列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationと未知数変換みちすうへんかんchange of variables-基本演習きほんえんしゅう

Elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい and changes of variables未知数変換みちすうへんかん - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnを別べつの生成系せいせいけいに取とり替かえる操作そうさoperationである。列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankは保存ほぞんされるが、$Ax=b$Ax=b の未知数みちすうunknownは同おなじ意味いみでは読よめなくなる。

1Exercise plan

An elementary column operation列基本変形れつきほんへんけい replaces the columns of a matrix行列ぎょうれつ by another generating system. It preserves the column space列空間れつくうかん and rank階数かいすう, but the unknowns未知数みちすう in $Ax=b$Ax=b no longer have the same meaning.

2問題もんだい 1

に $C_2\leftarrow C_2-2C_1$C_2\leftarrow C_2-2C_1 を行おこなう。この操作そうさoperationを右みぎから掛かける基本行列きほんぎょうれつelementary matrix $F$F で表あらわし、$Ax=b$Ax=b と $AFy=b$AFy=b の未知数みちすうunknownの関係かんけいを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

とすると、

である。$AFy=b$AFy=b は $A\left(Fy\right)=b$A(Fy)=b を意味いみするので、元もとの未知数みちすうunknownは

である。

2.2解説かいせつ

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列空間れつくうかんcolumn spaceを保存ほぞんするが、未知数みちすうunknownの座標ざひょうを変かえる。方程式ほうていしきとして追跡ついせきするなら、$x=Fy$x=Fy を同時どうじに記録きろくする。

2Problem 1

For

perform $C_2\leftarrow C_2-2C_1$C_2\leftarrow C_2-2C_1. Express this operation as right multiplication by an elementary matrix基本行列きほんぎょうれつ $F$F, and state the relation between the unknowns in $Ax=b$Ax=b and $AFy=b$AFy=b.

2.1Answer example

With

we get

The equation $AFy=b$AFy=b means $A\left(Fy\right)=b$A(Fy)=b, so the original unknown is

2.2Explanation

A column operation preserves the column space列空間れつくうかん, but changes the coordinates of the unknown. When following the equation, record $x=Fy$x=Fy.

3問題もんだい 2

同おなじ $A$A に対たいして、つぎの列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを右みぎからの基本行列きほんぎょうれつelementary matrixで表あらわせ。

1. $C_1\leftrightarrow C_2$C_1\leftrightarrow C_2
2. $C_2\leftarrow 3C_2$C_2\leftarrow 3C_2

3.1解答例かいとうれい

列れつcolumnの交換こうかんは

で表あらわされ、

である。列れつcolumnの非零定数倍ひぜろていすうばいは

で表あらわされ、

である。

3.2解説かいせつ

右みぎから掛かける基本行列きほんぎょうれつelementary matrixの各列かくれつが、新あたらしい列れつcolumnを元もとの列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationとして指定していする。このため、列れつcolumnへの操作そうさoperationは右みぎからの積せきで表あらわされる。

3Problem 2

For the same $A$A, express these column operations as right multiplication by elementary matrices.

1. $C_1\leftrightarrow C_2$C_1\leftrightarrow C_2
2. $C_2\leftarrow 3C_2$C_2\leftarrow3C_2

3.1Answer example

Column exchange is represented by

Multiplying a column by a nonzero constant is represented by

3.2Explanation

Each column of the matrix on the right specifies a new column as a linear combination線型結合せんけいけつごう of the original columns. Therefore column operations are represented by right multiplication.

4問題もんだい 3

行列ぎょうれつmatrix $A$A に行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation $R_2\leftarrow R_2+3R_1$R_2\leftarrow R_2+3R_1 を行おこなって $B$B を得える。このとき $B^T$B^T は $A^T$A^T にどの基本変形きほんへんけいelementary operationを行おこなったものか述のべよ。

4.1解答例かいとうれい

$A$A の第だい 2 行ぎょうrowが、第だい 2 行ぎょうrowと第だい 1 行ぎょうrowの 3 倍ばいの和わに変かわる。これを転置てんちtransposeすると、$A^T$A^T の第だい 2 列れつcolumnが、第だい 2 列れつcolumnと第だい 1 列れつcolumnの 3 倍ばいの和わに変かわる。したがって

である。

4.2解説かいせつ

転置てんちtransposeは行ぎょうrowと列れつcolumnを入いれ替かえる。行ぎょうrowへの操作そうさoperationは、転置後てんちごには列れつcolumnへの操作そうさoperationとして読よみ替かえられる。

4Problem 3

A matrix $A$A is changed to $B$B by the elementary row operation行基本変形ぎょうきほんへんけい $R_2\leftarrow R_2+3R_1$R_2\leftarrow R_2+3R_1. What operation changes $A^T$A^T into $B^T$B^T?

