ベクトル空間くうかん・基底きていbasis・階数かいすうrank-基本演習きほんえんしゅう

Vector spaces, bases基底きてい, and rank階数かいすう - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

基底きていbasisは、空間くうかんの点てんを座標ざひょうで一意いちいに表あらわすための物差ものさしである。階数かいすうrankは、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapで潰つぶれずに出力側しゅつりょくがわへ残のこる次元じげんdimensionである。この演習えんしゅうでは、定義ていぎ、計算けいさん、幾何的きかてきな読よみを対応たいおうさせる。

基底きていbasisと階数かいすうrankの問題もんだいでは、まず「生成せいせいすること」と「一次独立いちじどくりつlinear independenceであること」を分わけて確認かくにんする。ベクトルの本数ほんすうが次元じげんと合あっていることは、周囲しゅういの空間くうかんの次元じげんdimensionと片方かたほうの条件じょうけんが分わかってから使つかう。行基本変形ぎょうきほんへんけいは、ピボットpivot、自由変数じゆうへんすうfree variable、階数かいすうrankを同時どうじに読よめる共通きょうつうの道具どうぐである。

階数かいすうrank、退化次数たいかじすうnullity、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceの基底きていbasisを求もとめるときは、ベクトルがどの空間くうかんに住すんでいるかを追跡ついせきする。元もとの行列ぎょうれつmatrixの主成分列しゅせいぶんれつpivot columnは列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasisを与あたえ、階段形かいだんけいの非零行ひれいぎょうは行空間ぎょうくうかんrow spaceの基底きていbasisを与あたえ、自由変数じゆうへんすうfree variableを含ふくむ解かいは核かくkernelの基底きていbasisを与あたえる。これらは階数かいすう・退化次数たいかじすうの関係かんけいで結むすばれるが、同おなじベクトルの一覧いちらんではない。

1Exercise plan

A basis基底きてい is a measuring system that represents every point of a space by unique coordinates. Rank階数かいすう is the dimension次元じげん that survives under a linear map線型写像せんけいしゃぞう and reaches the output side.

For basis and rank problems, first separate the two requirements: spanning and linear independence線型独立せんけいどくりつ. Having the right number of vectors is useful only after you know the ambient dimension and one of the two requirements. Row reduction is the common tool because pivots identify independent columns, free variables, and the rank at the same time.

When a problem asks for rank, nullity, or a basis of a subspace, keep track of which space the vectors live in. Pivot columns of the original matrix give a basis for the column space, nonzero rows of an echelon form give a basis for the row space, and free-variable solutions give a basis for the null space. These are related by rank-nullity but are not interchangeable lists of vectors.

2問題もんだい 1

が $R^3$\mathbb{R}^3 の部分空間ぶぶんくうかんsubspaceであることを確認かくにんせよ。

2.1解答例かいとうれい

$0+0+0=0$0+0+0=0 なので零れいベクトルを含ふくむ。$u,v\in W$u,v\in W なら、$u$u の成分和せいぶんわも $v$v の成分和せいぶんわも $0$0 なので、$u+v$u+v の成分和せいぶんわも $0$0 である。また $c\in \mathbb{R}$c\in\mathbb{R} に対たいして、$cu$cu の成分和せいぶんわは $c·0=0$c\cdot0=0 である。したがって部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

2.2解説かいせつ

部分空間ぶぶんくうかんsubspaceの確認かくにんでは、零れいベクトル、和わ、スカラー倍ばいの 3 点てんを見みる。零れいベクトルを含ふくまない集合しゅうごうsetは、その時点じてんで部分空間ぶぶんくうかんsubspaceではない。この問題もんだいは、特殊とくしゅケースの確認かくにんを先さきに行おこなう練習れんしゅうである。

2Problem 1

Confirm that

is a subspace部分空間ぶぶんくうかん of $R^3$\mathbb R^3.

2.1Answer example

The zero vector is included because $0+0+0=0$0+0+0=0. If $u,v\in W$u,v\in W, both component sums are 0, so the component sum of $u+v$u+v is 0. For $c\in \mathbb{R}$c\in\mathbb R, the component sum of $cu$cu is $c·0=0$c\cdot0=0. Hence $W$W is a subspace.

