ベクトル空間vector spaceと基底きていbasis

date2026-07-14document_iddoc_77e3ed64a7a767a25cf258db5e87bd86descriptionベクトル空間と基底を、体上の公理、生成、一次独立、一意表示の関係から整理し、座標表示が成立する理由を説明する講義である。prerequisitesベクトルの線型結合 / 連立一次方程式の基本type講義content_typelecturestatusactive

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Vector spacesベクトル空間 and bases基底きてい

1導入どうにゅう

ベクトル空間vector spaceは、矢印やじるしだけを扱うtermための概念がいねんではない。関数かんすう、多項式たこうしき、数列すうれつ、行列ぎょうれつも、足し算termとスカラー倍ばいが自然しぜんに定まりterm、必要ひつような規則きそくを満たせtermばベクトル空間くうかんとして扱えるterm。

この抽象ちゅうしょう化かの目的もくてきは、対象たいしょうの見た目termを捨てtermて、「足すterm」「定数ていすう倍するterm」「線型せんけい結合けつごうを作るterm」という構造こうぞうだけを残すtermことである。その構造こうぞうだけで、生成せいせいspan、一次独立いちじどくりつlinear independence、基底きていbasis、次元じげんdimensionが定義ていぎできる。

1Introduction

A vector spaceベクトル空間 is not only a collection of arrows. Functions, polynomials, sequences, and matrices can also be treated as vector spaces if addition and scalar multiplication are defined naturally and satisfy the required rules.

The purpose of this abstraction is to ignore the outward form of the objects and keep only the structure of adding, multiplying by scalars, and forming linear combinations. From that structure alone we can define span生成せいせい, linear independence一次独立いちじどくりつ, basis基底きてい, and dimension次元じげん.

2用語ようごと定義ていぎ

体たい $K$ 上うえのベクトル空間vector space $V$ とは、和わ $u + v$ とスカラー倍ばい $c v$ が定義ていぎされ、通常つうじょうの結合けつごう法則ほうそく、交換こうかん法則ほうそく、分配ぶんぱい法則ほうそく、零れいベクトルと逆ぎゃくベクトルの存在そんざいを満たすterm集合しゅうごうである。

有限ゆうげん個このベクトル $v_{1}, . . ., v_{n}$ に対しterm、

c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}

の形かたちのベクトルを線型結合せんけいけつごうlinear combinationという。すべての線型せんけい結合けつごうの集合しゅうごうを張る空間spanという。

$v_{1}, . . ., v_{n}$ が一次独立いちじどくりつlinear independenceであるとは、

c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} = 0

から必ずterm

c_{1} = \dots = c_{n} = 0

が導かtermれることである。 $V$ を張りterm、かつ一いち次じ独立どくりつであるベクトルの組くみを基底きていbasisという。

2Terms and definitions

A vector spaceベクトル空間 $V$ over a field体たい $K$ is a set equipped with addition $u + v$ and scalar multiplication $c v$ satisfying the usual associativity, commutativity, distributivity, existence of a zero vector, and existence of additive inverses.

For vectors $v_{1}, . . ., v_{n}$ , a vector of the form

c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}

is a linear combination線型結合せんけいけつごう. The set of all such linear combinations is the span張る空間.

The vectors $v_{1}, . . ., v_{n}$ are linearly independent一次独立いちじどくりつ when

c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} = 0

forces

c_{1} = \dots = c_{n} = 0.

A list of vectors that spans $V$ and is linearly independent is a basis基底きてい of $V$ .

3方針ほうしん

基底きていを理解りかいするには、「足りるterm」と「余分よぶんがない」を分けるtermのがよい。

$v_{1}, . . ., v_{n}$ が $V$ を張るtermとは、どのベクトルもその材料ざいりょうで作れるtermという意味いみである。これは「足りるterm」という条件じょうけんである。一方いっぽう、一いち次じ独立どくりつとは、材料ざいりょうのどれも他たの材料ざいりょうから作れtermないという意味いみである。これは「余分よぶんがない」という条件じょうけんである。

基底きていbasisは、この2条件じょうけんを同時にterm満たすterm最小限さいしょうげんの座標軸ざひょうじくである。

3Plan

To understand a basis, separate the two ideas “enough” and “no redundancy.”

The vectors $v_{1}, . . ., v_{n}$ span $V$ when every vector in $V$ can be made from them. This is the “enough” condition. Linear independence means that none of the listed vectors can be made from the others. This is the “no redundancy” condition.

