ベクトルと線型結合せんけいけつごうlinear combination-基本演習きほんえんしゅう

Vectors and linear combinations線型結合せんけいけつごう - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、ベクトルを成分せいぶんcomponentの並ならびとして計算けいさんするだけでなく、空間くうかんの点てんまたは矢印やじるしとして読よむ。線型結合せんけいけつごうlinear combinationは「与あたえられた方向ほうこうをどれだけ混まぜるか」を表あらわし、張はる空間くうかんは「その方向ほうこうだけで到達とうたつできる範囲はんい」を表あらわす。

各かく問題もんだいでは、答こたえだけでなく、どの性質せいしつを確認かくにんしているかを明示めいじする。

共通きょうつうの確認点かくにんてんとして、線型結合せんけいけつごうlinear combinationはベクトルの等式とうしきであり、未知みちなのは新あたらしいベクトルではなく係数けいすうcoefficientである。ベクトル方程式ほうていしきを成分せいぶんcomponentごとの方程式ほうていしきへ直なおし、その解かいを張はる空間くうかんへの所属しょぞく、生成せいせいの失敗しっぱい、または一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceの関係かんけいとして解釈かいしゃくする。

零れいベクトルと係数けいすうcoefficientが一意いちいでない場合ばあいにも注意ちゅういする。非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientの関係かんけいで $0$0 が作つくれるなら一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceであり、連立方程式れんりつほうていしきに解かいがなければ目標もくひょうベクトルは張はる空間くうかんの外そとにある。この 2 つは別べつの結論けつろんなので混同こんどうしない。

1Exercise plan

Read vectors not only as lists of components成分せいぶん, but also as points or arrows in space. A linear combination線型結合せんけいけつごう records how much of each given direction is mixed, and a span records the range reachable from those directions.

Use the same checkpoint in every problem: a linear combination線型結合せんけいけつごう is an equality of vectors, so the unknowns are the coefficients, not new vectors. Translate the vector equation into coordinate equations, solve those equations, and then interpret the result as membership in a span, failure of spanning, or a dependence relation.

Pay special attention to the zero vector and to non-unique coefficients. A nontrivial coefficient relation giving $0$0 proves linear dependence線型従属せんけいじゅうぞく; a system with no solution proves that the target vector is outside the span. These two conclusions answer different questions and should not be conflated.

2問題もんだい 1

に対たいして、$2u-3v$2u-3v を求もとめよ。また、この計算けいさんが幾何的きかてきに何なにをしているかを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

これは、$u$u の方向ほうこうへ $2$2 倍ばいだけ進すすみ、$v$v の逆向ぎゃくむきへ $3$3 倍ばいだけ進すすむ操作そうさoperationである。

2.2解説かいせつ

ベクトルの和わとスカラー倍ばいは、成分せいぶんcomponentごとに行おこなう。この問題もんだいの目的もくてきは、成分計算せいぶんけいさんと矢印やじるしの移動いどうを対応たいおうさせることである。$2u-3v$2u-3v は一ひとつのベクトルだが、その作つくり方かたは「$u$u と $v$v から作つくった線型結合せんけいけつごうlinear combination」である。

2Problem 1

For

find $2u-3v$2u-3v and describe the geometric meaning.

2.1Answer example

This means moving twice in the direction of $u$u and three times in the opposite direction of $v$v.

2.2Explanation

Addition and scalar multiplication are componentwise. The result is one vector, constructed as a linear combination線型結合せんけいけつごう of $u$u and $v$v.

