基底変換きていへんかんchange of basisと相似そうじsimilarity

date2026-07-14document_iddoc_b33380820ae5e9256f076d678eeb59f5description基底変換を、同じベクトルや同じ線型写像の座標表示を取り替える操作として説明し、相似変換との関係を整理する講義である。prerequisites線型性の基本 / ベクトル空間と基底 / 線型写像と行列 / 行列の積の意味 / 逆行列の基本type講義content_typelecturestatusactive

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Change of basis基底変換きていへんかん and similarity相似そうじ

1導入どうにゅう

基底きていbasisを変かえると、ベクトルvectorそのものは変かわらないが、その座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationは変かわる。線型写像せんけいしゃぞうlinear mapについても同おなじで、写像しゃぞうmapそのものは変かわらないが、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは変かわる。

この区別くべつは線型代数せんけいだいすうlinear algebraで重要じゅうようである。行列ぎょうれつmatrixを見みたとき、それが「対象たいしょうobjectそのもの」なのか「基底きていbasisを選えらんだ後あとの表示ひょうじrepresentation」なのかを分わけないと、対角化たいかくかdiagonalizationや固有値こゆうちeigenvalueの意味いみが不明瞭ふめいりょうになる。

対角化たいかくかdiagonalizationと固有値こゆうちeigenvalueは後あとで導入どうにゅうする。この講義こうぎでは、表示ひょうじを分わける理由りゆうを見通みとおすための先取さきどりとして読よめばよい。

1Introduction

Changing a basis基底きてい does not change a vectorベクトル itself, but it changes its coordinate representation座標表示ざひょうひょうじ. The same is true for a linear map線型写像せんけいしゃぞう: the map itself is unchanged, while its representation matrix表現行列ひょうげんぎょうれつ changes.

This distinction is essential in linear algebra線型代数せんけいだいすう. When looking at a matrix, one must distinguish the object itself from the representation obtained after choosing a basis. Without this distinction, the meaning of diagonalization対角化たいかくか and eigenvalues固有値こゆうち becomes obscure.

Diagonalization and eigenvalues are introduced later. In this lecture they are mentioned only as a preview of why representation matters.

2用語ようごと定義ていぎ

基底変換きていへんかんchange of basis とは、同おなじベクトルvectorや同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを、別べつの基底きていbasisに関かんする座標ざひょうcoordinateで表あらわし直なおすことである。

旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisの間あいだで

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

を満みたす可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $P$ を、ここでは新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateを旧基底きゅうきていold basisの座標ざひょうcoordinateへ直なおす基底変換行列きていへんかんぎょうれつchange-of-basis matrixと呼よぶ。

相似そうじsimilarity とは、2 つの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $A, B$ が、ある可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $P$ によって

B = P^{- 1} A P

と書かける関係かんけいrelationである。相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを異ことなる基底きていbasisで表示ひょうじrepresentationしたものと解釈かいしゃくできる。

2Terms and definitions

Change of basis基底変換きていへんかん means rewriting the same vector or the same linear map using coordinates with respect to a different basis.

Let $P$ be the invertible matrix satisfying

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w} .

In this lecture, $P$ converts coordinates in the new basis into coordinates in the old basis.

Two square matrices $A$ and $B$ are similar相似そうじ if there is an invertible matrix $P$ such that

B = P^{- 1} A P .

Similar matrices represent the same linear map in different bases.

3方針ほうしん

基底変換きていへんかんchange of basisでは、何なにが変かわり、何なにが変かわらないかを最初さいしょに固定こていする。

対象たいしょうobject	変かわるもの	保存ほぞんされるもの
ベクトルvector	座標表示ざひょうひょうじcoordinate representation	ベクトルvectorそのもの
線型写像せんけいしゃぞうlinear map	表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix	写像しゃぞうmapそのもの
相似変換そうじへんかんsimilarity transformation	行列ぎょうれつmatrixの成分せいぶんcomponent	固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、可逆性かぎゃくせいinvertibility

この表ひょうの固有値こゆうちeigenvalueと特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialは、あとの先取さきどりである。このページの本流ほんりゅうでは、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representation、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix、可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixによる座標ざひょうの付つけ替かえを扱あつかう。

data/lecture/math/linear-algebra/linear-maps-and-matrices.lecture.n.md

3Plan

For change of basis, first fix what changes and what stays invariant.

