1導入
この講義で重要なのは、行列には行数と列数があり、演算はサイズ条件を満たすときだけ定義されるということである。
行列をいきなり線型写像として解釈すると、初学者は計算規則で混乱しやすい。まず数を長方形に並べた対象として確認し、足し算・スカラー倍・サイズ条件を固定する。
1Introduction
A matrix has a number of rows and a number of columns. Matrix operations are defined only when their size conditions are satisfied. This size discipline comes before interpreting matrices as linear maps.
2用語と定義
行列 とは、数を行と列に並べた対象である。m 行 n 列の行列を m\times n 行列という。
A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\\
a_{31}&a_{32}
\end{pmatrix}
は 3\times2 行列である。
行ベクトル は 1 行の行列であり、列ベクトル は 1 列の行列である。
2Terms and definitions
A matrix is a rectangular array of numbers arranged in rows and columns. A matrix with m rows and n columns is an m\times n matrix.
For example,
A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\\
a_{31}&a_{32}
\end{pmatrix}
is a 3\times2 matrix. A row vector is a matrix with one row, and a column vector is a matrix with one column.
3方針
行列の演算では、まずサイズを確認する。和と差は同じサイズでだけ定義され、スカラー倍は任意のサイズで定義される。
data/lecture/math/linear-algebra/vector-operations.lecture.n.md
4直感的な説明
行列の和は、同じ位置にある成分どうしを加える操作である。座席表の同じ席を対応させるように、行番号と列番号が一致する成分だけを組み合わせる。
したがって、サイズが異なる行列は同じ位置どうしの対応が成立しない。演算が定義されない理由はここにある。
5厳密な説明
A=(a_{ij})、B=(b_{ij}) を同じ m\times n 行列とする。このとき
A+B=(a_{ij}+b_{ij})
で定義する。また
A-B=(a_{ij}-b_{ij})
である。スカラー c に対して
cA=(ca_{ij})
と定義する。行列が等しいとは、サイズが同一で、すべての対応する成分が等しいことである。
3Strategy
For matrix operations, first check the size. Sums and differences are defined only for matrices of the same size, while scalar multiplication is defined for matrices of any size.
data/lecture/math/linear-algebra/vector-operations.lecture.n.md
4Intuitive explanation
Adding matrices means adding entries in the same position. Like matching the same seat in two seating charts, only entries with the same row number and column number are paired.
Therefore matrices of different sizes do not have matching positions everywhere. This is why the operation is not defined.
5Addition and scalar multiplication
Let A=(a_{ij}) and B=(b_{ij}) be matrices of the same size m\times n. Then
A+B=(a_{ij}+b_{ij}),
\qquad
A-B=(a_{ij}-b_{ij}).
For a scalar c,
cA=(ca_{ij}).
Two matrices are equal only when they have the same size and all corresponding entries are equal.
6具体例
A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}
なら
A+B=\begin{pmatrix}6&2\\2&6\end{pmatrix},\qquad
2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}
である。一方、2\times2 行列と 2\times3 行列の和は定義されない。
6Worked example
Let
A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}.
Then
A+B=\begin{pmatrix}6&2\\2&6\end{pmatrix},\qquad
2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}.
A 2\times2 matrix and a 2\times3 matrix cannot be added because their positions do not correspond.
7証明・確認：なぜ同じサイズが必要か
(A+B)_{ij} は、A の (i,j) 成分と B の (i,j) 成分を対応させて定義する。どちらかの行列にその位置が存在しなければ、規則は値を割り当てられない。したがって同じサイズという制限は見かけの約束ではなく、定義そのものである。
8よくある誤解
- サイズが異なる行列を成分が似ているという理由で加算してはならない。
- 行ベクトルと列ベクトルは成分数が同一であってもサイズが異なる。
- 正方行列だけが行列ではない。長方行列も線型代数の主要対象である。
7Proof checkpoint: why same size is required
The entry (A+B)_{ij} is defined by pairing the (i,j) entry of A with the (i,j) entry of B. If one matrix lacks that position, the rule has no value to assign. The restriction is therefore part of the definition, not a cosmetic convention.
8Common misunderstandings
- Do not add matrices of different sizes because their entries look similar.
- A row vector and a column vector with the same number of components still have different sizes.
- Square matrices are not the only matrices used in linear algebra; rectangular matrices are central for maps K^n\to K^m.
10最終形
\boxed{A+B=(a_{ij}+b_{ij})\quad\text{同じサイズのとき}}
\boxed{cA=(ca_{ij})}
\boxed{\text{行列演算では最初にサイズを確認する}}
10Final forms
\boxed{A+B=(a_{ij}+b_{ij})\quad\text{when sizes match}}
\boxed{cA=(ca_{ij})}
\boxed{\text{Always check matrix sizes first.}}