列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationの基本きほん

Basics of elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnベクトルを、同おなじ列空間れつくうかんcolumn spaceを張はる別べつの生成系せいせいけいgenerating setへ可逆かぎゃくinvertibleに取とり替かえる操作そうさoperationであるということである。

このページは階数かいすうrankの正式せいしきな講義こうぎより前まえに置おかれている。したがって、ここでは一般化前いっぱんかまえの最小限さいしょうげんの用語ようごとして、列空間れつくうかんcolumn spaceを「列れつcolumnベクトルが張はる空間くうかんspace」、階数かいすうrankを「その次元じげんdimension」と読よむ。後続こうぞくの階数かいすうの講義こうぎでは、これを線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの次元じげんdimensionとして一般化いっぱんかする。

このページで核かくkernelという語ごを使つかう場合ばあいは、まず $$Ax=0$$Ax=0 を満みたす入力にゅうりょくinput $$x$$x の集合しゅうごうという行列版ぎょうれつばんの意味いみで読よめばよい。後続こうぞくでは、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T$T について $T\left(x\right)=0$T(x)=0 を満みたす入力にゅうりょくinputの集合しゅうごうとして定義ていぎし直なおす。

行列ぎょうれつmatrixをただの数表すうひょうとして見みると、列れつcolumnの入いれ替かえや加算かさんadditionは成分せいぶんcomponentを動うごかす手順てじゅんにしか見みえない。しかし

と見みれば、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列れつcolumnベクトル $a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$a_1,\dots,a_n の組くみを作つくり替かえる操作そうさoperationである。

1Introduction

The key point is that an elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい is an operation that reversibly replaces the way the columns of a matrix行列ぎょうれつ are displayed.

Because this page comes before the formal rank lecture, we separate the early matrix-level definitions from the later generalized definitions. Here the column space列空間れつくうかん means the space spanned by the columns, and rank階数かいすう means its dimension. Later, rank is generalized as the dimension of the image像ぞう of a linear map線型写像せんけいしゃぞう.

When this page uses kernel核かく, first read it in the matrix-level sense: the set of input vectors $x$x satisfying $Ax=0$Ax=0. Later, it is defined for a linear map線型写像せんけいしゃぞう $T$T as the set of inputs satisfying $T\left(x\right)=0$T(x)=0.

For a matrix

then column operations reorganize the generating set $a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$a_1,\dots,a_n of the column space列空間れつくうかん. They do not merely move symbols around; they change the coordinates on the input side.

2用語ようごと定義ていぎ

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation とは、行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnに対たいする次つぎの 3 種類しゅるいの操作そうさoperationである。

$\lambda \ne 0$\lambda\ne0 が必要ひつようなのは、$\lambda =0$\lambda=0 とすると列れつcolumnそのものが消きえ、逆操作ぎゃくそうさinverse operationで復元ふくげんできなくなるためである。

2Terms and definitions

The three elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい are the following.

The condition $\lambda \ne 0$\lambda\ne0 is necessary in the second operation. If $\lambda =0$\lambda=0, the column itself disappears and cannot be recovered by an inverse operation.

3なぜこの 3 つを基本きほんと呼よぶか

本質ほんしつは、どの操作そうさoperationも元もとに戻もどせることである。

は、もう 1 度ど同おなじ交換こうかんをすれば元もとに戻もどる。

は、

で元もとに戻もどる。

は、

で元もとに戻もどる。したがって列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、情報じょうほうを壊こわす操作そうさoperationではなく、列れつcolumnベクトルの表あらわし方かたを可逆かぎゃくinvertibleに変更へんこうする操作そうさoperationである。

3Why these three are called elementary

Each of the three operations is reversible.

The swap

is undone by swapping the same two columns again.

The scaling operation

is undone by

The replacement operation

is undone by

The condition $\lambda \ne 0$\lambda\ne0 is essential; multiplying a column by 0 destroys information and cannot be undone.