2.2Explanation

To check a subspace, test the zero vector, closure under sums, and closure under scalar multiples.

3問題もんだい 2

が、問題もんだい 1 の $W$W の基底きていbasisではないことを説明せつめいせよ。

3.1解答例かいとうれい

$b_1$b_1 は $1+1+0=2$1+1+0=2 なので $W$W に属ぞくさない。したがって、$b_1,b_2$b_1,b_2 は $W$W の基底きていbasisではない。

3.2解説かいせつ

基底きていbasisであるためには、まずそのベクトルが対象たいしょうの空間くうかんに属ぞくしていなければならない。一次独立いちじどくりつlinear independenceや生成せいせいを調しらべる前まえに、所属しょぞくを確認かくにんする。この順序じゅんじょを守まもると、論理ろんりの飛躍ひやくを避さけられる。

3Problem 2

Explain why

are not a basis基底きてい of $W$W.

3.1Answer example

$b_1$b_1 is not in $W$W because $1+1+0=2$1+1+0=2. Therefore $b_1,b_2$b_1,b_2 are not a basis of $W$W.

3.2Explanation

A basis vector must first belong to the target space. Check membership before linear independence or spanning.

4問題もんだい 3

が問題もんだい 1 の $W$W の基底きていbasisであることを示しめし、

のこの基底きていbasisに関かんする座標ざひょうを求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

$u_1,u_2$u_1,u_2 はどちらも成分和せいぶんわが $0$0 なので $W$W に属ぞくする。$a{u}_1+b{u}_2=0$au_1+bu_2=0 とすると、

より $a=0$a=0、$b=0$b=0 なので一次独立いちじどくりつlinear independenceである。任意にんいの $W$W の元げんは $(x,y,z{)}^T$(x,y,z)^T で $x+y+z=0$x+y+z=0 を満みたすから、$x=-y-z$x=-y-z であり、

と表あらわせる。よって基底きていbasisである。

$w=a{u}_1+b{u}_2$w=au_1+bu_2 とおくと $-a=-1$-a=-1、$-b=-2$-b=-2 なので $a=1$a=1、$b=2$b=2 である。したがって座標ざひょうは

である。

4.2解説かいせつ

基底きていbasisの確認かくにんは、所属しょぞく、一次独立いちじどくりつlinear independence、生成せいせいの順じゅんに進すすめると行間ぎょうかんが小ちいさくなる。座標ざひょうは「どの基底きていbasisをどれだけ混まぜるか」を表あらわす係数けいすうcoefficientであり、基底きていbasisが変かわれば同おなじベクトルでも座標ざひょうは変かわる。

4Problem 3

Show that

are a basis of $W$W, and find the coordinates of

with respect to this basis.

4.1Answer example

Both $u_1,u_2$u_1,u_2 have component sum 0, so they lie in $W$W. If $a{u}_1+b{u}_2=0$au_1+bu_2=0, then

so $a=0$a=0 and $b=0$b=0. They are linearly independent. Any $(x,y,z{)}^T\in W$(x,y,z)^T\in W satisfies $x=-y-z$x=-y-z, so

Thus they span $W$W and form a basis. For $w=a{u}_1+b{u}_2$w=au_1+bu_2, $-a=-1$-a=-1 and $-b=-2$-b=-2, so $a=1,b=2$a=1,b=2. The coordinate vector is

4.2Explanation

Check basis in the order membership, linear independence, and spanning. Coordinates are the coefficients used to mix basis vectors.

5問題もんだい 4

が表あらわす線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T:R^3\to R^2$T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 について、$\mathrm{rank}A$\operatorname{rank}A と $\ker T$\ker T の次元じげんdimensionを求もとめよ。

5.1解答例かいとうれい

2 行ぎょうrowは一次独立いちじどくりつlinear independenceで、pivot は 2 個こあるので

である。階数かいすうrank-退化次数たいかじすうnullityの関係かんけいより、

である。

5.2解説かいせつ

$T$T は 3 次元じげんdimensionの入力にゅうりょくを 2 次元じげんdimensionの出力しゅつりょくへ送おくる。階数かいすうrankは出力側しゅつりょくがわに残のこる独立どくりつindependentな方向ほうこうの数かずである。入力にゅうりょくの 3 次元じげんdimensionのうち 2 次元じげんdimensionが像ぞうimageに反映はんえいされ、1 次元じげんdimensionが零れいへ潰つぶれる。この解釈かいしゃくが $\dim \ker T=1$\dim\ker T=1 である。

5Problem 4

For the linear map $T:R^3\to R^2$T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 represented by

find $\mathrm{rank}A$\operatorname{rank}A and $\dim \ker T$\dim\ker T.

