inner productは、複素数ふくそすうcomplex numberの位相いそうphaseを含ふくめて長ながさlengthと直交ちょっこうorthogonalityを測はかるための内積ないせきinner productである。
ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は、その内積構造ないせきこうぞうinner product structureを壊こわさない複素線型変換ふくそせんけいへんかんcomplex linear transformationである。

複素ふくそベクトル空間くうかんでは、共役きょうやくは飾かざりではない。 $⟨ x, x ⟩$ を実数じっすうかつ非負ひふにするために必要ひつようである。したがって、複素ふくそ内積ないせきinner productと正ただしく対応たいおうする操作そうさは、転置てんち $A^{T}$ ではなく共役転置きょうやくてんち $A^{*}$ である。

ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix) は $U^{*} U = I$ を満みたすので、内積ないせき、ノルム、直交ちょっこうorthogonality、距離きょりを保存ほぞんする。正規行列せいきぎょうれつのユニタリ対角化たいかくかは、あとの固有値こゆうちと対角化たいかくかで本格的ほんかくてきに扱あつかう先取さきどりである。このページでは「複素ふくそでは直交行列ちょっこうぎょうれつの役割やくわりをユニタリ行列ぎょうれつが担になう」という見通みとおしとして読よむ。

10In one sentence

A Hermitian inner productエルミート内積ないせき measures length and orthogonality while respecting complex phase, and a unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ preserves that structure.

In complex vector spaces, conjugation is not decoration: it is what makes $⟨ x, x ⟩$ real and nonnegative. Therefore the adjoint $A^{*}$ , not the transpose $A^{T}$ , is the operation that interacts correctly with the complex inner product内積ないせき.

A unitary matrixユニタリ行列 satisfies $U^{*} U = I$ , so it preserves inner products, norms, orthogonality, and distances. As a later preview, normal matrices are the complex setting for unitary diagonalization; the eigenvalue and eigenbasis statements are developed after eigenvalues and diagonalization have been introduced.

11定理ていりと証明しょうめい：エルミート行列ぎょうれつの固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうで、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueの固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする

この定理ていりは、後続こうぞくの固有値論こゆうちろんeigenvalue theoryへの橋渡はしわたしである。ここでは固有値こゆうちeigenvalueを本格的ほんかくてきに展開てんかいするのではなく、証明しょうめいで使つかう前提ぜんていを本文ほんぶんの中なかに閉とじておく。

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $A$ と $v \neq 0$ について $A v = λ v$ が成立せいりつするとき、 $λ$ を固有値こゆうちeigenvalue、 $v$ を $λ$ に属ぞくする固有ベクトルeigenvectorという。同おなじ $λ$ に属ぞくする固有ベクトルeigenvector全体ぜんたいに $0$ を加くわえた集合しゅうごう

E_{λ} = \ker (A - λ I)

を固有空間こゆうくうかんeigenspaceという。この証明しょうめいで使つかう前提ぜんていは、 $v \neq 0$ なら $⟨ v, v ⟩ > 0$ 、エルミート性せい $A^{*} = A$ から $⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A y ⟩$ 、そして $A v = λ v$ という固有値こゆうちeigenvalueの定義ていぎだけである。

data/lecture/math/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/symmetric-matrices-and-orthogonal-diagonalization.lecture.n.md

$A^{*} = A$ とし、 $A v = λ v$ 、 $v \neq 0$ とする。このとき

λ ⟨ v, v ⟩ = ⟨ A v, v ⟩ = ⟨ v, A v ⟩ = \overline{λ} ⟨ v, v ⟩

である。 $⟨ v, v ⟩ > 0$ なので $λ = \overline{λ}$ となり、 $λ$ は実数じっすうreal numberである。

さらに $A u = λ u$ 、 $A v = μ v$ 、 $λ \neq μ$ とする。エルミート性せいより

λ ⟨ u, v ⟩ = ⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩ = \overline{μ} ⟨ u, v ⟩

である。すでに $μ$ は実数じっすうなので $\overline{μ} = μ$ であり、

(λ - μ) ⟨ u, v ⟩ = 0

を得える。 $λ \neq μ$ より $⟨ u, v ⟩ = 0$ である。したがって異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。

この定理ていりは、エルミート行列ぎょうれつが複素ふくその世界せかいでも「実対称行列じつたいしょうぎょうれつと同おなじ幾何きか」を持もつことを示しめしている。

11Theorem and proof: Hermitian eigenvalues are real and eigenspaces for distinct eigenvalues are orthogonal

This theorem is a bridge to the later eigenvalue theory. Here we are not developing the full theory of eigenvalues; instead, the assumptions needed for the proof are kept inside this paragraph.