4方針ほうしん

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationでは、行列ぎょうれつmatrixを「列れつcolumnベクトルを横よこに並ならべたもの」として見みる。行列積ぎょうれつせきmatrix productの意味いみから、右みぎから掛かける行列ぎょうれつmatrixは、元もとの列れつcolumnsたちの線型結合せんけいけつごうlinear combinationを新あたらしい列れつcolumnとして作つくる。

のとき、$AF$AF の第だい $k$k 列れつcolumnは、$F$F の第だい $k$k 列れつcolumnを係数けいすうcoefficientとして $a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$a_1,\dots,a_n を線型結合せんけいけつごうlinear combinationしたものである。したがって

となる。

4Strategy

When studying column operations, write the matrix as

Then track how each new column is made as a linear combination of the old columns. The guiding rule is

Indeed, the $k$k-th column of $AF$AF is obtained by using the $k$k-th column of $F$F as the coefficient vector for a linear combination of $a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$a_1,\dots,a_n.

5直感的ちょっかんてきな説明せつめい

列れつcolumnベクトル $a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$a_1,\dots,a_n が張はる空間くうかんspaceを考かんがえる。$a_3$a_3 を $a_3-3a_1$a_3-3a_1 に替かえても、新あたらしい $a_3-3a_1$a_3-3a_1 は元もとの列れつcolumnsたちの線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。逆ぎゃくinverseに、元もとの $a_3$a_3 は

と復元ふくげんできる。つまり、張はっている空間くうかんspaceそのものは変かわらない。

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、地図ちずでいえば同おなじ場所ばしょを別べつの案内標識あんないひょうしきで示しめすようなものである。列れつcolumnの見みた目めは変かわるが、そこから到達とうたつできる空間くうかんspaceは変かわらない。

5Intuitive explanation

A column operation replaces a list of column generators by another list that spans the same space. For example, after the operation $C_3\leftarrow C_3-3C_1$C_3\leftarrow C_3-3C_1, the old column can be recovered because

Thus the generated space is unchanged, even though the displayed columns have changed.

In the map analogy, a column operation is like changing the signs that describe the same place. The displayed columns change, but the space reachable from them does not.

6厳密げんみつな説明せつめい

6.11. 右みぎから基本行列きほんぎょうれつelementary matrixを掛かける

基本行列きほんぎょうれつelementary matrix とは、単位行列たんいぎょうれつidentity matrixに 1 回かいの基本変形きほんへんけいelementary operationを施ほどこして得えられる行列ぎょうれつmatrixである。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、右みぎから基本行列きほんぎょうれつelementary matrixを掛かける操作そうさoperationとして表あらわせる。

たとえば

は、

を右みぎから掛かけることに対応たいおうする。実際じっさい、

である。$-3$-3 が $F$F の 1 行ぎょうrow 3 列れつcolumnに現あらわれるのは、$AF$AF の第だい 3 列れつcolumnが、$F$F の第だい 3 列れつcolumnを係数けいすうcoefficientとして決きまるためである。

6.22. 線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとしての意味いみ

$A$A が線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T_A:K^n\to K^m$T_A:K^n\to K^m を表あらわし、$F$F が可逆かぎゃくinvertibleな線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T_F:K^n\to K^n$T_F:K^n\to K^n を表あらわすとする。このとき $AF$AF は

を表あらわす。なぜなら、任意にんいの入力にゅうりょくinput $y$y について

だからである。

ここで $F$F が列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationに対応たいおうする基本行列きほんぎょうれつelementary matrixなら、$F$F は可逆かぎゃくinvertibleである。したがって $T_F$T_F は入力空間にゅうりょくくうかん $K^n$K^n を $K^n$K^n 全体ぜんたいへ写うつす。結果けっかとして

であり、列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankは保存ほぞんされる。

一方いっぽう、核かくkernelは同おなじ集合しゅうごうとしては保存ほぞんされない。$AFy=0$AFy=0 は $A\left(Fy\right)=0$A(Fy)=0 を意味いみするので、