5.1Answer example

The two rows are linearly independent, so there are two pivots:

By rank-nullity,

5.2Explanation

The input has 3 dimensions. Two dimensions survive in the image像ぞう, and one dimension collapses into the kernel核かく.

6問題もんだい 5

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T:R^2\to R^2$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 が可逆かぎゃくinvertibleであることと、$\ker T=\left\{0\right\}$\ker T=\{0\} であることの関係かんけいを、有限次元ゆうげんじげんの同次元どうじげんの場合ばあいに限かぎって説明せつめいせよ。

6.1解答例かいとうれい

$\ker T=\left\{0\right\}$\ker T=\{0\} なら入力にゅうりょくの違ちがいが零れいへ潰つぶれないので、$T$T は単射たんしゃである。$R^2$\mathbb{R}^2 から $R^2$\mathbb{R}^2 への線型写像せんけいしゃぞうlinear mapでは、単射たんしゃなら全射ぜんしゃでもある。したがって可逆かぎゃくinvertibleである。逆ぎゃくに可逆かぎゃくinvertibleなら $T\left(x\right)=0$T(x)=0 から $x=T^{-1}\left(0\right)=0$x=T^{-1}(0)=0 が従したがうので、$\ker T=\left\{0\right\}$\ker T=\{0\} である。

6.2解説かいせつ

ここでは同次元どうじげんであることが重要じゅうようである。異ことなる次元じげんdimensionでは、単射たんしゃと全射ぜんしゃが同値どうちequivalentになるとは限かぎらない。条件じょうけんを明示めいじしてから性質せいしつを使つかうことで、証明しょうめいの射程しゃていが明確めいかくになる。

6Problem 5

For finite-dimensional spaces of the same dimension, explain the relation between a linear map $T:R^2\to R^2$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 being invertible可逆かぎゃく and $\ker T=\left\{0\right\}$\ker T=\{0\}.

6.1Answer example

If $\ker T=\left\{0\right\}$\ker T=\{0\}, no nonzero difference of inputs is collapsed to zero, so $T$T is injective. For $R^2\to R^2$\mathbb R^2\to\mathbb R^2, injective implies surjective, so $T$T is invertible. Conversely, if $T$T is invertible and $T\left(x\right)=0$T(x)=0, then $x=T^{-1}\left(0\right)=0$x=T^{-1}(0)=0.

6.2Explanation

The equal-dimension assumption is essential; in unequal dimensions injectivity and surjectivity are not generally equivalent.

7補充問題ほじゅうもんだい：列れつベクトルcolumn vectorと階数かいすうrank

7.1問題もんだい 6

$(1,0{)}^T,(2,0{)}^T$(1,0)^T,(2,0)^T が一次独立いちじどくりつlinear independenceか判定はんていせよ。

7.2解答例かいとうれい

$(2,0{)}^T=2(1,0{)}^T$(2,0)^T=2(1,0)^T なので一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。

この問題もんだいは、2 本ほんのベクトルが同おなじ方向ほうこうなら新あたらしい方向ほうこうを増ふやさないことを確認かくにんする。

7.3問題もんだい 7

$(1,0{)}^T,(0,1{)}^T,(1,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T,(1,1)^T の階数かいすうrankを答こたえよ。

7.4解答例かいとうれい

$(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T は一次独立いちじどくりつlinear independenceで、$(1,1{)}^T=(1,0{)}^T+(0,1{)}^T$(1,1)^T=(1,0)^T+(0,1)^T である。したがって階数かいすうrankは $2$2 である。

この問題もんだいは、階数かいすうrankがベクトルの本数ほんすうではなく、独立どくりつindependentな方向ほうこうの最大本数さいだいほんすうであることを確認かくにんする。

