1演習方針
基底変換で変わるのは、ベクトルそのものや線型写像そのものではなく、座標表示である。この演習では、古い基底での座標、新しい基底での座標、表現行列を区別して計算する。
この演習では、P は新しい基底の座標を古い基底の座標へ送る、つまり [x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}} という規約で固定する。このため表現行列は P^{-1}A_{\mathrm{old}}P と変わる。規約を逆にすると公式も逆になるので、積の順序を見た目だけで入れ替えてはいけない。
長方行列の線型写像では、定義域と終域で別々の基底変換を使うため、Q^{-1}AP の形になる。どの座標変換行列についても、まず可逆であることを確認する。P が特異なら、その列は基底ではなく、座標の付け替えではなく情報を潰す操作になっている。
この演習の行列式と固有値は、後続演習への先取り確認である。本流の基底変換の計算では、列が一次独立であること、または明示した逆行列で元に戻せることを可逆性の確認に使う。
1Exercise plan
A change of basis changes the coordinate representation, not the vector itself or the linear map itself. Distinguish old-basis coordinates, new-basis coordinates, and representation matrices.
Keep the convention fixed throughout: in these problems, P sends new-basis coordinates to old-basis coordinates, so [x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}}. This is why a representation matrix changes as P^{-1}A_{\mathrm{old}}P. Reversing the convention reverses the formula, so the order cannot be treated as cosmetic.
For rectangular maps, use separate basis changes on the domain and codomain and expect Q^{-1}AP. For every proposed change-of-basis matrix, first check invertibility; if P is singular, the columns do not form a basis and the operation collapses information instead of merely relabeling coordinates.
Determinants and eigenvalues in this exercise are previews for later exercise sets. The main change-of-basis computations check invertibility by column independence or by an explicit inverse matrix.
2確認問題：座標変換行列
\mathbb{R}^2 の標準基底を古い基底とする。新しい基底を
b_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
b_2=
\begin{pmatrix}
1\\
-1
\end{pmatrix}
とする。ベクトル
x=
\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}
の新基底に関する座標 [x]_{\mathrm{new}} を求めよ。
2.1解答
まず、新しい基底ベクトルを列に並べる。
P=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
この P は、新しい座標を古い座標へ戻す行列である。
[x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}}
したがって、
\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}
=
s
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
1\\
-1
\end{pmatrix}
を解けばよい。成分を比べると、
\begin{cases}
s+t=3,\\
s-t=1
\end{cases}\begin{cases}
s+t=3,\\
s-t=1
\end{cases}
である。2 式を足して 2s=4、したがって s=2 である。さらに s+t=3 から t=1 である。
\boxed{
[x]_{\mathrm{new}}=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
}
この問題で確認しているのは、座標が変わってもベクトルそのものは変わらないという点である。x は同じベクトルだが、基底を変えると数の組み合わせが変わる。
2Check problem: change-of-coordinates matrix
Let the standard basis of \mathbb R^2 be the old basis, and let the new basis be
b_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad b_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
Find the new-basis coordinates [x]_{\mathrm{new}} of
x=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.
2.1Answer
Put the new basis vectors in the columns:
P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.
This matrix sends new coordinates to old coordinates:
[x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}}.
Solve
\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
Then
s+t=3,\qquad s-t=1,
so s=2 and t=1. Therefore
\boxed{[x]_{\mathrm{new}}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}.
The vector is unchanged; only its coordinate description changes.
3確認問題：相似変換
線型写像の古い基底での表現行列を
A_{\mathrm{old}}=
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&3
\end{pmatrix}
とする。また、新しい基底から古い基底への座標変換行列を
P=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
とする。新基底での表現行列
A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P
を求めよ。
3.1解答
行列式による確認は後続の先取りである。同じことは、2 つの列が一次独立であり、下に表示する P^{-1} を実際に掛けると I に戻ることからも確認できる。
まず P が可逆であることを確認する。ここでは
\det P
=
-2
\neq
0
なので、P^{-1} が存在する。したがって
P^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\
\frac12&-\frac12
\end{pmatrix}
である。つぎに
A_{\mathrm{old}}P
=
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&1\\
3&-3
\end{pmatrix}
である。したがって
A_{\mathrm{new}}
=
\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\
\frac12&-\frac12
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&1\\
3&-3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
0&2
\end{pmatrix}
となる。
\boxed{
A_{\mathrm{new}}=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
0&2
\end{pmatrix}
}
この問題では、左の P^{-1} と右の P の役割が重要である。右の P は新座標の入力を古座標へ戻し、A_{\mathrm{old}} は古座標で線型写像を適用し、左の P^{-1} は結果を新座標へ戻す。
3Check problem: similarity transformation
Let
A_{\mathrm{old}}=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.
