行列計算ぎょうれつけいさんmatrix calculationと線型変換せんけいへんかんlinear transformation-基本演習きほんえんしゅう

Matrix calculation行列計算ぎょうれつけいさん and linear transformations線型変換せんけいへんかん - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

行列ぎょうれつmatrixの計算けいさんでは、成分せいぶんentryを動うごかす前まえにサイズ条件じょうけんsize conditionを確認かくにんする。積せきproduct $AB$AB は「まず $B$B、つぎに $A$A」という合成ごうせいcompositionを表あらわすので、順序じゅんじょorderを入いれ替かえると意味いみも結果けっかも変かわる。

行列積ぎょうれつせきmatrix productの前まえには、次元じげんだけでなく意味いみも確認かくにんする。$AB$AB は $B$B を先さきに適用てきようし、その結果けっかに $A$A を適用てきようするので、順序じゅんじょは記号上きごうじょうの飾かざりではない。また、行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnは標準基底ひょうじゅんきていstandard basisの行いき先さきなので、線型変換せんけいへんかんを素早すばやく読よむ手掛てがかりになる。

逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixや転置てんちtransposeでは、$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}、$(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)^T=B^TA^T のように順序じゅんじょが反転はんてんする規則きそくを明示めいじして使つかう。可逆かぎゃくinvertibleであるためには、有限次元ゆうげんじげんの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは単射たんしゃかつ全射ぜんしゃであることが必要ひつようである。サイズが合あわず積せきが定義ていぎできない場合ばあいは、単たんなる計算けいさんミスではなく、合成ごうせいそのものが定義ていぎされていないことを意味いみする。

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの詳くわしい計算けいさんは後続こうぞくの講義こうぎで扱あつかう。この演習えんしゅうでは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A の逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixとは $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$AA^{-1}=A^{-1}A=I を満みたす行列ぎょうれつである、という定義ていぎだけを使つかう。

1Exercise plan

Before computing with a matrix行列ぎょうれつ, check the size conditionサイズ条件じょうけん. The product $AB$AB means "first $B$B, then $A$A," so changing the order順序じゅんじょ changes the meaning and often the result.

Before multiplying matrices, check dimensions and meaning. The product $AB$AB means first applying $B$B and then applying $A$A, so the order is part of the statement. The columns of a matrix are the images of the standard basis vectors, which is often the fastest way to identify the associated linear transformation.

For inverse and transpose questions, keep the structural rules visible: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, $(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)^T=B^TA^T, and a map is invertible only when it is one-to-one and onto in the square finite-dimensional setting. If a calculation fails by dimension mismatch, that is not a minor arithmetic error; it means the proposed composition is not defined.

Order note: the detailed computation of inverse matrices is treated later. In this exercise, we use only the definition: for a square matrix $$A$$A, an inverse matrix逆行列ぎゃくぎょうれつ is a matrix satisfying $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$AA^{-1}=A^{-1}A=I.

2確認問題かくにんもんだい：線型性せんけいせいlinearityの判定はんてい

$T:R^2\to R^2$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 を

で定義ていぎする。この $T$T が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであることを、加法性かほうせいadditivityと同次性どうじせいhomogeneityを確認かくにんして示しめせよ。

2.1解答例かいとうれい

$u=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$u=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}、$v=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$v=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} とする。まず加法性かほうせいadditivityを確認かくにんする。

一方いっぽう、

である。したがって $T(u+v)=T\left(u\right)+T\left(v\right)$T(u+v)=T(u)+T(v) である。

つぎにスカラーscalar $c$c について同次性どうじせいhomogeneityを確認かくにんする。

よって $T$T は線型写像せんけいしゃぞうlinear mapである。

2.2解説かいせつ

この問題もんだいは、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの定義ていぎdefinitionそのものを確認かくにんしている。加法性かほうせいadditivityは「足たしてから写像しゃぞうmapで写うつす」と「写像しゃぞうmapで写うつしてから足たす」が一致いっちすること、同次性どうじせいhomogeneityは「スカラー倍ばいscalar multiplicationしてから写像しゃぞうmapで写うつす」と「写像しゃぞうmapで写うつしてからスカラー倍ばいscalar multiplicationする」が一致いっちすることである。

ここで重要じゅうようなのは、いくつかの数値例すうちれいで成立せいりつすることを確たしかめるだけでは証明しょうめいproofにならないという点てんである。任意にんいの $u,v,c$u,v,c について確認かくにんしているため、定義ていぎdefinitionに戻もどった証明しょうめいproofになっている。

2Check problem: linearity線型性せんけいせい

Define $T:R^2\to R^2$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 by

Show linearity by checking additivity and homogeneity.