7.5問題もんだい 8

列れつベクトルcolumn vectorの一次関係いちじかんけいが $Ac=0$Ac=0 と書かける理由りゆうを説明せつめいせよ。

7.6解答例かいとうれい

$A=[a_1\cdots a_n]$A=[a_1\ \cdots\ a_n]、$c=(c_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},c_n{)}^T$c=(c_1,\dots,c_n)^T とすると、$Ac=c_1{a}_1+\cdots +c_n{a}_n$Ac=c_1a_1+\cdots+c_na_n である。したがって列れつcolumnの一次関係いちじかんけい $c_1{a}_1+\cdots +c_n{a}_n=0$c_1a_1+\cdots+c_na_n=0 は $Ac=0$Ac=0 と同値どうちequivalentである。

この問題もんだいは、行列積ぎょうれつせきを列れつベクトルcolumn vectorの線型結合せんけいけつごうlinear combinationとして読よむことを確認かくにんする。

7.7問題もんだい 9

$R^3$\mathbb R^3 の部分集合ぶぶんしゅうごう

について、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceであるかを判定はんていし、失敗しっぱいする場合ばあいはどの条件じょうけんが壊こわれるかを述のべよ。

7.8解答例かいとうれい

$W_1$W_1 は零れいベクトルを含ふくまないので部分空間ぶぶんくうかんsubspaceではない。$W_2$W_2 は零れいベクトルを含ふくみ、和わとスカラー倍ばいで閉とじているので部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。$W_3$W_3 は零れいベクトルを含ふくむが、$(1,0,0{)}^T\in W_3$(1,0,0)^T\in W_3 に対たいして $-(1,0,0{)}^T=(-1,0,0{)}^T\notin W_3$-(1,0,0)^T=(-1,0,0)^T\notin W_3 なので、スカラー倍ばいで閉とじていない。

この問題もんだいは、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceの判定はんていでは「零れいベクトル」「和わ」「スカラー倍ばい」を分わけて確認かくにんする必要ひつようがあることを確認かくにんする。

7.9問題もんだい 10

を行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで階段形かいだんけいrow echelon formにし、$\mathrm{rank}A$\operatorname{rank}A、列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasis、$\ker A$\ker A の次元じげんdimensionを求もとめよ。

7.10解答例かいとうれい

である。ピボットpivotは第だい 1 列れつcolumnと第だい 2 列れつcolumnにあるので、$\mathrm{rank}A=2$\operatorname{rank}A=2 である。列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasisとして、元もとの行列ぎょうれつmatrixの第だい 1 列れつcolumnと第だい 2 列れつcolumn

を取とれる。また未知数みちすうunknownは 3 個こなので、階数かいすうrank-退化次数たいかじすうnullity定理ていりより

である。

この問題もんだいは、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで階数かいすうrankを求もとめたあと、主成分列しゅせいぶんれつpivot columnを元もとの行列ぎょうれつmatrixへ戻もどして列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasisを読よむ練習れんしゅうである。

7.11問題もんだい 11

$\mathbb{C}$\mathbb C を $\mathbb{C}$\mathbb C 上じょうのベクトル空間くうかんとして見みる場合ばあいと、$\mathbb{R}$\mathbb R 上じょうのベクトル空間くうかんとして見みる場合ばあいで、基底きていbasisと次元じげんdimensionがどう変かわるかを説明せつめいせよ。

7.12解答例かいとうれい

$\mathbb{C}$\mathbb C 上じょうでは、$1$1 だけで任意にんいの $z\in \mathbb{C}$z\in\mathbb C を $z·1$z\cdot1 と表あらわせるので、基底きていbasisは $\left\{1\right\}$\{1\}、次元じげんdimensionは 1 である。

$\mathbb{R}$\mathbb R 上じょうでは、任意にんいの $z=a+bi$z=a+bi を $a·1+b·i$a\cdot1+b\cdot i と表あらわすので、基底きていbasisは $\{1,i\}$\{1,i\}、次元じげんdimensionは 2 である。

この問題もんだいは、基底きていbasisと次元じげんdimensionが集合しゅうごうsetだけで決きまるのではなく、どの体たいをスカラーとして使つかうかにも依存いぞんすることを確認かくにんしている。