Find A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P.
3.1Answer
The determinant check is a preview. Equivalently, the two columns are linearly independent, and the displayed inverse can be verified by multiplication.
Since \det P=-2\ne0,
P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}.
Also
A_{\mathrm{old}}P=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\3&-3\end{pmatrix}.
Thus
A_{\mathrm{new}}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}.
3.2Explanation
The right-side P converts a new-coordinate input to old coordinates. A_{\mathrm{old}} applies the map in old coordinates. The left-side P^{-1} converts the result back to new coordinates.
4確認問題：定義域と終域の基底を別々に変える
線型写像 T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 の古い基底での表現行列を
A_{\mathrm{old}}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}
とする。定義域の座標変換行列を
P=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix}
とし、終域の座標変換行列を Q=I_3 とする。このとき
A_{\mathrm{new}}=Q^{-1}A_{\mathrm{old}}P
を求めよ。
4.1解答
ここでは Q=I_3 なので、Q^{-1}=I_3 である。したがって
A_{\mathrm{new}}
=
A_{\mathrm{old}}P
を計算すればよい。
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1\\
1&2
\end{pmatrix}
したがって
\boxed{
A_{\mathrm{new}}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1\\
1&2
\end{pmatrix}
}
長方行列では、相似という形ではなく Q^{-1}AP という形になる。定義域と終域の基底を別々に持つためである。
4Check problem: changing bases in the domain and codomain
For T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3, let
A_{\mathrm{old}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad Q=I_3.
Find A_{\mathrm{new}}=Q^{-1}A_{\mathrm{old}}P.
4.1Answer
Since Q=I_3,
A_{\mathrm{new}}=A_{\mathrm{old}}P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&2\end{pmatrix}.
4.2Explanation
For a rectangular matrix, the form is Q^{-1}AP rather than similarity, because domain and codomain have separate bases.
5確認問題：相似で保存される量
前問の正方行列
A=
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&3
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
0&2
\end{pmatrix}
について、トレース、行列式、固有値が一致することを確認せよ。
先取り注意：行列式と固有値は後続で本格的に定義する。ここでは、2 次の行列式公式と上三角行列の対角成分を使う発展確認として扱う。
5.1解答
まずトレースは
\operatorname{tr}(A)=2+3=5,
\qquad
\operatorname{tr}(B)=3+2=5
である。つぎに行列式は
\det A=2\cdot 3-0\cdot 1=6,
\qquad
\det B=3\cdot 2-0\cdot(-1)=6
である。さらに、どちらも上三角行列なので、固有値は対角成分から読める。
A:\ 2,3,
\qquad
B:\ 3,2
したがって、順序を除けば固有値は一致する。
この問題で見ているのは、相似が同じ線型写像の別表示であるという事実である。行列の成分は変わっても、基底に依存しない量は保存される。
5Check problem: quantities preserved by similarity
For
A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix},
confirm that trace, determinant, and eigenvalues agree.
Preview note: determinants and eigenvalues are developed later. Here this is an advanced check using the 2 by 2 determinant formula and the fact that the eigenvalues of an upper triangular matrix are its diagonal entries.
5.1Answer
\operatorname{tr}(A)=5=\operatorname{tr}(B),\qquad \det A=6=\det B.
Both are upper triangular, so their eigenvalues are the diagonal entries:
A:2,3,\qquad B:3,2.
The eigenvalues agree up to order.
5.2Explanation
Similarity is an alternative representation of the same linear map. Entries may change, but basis-independent quantities are preserved.
