二次形式にじけいしきquadratic form・最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial・ジョルダン-基本演習きほんえんしゅう

date2026-06-06document_iddoc_c93a95d880e00a983edaf7a88b281565description二次形式、正定値性、最小多項式、ジョルダン標準形を、対角化できる場合とできない場合の違いから確認する演習である。prerequisites二次形式と正定値行列 / 最小多項式の基本 / ジョルダン標準形の入口type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathlinear-algebraexercisequadratic-formminimal-polynomialjordan-form

data/lecture/math/linear-algebra/quadratic-forms-and-positive-definite-matrices.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/minimal-polynomial-basics.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/introduction-to-jordan-canonical-form.lecture.n.md

Quadratic forms二次形式にじけいしき, minimal polynomials最小多項式さいしょうたこうしき, and Jordan form - Basic Exercises

1演習えんしゅう方針ほうしん

二次形式にじけいしきquadratic formは、方向ほうこうごとの符号ふごうと伸縮しんしゅくを調しらべる道具どうぐである。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formは、固有値こゆうちeigenvalueだけでは見みえない「対角化たいかくかdiagonalizationできない成分せいぶんcomponent」を記録きろくする。

1Exercise plan

A quadratic form二次形式にじけいしき studies signs and stretching along directions. A minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき and Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい record non-diagonalizable information that eigenvalues固有値こゆうち alone do not show.

2問題もんだい 1

q (x, y) = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}

の正定値性せいていちせいpositive definitenessを判定はんていせよ。

2.1解答例かいとうれい

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

C = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

である。固有値こゆうちeigenvalueは $3$ と $1$ で、どちらも正せいである。したがって $q$ は正定値せいていちpositive definiteである。

2.2解説かいせつ

二次形式にじけいしきquadratic formを固有方向こゆうほうこうeigendirectionに沿そって読よむと、平方へいほうの和わに分解ぶんかいできる。係数けいすうcoefficientである固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せいなら、零れいでない入力にゅうりょくに対たいして正せいになる。

2Problem 1

Determine whether

q (x, y) = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}

is positive definite正定値せいていち.

2.1Answer example

The corresponding symmetric matrix対称行列たいしょうぎょうれつ is

C = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) .

Its eigenvalues固有値こゆうち are $3$ and $1$ , both positive. Therefore $q$ is positive definite.

2.2Explanation

A quadratic form can be read along eigendirections固有方向こゆうほうこう. If every eigenvalue coefficient is positive, every nonzero input gives a positive value.

3問題もんだい 2

q (x, y, z) = 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - z^{2}

を対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixで表あらわし、正定値せいていちpositive definite・非負定値ひふていちpositive semidefinite・不定ふていindefiniteのどれであるかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

S = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

である。 $x = 1, y = 0, z = 0$ では $q (1, 0, 0) = 2 > 0$ であり、 $x = 0, y = 0, z = 1$ では $q (0, 0, 1) = - 1 < 0$ である。したがって $q$ は不定ふていindefiniteである。

3.2解説かいせつ

正定値性せいていちせいpositive definitenessは全すべての非零ひれいベクトルで正せいになることを要求ようきゅうする。正せいになる方向ほうこうと負ふになる方向ほうこうが両方りょうほうあれば不定ふていindefiniteである。

3Problem 2

Write

q (x, y, z) = 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - z^{2}

as a symmetric matrix対称行列たいしょうぎょうれつ, and classify it as positive definite, positive semidefinite非負定値ひふていち, or indefinite不定ふてい.

3.1Answer example

The corresponding matrix is

S = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) .

Since $q (1, 0, 0) = 2 > 0$ and $q (0, 0, 1) = - 1 < 0$ , the form is indefinite.

3.2Explanation

Positive definiteness requires positivity for all nonzero vectors. If both positive and negative directions exist, the form is indefinite.

4問題もんだい 3

J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

について、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが $(t - 1)^{2}$ であることを説明せつめいせよ。

4.1解答例かいとうれい

J - I = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq 0

だが、

(J - I)^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

である。したがって $J$ を零行列れいぎょうれつzero matrixにする最低次数さいていじすうの首一多項式しゅいちたこうしきは $(t - 1)^{2}$ である。

4.2解説かいせつ

固有値こゆうちeigenvalueだけなら $(t - 1)$ で足たりそうに見みえる。しかし $J - I \neq 0$ なので、非対角成分ひたいかくせいぶんが残のこっている。この残のこりがジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formで扱あつかう情報じょうほうである。

4Problem 3

For

J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

explain why the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is $(t - 1)^{2}$ .