3問題もんだい 2

とする。$b$b が $a_1,a_2$a_1,a_2 の線型結合せんけいけつごうlinear combinationで表あらわせるかを判定はんていし、表あらわせるなら係数けいすうcoefficientを求もとめよ。

3.1解答例かいとうれい

とおくと、

である。これを解とくと $y=\frac{11}{5}$y=\frac{11}{5}、$x=\frac{12}{5}$x=\frac{12}{5} である。したがって、

である。

3.2解説かいせつ

「$b$b が $a_1,a_2$a_1,a_2 で張はられる空間くうかんに入はいるか」は、「$x{a}_1+y{a}_2=b$x a_1+y a_2=b を満みたす $x,y$x,y が存在そんざいするか」と同値どうちequivalentである。この同値性どうちせいを確認かくにんしてから連立方程式れんりつほうていしきを解とくので、計算けいさんは単たんなる代入だいにゅうではなく、張はる空間くうかんへの所属判定しょぞくはんていになっている。

3Problem 2

Let

Decide whether $b$b is a linear combination of $a_1,a_2$a_1,a_2, and find coefficients if it is.

3.1Answer example

Set $x{a}_1+y{a}_2=b$xa_1+ya_2=b. Then

Solving gives $y=\frac{11}{5}$y=\frac{11}{5} and $x=\frac{12}{5}$x=\frac{12}{5}. Therefore

3.2Explanation

Membership in a span is equivalent to solvability of the coefficient equation. This is not just substitution; it is a test of whether $b$b lies in the space spanned by $a_1,a_2$a_1,a_2.

4問題もんだい 3

が一次独立いちじどくりつlinear independenceか一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceかを判定はんていせよ。

4.1解答例かいとうれい

とおくと、

である。$c_1=-2c_3$c_1=-2c_3、$c_2=c_3$c_2=c_3 を第だい3 式しきに代入だいにゅうすると、

となり、これは恒等的こうとうてきに成立せいりつする。たとえば $c_3=1$c_3=1 とすると $c_1=-2$c_1=-2、$c_2=1$c_2=1 であり、

である。したがって一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。

4.2解説かいせつ

一次独立いちじどくりつlinear independenceとは、$c_1{w}_1+c_2{w}_2+c_3{w}_3=0$c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3=0 から $c_1=c_2=c_3=0$c_1=c_2=c_3=0 だけが導みちびかれることである。非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientが見みつかれば一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。この問題もんだいでは $w_3=2w_1-w_2$w_3=2w_1-w_2 なので、$w_3$w_3 は新あたらしい方向ほうこうを追加ついかしていない。

4Problem 3

Determine whether

are linearly independent一次独立いちじどくりつ or linearly dependent一次従属いちじじゅうぞく.

4.1Answer example

Set $c_1{w}_1+c_2{w}_2+c_3{w}_3=0$c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3=0. This gives

The first two equations give $c_1=-2c_3$c_1=-2c_3 and $c_2=c_3$c_2=c_3, and the third then holds identically. Taking $c_3=1$c_3=1 gives

Thus the vectors are linearly dependent.

4.2Explanation

A nontrivial coefficient relation proves dependence. Here $w_3=2w_1-w_2$w_3=2w_1-w_2, so no new direction is added.

5問題もんだい 4

で張はられる空間くうかんを幾何的きかてきに説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

$q=2p$q=2p なので、$p,q$p,q は同おなじ方向ほうこうを向むいている。したがって、

であり、原点げんてんを通とおる直線ちょくせんである。

5.2解説かいせつ

2 本ほんのベクトルがあっても、方向ほうこうが同おなじなら平面へいめんは作つくれない。張はる空間くうかんの次元じげんdimensionは、ベクトルの本数ほんすうではなく、独立どくりつindependentな方向ほうこうの数かずで決きまる。この視点してんが階数かいすうrankの理解りかいにつながる。

5Problem 4

Describe geometrically the space spanned by

5.1Answer example

Since $q=2p$q=2p,

which is a line through the origin.

5.2Explanation

The dimension of a span is determined by independent directions, not by the number of listed vectors. This viewpoint leads to rank階数かいすう.