6確認問題：可逆性の確認
P=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&4
\end{pmatrix}
を座標変換行列として使えるか判定せよ。
6.1解答
基底変換で使う P は、新しい基底ベクトルを列に並べた行列である。したがって、列が線型独立でなければならない。
ここでは第2列が第1列の 2 倍である。
\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}
=
2
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
したがって列は線型従属であり、基底にならない。実際、
\det P
=
1\cdot 4-2\cdot 2
=
0
である。逆行列の公式を使うなら \det P で割るため、この場合は 0 による除算になり、P^{-1} は存在しない。
この行列式による説明は後続への先取りである。本流の判定は、第 2 列が第 1 列の 2 倍で、2 本の列が基底を作らないという点である。
したがって、P は座標変換行列として使えない。
この問題は、相似変換や基底変換で P^{-1} が現れる理由を確認するものである。可逆でない行列は、座標の付け替えではなく、情報を潰す写像になる。
6Check problem: checking invertibility
Can
P=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
be used as a change-of-coordinates matrix?
6.1Answer
No. The second column is twice the first:
\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.
Thus the columns are linearly dependent. Also
\det P=1\cdot4-2\cdot2=0,
so P^{-1} does not exist.
6.2Explanation
A non-invertible matrix collapses information. A change of basis must only relabel coordinates, so its matrix must be invertible.
For a change of basis, the columns of P are the new basis vectors written in the old coordinates, so they must be linearly independent. The determinant calculation confirms the same obstruction: using the inverse formula would require division by \det P, and here that value is 0. Thus this matrix is not a coordinate-change matrix.
The determinant explanation is a preview. The main reason is already visible from the columns: the second column is twice the first, so the two columns cannot form a basis.
7補充問題：失敗例と順序の確認
7.1問題 6
b_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},
\qquad
b_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}
は \mathbb R^2 の基底ではない。この理由を、座標変換行列の可逆性から説明せよ。
7.2解答例
b_1,b_2 を列に並べると
P=
\begin{pmatrix}
1&2\\
0&0
\end{pmatrix}
である。この行列は第 2 行が零なので可逆ではない。したがって、座標からベクトルを一意に復元できず、b_1,b_2 は基底ではない。
この問題は、基底ではない組を使うと座標変換が壊れることを確認する。基底変換では、変換行列が可逆であることが前提である。
7.3問題 7
A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},
\qquad
P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
とする。P^{-1}AP と PAP^{-1} を計算し、一般に順序を入れ替えてはいけないことを確認せよ。
7.4解答例
P^{-1}=
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
である。したがって
P^{-1}AP=
\begin{pmatrix}
2&0\\
0&3
\end{pmatrix}
である。一方、
PAP^{-1}=
\begin{pmatrix}
2&2\\
0&3
\end{pmatrix}
であり、同じ行列にはならない。
この問題は、相似変換の順序を確認するための失敗例である。P^{-1}AP と PAP^{-1} は記号が似ているが、基底の取り方に対する意味が逆になる。
問題 6 は、基底でない組を使うと座標変換が壊れることを確認する。b_1,b_2 から作る行列は平面を潰し、ベクトルを一意に復元できない。問題 7 は、相似変換の順序を確認する。P^{-1}AP と PAP^{-1} は似ているが、反対の座標規約を表し、一般には異なる行列を与える。
7Supplementary problems: failure examples and order
7.1Problem 6
Explain from invertibility why
b_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad b_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}
are not a basis of \mathbb R^2.
7.2Answer example
Putting them in columns gives
P=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix},
which is not invertible. Coordinates would not recover vectors uniquely, so the vectors are not a basis.
7.3Problem 7
For
A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},
compute P^{-1}AP and PAP^{-1}.
7.4Answer example
P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.
Then
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix},\qquad PAP^{-1}=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}.
They are not the same, so the order cannot generally be swapped.
Problem 6 checks that using a non-basis breaks coordinate change: the matrix built from b_1,b_2 collapses the plane and cannot recover vectors uniquely. Problem 7 checks the order in a similarity transformation. The expressions P^{-1}AP and PAP^{-1} look similar, but they describe opposite coordinate conventions and generally give different matrices.