4.1Answer example

J - I = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq 0,

but

(J - I)^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Thus the monic polynomial of lowest degree sending $J$ to the zero matrix is $(t - 1)^{2}$ .

4.2Explanation

The eigenvalue alone suggests $(t - 1)$ , but $J - I \neq 0$ shows that a nilpotent off-diagonal part remains. Jordan form records exactly this information.

5問題もんだい 4

D = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}), J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

の最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを求もとめ、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialだけでは区別くべつできない情報じょうほうを説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

$D - I = 0$ なので

m_{D} (t) = t - 1

である。 $E$ では $(E - I) (E - 2 I) = 0$ であり、どちらか 1 つの因子いんしだけでは零行列れいぎょうれつzero matrixにならないので

m_{E} (t) = (t - 1) (t - 2)

である。 $J$ では $J - I \neq 0$ だが $(J - I)^{2} = 0$ なので

m_{J} (t) = (t - 1)^{2}

である。

5.2解説かいせつ

$D$ と $J$ はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $(t - 1)^{2}$ である。しかし $D$ は対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixで、 $J$ は対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、この違ちがいを重根じゅうこんの有無うむとして記録きろくする。

5Problem 4

Find the minimal polynomials最小多項式さいしょうたこうしき of

D = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}), J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

and explain what the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき alone cannot distinguish.

5.1Answer example

Since $D - I = 0$ ,

m_{D} (t) = t - 1.

For $E$ , $(E - I) (E - 2 I) = 0$ and neither single factor suffices, so

m_{E} (t) = (t - 1) (t - 2) .

For $J$ , $J - I \neq 0$ but $(J - I)^{2} = 0$ , so

m_{J} (t) = (t - 1)^{2.}

5.2Explanation

Both $D$ and $J$ have characteristic polynomial $(t - 1)^{2}$ . But $D$ is diagonal and $J$ is not diagonalizable対角化可能たいかくかかのう. The minimal polynomial detects this through whether a repeated factor is needed.

6問題もんだい 5

$N = A - λ I$ が 4 次元じげんdimensionの空間くうかんで冪零べきれいnilpotentに作用さようし、

\dim \ker N = 2, \dim \ker N^{2} = 3, \dim \ker N^{3} = 4

であるとする。 $λ$ に対たいするジョルダンブロックの大おおきさを求もとめよ。

6.1解答例かいとうれい

$\dim \ker N$ はジョルダンブロックの個数こすうを表あらわすので、ブロックは 2 個こである。差さを取とると、

2, 1, 1

となる。これは、大おおきさ 1 以上いじょうのブロックが 2 個こ、大おおきさ 2 以上いじょうのブロックが 1 個こ、大おおきさ 3 以上いじょうのブロックが 1 個こであることを意味いみする。したがってブロックの大おおきさは 3 と 1 である。

6.2解説かいせつ

核かくkernelの次元じげんdimensionの増ふえ方かたは、ジョルダン鎖さJordan chainがどこまで続つづくかを表あらわす。これは、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが $N$ を作用さようさせるたびに鎖さを 1 段だんずつ下おりるためである。

6Problem 5

Suppose $N = A - λ I$ acts nilpotently冪零べきれい on a 4-dimensional space and

\dim \ker N = 2, \dim \ker N^{2} = 3, \dim \ker N^{3} = 4.

Find the sizes of the Jordan blocks for $λ$ .

6.1Answer example

$\dim \ker N$ gives the number of Jordan blocks, so there are 2 blocks. The differences are

2, 1, 1.

This means there are 2 blocks of size at least 1, 1 block of size at least 2, and 1 block of size at least 3. Hence the block sizes are 3 and 1.

6.2Explanation

The growth of $\dim \ker N^{k}$ records how long the Jordan chainsジョルダン鎖さ are.

