階段形かいだんけいechelon formと掃はき出だしelimination-基本演習きほんえんしゅう

Echelon forms階段形かいだんけい and elimination掃はき出だし - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

階段形かいだんけいechelon formは、ピボットpivotの位置いちから主変数しゅへんすうleading variable、自由変数じゆうへんすうfree variable、矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowを読よむための形かたちである。掃はき出だしeliminationでは、割わる前まえにピボットpivotが 0 でないことを確認かくにんする。

1Exercise plan

An echelon form階段形かいだんけい is a form for reading leading variables主変数しゅへんすう, free variables自由変数じゆうへんすう, and contradictory rows矛盾行むじゅんぎょう from pivotピボット positions. In elimination掃はき出だし, confirm that a pivot is nonzero before dividing by it.

2問題もんだい 1

つぎの拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixを行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formと簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいreduced row echelon formまで変形へんけいし、解集合かいしゅうごうsolution setを読よみ取とれ。

2.1解答例かいとうれい

これは行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formである。さらに $R_1\leftarrow R_1-2R_2$R_1\leftarrow R_1-2R_2 とすると、

となる。$x_3=t$x_3=t とおくと、

である。

2.2解説かいせつ

行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formは前進消去ぜんしんしょうきょで作つくり、簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいreduced row echelon formは上うえのピボット列れつpivot columnも 0 にする。解かいの個数こすうは、ピボットpivotの個数こすうと矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowの有無うむから決きまる。

2Problem 1

Transform the following augmented matrix拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつ to row echelon form行階段形ぎょうかいだんけい and reduced row echelon form簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけい, and read off the solution set解集合かいしゅうごう.

2.1Answer example

This is row echelon form. Applying $R_1\leftarrow R_1-2R_2$R_1\leftarrow R_1-2R_2 gives

Let $x_3=t$x_3=t. Then

2.2Explanation

Row echelon form is made by forward elimination. Reduced row echelon form also zeros out entries above pivot columns. The number of solutions is determined by pivots and contradictory rows.

3問題もんだい 2

について、$a,b$a,b の値あたいにより解かいsolutionが一意いちいに存在そんざいする場合ばあい、無限むげんに存在そんざいする場合ばあい、存在そんざいしない場合ばあいを分類ぶんるいせよ。

3.1解答例かいとうれい

$a\ne 1$a\ne1 の場合ばあい、第だい 3 行ぎょうrowは $(a-1)z=b$(a-1)z=b である。ここでは $a-1\ne 0$a-1\ne0 なので $z=b/(a-1)$z=b/(a-1) と解とける。したがって一意解いちいかいunique solutionを持もつ。

$a=1$a=1 の場合ばあい、第だい 3 行ぎょうrowは $0z=b$0z=b である。$b=0$b=0 なら $z$z が自由変数じゆうへんすうfree variableとなり、解かいsolutionは無限むげんに存在そんざいする。$b\ne 0$b\ne0 なら矛盾むじゅんするので、解かいsolutionは存在そんざいしない。

3.2解説かいせつ

文字式もじしきで割わる前まえに、分母ぶんぼが 0 にならない条件じょうけんを分わける。ここで確認かくにんすべきなのは $a-1$a-1 であり、割わり算ざんに現あらわれない量りょうまで不要ふように場合分ばあいわけしない。

3Problem 2

For

classify values of $a,b$a,b giving a unique solution, infinitely many solutions, or no solution.

3.1Answer example

If $a\ne 1$a\ne1, the third row is $(a-1)z=b$(a-1)z=b, and $z=b/(a-1)$z=b/(a-1) is determined. Hence there is a unique solution一意解いちいかい.

If $a=1$a=1, the third row is $0z=b$0z=b. When $b=0$b=0, $z$z is a free variable自由変数じゆうへんすう and there are infinitely many solutions. When $b\ne 0$b\ne0, the row is contradictory and there is no solution.

3.2Explanation

Before dividing by a symbolic expression, split cases according to whether the denominator can be zero. Here the relevant expression is $a-1$a-1.

4問題もんだい 3

について、$\left(A\right(a)\mid I)$(A(a)\mid I) を掃はき出だしeliminationし、$A(a{)}^{-1}$A(a)^{-1} を求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

$a$a をピボットpivotにすると $a=0$a=0 の場合ばあいが問題もんだいになる。ここでは第だい 2 行ぎょうrowの $1$1 をピボットpivotにするため、まず行ぎょうrowを交換こうかんする。

したがって

である。

4.2解説かいせつ

この解法かいほうでは $a$a で割わっていないため、$a=0$a=0 でも同おなじ手順てじゅんで処理しょりできる。問題もんだいになるのは実際じっさいに分母ぶんぼへ置おいた量りょうが 0 になりうる場合ばあいである。

4Problem 3

For

eliminate $\left(A\right(a)\mid I)$(A(a)\mid I) and find $A(a{)}^{-1}$A(a)^{-1}.

4.1Answer example

Using $a$a as a pivot would be problematic when $a=0$a=0. Instead, swap rows first:

Thus

4.2Explanation

This method never divides by $a$a, so it works even for $a=0$a=0. Only quantities actually placed in denominators require case splits.

5問題もんだい 4

について、$(A\mid I)$(A\mid I) を掃はき出だしeliminationし、$A^{-1}$A^{-1} が存在そんざいしないことを説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

となる。左側ひだりがわに零行れいぎょうが現あらわれるため、左側ひだりがわを $I$I に変形へんけいできない。したがって $A$A は可逆かぎゃくinvertibleではなく、$A^{-1}$A^{-1} は存在そんざいしない。

5.2解説かいせつ

逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの掃はき出だしでは、左側ひだりがわを単位行列たんいぎょうれつidentity matrixにできるかが判定基準はんていきじゅんである。途中とちゅうで零行れいぎょうが現あらわれることは、入力にゅうりょくの方向ほうこうが潰つぶれていることを示しめす。

5Problem 4

For

eliminate $(A\mid I)$(A\mid I) and explain why $A^{-1}$A^{-1} does not exist.

5.1Answer example

A zero row appears on the left, so the left side cannot become $I$I. Therefore $A$A is not invertible可逆かぎゃく.

5.2Explanation

For inverse computation by elimination, the left side must become the identity matrix単位行列たんいぎょうれつ. A zero row on the left means an input direction has collapsed.

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