連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsと拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrix

Systems of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき and augmented matrices拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsを、係数けいすうcoefficientだけを並ならべた行列ぎょうれつmatrixの問題もんだいへ変換へんかんすることである。

掃はき出だし法ほうGaussian eliminationは、方程式ほうていしきそのものではなく、係数けいすうcoefficientの並ならびを操作そうさoperationする方法ほうほうである。そのため、まず方程式ほうていしきと行列ぎょうれつmatrixの対応たいおうを固定こていする必要ひつようがある。

1Introduction

The essential point of this lecture is to convert a system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき into a problem about a matrix行列ぎょうれつ containing only its coefficients係数けいすう.

Gaussian elimination掃はき出だし法ほう is a method for operating on the arrangement of coefficients, not on the written equations themselves. Therefore the correspondence between equations and matrices must be fixed first.

2用語ようごと定義ていぎ

係数行列けいすうぎょうれつCoefficient matrix とは、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの左辺さへんleft-hand sideの係数けいすうcoefficientを並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつAugmented matrix とは、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixに右辺うへんright-hand sideの列れつcolumnを加くわえた行列ぎょうれつmatrixである。

2Terms and definitions

A coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ is the matrix行列ぎょうれつ formed by arranging the coefficients係数けいすう on the left-hand side of a system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき.

An augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ is the matrix obtained by adjoining the right-hand side右辺うへん column to the coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ.

3方針ほうしん

$$Ax=b$$Ax=b の形かたちを作つくることを目標もくひょうにする。$$A$$A は係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrix、$$x$$x は未知数みちすうunknownベクトル、$$b$$b は右辺うへんright-hand sideベクトルである。

3Strategy

The goal is to put the system in the form

$Ax=b$Ax=b

Here $A$A is the coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ, $x$x is the vector of unknowns未知数みちすう, and $b$b is the right-hand side右辺うへん vector.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

方程式ほうていしきの文字もじを毎回まいかい記述きじゅつすると、操作そうさoperationの本質ほんしつを把握はあくしにくい。実際じっさいに変化へんかするのは、未知数みちすうunknownの係数けいすうcoefficientと右辺うへんright-hand sideである。そこで、係数けいすうcoefficientだけを抽出ちゅうしゅつして表ひょうにする。

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは、左辺さへんleft-hand sideの係数けいすうcoefficientと右辺うへんright-hand sideを同時どうじに追跡ついせきするための表記ひょうきである。

4Intuitive explanation

If the variable symbols are written out every time, it becomes harder to see the essential operation. What actually changes is the list of coefficients係数けいすう and the right-hand side右辺うへん. So we extract only the coefficients and place them in a table.

The augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ is notation for tracking the left-hand side coefficients and the right-hand side simultaneously.

5厳密げんみつな説明せつめい

連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations

は

と書かける。つまり

である。拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは

である。

5Precise explanation

The system of linear equations連立一次方程式れんりついちじほうていしき

can be written as

Thus

The augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ is

6具体例ぐたいれい

では、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixは

であり、拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは

である。未知数みちすうunknownが 3 個こで方程式ほうていしきが 2 本ほんなので、$$A$$A は $$2\times 3$$2\times3 行列ぎょうれつmatrixになる。

6Worked example

For

the coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ is

and the augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ is

There are three unknowns未知数みちすう and two equations, so $A$A is a $2\times 3$2\times3 matrix行列ぎょうれつ.

7よくある誤解ごかい

• 係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixに右辺うへんright-hand sideを含ふくめない。右辺うへんright-hand sideまで含ふくめたものが拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixである。
• 未知数みちすうunknownの順序じゅんじょを途中とちゅうで変更へんこうしてはならない。列れつcolumnの順序じゅんじょが未知数みちすうunknownの順序じゅんじょを表あらわす。
• 方程式ほうていしきの本数ほんすうと未知数みちすうunknownの個数こすうは同おなじとは限かぎらない。

7Common misunderstandings

• The coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ does not include the right-hand side右辺うへん. The matrix that includes the right-hand side is the augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ.
• The order of the unknowns未知数みちすう must not be changed midway. The order of the columns represents the order of the unknowns.
• The number of equations and the number of unknowns need not be the same.

8どこまで成立せいりつするか

この表記ひょうきは一次方程式いちじほうていしきに対たいして有効ゆうこうである。$$xy$$xy や $$x^2$$x^2 のような非線型ひせんけいnonlinearの項こうが含ふくまれる場合ばあい、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixだけで同おなじように表現ひょうげんすることはできない。

8Scope of validity

This notation works for linear equations. If nonlinear terms such as $xy$xy or $x^2$x^2 appear, the system cannot be represented in the same way by only a coefficient matrix係数行列けいすうぎょうれつ.

9最終形さいしゅうけい

9Final forms

$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("boxed")")]}Ax=b$\boxed{Ax=b}

$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("boxed")")]}\left(A\mid b\right)\text{istheaugmentedmatrix}$\boxed{\left(A\mid b\right)\text{ is the augmented matrix}}

10演習えんしゅうリンク

10Exercise links

11関連かんれんリンク

11Related links