7問題もんだい 6

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

について、 $N = A - 2 I$ とおく。 $\ker N$ 、 $\ker N^{2}$ 、 $\ker N^{3}$ を求もとめ、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorのジョルダン鎖さJordan chainを 1 つ作つくれ。また、 $e^{t A}$ を求もとめよ。

7.1解答例かいとうれい

N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

であり、 $N (x, y, z)^{T} = (y, z, 0)^{T}$ である。したがって

\ker N = span (e_{1}), \ker N^{2} = span (e_{1}, e_{2}), \ker N^{3} = R^{3}

である。また

N e_{1} = 0, N e_{2} = e_{1}, N e_{3} = e_{2}

なので、 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ は長ながさ 3 のジョルダン鎖さJordan chainを作つくる。

$A = 2 I + N$ 、 $N^{3} = 0$ より、

e^{t A} = e^{2 t} (I + t N + \frac{t^{2}}{2} N^{2}) = e^{2 t} (\begin{matrix} 1 & t & \frac{t^{2}}{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

である。

7.2解説かいせつ

固有こゆうベクトルeigenvectorだけでは足たりない場合ばあい、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが不足ふそくする方向ほうこうを補おぎなう。冪零成分べきれいせいぶんnilpotent partは、 $e^{t A}$ に多項式的たこうしきてきな因子いんしを生うむ。

7Problem 6

For

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}),

let $N = A - 2 I$ . Find $\ker N$ , $\ker N^{2}$ , and $\ker N^{3}$ , construct one Jordan chainジョルダン鎖さ, and compute $e^{t A}$ .

7.1Answer example

N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

so $N (x, y, z)^{T} = (y, z, 0)^{T}$ . Therefore

\ker N = span (e_{1}), \ker N^{2} = span (e_{1}, e_{2}), \ker N^{3} = R^{3.}

Since

N e_{1} = 0, N e_{2} = e_{1}, N e_{3} = e_{2},

the vectors $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ form a Jordan chain. Also $A = 2 I + N$ and $N^{3} = 0$ , so

e^{t A} = e^{2 t} (I + t N + \frac{t^{2}}{2} N^{2}) = e^{2 t} (\begin{matrix} 1 & t & \frac{t^{2}}{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

7.2Explanation

When eigenvectors are not enough, generalized eigenvectors一般化いっぱんか固有こゆうベクトル fill the missing directions. The nilpotent part冪零成分べきれいせいぶん produces polynomial factors in $e^{t A}$ .

8Related exercises

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9関連講義かんれんこうぎ

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10補強問題ほきょうもんだい：正定値性せいていちせいpositive definitenessと最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの定理確認ていりかくにん

10.1問題もんだい 7

H = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})

の正定値性せいていちせいpositive definitenessを、固有値こゆうちeigenvalue、首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしき、平方完成へいほうかんせいの 3 通とおりで確認かくにんせよ。

10.2解答例かいとうれい

固有値こゆうちeigenvalueは

\det (H - λ I) = (2 - λ) (3 - λ) - 1 = λ^{2} - 5 λ + 5

の根こんなので、

λ = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}

であり、どちらも正せいである。首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしきは $2 > 0$ 、 $\det H = 5 > 0$ である。また、

2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 2 {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{5}{2} y^{2}

なので、 $(x, y) \neq 0$ なら正せいである。

10.3解説かいせつ

実対称じつたいしょう $2 \times 2$ 行列ぎょうれつでは、「固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せい」「首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしきが正せい」「正せいの平方へいほうの和わに直なおせる」という読よみが一致いっちする。

10.4問題もんだい 8

実対称じつたいしょうの場合ばあい、二次形式にじけいしきquadratic form $q (x) = x^{T} A x$ が正定値せいていちpositive definiteであることと、 $A$ の固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せいであることが同値どうちequivalentである理由りゆうを証明しょうめいせよ。

10.5解答例かいとうれい

スペクトル定理spectral theoremより、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix $Q$ を用もちいて

Q^{T} A Q = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

と書かける。 $y = Q^{T} x$ とおくと、 $Q$ は可逆かぎゃくinvertibleで長ながさを保たもつので、 $x \neq 0$ と $y \neq 0$ は同値どうちequivalentである。このとき

q (x) = x^{T} A x = y^{T} diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) y = \sum_{i} λ_{i} y_{i^{2}}