2.1Answer example

For $u=(x_1,y_1{)}^T$u=(x_1,y_1)^T and $v=(x_2,y_2{)}^T$v=(x_2,y_2)^T,

For a scalar $c$c,

Therefore $T$T is a linear map線型写像せんけいしゃぞう.

2.2Explanation

The proof uses arbitrary vectors and scalars, not a few examples.

The additivity check compares the two full expressions

and

for arbitrary $u=(x_1,y_1{)}^T$u=(x_1,y_1)^T and $v=(x_2,y_2{)}^T$v=(x_2,y_2)^T, and the two components agree term by term. The homogeneity check also uses an arbitrary scalar $c$c. This is why the argument is a proof from the definition定義ていぎ, rather than verification on a few numerical examples.

3問題もんだい 1

について、$A+B$A+B と $2A-B$2A-B を求もとめよ。可能かのうな理由りゆうreasonも述のべよ。

3.1解答例かいとうれい

どちらも $2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrixなので和わsumと差さdifferenceが定義ていぎできる。

3.2解説かいせつ

行列ぎょうれつmatrixの和わsumは、同おなじ位置いちの成分せいぶんentryどうしを足たす操作そうさoperationである。そのため、行数ぎょうすうnumber of rowsと列数れつすうnumber of columnsが一致いっちしていなければならない。この問題もんだいは、計算前けいさんまえに定義条件ていぎじょうけんcondition for being definedを確認かくにんする習慣しゅうかんを確認かくにんしている。

3Problem 1

For

find $A+B$A+B and $2A-B$2A-B, and explain why they are defined.

3.1Answer example

Both are $2\times 3$2\times3 matrices, so addition and subtraction are defined.

3.2Explanation

Matrix sums are entrywise, so row and column counts must match.

4問題もんだい 2

について、$AB$AB と $BA$BA を求もとめ、違ちがいを説明せつめいせよ。

4.1解答例かいとうれい

したがって $AB\ne BA$AB\ne BA である。

4.2解説かいせつ

$AB$AB は右側みぎがわの $B$B を先さきに適用てきようapplicationし、その結果けっかへ $A$A を適用てきようapplicationする合成ごうせいcompositionである。$BA$BA は順序じゅんじょorderが逆ぎゃくである。線型変換せんけいへんかんlinear transformationでは、先さきに横よこへ押おしてから伸のばす操作そうさoperationと、先さきに伸のばしてから横よこへ押おす操作そうさoperationは一般いっぱんに一致いっちしない。

4Problem 2

For

compute $AB$AB and $BA$BA and explain the difference.

4.1Answer example

Thus $AB\ne BA$AB\ne BA.

4.2Explanation

$AB$AB applies $B$B first and then $A$A. $BA$BA reverses the order.

The product $AB$AB means that the transformation represented by $B$B is applied first and the transformation represented by $A$A is applied second. Reversing the order changes the geometry: shearing and stretching in different orders generally give different outputs.

5問題もんだい 3

線型変換せんけいへんかんlinear transformation $T:R^2\to R^3$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 が

を満みたすとする。$T$T の標準基底ひょうじゅんきていstandard basisに関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめ、$T\left(\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right)$T\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} を求もとめよ。

5.1解答例かいとうれい

表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは、$T\left(e_1\right)$T(e_1) と $T\left(e_2\right)$T(e_2) を列れつcolumnに並ならべた

である。したがって、

である。

5.2解説かいせつ

行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnは、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisがどこへ移うつるかを記録きろくしている。$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right)=4e_1-2e_2$\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=4e_1-2e_2 なので、線型性せんけいせいlinearityにより $T(4e_1-2e_2)=4T\left(e_1\right)-2T\left(e_2\right)$T(4e_1-2e_2)=4T(e_1)-2T(e_2) である。この問題もんだいは、行列積ぎょうれつせきmatrix productを列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationとして読よむことを確認かくにんしている。

5Problem 3

A linear transformation $T:R^2\to R^3$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 satisfies

Find its representation matrix表現行列ひょうげんぎょうれつ and compute $T(4,-2{)}^T$T(4,-2)^T.