である。つまり、潰つぶれる方向ほうこうの次元じげんは保たもたれるが、その方向ほうこうを表あらわす座標ざひょうcoordinateは $F$F によって変かわる。

6.33. 行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationとの違ちがい

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、方程式ほうていしきequationそのものを同値どうちequivalentな形かたちformへ変かえるため、$Ax=b$Ax=b の解集合かいしゅうごうsolution setをそのまま保たもちやすい。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは $A$A の列れつcolumn、つまり未知数みちすうunknownが掛かかる係数けいすうcoefficientの方向ほうこうdirectionを変かえる。したがって連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsで列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを使つかうなら、未知数みちすうunknownの変換へんかんtransformationも同時どうじに追跡ついせきtrackingする必要ひつようがある。

具体的ぐたいてきには、$F$F が可逆かぎゃくinvertibleなら

を解といたあと、元もとの未知数みちすうunknownは

で戻もどす。これを忘わすれると、別べつの未知数みちすうunknownで解といた答こたえを元もとの問題もんだいの答こたえと誤解ごかいする。

6Precise explanation

6.11. Multiplying by an elementary matrix on the right

An elementary matrix is obtained by applying one elementary operation to the identity matrix. An elementary column operation can be represented as multiplication by such an elementary matrix on the right.

Consider the operation

It is represented by right multiplication with

Indeed,

The entry $-3$-3 appears in row 1, column 3 of $F$F because the third column of $AF$AF is determined by the third column of $F$F as a coefficient vector.

Column operations therefore have the form

where $F$F is an invertible elementary matrix.

6.22. Meaning as a linear map

Suppose $A$A represents $T_A:K^n\to K^m$T_A:K^n\to K^m and $F$F represents an invertible map $T_F:K^n\to K^n$T_F:K^n\to K^n. Then $AF$AF represents

because for every input $y$y,

If $F$F is the elementary matrix corresponding to an elementary column operation, then $F$F is invertible. Hence $T_F$T_F maps $K^n$K^n onto all of $K^n$K^n, and

Thus the column space and rank are preserved.

The kernel is not generally preserved as the same set. Since $AFy=0$AFy=0 means $A\left(Fy\right)=0$A(Fy)=0,

So the dimension of the collapsed directions is preserved, but their coordinate description changes.

6.33. Difference from elementary row operations

For systems, this distinction matters. If we solve

then the original unknown is not $y$y. It is

Thus column operations can be used in equations only if this change of variables is tracked.

7具体例ぐたいれい

を考かんがえる。

7.1列れつcolumnの交換こうかんswap

を行おこなうと、

となる。

7.2列れつcolumnの非零定数倍ひぜろていすうばいnonzero scalar multiple

を行おこなうと、

となる。第だい 3 列れつcolumnの各成分かくせいぶんeach componentが同時どうじに $\frac{1}{3}$\frac{1}{3} 倍ばいscalar multipleされる。

7.3他列たれつanother columnの倍ばいscalar multipleを加くわえる

を行おこなうと、

である。したがって

となる。

7.4未知数変換みちすうへんかんchange of variablesの具体例ぐたいれい

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsで使つかうときは、未知数みちすうunknownの変換へんかんtransformationを明示めいじする。たとえば 2 列れつcolumnsの行列ぎょうれつmatrix $$A=\left[C_1{C}_2\right]$$A=[C_1\ C_2] に

を行おこなうとする。この操作そうさoperationは

を右みぎから掛かけることに対応たいおうし、

である。したがって変形後へんけいごafter transformationの方程式ほうていしきequationを

と解といたなら、元もとの方程式ほうていしきequation $$Ax=b$$Ax=b の未知数みちすうunknownは

である。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationで得えた $$y$$y をそのまま $$x$$x と読よむのは誤あやまりである。

7Concrete examples

Let

7.1Swapping columns

For

we get

7.2Multiplying a column by a nonzero scalar

For

we get

7.3Adding a multiple of another column

For

compute

Thus

7.4Concrete example of a change of variables

Suppose a two-column coefficient matrix undergoes

Then

If we solve

then the original unknown is

So $y$y is the coordinate vector after the column change, not the original unknown vector.