4.1Answer example

After transposition, the second row operation becomes the column operation

4.2Explanation

Transposition転置てんち interchanges rows and columns, so a row operation becomes the corresponding column operation.

5問題もんだい 4

つぎの説明せつめいの誤あやまりを指摘してきせよ。

「列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationでは階数かいすうrankが保存ほぞんされるので、$Ax=b$Ax=b と $AFx=b$AFx=b は同おなじ解集合かいしゅうごうsolution setを持もつ。」

5.1解答例かいとうれい

階数かいすうrankの保存ほぞんは、列空間れつくうかんcolumn spaceの生成せいせいの仕方しかたが変かわるだけであることを意味いみする。しかし $AFx=b$AFx=b は $A\left(Fx\right)=b$A(Fx)=b であり、$x$x の意味いみは元もとの方程式ほうていしきと違ちがう。したがって、同おなじ解かいを比くらべるには $z=Fx$z=Fx のような未知数変換みちすうへんかんchange of variablesを追跡ついせきする必要ひつようがある。

5.2解説かいせつ

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは解集合かいしゅうごうsolution setを保存ほぞんし、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankを保存ほぞんする。似にた操作そうさoperationでも保存ほぞんする対象たいしょうが違ちがう。

5Problem 4

Point out the error in this explanation:

"Since column operations preserve rank階数かいすう, $Ax=b$Ax=b and $AFx=b$AFx=b have the same solution set解集合かいしゅうごう."

5.1Answer example

Preserving rank means the way the column space列空間れつくうかん is generated has changed, not that the same unknowns solve the equation. $AFx=b$AFx=b means $A\left(Fx\right)=b$A(Fx)=b, so one must track a change of variables未知数変換みちすうへんかん such as $z=Fx$z=Fx.

5.2Explanation

Elementary row operations行基本変形ぎょうきほんへんけい preserve solution sets; elementary column operations列基本変形れつきほんへんけい preserve column space and rank. Similar operations preserve different objects.

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8証明しょうめい演習えんしゅう：列基本変形れつきほんへんけいが列空間れつくうかんを保たもつこと

8.1問題もんだい

列基本変形れつきほんへんけいによって列空間れつくうかんが変かわらないことを証明しょうめいせよ。また、解集合かいしゅうごうはそのまま保たもたれるとは限かぎらない理由りゆうを説明せつめいせよ。

8.2解答かいとう

列れつの交換こうかんは生成系せいせいけいの順番じゅんばんを替かえるだけである。0 でない定数倍ていすうばいは逆操作ぎゃくそうさで戻もどせる。$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j では、新あたらしい列れつはもとの列れつの線型結合せんけいけつごうである。逆操作ぎゃくそうさも存在そんざいするので、二ふたつの列空間れつくうかんは互たがいに含ふくみ合あう。

ただし列れつは未知数みちすうに対応たいおうするので、列基本変形れつきほんへんけいは未知数みちすうの意味いみを変かえる。したがって解集合かいしゅうごうを直接ちょくせつ保たもつとは限かぎらない。

8.3解説かいせつ

行基本変形ぎょうきほんへんけいが方程式ほうていしきの表あらわし方かたを変かえるのに対たいして、列基本変形れつきほんへんけいは生成系せいせいけいや未知数みちすうの側がわを変かえる。

8Proof exercise: column operations preserve column space

8.1Problem

Prove that column operations do not change the column space列空間れつくうかん. Also explain why the solution set解集合かいしゅうごう is not necessarily preserved as-is.

8.2Answer

Swapping columns only changes the order of a generating system. Multiplying a column by a nonzero constant can be undone. In $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j, the new column is a linear combination of the old columns, and the inverse operation exists. Thus the two column spaces contain each other.

However, columns correspond to unknown variables. A column operation changes the meaning of those variables, so the solution set is not preserved without a variable change.

8.3Explanation

Row operations change the equation side; column operations change the generating-system or input-coordinate side.