5.1Answer example

The representation matrix is

Then

5.2Explanation

The columns of a matrix are the images of the standard basis vectors, and matrix multiplication is a linear combination of columns.

6問題もんだい 4

$A$A を $2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrix、$B$B を $3\times 4$3\times4 行列ぎょうれつmatrixとする。$AB$AB、$BA$BA、$A^{T}B$A^T B、$B{A}^T$B A^T が定義ていぎできるかを判定はんていせよ。

6.1解答例かいとうれい

$AB$AB は定義ていぎでき、サイズは $2\times 4$2\times4 である。$BA$BA は $3\times 4$3\times4 と $2\times 3$2\times3 の積せきproductなので定義ていぎできない。$A^T$A^T は $3\times 2$3\times2 なので、$A^{T}B$A^TB は $3\times 2$3\times2 と $3\times 4$3\times4 の積せきproductとなり定義ていぎできない。$B{A}^T$BA^T は $3\times 4$3\times4 と $3\times 2$3\times2 の積せきproductとなり定義ていぎできない。

6.2解説かいせつ

行列積ぎょうれつせきmatrix productでは、左ひだりの列数れつすうnumber of columnsと右みぎの行数ぎょうすうnumber of rowsが一致いっちする必要ひつようがある。転置てんちtransposeはサイズを入いれ替かえるので、転置後てんちごafter transpositionにもう一度いちどサイズを確認かくにんする。境界きょうかいboundaryで誤あやまりやすいのは、記号きごうsymbolだけを見みて「なんとなく掛かけられる」と判断はんだんすることである。

6Problem 4

Let $A$A be $2\times 3$2\times3 and $B$B be $3\times 4$3\times4. Decide whether $AB$AB, $BA$BA, $A^{T}B$A^TB, and $B{A}^T$BA^T are defined.

6.1Answer example

$AB$AB is defined and has size $2\times 4$2\times4. $BA$BA is not defined. Since $A^T$A^T is $3\times 2$3\times2, $A^{T}B$A^TB is not defined. $B{A}^T$BA^T is also not defined.

6.2Explanation

For a product, the number of columns of the left matrix must equal the number of rows of the right matrix. Recheck sizes after transposition.

7問題もんだい 5

$A$A を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。$A{I}_n=A$AI_n=A と $I_{m}A=A$I_mA=A の意味いみを、サイズと線型変換せんけいへんかんlinear transformationの両方りょうほうから説明せつめいせよ。また、$A0$A0 と $0A$0A が何なにを表あらわすかも述のべよ。

7.1解答例かいとうれい

$I_n$I_n は $R^n$\mathbb{R}^n の恒等変換こうとうへんかんidentity transformation、$I_m$I_m は $R^m$\mathbb{R}^m の恒等変換こうとうへんかんidentity transformationである。したがって、$A{I}_n$AI_n は $A$A の前まえに何なにもしない変換へんかんtransformationを挟はさむこと、$I_{m}A$I_mA は $A$A の後あとに何なにもしない変換へんかんtransformationを挟はさむことを表あらわす。どちらも $A$A である。

零行列れいぎょうれつzero matrixを掛かけると、適切てきせつなサイズでは全すべてを零れいzeroへ送おくる変換へんかんtransformationになる。

7.2解説かいせつ

単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは情報じょうほうinformationを変かえない。零行列れいぎょうれつzero matrixは入力にゅうりょくinputの違ちがいをすべて潰つぶす。このため、単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは合成ごうせいcompositionしても変換へんかんtransformationを保存ほぞんするが、零行列れいぎょうれつzero matrixは階数かいすうrankや核かくkernelの性質せいしつpropertyを大おおきく変かえる。この問題もんだいは、操作そうさoperationが何なにを変かえ、何なにを変かえないかを見分みわける練習れんしゅうである。

ここでの階数かいすうrankと核かくkernelは後続こうぞくで詳くわしく扱あつかう先取さきどりである。この問題もんだいの本流ほんりゅうでは、単位行列たんいぎょうれつは変換へんかんを変かえず、零行列れいぎょうれつは入力にゅうりょくの違ちがいを失うしなわせる、という区別くべつを使つかう。

7Problem 5

Let $A$A be $m\times n$m\times n. Explain $A{I}_n=A$AI_n=A and $I_{m}A=A$I_mA=A from sizes and transformations. Also state what $A0$A0 and $0A$0A represent.