8何なにが保存ほぞんpreservationされるか

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationでは、列空間れつくうかんcolumn spaceが保存ほぞんpreservationされる。なぜなら、新あたらしい列れつcolumnは元もとの列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationであり、逆操作ぎゃくそうさinverse operationにより元もとの列れつcolumnも新あたらしい列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationで戻もどせるからである。

したがって階数かいすうrank も保存ほぞんpreservationされる。

ただし、右みぎから可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを掛かけるため、核かくkernelは同おなじ集合しゅうごうsetとしては保存ほぞんpreservationされない。$AFy=0$AFy=0 は $A\left(Fy\right)=0$A(Fy)=0 を意味いみするので、元もとの核かくkernelとの対応たいおうには $x=Fy$x=Fy という変数変換へんすうへんかんchange of variablesが入はいる。

8What is preserved

Because each new column is a linear combination of the old columns and the old columns can be recovered by the inverse operation,

Therefore

The column space列空間れつくうかん and rank階数かいすう are preserved. The kernel核かく is not generally preserved as the same set of coordinate vectors. Since

we have

The dimension of the kernel is preserved, but its coordinate representation changes.

9行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょうeffect

この節せつは、後あとの行列式ぎょうれつしきdeterminantの講義こうぎを読よんだ後あとに戻もどるための補足ほそくである。このページの本流ほんりゅうでは、列空間れつくうかんcolumn space、階数かいすうrank、未知数みちすうunknownの変換へんかんだけを使つかう。

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationによる行列式ぎょうれつしきdeterminantの変化へんかは行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと同型どうけいisomorphicである。

これは行列式ぎょうれつしきdeterminantが列れつcolumnに関かんして多重線型たじゅうせんけいmultilinearであり、2 本ほんの列れつcolumnsが一致いっちすると 0 になるためである。

9Effects on determinants

This section is a later-reference supplement. Return to it after the determinant lectures. The main flow of the present page uses only column spaces, rank, and changes of unknowns.

For square matrices, column operations affect the determinant行列式ぎょうれつしき as follows.

The reason is that the determinant is multilinear in the columns and becomes zero when two columns coincide.

10操作そうさoperationごとに保存ほぞんpreservationされるもの・変かわるもの

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを $A\mapsto AF$A\mapsto AF と書かくと、$F$F は可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixである。右みぎから掛かけるので、元もとの列れつcolumnベクトルの線型結合せんけいけつごうlinear combinationとして新あたらしい列れつcolumnが作つくられる。このため、列空間れつくうかんcolumn spaceを中心ちゅうしんに見みると保存ほぞんpreservationされるものが見みえやすい。

列空間れつくうかんcolumn spaceが保存ほぞんpreservationされる理由りゆうは、新あたらしい列れつcolumnが元もとの列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationであり、逆操作ぎゃくそうさinverse operationにより元もとの列れつcolumnも新あたらしい列れつcolumnから復元ふくげんできるためである。したがって

である。階数かいすうrankは列空間れつくうかんcolumn spaceの次元じげんdimensionなので保存ほぞんpreservationされる。

一方いっぽう、核かくkernelは同おなじ集合しゅうごうsetとしては一般いっぱんに保存ほぞんpreservationされない。

であるから、$x=Fy$x=Fy と置おけば $x\in \ker A$x\in\ker A である。つまり

となる。核かくkernelの次元じげんdimensionは保存ほぞんpreservationされるが、座標ざひょうcoordinateの表あらわし方かたは変かわる。

連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsでこの違ちがいは重要じゅうようである。$Ax=b$Ax=b の係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixを $AF$AF に変かえたなら、同おなじ未知数みちすうunknown $x$x で解といているのではない。