A basis基底きてい is a minimal coordinate system satisfying both conditions at once.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4.11. 平面へいめんの例れい

$R^{2}$ では、

e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

を使うtermと、任意にんいの

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

は

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = x e_{1} + y e_{2}

と書けるterm。しかもこの係数けいすう $x, y$ は一意いちいである。これが座標ざひょうの意味いみである。

4.22. 基底きていは「測りterm方かた」を決めるterm

同じtermベクトルでも、基底きていを変えるtermと座標ざひょうは変わるterm。ベクトルそのものは空間くうかん内ないの対象たいしょうであり、座標ざひょうはその対象たいしょうを基底きていで測っtermた数かずの並びtermである。この区別くべつが、後ごの基底変換きていへんかんchange of basisと相似そうじsimilarityで重要じゅうようになる。

4Intuitive explanation

4.11. The plane as an example

In $R^{2}$ , using

e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}),

any vector

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

can be written as

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = x e_{1} + y e_{2.}

Moreover, the coefficients $x, y$ are unique. This is the meaning of coordinates.

4.22. A basis determines a way to measure

The same vector can have different coordinates when the basis changes. The vector itself is an object in the space; coordinates are the numbers obtained by measuring that object using a basis. This distinction becomes important in change of basis基底変換きていへんかん and similarity相似そうじ.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 基底きていによる座標ざひょう表示ひょうじ

$B = (v_{1}, . . ., v_{n})$ が $V$ の基底きていであるとき、任意にんいの $v i n V$ は一意いちいに

v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n}

と書けるterm。この係数けいすう列れつを $v$ の $B$ に関するterm座標ざひょうcoordinatesという。

5.22. 一意いちい性せいの証明しょうめい

もし

v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} = y_{1} v_{1} + \dots + y_{n} v_{n}

なら、両辺りょうへんを引いtermて

0 = (x_{1} - y_{1}) v_{1} + \dots + (x_{n} - y_{n}) v_{n}

である。基底きていは一いち次じ独立どくりつなので、

x_{1} - y_{1} = \dots = x_{n} - y_{n} = 0

である。したがって $x_{i} = y_{i}$ がすべての $i$ で成立するterm。

ここでは引き算termだけを使っtermている。係数けいすうで割るterm操作そうさはしていないので、特定とくていの係数けいすうが非ひ零れいかどうかを確認かくにんする必要ひつようはない。

5Formal explanation

5.11. Coordinate expression by a basis

When $B = (v_{1}, . . ., v_{n})$ is a basis of $V$ , every $v i n V$ has a unique expression

v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} .

The list of coefficients is called the coordinates座標ざひょう of $v$ with respect to $B$ .

5.22. Proof of uniqueness

Suppose

v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} = y_{1} v_{1} + \dots + y_{n} v_{n} .

Subtracting the two expressions gives

0 = (x_{1} - y_{1}) v_{1} + \dots + (x_{n} - y_{n}) v_{n} .

Because the basis is linearly independent,

x_{1} - y_{1} = \dots = x_{n} - y_{n} = 0.

Thus $x_{i} = y_{i}$ for every $i$ .

Only subtraction is used here. No coefficient is divided by, so we do not need to check whether a particular coefficient is nonzero.

6例題れいだい：基底きていかどうかを判定はんていする

6.1問題もんだい

$R^{2}$ の2つのベクトル

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

が $R^{2}$ の基底きていであるか判定はんていせよ。

6.2解説かいせつ

2つのベクトルが $R^{2}$ の基底きていであることは、2つが一いち次じ独立どくりつであることと同値どうちである。係数けいすう $a, b$ について

a (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

を考えるterm。成分せいぶんで書くtermと、

a + 3 b = 0, 2 a + 4 b = 0

である。1本ほん目めから $a = - 3 b$ 、こを2本ほん目めに入れるtermとと

2 (- 3 b) + 4 b = - 2 b = 0

なので $b = 0$ 、したがっ $a = 0$ である。よって一いち次じ独立どくりつであり、 $R^{2}$ の基底きていである。。

この例題れいだいは、基底きてい判定はんていが「余分よぶんなベクトルがないか」を確認かくにんする作業さぎょうであることを示しtermている。後でterm行列ぎょうれつの列れつを調べるtermときも、同じterm考え方termで列れつベクトルの一いち次じ独立どくりつ性せいを判定はんていする。

6Worked example: deciding whether vectors form a basis

6.1Problem

Decide whether the two vectors in $R^{2}$

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

form a basis of $R^{2}$ .