6問題もんだい 5

次つぎの主張しゅちょうが正ただしいかを判定はんていし、理由りゆうを述のべよ。

1. 零れいベクトルを含ふくむベクトル集合しゅうごうsetは一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。
2. 1 本ぽんだけからなる集合しゅうごうset $\left\{u\right\}$\{u\} は、$u\ne 0$u\ne 0 なら一次独立いちじどくりつlinear independenceである。
3. 空からの集合しゅうごうsetは、標準的ひょうじゅんてきな定義ていぎでは一次独立いちじどくりつlinear independenceとして扱あつかう。

6.1解答例かいとうれい

すべて正ただしい。

6.2解説かいせつ

零れいベクトルを含ふくむ場合ばあい、その零れいベクトルに対応たいおうする係数けいすうcoefficientを $1$1、ほかを $0$0 にすれば、非自明ひじめいな線型結合せんけいけつごうlinear combinationで $0$0 が作つくれる。したがって一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。1 本ぽんの場合ばあいは $cu=0$cu=0 から、$u\ne 0$u\ne0 なら $c=0$c=0 が従したがう。空集合くうしゅうごうでは反例はんれいとなる非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientが存在そんざいしないので、一次独立いちじどくりつlinear independenceと定義ていぎする。このような境界例きょうかいれいを確認かくにんしておくと、基底きていbasisや次元じげんdimensionの議論ぎろんで例外れいがいを見落みおとしにくい。

6Problem 5

Decide whether each statement is true and explain why.

1. A vector set containing the zero vector is linearly dependent.
2. A one-vector set $\left\{u\right\}$\{u\} is linearly independent if $u\ne 0$u\ne0.
3. The empty set is linearly independent in the standard definition.

6.1Answer example

All are true.

6.2Explanation

If the zero vector is included, coefficient 1 on that vector and 0 on all others gives a nontrivial combination equal to 0. If $u\ne 0$u\ne0, then $cu=0$cu=0 implies $c=0$c=0. The empty set has no nontrivial coefficients that could give a counterexample, so it is defined as linearly independent.

7補充問題ほじゅうもんだい：講義こうぎから移動いどうした確認かくにん

7.1問題もんだい 6

$u=(2,-1,3{)}^T$u=(2,-1,3)^T、$v=(0,4,1{)}^T$v=(0,4,1)^T に対たいして $u+v$u+v と $3u-2v$3u-2v を計算けいさんせよ。

7.2解答例かいとうれい

$u+v=(2,3,4{)}^T$u+v=(2,3,4)^T、$3u-2v=(6,-11,7{)}^T$3u-2v=(6,-11,7)^T である。

この問題もんだいは、ベクトルの和わとスカラー倍ばいを成分せいぶんcomponentごとに行おこなうことを確認かくにんする。

7.3問題もんだい 7

$a(1,0{)}^T+b(0,1{)}^T=(5,-2{)}^T$a(1,0)^T+b(0,1)^T=(5,-2)^T を満みたす $a,b$a,b を求もとめよ。

7.4解答例かいとうれい

$a=5$a=5、$b=-2$b=-2 である。

この問題もんだいは、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは係数けいすうcoefficientがそのまま成分せいぶんcomponentになることを確認かくにんする。

7.5問題もんだい 8

$2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T がどの方向ほうこうを表あらわすかを成分せいぶんcomponentで確認かくにんせよ。

7.6解答例かいとうれい

$2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T=(-1,3{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T=(-1,3)^T である。

この問題もんだいは、線型結合せんけいけつごうlinear combinationが複数ふくすうの方向ほうこうを係数けいすうcoefficientつきで組くみ合あわせる操作そうさoperationであることを確認かくにんする。

7.7問題もんだい 9

$(1,0{)}^T$(1,0)^T と $(1,1{)}^T$(1,1)^T が $R^2$\mathbb R^2 を張はるか判定はんていせよ。

7.8解答例かいとうれい

$a(1,0{)}^T+b(1,1{)}^T=(a+b,b{)}^T$a(1,0)^T+b(1,1)^T=(a+b,b)^T である。任意にんいの $(x,y{)}^T$(x,y)^T に対たいして $b=y$b=y、$a=x-y$a=x-y と取とれるので、$R^2$\mathbb R^2 を張はる。