7.1Answer example

$I_n$I_n is the identity on $R^n$\mathbb R^n and $I_m$I_m is the identity on $R^m$\mathbb R^m. Thus $A{I}_n$AI_n does nothing before $A$A, and $I_{m}A$I_mA does nothing after $A$A. Both equal $A$A.

Multiplying by a zero matrix of suitable size sends everything to zero.

7.2Explanation

The identity matrix preserves information; the zero matrix collapses all input differences. Therefore composing with an identity matrix leaves the transformation unchanged, while composing with a zero matrix can drastically change later invariants such as rank and kernel. Rank and kernel are later vocabulary here; in this problem, the main distinction is that identity keeps the transformation and zero destroys input information.

8補充問題ほじゅうもんだい：行列ぎょうれつmatrixの演算えんざんoperationと転置てんちtranspose

8.1問題もんだい 6

$2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrixと $2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrixの和わsumが定義ていぎされる理由りゆうreasonを説明せつめいせよ。

8.2解答例かいとうれい

行列ぎょうれつmatrixの和わsumは同おなじ位置いちの成分せいぶんentryどうしを足たすため、行数ぎょうすうnumber of rowsと列数れつすうnumber of columnsが一致いっちしている必要ひつようがある。どちらも $2\times 3$2\times3 なので定義ていぎできる。

8.3問題もんだい 7

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& -1& 4\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&4\end{pmatrix} に対たいして $-2A$-2A を計算けいさんせよ。

8.4解答例かいとうれい

8.5問題もんだい 8

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} と $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} のサイズを比較ひかくせよ。

8.6解答例かいとうれい

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} は $1\times 2$1\times2 行列ぎょうれつmatrixで、$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} は $2\times 1$2\times1 行列ぎょうれつmatrixである。

8.7問題もんだい 9

$2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrixと $3\times 4$3\times4 行列ぎょうれつmatrixの積せきproductのサイズを答こたえよ。

8.8解答例かいとうれい

内側うちがわのサイズ $3$3 が一致いっちするので積せきproductは定義ていぎでき、サイズは $2\times 4$2\times4 である。

8.9問題もんだい 10

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}、$x=(3,4{)}^T$x=(3,4)^T に対たいして $Ax$Ax を計算けいさんせよ。

8.10解答例かいとうれい

8.11問題もんだい 11

行列積ぎょうれつせきmatrix productが可換かかんcommutativeでない例れいを 1 つ構成こうせいせよ。

8.12解答例かいとうれい

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}、$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} とすると、

なので $AB\ne BA$AB\ne BA である。

8.13問題もんだい 12

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix} の $A^T$A^T を求もとめよ。

8.14解答例かいとうれい

8.15問題もんだい 13

$I_{2}A=A$I_2A=A が成立せいりつするための $A$A の行数ぎょうすうnumber of rowsを確認かくにんせよ。

8.16解答例かいとうれい

$I_2$I_2 は $2\times 2$2\times2 行列ぎょうれつmatrixなので、$I_{2}A$I_2A が定義ていぎされるには $A$A の行数ぎょうすうnumber of rowsが $2$2 である必要ひつようがある。

8.17問題もんだい 14

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)^T=B^TA^T で順序じゅんじょorderが反転はんてんする理由りゆうreasonを言語化げんごかせよ。

8.18解答例かいとうれい

$AB$AB は「まず $B$B、つぎに $A$A」という合成ごうせいcompositionを表あらわす。転置てんちtransposeすると行ぎょうrowと列れつcolumnの役割やくわりroleが入いれ替かわるため、合成ごうせいcompositionを戻もどして読よむ順序じゅんじょorderは $B^T{A}^T$B^TA^T になる。

8.19問題もんだい 15

先取さきどり注意ちゅうい：階数かいすうrank、行空間ぎょうくうかんrow space、列空間れつくうかんcolumn spaceは後続こうぞくの階数かいすうの講義こうぎ・演習えんしゅうで本格的ほんかくてきに扱あつかう。この問題もんだいでは、転置てんちが行ぎょうと列れつを入いれ替かえることから見みる発展確認はってんかくにんとして読よむ。

