1導入
この講義で重要なのは、階段形は解を読むために行列を整理した形であり、pivot が本質的な変数と階数を示すということである。
掃き出し法では、行列をただ小さくするのではなく、主成分の位置を段階的に整理する。その整理後の形が階段形である。
1Introduction
The important point of this lecture is that row echelon form is a shape that organizes a matrix so that solutions can be read, and that pivots indicate the essential variables and the rank.
In Gaussian elimination, we do not merely make matrix entries smaller. We organize the positions of the pivots step by step. The organized shape is row echelon form.
2用語と定義
主成分 とは、各行で左から最初に現れる非零成分である。
行階段形 とは、下の行へ進むほど主成分が右へ移動し、零行が下に集まる形である。
簡約行階段形 とは、各主成分が 1 で、その列の他の成分がすべて 0 になった形である。
2Terms and definitions
A pivot is the first nonzero entry from the left in each nonzero row.
A matrix is in row echelon form when the pivots move to the right as one goes down the rows and all zero rows are gathered at the bottom.
A matrix is in reduced row echelon form when, in addition, each pivot is 1 and every other entry in the pivot column is 0.
4直感的な説明
階段形では、主役になる変数が左から右へ順に現れる。pivot がある列は主変数の列であり、pivot がない列は自由変数の列になる。
このため、階段形は計算途中の形であると同時に、解の自由度を確認する表としても機能する。
線型変換として見ると、pivot は「入力方向のうち、出力側で独立に効いている方向」を示す印である。pivot のない列は、他の pivot 列の組み合わせで説明できる方向であり、そこに自由度が残る。
したがって階段形は、行列を見やすくする表計算ではなく、写像がどの方向を独立に保ち、どの方向を他の方向へ従属させるかを読むための形である。
data/lecture/math/linear-algebra/rank-basics.lecture.n.md
4Intuitive explanation
In row echelon form, the leading variables appear from left to right. A column with a pivot is a leading-variable column, and a column without a pivot becomes a free-variable column.
Thus row echelon form is both an intermediate computational shape and a table for checking the degrees of freedom in the solution.
From the viewpoint of a linear transformation, a pivot marks an input direction that remains independently effective on the output side. A column without a pivot is a direction that can be explained by combinations of pivot columns, and freedom remains there.
Therefore row echelon form is not merely spreadsheet tidying. It is a form for reading which directions a map keeps independent and which directions become dependent on other directions.
data/lecture/math/linear-algebra/rank-basics.lecture.n.md
5厳密な説明
たとえば
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&1&3\\
0&0&0
\end{pmatrix}
は行階段形である。主成分は 1 列目と 2 列目にあるため、pivot の個数は 2 である。したがって階数は 2 である。
簡約行階段形では、さらに主成分列の他成分を 0 にする。たとえば
\begin{pmatrix}
1&0&-6\\
0&1&3\\
0&0&0
\end{pmatrix}
は簡約行階段形である。
5Precise explanation
For example,
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&1&3\\
0&0&0
\end{pmatrix}
is in row echelon form. The pivots are in columns 1 and 2, so the number of pivots is 2. Therefore the rank is 2.
In reduced row echelon form, the other entries in each pivot column are also made 0. For example,
\begin{pmatrix}
1&0&-6\\
0&1&3\\
0&0&0
\end{pmatrix}
is in reduced row echelon form.
6具体例と矛盾の判定
拡大係数行列
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&1
\end{array}\right)
は階段形である。第二行から y=1 を得る。第一行へ代入して x+2=5、すなわち x=3 を得る。階段形は下から上へ解を戻す形である。
拡大係数行列では、最後の列だけに pivot が立つ場合に注意する。たとえば
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&3\\
0&0&1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&3\\
0&0&1
\end{array}\right)
には行 0x+0y=1 が含まれる。これは 0=1 という矛盾なので、解は存在しない。階数で言えば、係数行列の階数は 1 だが、拡大係数行列の階数は 2 であり、
\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A\mid b)
となる。この不一致が、右辺 b が列空間に入っていないことを表す。
6Worked example and consistency check
The augmented matrix
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&5\\
0&1&1
\end{array}\right)
is in row echelon form. The second row gives y=1. Substituting into the first row gives x+2=5, hence x=3. Row echelon form is a shape for recovering the solution from bottom to top.
For an augmented matrix, pay attention to the case where a pivot appears only in the last column. For example,
\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&3\\
0&0&1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
1&2&3\\
0&0&1
\end{array}\right)
contains the row 0x+0y=1. This says 0=1, a contradiction, so no solution exists. In terms of rank, the coefficient matrix has rank 1, but the augmented matrix has rank 2, so
\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A\mid b)
This mismatch means that the right-hand side b is not in the column space.
9最終形
\boxed{\text{rank}=\text{pivot の個数}}
\boxed{\text{pivot のない列が自由変数を与える}}
9Final forms
\boxed{\text{rank}=\text{number of pivots}}
\boxed{\text{columns without pivots give free variables}}