この問題もんだいは、「張はる」とは任意にんいの目標もくひょうベクトルを線型結合せんけいけつごうlinear combinationで作つくれることだと確認かくにんする。

7.9問題もんだい 10

$(1,2{)}^T$(1,2)^T と $(2,4{)}^T$(2,4)^T の張はる空間くうかんを説明せつめいせよ。

7.10解答例かいとうれい

$(2,4{)}^T=2(1,2{)}^T$(2,4)^T=2(1,2)^T なので、張はる空間くうかんは $\left\{t\right(1,2{)}^T\mid t\in \mathbb{R}\}$\{t(1,2)^T\mid t\in\mathbb R\} である。

この問題もんだいは、ベクトルの本数ほんすうではなく独立どくりつindependentな方向ほうこうの数かずが張はる空間くうかんを決きめることを確認かくにんする。

7.11問題もんだい 11

$(3,1{)}^T$(3,1)^T が $(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T の線型結合せんけいけつごうlinear combinationで表あらわせることを確認かくにんせよ。

7.12解答例かいとうれい

$(3,1{)}^T=3(1,0{)}^T+1(0,1{)}^T$(3,1)^T=3(1,0)^T+1(0,1)^T である。

この問題もんだいは、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisが $R^2$\mathbb R^2 全体ぜんたいを張はることを確認かくにんする。

7Supplementary problems: checks moved from the lecture

7.1Problem 6

For $u=(2,-1,3{)}^T$u=(2,-1,3)^T and $v=(0,4,1{)}^T$v=(0,4,1)^T, compute $u+v$u+v and $3u-2v$3u-2v.

7.2Answer example

$u+v=(2,3,4{)}^T$u+v=(2,3,4)^T and $3u-2v=(6,-11,7{)}^T$3u-2v=(6,-11,7)^T. This checks componentwise vector addition and scalar multiplication.

7.3Problem 7

Find $a,b$a,b such that $a(1,0{)}^T+b(0,1{)}^T=(5,-2{)}^T$a(1,0)^T+b(0,1)^T=(5,-2)^T.

7.4Answer example

$a=5$a=5 and $b=-2$b=-2. In the standard basis標準基底ひょうじゅんきてい, coefficients are the components.

7.5Problem 8

Use components to identify the direction represented by $2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T.

7.6Answer example

$2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T=(-1,3{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T=(-1,3)^T.

7.7Problem 9

Decide whether $(1,0{)}^T$(1,0)^T and $(1,1{)}^T$(1,1)^T span $R^2$\mathbb R^2.

7.8Answer example

$a(1,0{)}^T+b(1,1{)}^T=(a+b,b{)}^T$a(1,0)^T+b(1,1)^T=(a+b,b)^T. For any $(x,y{)}^T$(x,y)^T, take $b=y$b=y and $a=x-y$a=x-y. Thus they span $R^2$\mathbb R^2.

7.9Problem 10

Describe the span of $(1,2{)}^T$(1,2)^T and $(2,4{)}^T$(2,4)^T.

7.10Answer example

Since $(2,4{)}^T=2(1,2{)}^T$(2,4)^T=2(1,2)^T, the span is $\left\{t\right(1,2{)}^T\mid t\in \mathbb{R}\}$\{t(1,2)^T\mid t\in\mathbb R\}.

7.11Problem 11

Confirm that $(3,1{)}^T$(3,1)^T is a linear combination of $(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T.

7.12Answer example

$(3,1{)}^T=3(1,0{)}^T+1(0,1{)}^T$(3,1)^T=3(1,0)^T+1(0,1)^T.