7.13問題もんだい 12

を、標準基底ひょうじゅんきていstandard basis $E=(e_1,e_2)$E=(e_1,e_2) と

のそれぞれで座標表示ざひょうひょうじせよ。変かわるものと変かわらないものも述のべよ。

7.14解答例かいとうれい

標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは

である。$v=a(1,1{)}^T+b(1,-1{)}^T$v=a(1,1)^T+b(1,-1)^T とおくと

なので $a=2,b=1$a=2,\ b=1 である。したがって

である。ベクトル $v$v そのものは変かわらないが、基底きていbasisを変かえると座標ざひょうは変かわる。

この問題もんだいは、基底きていbasisが「ベクトルを測はかる物差ものさし」であることを確認かくにんする。対象たいしょうのベクトルは同おなじでも、物差ものさしが変かわれば座標表示ざひょうひょうじは変かわる。

7.15問題もんだい 13

$0_{2\times 3}$0_{2\times3} を $R^3\to R^2$\mathbb R^3\to\mathbb R^2 の零写像れいしゃぞうzero mapの行列ぎょうれつmatrixと見みる。$\mathrm{rank}{0}_{2\times 3}$\operatorname{rank}0_{2\times3}、列空間れつくうかんcolumn space、$\ker 0_{2\times 3}$\ker 0_{2\times3} の次元じげんdimensionを求もとめ、階数かいすうrank-退化次数たいかじすうnullity定理ていりを確認かくにんせよ。

7.16解答例かいとうれい

すべての列れつcolumnが零れいベクトルなので、

である。列空間れつくうかんcolumn spaceは $\left\{0\right\}\subset R^2$\{0\}\subset\mathbb R^2 である。また任意にんいの $x\in R^3$x\in\mathbb R^3 に対たいして $0_{2\times 3}x=0$0_{2\times3}x=0 なので、

である。したがって

となり、入力空間にゅうりょくくうかんinput spaceの次元じげんdimensionと一致いっちする。

この問題もんだいは、階数かいすうrankの境界例きょうかいれいである。零写像れいしゃぞうzero mapは出力側しゅつりょくがわに何なにも残のこさず、入力にゅうりょくの全体ぜんたいを核かくkernelへ送おくる。

7.17問題もんだい 14

について、$Ac=0$Ac=0 を解とき、列れつベクトルcolumn vectorの一次関係いちじかんけいを読よみ取とれ。また、列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasisを 1 つ選えらべ。

7.18解答例かいとうれい

$a_3=a_1+a_2$a_3=a_1+a_2 なので、

である。したがって

が $Ac=0$Ac=0 の解かいである。非自明解ひじめいかいがあるので、列れつベクトルcolumn vectorは一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。列空間れつくうかんcolumn spaceの基底きていbasisとして $a_1,a_2$a_1,a_2 を取とれる。

この問題もんだいは、$Ac=0$Ac=0 が列れつベクトルcolumn vectorの一次関係いちじかんけいを表あらわすことを具体的ぐたいてきに確認かくにんする。非自明ひじめいな $c$c が見みつかることは、列れつcolumnの中なかに余分よぶんな方向ほうこうがあることを意味いみする。

7.19問題もんだい 15

について、$b_1=(3,6{)}^T$b_1=(3,6)^T と $b_2=(3,7{)}^T$b_2=(3,7)^T のそれぞれに対たいして、$Ax=b$Ax=b の解かいsolutionの有無うむを $\mathrm{rank}A$\operatorname{rank}A と $\mathrm{rank}(A\mid b)$\operatorname{rank}(A\mid b) の比較ひかくで判定はんていせよ。

7.20解答例かいとうれい

$A$A の第だい 2 行ぎょうrowは第だい 1 行ぎょうrowの 2 倍ばいなので、

である。$b_1=(3,6{)}^T$b_1=(3,6)^T では右辺うへんright-hand sideも同おなじ 2 倍ばいの関係かんけいを満みたすので、

である。したがって $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A\mid b_1)$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\mid b_1) であり、解かいsolutionは存在そんざいする。ただし未知数みちすうunknownは 2 個こで階数かいすうrankは 1 なので、自由変数じゆうへんすうfree variableが 1 個こあり、解かいsolutionは無限むげんに存在そんざいする。