$A$A が $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixのとき、$\mathrm{rank}\left(A\right)=\mathrm{rank}\left(A^T\right)$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) となる理由りゆうreasonを行空間ぎょうくうかんrow spaceと列空間れつくうかんcolumn spaceの対応たいおうcorrespondenceから説明せつめいせよ。

8.20解答例かいとうれい

$A$A の行空間ぎょうくうかんrow spaceは $A^T$A^T の列空間れつくうかんcolumn spaceに対応たいおうcorrespondenceし、$A$A の列空間れつくうかんcolumn spaceは $A^T$A^T の行空間ぎょうくうかんrow spaceに対応たいおうcorrespondenceする。行階数ぎょうかいすうrow rankと列階数れつかいすうcolumn rankは一致いっちするので、$\mathrm{rank}\left(A\right)=\mathrm{rank}\left(A^T\right)$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) である。

8.21問題もんだい 16

先取さきどり注意ちゅうい：行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは後続こうぞくの基本変形きほんへんけいの演習えんしゅうで本格的ほんかくてきに扱あつかう。この問題もんだいでは、転置てんちtransposeが行ぎょうの操作そうさoperationを列れつの操作そうさoperationへ移うつすことだけを確認かくにんする。

に行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation $R_2\leftarrow R_2+3R_1$R_2\leftarrow R_2+3R_1 を行おこなって $B$B を得える。このとき $B^T$B^T は $A^T$A^T にどの列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを行おこなったものか答こたえよ。

8.22解答例かいとうれい

なので

である。一方いっぽう、

であり、$A^T$A^T の第だい 2 列れつcolumnに第だい 1 列れつcolumnの 3 倍ばいを加くわえると

になる。したがって、対応たいおうする列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは $C_2\leftarrow C_2+3C_1$C_2\leftarrow C_2+3C_1 である。

この問題もんだいは、転置てんちtransposeが行ぎょうrowの操作そうさoperationを列れつcolumnの操作そうさoperationへ翻訳ほんやくすることを確認かくにんしている。

8.23問題もんだい 17

について、$A\left(Bx\right)$A(Bx) と $\left(AB\right)x$(AB)x を計算けいさんし、同おなじ結果けっかになることを確認かくにんせよ。

8.24解答例かいとうれい

なので

である。また

だから

である。

この問題もんだいは、行列積ぎょうれつせきmatrix product $AB$AB が「まず $B$B、つぎに $A$A」という合成ごうせいcompositionを表あらわすことを確認かくにんする。

8.25問題もんだい 18

について、$AB$AB の列れつcolumnが $A{b}_1,A{b}_2$Ab_1,Ab_2 であることを確認かくにんせよ。

8.26解答例かいとうれい

である。一方いっぽう、

である。したがって

である。

この問題もんだいは、行列積ぎょうれつせきmatrix productを成分計算せいぶんけいさんだけでなく、「右みぎの行列ぎょうれつmatrixの各列かくれつを左ひだりの行列ぎょうれつmatrixで写うつす」と読よむ練習れんしゅうである。

8Supplementary problems: operations and transpose

8.1Problem 6

Why is the sum of two $2\times 3$2\times3 matrices defined?

8.2Answer example

Matrix addition is entrywise, so the row and column counts must match; both are $2\times 3$2\times3.

8.3Problem 7

For $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& -1& 4\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&4\end{pmatrix}, compute $-2A$-2A.

8.4Answer example

8.5Problem 8

Compare the sizes of $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} and $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.

8.6Answer example

The first is $1\times 2$1\times2 and the second is $2\times 1$2\times1.

8.7Problem 9

What is the size of the product of a $2\times 3$2\times3 matrix and a $3\times 4$3\times4 matrix?

8.8Answer example

The product is defined and has size $2\times 4$2\times4.

8.9Problem 10

For $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} and $x=(3,4{)}^T$x=(3,4)^T, compute $Ax$Ax.

8.10Answer example

8.11Problem 11

Give an example where matrix multiplication is not commutative可換かかん.

8.12Answer example

For $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} and $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix},

8.13Problem 12

Find $A^T$A^T for $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}.