8補充問題ほじゅうもんだい：零れいベクトルと張はる空間くうかんの境界例きょうかいれい

8.1問題もんだい 12

について、$0u$0u、$-u$-u、$u+(-u)$u+(-u) を求もとめ、それぞれが何なにを表あらわすか説明せつめいせよ。

である。$0u$0u は方向ほうこうを失うしなった零れいベクトル、$-u$-u は $u$u と反対向はんたいむきのベクトル、$u+(-u)$u+(-u) は加法逆元かほうぎゃくげんによって零れいベクトルへ戻もどることを表あらわす。

この問題もんだいは、ベクトル演算えんざんで何なにが変かわるかを確認かくにんする境界例きょうかいれいである。$0u$0u は向むきを保存ほぞんせず、$-u$-u は直線ちょくせんそのものは変かえずに向むきを反転はんてんする。

8.2問題もんだい 13

について、

が同おなじ集合しゅうごうsetであることを説明せつめいせよ。

$0=0u$0=0u、$2u$2u は $u$u の定数倍ていすうばいである。したがって、$0$0 や $2u$2u を追加ついかしても、$u$u から作つくれる線型結合せんけいけつごうlinear combinationの範囲はんいは増ふえない。

である。

この問題もんだいは、生成集合せいせいしゅうごうに余分よぶんなベクトルを加くわえても、張はる空間くうかんが変かわらない場合ばあいを確認かくにんする。本数ほんすうが増ふえることと、独立どくりつindependentな方向ほうこうが増ふえることは別べつである。

8Supplementary problems: zero vector and boundary cases

8.1Problem 12

For $u=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, find $0u$0u, $-u$-u, and $u+(-u)$u+(-u) and explain each.

8.2Answer example

$0u$0u is the zero vector, $-u$-u points opposite to $u$u, and $u+(-u)$u+(-u) returns to zero by the additive inverse.

This problem checks boundary cases in vector operations. The vector $0u$0u no longer preserves the direction of $u$u, while $-u$-u keeps the same line but reverses the direction.

8.3Problem 13

For $u=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, explain why

are the same set.

8.4Answer example

Since $0=0u$0=0u and $2u$2u is a scalar multiple of $u$u, adding them does not enlarge the set of linear combinations. Therefore

This problem checks that adding redundant vectors to a generating set does not necessarily change the span. Increasing the number of listed vectors is different from increasing the number of independent directions.

9関連講義かんれんこうぎ

9Related lectures

10証明しょうめい演習えんしゅう：張はる空間くうかんの最小性さいしょうせい

10.1問題もんだい

$S=\{v_1,\dots ,v_k\}$S=\{v_1,\ldots,v_k\} とする。$\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) が $S$S を含ふくむ最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんであることを証明しょうめいせよ。

10.2解答かいとう

$\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) の二ふたつの元げんは $x=\sum a_i{v}_i$x=\sum a_iv_i、$y=\sum b_i{v}_i$y=\sum b_iv_i と書かける。任意にんいのスカラーscalar $c,d$c,d について

なので、$cx+dy$cx+dy も $S$S の線型結合せんけいけつごうである。したがって $\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) は部分空間ぶぶんくうかんである。

また、$U$U が $S$S を含ふくむ部分空間ぶぶんくうかんなら、$U$U は線型結合せんけいけつごうで閉とじているので、$S$S のすべての線型結合せんけいけつごうを含ふくむ。よって $\mathrm{span}\left(S\right)\subseteq U$\operatorname{span}(S)\subseteq U である。

10.3解説かいせつ

張はる空間くうかんは、与あたえたベクトルvectorから線型結合せんけいけつごうだけで作つくれる最小さいしょうの線型世界せんけいせかいである。

10Proof exercise: minimality of span

10.1Problem

Let $S=\{v_1,\dots ,v_k\}$S=\{v_1,\ldots,v_k\}. Prove that $\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) is the smallest subspace部分空間ぶぶんくうかん containing $S$S.

10.2Answer

Elements of $\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) are $x=\sum a_i{v}_i$x=\sum a_iv_i and $y=\sum b_i{v}_i$y=\sum b_iv_i. For scalars $c,d$c,d,

so the span is closed under linear combinations and is a subspace. If $U$U is any subspace containing $S$S, it contains every linear combination of elements of $S$S, so $\mathrm{span}\left(S\right)\subseteq U$\operatorname{span}(S)\subseteq U.

10.3Explanation

The span is the smallest linear world built from the given vectorsベクトル using only linear combinations.