$b_2=(3,7{)}^T$b_2=(3,7)^T では右辺うへんright-hand sideが 2 倍ばいの関係かんけいを満みたさない。実際じっさい、

となり、矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowが現あらわれる。したがって

であり、$\mathrm{rank}A\ne \mathrm{rank}(A\mid b_2)$\operatorname{rank}A\ne\operatorname{rank}(A\mid b_2) なので解かいsolutionは存在そんざいしない。

7.21解説かいせつ

この問題もんだいは、階数かいすうrankを単たんに列れつcolumnの独立性どくりつせいの数かずとして求もとめるだけでなく、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの解かいの分類ぶんるいに使つかう練習れんしゅうである。係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixと拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixの階数かいすうrankが一致いっちするかが存在そんざいを決きめ、さらに階数かいすうrankが未知数みちすうunknownの個数こすうに等ひとしいかが一意性いちいせいを決きめる。

7Supplementary problems: column vectors and rank

7.1Problem 6

Decide whether $(1,0{)}^T,(2,0{)}^T$(1,0)^T,(2,0)^T are linearly independent.

7.2Answer example

They are linearly dependent because $(2,0{)}^T=2(1,0{)}^T$(2,0)^T=2(1,0)^T.

7.3Problem 7

Give the rank of $(1,0{)}^T,(0,1{)}^T,(1,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T,(1,1)^T.

7.4Answer example

$(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T are independent and $(1,1{)}^T=(1,0{)}^T+(0,1{)}^T$(1,1)^T=(1,0)^T+(0,1)^T, so the rank is 2.

7.5Problem 8

Explain why a column relation can be written as $Ac=0$Ac=0.

7.6Answer example

If $A=[a_1\cdots a_n]$A=[a_1\ \cdots\ a_n] and $c=(c_1,\dots ,c_n{)}^T$c=(c_1,\ldots,c_n)^T, then $Ac=c_1{a}_1+\cdots +c_n{a}_n$Ac=c_1a_1+\cdots+c_na_n. Thus a column relation is exactly $Ac=0$Ac=0.

7.7Problem 9

For

decide which are subspaces and state which condition fails when not.

7.8Answer example

$W_1$W_1 is not a subspace because it does not contain the zero vector. $W_2$W_2 is a subspace. $W_3$W_3 contains the zero vector but is not closed under scalar multiplication, since $(1,0,0{)}^T\in W_3$(1,0,0)^T\in W_3 while $(-1,0,0{)}^T\notin W_3$(-1,0,0)^T\notin W_3.

7.9Problem 10

Use row operations on

to find $\mathrm{rank}A$\operatorname{rank}A, a basis for the column space, and $\dim \ker A$\dim\ker A.

7.10Answer example

Pivots are in columns 1 and 2, so $\mathrm{rank}A=2$\operatorname{rank}A=2. A basis for the column space is given by the original columns

Since there are 3 unknowns, $\dim \ker A=3-2=1$\dim\ker A=3-2=1.

7.11Problem 11

Explain how the basis and dimension of $\mathbb{C}$\mathbb C change when viewed over $\mathbb{C}$\mathbb C versus over $\mathbb{R}$\mathbb R.

7.12Answer example

Over $\mathbb{C}$\mathbb C, a basis is $\left\{1\right\}$\{1\} and the dimension is 1. Over $\mathbb{R}$\mathbb R, a basis is $\{1,i\}$\{1,i\} and the dimension is 2, because $a+bi=a·1+b·i$a+bi=a\cdot1+b\cdot i with real coefficients.

7.13Problem 12

Represent $v=(3,1{)}^T$v=(3,1)^T in the standard basis $E$E and in

7.14Answer example

For the basis $B$B, solve $v=a(1,1{)}^T+b(1,-1{)}^T$v=a(1,1)^T+b(1,-1)^T. Then $a+b=3$a+b=3 and $a-b=1$a-b=1, so $a=2,b=1$a=2,b=1. Thus

The vector is unchanged, but its coordinates change.

7.15Problem 13

View $0_{2\times 3}$0_{2\times3} as the matrix of the zero map $R^3\to R^2$\mathbb R^3\to\mathbb R^2. Find its rank, column space, and kernel dimension.