Object	What changes	What is preserved
vectorベクトル	coordinate representation座標表示ざひょうひょうじ	the vector itself
linear map線型写像せんけいしゃぞう	representation matrix表現行列ひょうげんぎょうれつ	the map itself
similarity transformation相似変換そうじへんかん	matrix entries	eigenvalues固有値こゆうち, characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき, invertibility

The eigenvalue and characteristic-polynomial entries in this table are previews. The main content of this page is coordinate representation, representation matrices, and invertible coordinate changes.

data/lecture/math/linear-algebra/linear-maps-and-matrices.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

平面へいめんplaneの同おなじ点てんpointでも、通常つうじょうの横軸よこじくhorizontal axis・縦軸たてじくvertical axisで測はかるか、斜ななめの軸じくaxisで測はかるかによって座標ざひょうcoordinateは変かわる。しかし、点てんpointそのものが動うごいたわけではない。

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapも同様どうようである。同おなじ回転かいてんrotationや拡大かくだいexpansionであっても、基準きじゅんにする基底きていbasisを変かえると行列ぎょうれつmatrixの形かたちは変かわる。対角化たいかくかdiagonalizationは、この発想はっそうを極端きょくたんに使つかう。固有ベクトルeigenvectorを基底きていbasisに選えらべるなら、写像しゃぞうmapは方向ほうこうdirectionごとの倍率ばいりつscale factorだけを並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixで表示ひょうじrepresentationできる。

4Intuitive explanation

The same point in the plane has different coordinates depending on whether it is measured with horizontal and vertical axes or with slanted axes. The point has not moved; only the coordinate system has changed.

A linear map behaves the same way. The same rotation or stretch may have a different matrix form after changing the basis. Diagonalization対角化たいかくか uses this idea aggressively: if eigenvectors can be chosen as a basis, the map is represented by a diagonal matrix of scale factors.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. ベクトルvectorの座標ざひょうcoordinateを変かえる

同おなじ空間くうかんspace $V$ に旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisを選えらぶ。 $P$ を

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

で定さだめる。この式しきformulaは、新基底しんきていnew basisでの係数けいすうcoefficientを旧基底きゅうきていold basisでの係数けいすうcoefficientへ翻訳ほんやくする式しきformulaである。

$P$ が可逆かぎゃくinvertibleでなければならないのは、座標ざひょうcoordinateを一意いちいuniqueに戻もどせなくなるからである。基底きていbasisから基底きていbasisへの変換へんかんtransformationでは、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationの情報じょうほうinformationを失うしなってはならない。

5.22. 表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを変かえる

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T : V \to V$ の旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $A_{o l d}$ とする。つまり

[T (x)]_{o l d} = A_{o l d} [x]_{o l d}

である。新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateから出発しゅっぱつすると、

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

であり、写像しゃぞうmapを適用てきようapplicationした後あとに新基底しんきていnew basisへ戻もどすには $P^{- 1}$ を掛かける。したがって

\begin{aligned} [T(x)]_{\mathrm{new}} &=P^{-1}[T(x)]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}[x]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P[x]_{\mathrm{new}} \end{aligned}\begin{aligned} [T(x)]_{\mathrm{new}} &=P^{-1}[T(x)]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}[x]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P[x]_{\mathrm{new}} \end{aligned}

である。よって新基底しんきていnew basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P

となる。

5.33. 定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえる場合ばあい

$T : V \to W$ のように定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainが異ことなる場合ばあい、入力側にゅうりょくがわinput sideの基底変換きていへんかんchange of basisと出力側しゅつりょくがわoutput sideの基底変換きていへんかんchange of basisは別々べつべつに追跡ついせきする。

入力側にゅうりょくがわinput sideで

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

出力側しゅつりょくがわoutput sideで

[y]_{o l d} = Q [y]_{n e w}

とする。旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $A_{o l d}$ とすると、新基底しんきていnew basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

A_{n e w} = Q^{- 1} A_{o l d} P

である。左ひだりの $Q^{- 1}$ は出力しゅつりょくoutputの座標ざひょうcoordinateを戻もどすため、右みぎの $P$ は入力にゅうりょくinputを旧座標きゅうざひょうold coordinateへ翻訳ほんやくするために現あらわれる。

5Precise explanation

5.11. Changing coordinates of a vector

Choose an old basis and a new basis for the same space $V$ . Define $P$ by

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w} .

This formula translates coefficients in the new basis into coefficients in the old basis. The matrix $P$ must be invertible because coordinates must be recoverable uniquely; a change from one basis to another cannot lose information.