を解といたあと、元もとの未知数みちすうunknownは

で戻もどす。この対応たいおうを追跡ついせきtrackingすれば、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationも方程式ほうていしきequationの整理せいりに使つかえる。しかし追跡ついせきtrackingしないなら、解集合かいしゅうごうsolution setをそのまま保たもつ操作そうさoperationではない。

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationとの比較ひかくは次つぎのページで確認かくにんする。

階数かいすうrank・列空間れつくうかんcolumn space・核かくkernelの関係かんけいは次つぎのページで確認かくにんする。

10What changes and what is preserved by operation

Writing an elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい as $A\mapsto AF$A\mapsto AF, the matrix $F$F is invertible可逆かぎゃく. Since multiplication is on the right, each new column is a linear combination線型結合せんけいけつごう of the original columns.

This explains why

and why rank階数かいすう, the dimension of the column space, is preserved.

The kernel核かく is not generally preserved as the same set. From

putting $x=Fy$x=Fy gives

Thus the dimension of the kernel is preserved, but its coordinate representation changes.

This matters for a system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき. If the coefficient matrix in $Ax=b$Ax=b is changed to $AF$AF, then one is not solving for the same unknown vector $x$x. After solving

the original unknown is recovered by

Column operations can be used to organize equations only if this variable change is tracked. Without tracking, they do not preserve the solution set in the same way that row operations do.

11見分みわけ方かた

• 連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの解集合かいしゅうごうsolution setをそのまま保たもちたいなら、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを使つかう。
• 列空間れつくうかんcolumn space、階数かいすうrank、列れつcolumnの生成系せいせいけいgenerating setを整理せいりしたいなら、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationが自然しぜんである。
• 行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさんでは、行ぎょうrowと列れつcolumnのどちらに基本変形きほんへんけいelementary operationを施ほどこしてもよい。ただし符号ふごうsignや倍率ばいりつfactorを必かならず記録きろくする。
• $Ax=b$Ax=b を解とく途中とちゅうで列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを使つかうなら、未知数みちすうunknownの変換へんかんtransformation $x=Fy$x=Fy を最後さいごまで追跡ついせきtrackingする。

11Criteria

• Use elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい when the solution set of a system should be preserved directly.
• Use elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい when the column space列空間れつくうかん, rank階数かいすう, or generating set of columns is the focus.
• For determinant computations, either row operations or column operations may be used, but signs and scalar factors must be recorded.
• If a column operation is used while solving $Ax=b$Ax=b, track the change of variables $x=Fy$x=Fy until the end.

12どこまで成立せいりつするか

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、任意にんいarbitraryの $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixに対たいして定義ていぎできる。列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankは保存ほぞんpreservationされる。ただし行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょうeffectを語かたれるのは、行列式ぎょうれつしきdeterminantが定義ていぎされる正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixの場合ばあいである。

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列れつcolumnの生成系せいせいけいgenerating setを取とり替かえる操作そうさoperationであり、写像しゃぞうmapの終域しゅういきcodomainにある列空間れつくうかんcolumn spaceは保たもつ。一方いっぽうで、入力側にゅうりょくがわinput sideの座標ざひょうcoordinateは変かわるので、方程式ほうていしきequationの未知数みちすうunknownは同一視どういつししない。

12Scope of validity

Elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい are defined for arbitrary $m\times n$m\times n matrices. They preserve the column space列空間れつくうかん and rank階数かいすう. Statements about determinant effects apply only to square matrices, because determinants are defined only there.

A column operation replaces the generating set of columns reversibly and keeps the column space in the codomain. On the other hand, the input-side coordinates change, so the unknowns in an equation must not be identified without tracking that coordinate change.