7.16Answer example

All columns are zero, so $\mathrm{rank}{0}_{2\times 3}=0$\operatorname{rank}0_{2\times3}=0. The column space is $\left\{0\right\}\subset R^2$\{0\}\subset\mathbb R^2. Every $x\in R^3$x\in\mathbb R^3 maps to 0, so $\ker 0_{2\times 3}=R^3$\ker0_{2\times3}=\mathbb R^3 and $\dim \ker 0_{2\times 3}=3$\dim\ker0_{2\times3}=3. Thus rank plus nullity is $0+3=3$0+3=3.

7.17Problem 14

For

solve $Ac=0$Ac=0 and choose a basis for the column space.

7.18Answer example

Since $a_3=a_1+a_2$a_3=a_1+a_2,

Thus

solves $Ac=0$Ac=0. The columns are dependent, and $a_1,a_2$a_1,a_2 form a basis for the column space.

7.19Problem 15

For $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}, decide solvability of $Ax=b$Ax=b for $b_1=(3,6{)}^T$b_1=(3,6)^T and $b_2=(3,7{)}^T$b_2=(3,7)^T by comparing ranks.

7.20Answer example

Since the second row of $A$A is twice the first, $\mathrm{rank}A=1$\operatorname{rank}A=1. For $b_1$b_1, the right side has the same relation, so $\mathrm{rank}(A\mid b_1)=1$\operatorname{rank}(A\mid b_1)=1 and solutions exist. Since there are 2 unknowns and rank 1, infinitely many solutions exist.

For $b_2$b_2,

so $\mathrm{rank}(A\mid b_2)=2\ne 1$\operatorname{rank}(A\mid b_2)=2\ne1 and no solution exists.

7.21Explanation

Equality of the ranks of the coefficient and augmented matrices determines existence; comparison with the number of unknowns determines uniqueness.

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9証明しょうめい演習えんしゅう：基底きてい座標ざひょうの一意性いちいせいと階数かいすう・退化次数たいかじすう

9.1問題もんだい

$B=(v_1,\dots ,v_n)$B=(v_1,\ldots,v_n) が基底きていなら、座標表示ざひょうひょうじが一意いちいであることを証明しょうめいせよ。また、有限次元ゆうげんじげんの線型写像せんけいしゃぞう $T:V\to W$T:V\to W について

が成立せいりつする理由りゆうを説明せつめいせよ。

9.2解答かいとう

もし $v=\sum x_i{v}_i=\sum y_i{v}_i$v=\sum x_iv_i=\sum y_iv_i と二通ふたとおりに書かけるなら、

である。$v_i$v_i は線型独立せんけいどくりつなので、すべての $x_i-y_i=0$x_i-y_i=0 である。よって $x_i=y_i$x_i=y_i である。

階数かいすう・退化次数たいかじすうの定理ていりでは、$\ker T$\ker T の基底きていを $V$V の基底きていへ拡張かくちょうする。追加ついかした基底きていベクトルvectorの行いき先さきが $\mathrm{Im}T$\operatorname{Im}T の基底きていになるので、次元じげんが核かくの分ぶんと像ぞうの分ぶんに分わかれる。

9.3解説かいせつ

基底きていは座標ざひょうを一意いちいにする。階数かいすう・退化次数たいかじすうの定理ていりは、その座標ざひょうを「潰つぶれる方向ほうこう」と「残のこる方向ほうこう」へ分わける定理ていりである。

9Proof exercise: uniqueness of basis coordinates and rank-nullity

9.1Problem

Prove that if $B=(v_1,\dots ,v_n)$B=(v_1,\ldots,v_n) is a basis, then coordinate representation is unique. Also explain rank-nullity:

9.2Answer

If $v=\sum x_i{v}_i=\sum y_i{v}_i$v=\sum x_iv_i=\sum y_iv_i, then

Since the $v_i$v_i are linearly independent, every $x_i-y_i=0$x_i-y_i=0, so $x_i=y_i$x_i=y_i.

For rank-nullity, extend a basis of $\ker T$\ker T to a basis of $V$V. The images of the added basis vectors form a basis of $\mathrm{Im}T$\operatorname{Im}T, splitting the dimension into kernel and image parts.

9.3Explanation

A basis makes coordinates unique. Rank-nullity separates those coordinates into collapsed and surviving directions.