5.22. Changing a representation matrix

Let $T : V \to V$ be a linear map線型写像せんけいしゃぞう, and let $A_{o l d}$ be its representation matrix in the old basis:

[T (x)]_{o l d} = A_{o l d} [x]_{o l d} .

Starting from new coordinates, we have

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w} .

After applying $T$ , we convert back to new coordinates by multiplying by $P^{- 1}$ :

\begin{aligned} [T(x)]_{\mathrm{new}} &=P^{-1}[T(x)]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}[x]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P[x]_{\mathrm{new}}. \end{aligned}\begin{aligned} [T(x)]_{\mathrm{new}} &=P^{-1}[T(x)]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}[x]_{\mathrm{old}}\\ &=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P[x]_{\mathrm{new}}. \end{aligned}

Therefore

A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P .

5.33. Changing domain and codomain bases separately

For a map $T : V \to W$ , the domain basis and codomain basis may be changed independently. If

[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

on the input side and

[y]_{o l d} = Q [y]_{n e w}

on the output side, then the new representation matrix is

A_{n e w} = Q^{- 1} A_{o l d} P .

The right factor $P$ translates the input into old coordinates, while the left factor $Q^{- 1}$ translates the output back into new coordinates.

6例題れいだい：非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる

6.1問題もんだい：非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる

$R^{2}$ の線型写像せんけいしゃぞうlinear map

T (x, y) = (2 x, y)

を考かんがえる。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは

A_{s t d} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

である。非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basis

B = (b_{1}, b_{2}), b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), b_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる。

6.2解説かいせつ

まず基底きていベクトルbasis vectorの像ぞうimageを $B$ で表あらわす。

T (b_{1}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{3}{2} b_{1} + \frac{1}{2} b_{2}

であり、

T (b_{2}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} b_{1} + \frac{3}{2} b_{2}

である。したがって $B$ に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

[T]_{B} = (\begin{matrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix})

となる。変かわったのは写像しゃぞうmapではなく、基底きていbasisと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixである。

6Example: representation in a nonstandard basis

Consider the linear map on $R^{2}$

T (x, y) = (2 x, y) .

In the standard basis,

A_{s t d} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Let

B = (b_{1}, b_{2}), b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), b_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

Then

T (b_{1}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{3}{2} b_{1} + \frac{1}{2} b_{2},

and

T (b_{2}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} b_{1} + \frac{3}{2} b_{2.}

Thus

[T]_{B} = (\begin{matrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}) .

The map has not changed; the basis and representation matrix have changed.

7相似そうじsimilarityで保存ほぞんされるもの

$B = P^{- 1} A P$ と書かけるとき、 $A$ と $B$ は同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの別表示べつひょうじalternative representationである。このため、基底きていbasisの選択せんたくによらない性質せいしつpropertyは保存ほぞんされる。

次つぎの表ひょうのうち、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminantの行ぎょうは、あとの先取さきどりである。ここでは「同おなじ写像しゃぞうmapの別表示べつひょうじでは、表示ひょうじに依存いぞんしない量りょうが保存ほぞんされる」という見通みとおしとしてつかう。

量りょうquantity	保存ほぞんされる理由りゆう
固有値こゆうちeigenvalue	方向ほうこうdirectionごとの倍率ばいりつscale factorは表示ひょうじrepresentationに依存いぞんdependenceしない
特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial	$\det (t I - P^{- 1} A P) = \det (P^{- 1} (t I - A) P) = \det (t I - A)$
行列式ぎょうれつしきdeterminant	$\det (P^{- 1} A P) = \det (P^{- 1}) \det (A) \det (P) = \det (A)$
階数かいすうrank	可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを左右さゆうから掛かけても次元じげんdimensionは変かわらない
可逆性かぎゃくせいinvertibility	$A$ が戻もどせるかどうかは座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationに依存いぞんdependenceしない

ただし、行列ぎょうれつmatrixの成分せいぶんcomponent、列れつcolumnそのもの、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisで見みた図形ずけいfigureの見みえ方かたは変かわる。相似そうじsimilarityは「同おなじ写像しゃぞうmapを別べつの座標ざひょうcoordinateで見みる」操作そうさoperationであって、「成分せいぶんcomponentが変かわらない」操作そうさoperationではない。

7What similarity preserves

If $B = P^{- 1} A P$ , then $A$ and $B$ are two coordinate representations of the same linear map. Hence properties independent of the choice of basis are preserved.