6.2Explanation

For two vectors in $R^{2}$ , being a basis is equivalent to being linearly independent. Consider coefficients $a, b$ satisfying

a (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) .

Componentwise, this gives

a + 3 b = 0, 2 a + 4 b = 0.

From the first equation, $a = - 3 b$ . Substituting this into the second gives

2 (- 3 b) + 4 b = - 2 b = 0,

so $b = 0$ , and therefore $a = 0$ . Hence the vectors are linearly independent and form a basis of $R^{2}$ .

This example shows that basis checking is the task of confirming that there is no redundant vector. Later, when we inspect the columns of a matrix, we use the same idea to test linear independence of column vectors.

7実数じっすうと複素数ふくそすうで変わるtermこと

同じterm集合しゅうごうでも、スカラーとして使うterm体からだが変わるtermと、ベクトル空間くうかんとしての意味いみが変わるterm。たとえば $C$ は $C$ 上うえでは1次元じげんだが、 $R$ 上うえでは2次元じげんである。

この違いtermは、複素内積ふくそないせきcomplex inner product、エルミート性Hermitian property、ユニタリ行列unitary matrixを扱うtermときに重要じゅうようになる。どの体からだ上じょうの線型せんけい性せいを考えtermているかを曖昧あいまいにすると、同どう次つぎ性せいの意味いみが変わっtermてしまう。

7What changes over real and complex scalars

The same underlying set can become a different vector space when the scalar field changes. For example, $C$ is one-dimensional over $C$ , but two-dimensional over $R$ .

This distinction matters when studying complex inner products複素内積ふくそないせき, the Hermitian propertyエルミート性, and unitary matricesユニタリ行列. If the scalar field is unclear, the meaning of homogeneity changes.

8定理ていりと証明しょうめい：有限ゆうげん基底きていの本数ほんすうは一定いっていである

8.1定理ていり

有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん $V$ の基底きていは、どれを選んtermでも同じterm本数ほんすうのベクトルを持つterm。この本数ほんすうを $V$ の次元じげんdimensionという。

8.2証明しょうめいの方針ほうしん

完全かんぜんな証明しょうめいには交換こうかん補題ほだいを使うterm。直感ちょっかんは次つぎの通りtermである。 $m$ 本ほんの一いち次じ独立どくりつなベクトルが $n$ 本ほんのベクトルで張らtermれる空間くうかんに入っtermているなら、 $m < = n$ でなければならない。生成せいせいする側がわより多くtermの独立どくりつな方向ほうこうは作れtermないからである。

2つの基底きてい $B$ と $C$ があり、 $B$ が $m$ 本ほん、 $C$ が $n$ 本ほんだとする。 $B$ は一いち次じ独立どくりつで、 $C$ は空間くうかんを張るtermので $m < = n$ である。逆ぎゃくに $C$ は一いち次じ独立どくりつで、 $B$ は空間くうかんを張るtermので $n < = m$ である。したがって $m = n$ である。

8Theorem and proof idea: finite bases have the same size

8.1Theorem

Every basis of a finite-dimensional vector space $V$ has the same number of vectors. This number is the dimension次元じげん of $V$ .

8.2Proof idea

A full proof uses the exchange lemma. The intuition is this: if $m$ linearly independent vectors lie in a space spanned by $n$ vectors, then $m < = n$ . One cannot create more independent directions than the number of generators available.

Let $B$ and $C$ be two bases, with $m$ and $n$ vectors respectively. Since $B$ is linearly independent and $C$ spans the space, $m < = n$ . Conversely, since $C$ is linearly independent and $B$ spans the space, $n < = m$ . Therefore $m = n$ .

9最終形さいしゅうけい

基底きていbasisは、「空間くうかん全体ぜんたいを作れるterm」ことと「余分よぶんがない」ことを同時にterm満たすtermベクトルの組くみである。

basis = spanningset + linearindependence

基底きていを選ぶtermと、ベクトルは数かずの並びtermとして表せるterm。したがって、基底きていは線型せんけい写像しゃぞうを行列ぎょうれつで表すtermための座標ざひょう系けいでもある。

9Final form

A basis基底きてい is a list of vectors that both generates the whole space and has no redundancy.

basis = spanningset + linearindependence .

Once a basis is chosen, vectors can be represented as lists of numbers. Thus a basis is also the coordinate system that lets us represent linear maps by matrices.