8.14Answer example

8.15Problem 13

For $I_{2}A=A$I_2A=A to hold, what number of rows must $A$A have?

8.16Answer example

Since $I_2$I_2 is $2\times 2$2\times2, $A$A must have 2 rows.

8.17Problem 14

Why does order reverse in $(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)^T=B^TA^T?

8.18Answer example

$AB$AB means first $B$B and then $A$A. Transposition swaps row and column roles, so the composition is read back in the reversed order.

8.19Problem 15

Preview note: rank, row space, and column space are developed in the later rank lectures and exercises. Read this problem as an advanced check of how transpose exchanges rows and columns.

Explain why $\mathrm{rank}\left(A\right)=\mathrm{rank}\left(A^T\right)$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T).

8.20Answer example

The row space of $A$A corresponds to the column space of $A^T$A^T, and row rank equals column rank. Therefore $\mathrm{rank}\left(A\right)=\mathrm{rank}\left(A^T\right)$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T).

8.21Problem 16

Preview note: elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい and elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい are treated systematically in later exercises on elementary operations. This problem only checks that transpose転置てんち converts a row operation into the corresponding column operation.

For $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, apply $R_2\leftarrow R_2+3R_1$R_2\leftarrow R_2+3R_1 to get $B$B. What column operation changes $A^T$A^T into $B^T$B^T?

8.22Answer example

Since $A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}, the operation is $C_2\leftarrow C_2+3C_1$C_2\leftarrow C_2+3C_1.

8.23Problem 17

For

compute $A\left(Bx\right)$A(Bx) and $\left(AB\right)x$(AB)x.

8.24Answer example

$Bx=\left(\begin{array}{c}6\\ 7\end{array}\right)$Bx=\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}, so $A\left(Bx\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ 14\end{array}\right)$A(Bx)=\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}. Also $AB=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$AB=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}, so $\left(AB\right)x=\left(\begin{array}{c}13\\ 14\end{array}\right)$(AB)x=\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}.

8.25Problem 18

For

confirm that the columns of $AB$AB are $A{b}_1,A{b}_2$Ab_1,Ab_2.

8.26Answer example

Thus $AB=\left[\begin{array}{cc}A{b}_1& A{b}_2\end{array}\right]$AB=\begin{bmatrix}Ab_1&Ab_2\end{bmatrix}.

9関連講義かんれんこうぎ

9Related lectures

10証明しょうめい演習えんしゅう：行列積ぎょうれつせきと逆行列ぎゃくぎょうれつ

10.1問題もんだい

$\left(AB\right)x=A\left(Bx\right)$(AB)x=A(Bx) を列れつの見方みかたから証明しょうめいせよ。また、逆行列ぎゃくぎょうれつが存在そんざいするなら一意いちいであることを証明しょうめいせよ。

10.2解答かいとう

$B$B の列れつを $b_1,\dots ,b_p$b_1,\ldots,b_p とすると、$Bx=\sum x_j{b}_j$Bx=\sum x_jb_j である。線型性せんけいせいより

である。一方いっぽう、$AB$AB の第だい $j$j 列れつは $A{b}_j$Ab_j なので、$\left(AB\right)x$(AB)x も同おなじ式しきになる。

$B,C$B,C がどちらも $A$A の逆行列ぎゃくぎょうれつなら、

である。

10.3解説かいせつ

行列積ぎょうれつせきは線型写像せんけいしゃぞうの合成ごうせいであり、逆行列ぎゃくぎょうれつは合成ごうせいを元もとに戻もどす一意いちいな写像しゃぞうである。

10Proof exercise: matrix products and inverse matrices

10.1Problem

Prove $\left(AB\right)x=A\left(Bx\right)$(AB)x=A(Bx) using the column viewpoint. Also prove that an inverse matrix, if it exists, is unique.

10.2Answer

Let the columns of $B$B be $b_1,\dots ,b_p$b_1,\ldots,b_p. Then $Bx=\sum x_j{b}_j$Bx=\sum x_jb_j. By linearity,

The $j$j-th column of $AB$AB is $A{b}_j$Ab_j, so $\left(AB\right)x$(AB)x gives the same expression.

If $B,C$B,C are both inverses of $A$A, then

10.3Explanation

Matrix product is composition of linear maps, and an inverse matrix is the unique map that undoes the composition.