In the following table, the rows about eigenvalues, characteristic polynomials, and determinants are previews for later lectures. Here they should be read as examples of the principle that coordinate-independent quantities are preserved under a change of representation.

Quantity	Reason it is preserved
eigenvalues固有値こゆうち	scale factors along intrinsic directions do not depend on coordinates
characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき	$\det (t I - P^{- 1} A P) = \det (P^{- 1} (t I - A) P) = \det (t I - A)$
determinant行列式ぎょうれつしき	$\det (P^{- 1} A P) = \det (P^{- 1}) \det (A) \det (P) = \det (A)$
rank階数かいすう	multiplying by invertible matrices does not change image dimension
invertibility	being reversible is independent of coordinates

Matrix entries, columns themselves, and the visual picture in the standard basis may change. Similarity means viewing the same map in different coordinates, not keeping components fixed.

8どこまで成立せいりつするか

相似そうじsimilarityは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix、つまり同おなじ空間くうかんspaceから同おなじ空間くうかんspaceへの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapで基底きていbasisを変かえる場合ばあいに現あらわれる。長方行列ちょうほうぎょうれつrectangular matrixでは、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえるため、 $Q^{- 1} A P$ の形かたちになる。

$P^{- 1} A P$ を使つかうときは、 $P$ が可逆かぎゃくinvertibleであることを必かならず確認かくにんする。 $P$ が可逆かぎゃくinvertibleでなければ基底きていbasisから基底きていbasisへの座標変換ざひょうへんかんcoordinate transformationではなく、情報じょうほうinformationを潰つぶす写像しゃぞうmapになってしまう。

8Scope and limitations

Similarity is for square matrices representing maps from a space to itself. For rectangular matrices, the domain and codomain bases change separately, producing $Q^{- 1} A P$ rather than $P^{- 1} A P$ . Whenever $P^{- 1} A P$ is used, $P$ must be invertible; otherwise it is not a basis-to-basis coordinate transformation.

If $P$ is not invertible, it collapses information instead of changing from one basis to another, so the expression no longer represents a genuine change of coordinates.

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] [x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A_{n e w} = Q^{- 1} A_{o l d} P

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 相似な行列は同じ線型写像の別の座標表示である

9Final forms

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] [x]_{o l d} = P [x]_{n e w}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A_{n e w} = Q^{- 1} A_{o l d} P

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Similarmatricesaredifferentcoordinaterepresentationsofthesamelinearmap [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

10一言ひとことでいうと

基底変換きていへんかんchange of basisは、ベクトルvectorや線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものではなく、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationを変かえる。

基底変換きていへんかんchange of basisでは、対象たいしょうobjectそのものではなく座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationが変かわる。
$[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}$ という規約きやく/conventionでは、 $T : V \to V$ の新基底しんきていでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは $A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P$ である。
相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを別べつの基底きていbasisで表あらわしたものなので、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminant、階数かいすうrank、可逆性かぎゃくせいinvertibilityは保存ほぞんされる。
$T : V \to W$ では、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえるため、正ただしい形かたちは通常つうじょうの相似そうじsimilarityではなく $Q^{- 1} A_{o l d} P$ である。

固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminantは、あとで定義ていぎ・証明しょうめいする。このまとめでは、相似そうじが「同おなじ対象たいしょうの別表示べつひょうじ」であることの見通みとおしとして先取さきどりしている。

10In one sentence

Change of basis基底変換きていへんかん changes coordinate representations, while similar相似そうじ matrices represent the same linear map線型写像せんけいしゃぞう in different bases.

A change of basis基底変換きていへんかん changes coordinate representations, not the vector or linear map itself.
With the convention $[x]_{o l d} = P [x]_{n e w}$ , the new representation of $T : V \to V$ is $A_{n e w} = P^{- 1} A_{o l d} P$ .
Similar相似そうじ matrices represent the same linear map in different bases, so basis-independent quantities such as eigenvalues, characteristic polynomial, determinant, rank, and invertibility are preserved.
For a map $T : V \to W$ , domain and codomain bases are changed separately, so the correct form is $Q^{- 1} A_{o l d} P$ , not ordinary similarity.

Eigenvalues, characteristic polynomials, and determinants are defined and proved later. In this summary they are previews illustrating that similarity is a different representation of the same object.

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/change-of-basis-and-similarity.exercise.n.md data/exercise/math/linear-algebra/matrix-computation-and-linear-transformations.exercise.n.md data/exercise/math/linear-algebra/eigenvalues-diagonalization-and-extensions.exercise.n.md

11Exercise links