13最終形さいしゅうけい

13Final forms

14一言ひとことでいうと

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、列れつcolumnベクトルが張はる空間くうかんspaceを変かえずに、列れつcolumnの表あらわし方かただけを変かえる操作そうさoperationである。

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、可逆かぎゃくinvertibleな基本行列きほんぎょうれつelementary matrixを右みぎから掛かける操作そうさoperationである。したがって、入力側にゅうりょくがわの座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationを変かえる未知数変換みちすうへんかんchange of variablesとして読よむべきであり、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと同おなじ操作そうさとは読よまない。

保存則ほぞんそくpreservation ruleが実用上じつようじょうの確認点かくにんてんである。$$AE$$AE の列れつcolumnは $$A$$A の列れつcolumnの可逆かぎゃくinvertibleな線型結合せんけいけつごうlinear combinationなので、列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankは保存ほぞんされる。連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations $$Ax=b$$Ax=b では、変形後へんけいごの $$AEy=b$$AEy=b は $$x=Ey$$x=Ey という代入だいにゅうを通つうじて元もとの問題もんだいに対応たいおうする。行列式ぎょうれつしきdeterminantは、列交換れつこうかん・列れつの非零倍ひぜろばい・他列たれつの倍ばいの加算かさんについて、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと同おなじ規則きそくで変化へんかする。

14In one sentence

An elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい changes the way column vectors are displayed without changing the space spanned by those columns.

An elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい is right multiplication by an invertible elementary matrix. It changes the coordinate description on the input side, so it should be read as a change of variables未知数変換みちすうへんかん, not as the same operation as an elementary row operation.

The preservation rules are the practical checkpoint. Because $AE$AE has columns that are invertible linear combinations of the columns of $A$A, the column space and rank are preserved. For a system $Ax=b$Ax=b, the literal solution vector in the original variables changes, but the transformed system $AEy=b$AEy=b is equivalent after the substitution $x=Ey$x=Ey. Determinants change according to the same swap, scaling, and column-addition rules as row operations.

15定理ていりと証明しょうめい：列基本変形れつきほんへんけいは列空間れつくうかんを保たもつ

列基本変形れつきほんへんけいは、列れつたちが張はる空間くうかんを変かえない。

証明しょうめいする。$A=[C_1\cdots C_n]$A=[C_1\ \cdots\ C_n] とする。列れつの交換こうかんは生成系せいせいけいの順番じゅんばんを替かえるだけなので、張はる空間くうかんは変かわらない。列れつを 0 でない $\lambda$\lambda 倍ばいする操作そうさは、同おなじ方向ほうこうの生成元せいせいげんを非零ひれいの倍率ばいりつで替かえるだけであり、$1/\lambda$1/\lambda 倍ばいで戻もどせる。

最後さいごに、$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j を考かんがえる。新あたらしい $C_i$C_i は、もとの列れつの線型結合せんけいけつごうなので、新あたらしい列れつたちが張はる空間くうかんは、もとの列空間れつくうかんに含ふくまれる。逆操作ぎゃくそうさ $C_i\leftarrow C_i-\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i-\lambda C_j で戻もどせるので、逆ぎゃくの包含ほうがんも成立せいりつする。したがって列空間れつくうかんは等ひとしい。

ただし、列基本変形れつきほんへんけいは未知数みちすうの意味いみを変かえるため、連立一次方程式れんりついちじほうていしきの解集合かいしゅうごうをそのまま保たもつとは限かぎらない。

15Theorem and proof: elementary column operations preserve column space

Elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい do not change the space spanned by the columns.

Proof. Write $A=[C_1\cdots C_n]$A=[C_1\ \cdots\ C_n]. Swapping columns only changes the order of a generating set, so the span is unchanged. Multiplying a column by a nonzero scalar only replaces a generator by a nonzero scalar multiple in the same direction, and it can be undone by multiplying by $1/\lambda$1/\lambda.

Finally, consider $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j. The new $C_i$C_i is a linear combination of the old columns, so the span of the new columns is contained in the old column space. The inverse operation $C_i\leftarrow C_i-\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i-\lambda C_j recovers the old columns from the new columns, so the reverse inclusion also holds. Therefore the column spaces are equal.

However, column operations change the meaning of the unknown coordinates, so they do not necessarily preserve the solution set of a system of linear equations as the same set of unknown vectors.

16演習えんしゅうリンク

16Exercise links

17関連かんれんリンク

17Related links