For a square matrix $A$ and a nonzero vector $v$ , if $A v = λ v$ , then $λ$ is an eigenvalue固有値こゆうち and $v$ is an eigenvector固有ベクトル belonging to $λ$ . The set of all eigenvectors for the same $λ$ , together with $0$ , is the eigenspace固有空間こゆうくうかん

E_{λ} = \ker (A - λ I) .

The only facts used in the proof are: if $v \neq 0$ then $⟨ v, v ⟩ > 0$ ; Hermitian symmetry $A^{*} = A$ gives $⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A y ⟩$ ; and $A v = λ v$ is the definition of an eigenvalue-eigenvector pair.

data/lecture/math/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/symmetric-matrices-and-orthogonal-diagonalization.lecture.n.md

Assume $A^{*} = A$ and $A v = λ v$ with $v \neq 0$ . Then

λ ⟨ v, v ⟩ = ⟨ A v, v ⟩ = ⟨ v, A v ⟩ = \overline{λ} ⟨ v, v ⟩ .

Since $⟨ v, v ⟩ > 0$ , we get $λ = \overline{λ}$ , so $λ$ is real.

Now suppose $A u = λ u$ , $A v = μ v$ , and $λ \neq μ$ . Hermitian symmetry gives

λ ⟨ u, v ⟩ = ⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩ = \overline{μ} ⟨ u, v ⟩ .

The eigenvalue $μ$ is real, so $\overline{μ} = μ$ . Hence

(λ - μ) ⟨ u, v ⟩ = 0.

Because $λ \neq μ$ , $⟨ u, v ⟩ = 0$ . Thus eigenvectors for distinct eigenvalues are orthogonal.

This theorem explains why Hermitian matrices play the same geometric role in complex spaces that real symmetric matrices play in real spaces.

12同値条件どうちじょうけん：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)

複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrix $U$ について、次つぎは同値どうちequivalentである。

$U^{*} U = I$
$U U^{*} = I$
$U^{- 1} = U^{*}$
$U$ の列れつcolumnが正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisを成なす
$⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ が任意にんいの $x, y$ で成立せいりつする

この同値性どうちせいにより、ユニタリ行列ぎょうれつは「逆行列ぎゃくぎょうれつが共役転置きょうやくてんちで与あたえられる行列ぎょうれつ」とも「内積ないせきinner productを保たもつ座標変換ざひょうへんかん」とも読よめる。

12Equivalent characterizations of unitary matrices

For a complex square matrix $U$ , the following conditions are equivalent:

$U^{*} U = I$ .
$U U^{*} = I$ .
$U^{- 1} = U^{*}$ .
The columns of $U$ form an orthonormal basis正規直交基底せいきちょっこうきてい.
$⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ for all $x, y$ .

Thus a unitary matrixユニタリ行列ぎょうれつ can be read either as a matrix whose inverse is its conjugate transpose or as a coordinate change that preserves the inner product.

13定理ていりと証明しょうめい：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix) は内積ないせきとノルムnormを保たもつ

$U$ がユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)、つまり $U^{*} U = I$ を満みたすとする。このとき任意にんいの複素ふくそベクトル $x, y$ について

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

である。

証明しょうめいする。この講義こうぎの規約きやくでは第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearなので、標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productは $⟨ x, y ⟩ = y^{*} x$ と書かける。したがって

⟨ U x, U y ⟩ = (U y)^{*} (U x) = y^{*} U^{*} U x = y^{*} I x = y^{*} x = ⟨ x, y ⟩

である。ノルムnormについては $y = x$ とおけば

∥ U x ∥^{2} = ⟨ U x, U x ⟩ = ⟨ x, x ⟩ = ∥ x ∥^{2}

である。両辺りょうへんは非負ひふなので $∥ U x ∥ = ∥ x ∥$ である。

したがって、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は複素空間ふくそくうかんでの長ながさと角度かくどを保たもつ変換へんかんである。

13Theorem and proof: unitary matrices preserve inner products and norms

Let $U$ be unitary, so $U^{*} U = I$ . For all complex vectors $x, y$ ,

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩ .

With the convention used in this lecture, the first variable is linear, so the standard complex inner product is $⟨ x, y ⟩ = y^{*} x$ . Therefore

⟨ U x, U y ⟩ = (U y)^{*} (U x) = y^{*} U^{*} U x = y^{*} I x = y^{*} x = ⟨ x, y ⟩ .

Taking $y = x$ gives

∥ U x ∥^{2} = ⟨ U x, U x ⟩ = ⟨ x, x ⟩ = ∥ x ∥^{2.}

Since both sides are nonnegative, $∥ U x ∥ = ∥ x ∥$ .

14演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/complex-inner-products-and-unitary-matrices.exercise.n.md

14Exercise link