2用語と定義
ベクトル とは、複数の数を順序つきで並べた対象である。\mathbb R^n のベクトルは
v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}
と表す。
零ベクトル とは、全成分が 0 のベクトルであり、加法の基準になる。
標準基底 とは、\mathbb R^n で 1 つの成分だけが 1、他が 0 のベクトルからなる基底である。
列ベクトル は成分を縦に並べたベクトルであり、行ベクトル は成分を横に並べたベクトルである。行列との積では形とサイズ条件が重要になる。
スカラー とは、ベクトルを拡大・縮小する係数である。ここでは実数を基本にする。
線型結合 とは、ベクトルにスカラーを掛けて加えた c_1v_1+\cdots+c_kv_k の形である。
2Terms and definitions
A vector in \mathbb R^n is an ordered list of numbers, written as
v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}.
The zero vector has all components equal to 0 and is the additive identity. The standard basis of \mathbb R^n consists of vectors with one component equal to 1 and the others equal to 0.
A column vector lists components vertically, while a row vector lists them horizontally. Shape matters when multiplying by matrices.
A scalar is a coefficient used to scale a vector. A linear combination has the form
c_1v_1+\cdots+c_kv_k.
3方針
まず 2 次元で成分ごとの計算を確認し、そのあと n 次元へ拡張する。線型代数では、次元が増加しても規則は成分ごとのまま維持される。
4直感的な説明
ベクトルの和は、移動を続けて実行することに対応する。スカラー倍は、同じ方向の移動量を変更することに対応する。
成分表示では、この操作を各座標で別々に実行する。したがって、ベクトル演算は複雑な規則ではなく、座標軸ごとの同型な計算である。
5厳密な説明
u=(u_1,\dots,u_n)^T、v=(v_1,\dots,v_n)^T とする。ベクトルの和と差は
u+v=(u_1+v_1,\dots,u_n+v_n)^T
u-v=(u_1-v_1,\dots,u_n-v_n)^T
で定義する。スカラー c に対して
cu=(cu_1,\dots,cu_n)^T
である。この定義により、和とスカラー倍が同時に扱える。たとえば
c_1v_1+c_2v_2
は、2 本のベクトルを係数つきで合成した線型結合である。
3Strategy
First check component-wise calculations in two dimensions, then extend the same rule to n dimensions. In linear algebra, increasing the dimension does not change the rule: each coordinate is handled in the same way.
4Intuitive explanation
Adding vectors corresponds to performing displacements one after another. Scalar multiplication changes the amount of displacement in the same direction.
In component notation, these operations are carried out separately on each coordinate. Thus vector operations are not a new complicated rule; they are parallel calculations along the coordinate axes.
5Precise explanation
For u=(u_1,\ldots,u_n)^T and v=(v_1,\ldots,v_n)^T, vector addition and subtraction are defined by
u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n)^T,
u-v=(u_1-v_1,\ldots,u_n-v_n)^T.
For a scalar c,
cu=(cu_1,\ldots,cu_n)^T.
These definitions make addition and scalar multiplication work together. For example,
c_1v_1+c_2v_2
is a linear combination of two vectors with chosen coefficients.
6具体例
u=(1,2)^T、v=(3,-1)^T とする。このとき
u+v=(4,1)^T,\qquad u-v=(-2,3)^T
である。また
2u-3v=2(1,2)^T-3(3,-1)^T=(-7,7)^T
となる。この計算では、第一成分と第二成分を独立に処理している。
6Worked example
Let u=(1,2)^T and v=(3,-1)^T. Then
u+v=(4,1)^T,
\qquad
u-v=(-2,3)^T,
and
2u-3v=2(1,2)^T-3(3,-1)^T=(-7,7)^T.
The first and second components are processed independently. Also, if e_1=(1,0)^T and e_2=(0,1)^T, then (a,b)^T=ae_1+be_2.
9最終形
\boxed{u+v=(u_1+v_1,\dots,u_n+v_n)^T}
\boxed{cu=(cu_1,\dots,cu_n)^T}
\boxed{c_1v_1+\cdots+c_kv_k\text{ が線型結合である}}
\boxed{v=v_1e_1+\cdots+v_ne_n\quad(\text{standard basis})}
9Final forms
\boxed{u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n)^T}
\boxed{cu=(cu_1,\ldots,cu_n)^T}
\boxed{c_1v_1+\cdots+c_kv_k\text{ is a linear combination}}
\boxed{v=v_1e_1+\cdots+v_ne_n\quad(\text{standard basis})}