である。すべての $λ_{i} > 0$ なら、 $y \neq 0$ に対たいしてこの和わは正せいである。逆ぎゃくに、ある $λ_{j} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ があれば $y = e_{j}$ と取とることで $q (x) = λ_{j} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ となる方向ほうこうが存在そんざいし、正定値せいていちpositive definiteではない。

10.6解説かいせつ

スペクトル定理spectral theoremは二次形式にじけいしきquadratic formを独立どくりつな平方座標へいほうざひょうへ分解ぶんかいする。正定値性せいていちせいは、その係数けいすうがすべて正せいであることに等ひとしい。

10.7問題もんだい 9

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが一次式いちじしきに分解ぶんかいする複素行列ふくそぎょうれつについて、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableであることと、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが重複ちょうふくする一次因子いちじいんしを持もたないことが同値どうちequivalentである理由りゆうを説明せつめいせよ。問題もんだい 4 の $D$ と $J$ で確認かくにんせよ。

10.8解答例かいとうれい

行列ぎょうれつが対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableなら、対角成分たいかくせいぶんに現あらわれる相異あいことなる固有値こゆうちeigenvalueを $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ として、

\prod_{i = 1}^{s} (t - λ_{i})

が対角行列たいかくぎょうれつを 0 にし、したがって元もとの行列ぎょうれつも 0 にする。重複因子ちょうふくいんしは不要ふようである。逆ぎゃくに、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきなら、空間くうかんが固有空間こゆうくうかんeigenspaceの直和ちょくわに分解ぶんかいし、固有こゆうベクトルeigenvectorの基底きていbasisを取とれる。

$D$ では $m_{D} (t) = t - 1$ で重複因子ちょうふくいんしがなく、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableである。 $J$ では $m_{J} (t) = (t - 1)^{2}$ に重複因子ちょうふくいんしがあり、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。

10.9解説かいせつ

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの重複因子ちょうふくいんしは、最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを測はかる。1 より大おおきいブロックがあるとき、重複因子ちょうふくいんしが現あらわれる。

10Supplementary theorem-check problems

10.1Problem 7

For

H = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}),

check positive definiteness正定値性せいていちせい by three methods: eigenvalues, leading principal minors, and completing the square.

10.2Answer example

The eigenvalues are roots of

\det (H - λ I) = (2 - λ) (3 - λ) - 1 = λ^{2} - 5 λ + 5,

λ = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2},

both positive. The leading principal minors are $2 > 0$ and $\det H = 5 > 0$ , also showing positive definiteness. Finally,

2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 2 {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{5}{2} y^{2},

which is positive for every nonzero $(x, y)$ .

10.3Explanation

For a real symmetric $2 \times 2$ matrix, these three readings agree: positive eigenvalues, positive leading principal minors, and a sum of positive squares.

10.4Problem 8

State and prove, in the real symmetric case, why a quadratic form二次形式にじけいしき $q (x) = x^{T} A x$ is positive definite if and only if all eigenvalues of $A$ are positive.

10.5Answer example

By the spectral theorem, there is an orthogonal matrix $Q$ such that

Q^{T} A Q = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) .

Put $y = Q^{T} x$ . Since $Q$ is invertible and preserves length, $x \neq 0$ if and only if $y \neq 0$ . Then

q (x) = x^{T} A x = y^{T} diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) y = \sum_{i} λ_{i} y_{i^{2.}}

If every $λ_{i} > 0$ , this sum is positive for every nonzero $y$ . Conversely, if some $λ_{j} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ , taking $y = e_{j}$ gives $q (x) = λ_{j} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ in the corresponding eigen-direction, so the form is not positive definite.

10.6Explanation

The spectral theorem turns a quadratic form into independent squared coordinates. Positive definiteness is therefore exactly positivity of every coefficient in those coordinates.

10.7Problem 9

For a complex matrix whose minimal polynomial splits, explain why being diagonalizable対角化可能たいかくかかのう is equivalent to the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき having no repeated linear factor. Check this on $D$ and $J$ from Problem 4.

10.8Answer example

If a matrix is diagonalizable with diagonal entries among $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ , then

\prod_{i = 1}^{s} (t - λ_{i})

annihilates the matrix, so the minimal polynomial has only distinct linear factors. Conversely, if the minimal polynomial has no repeated factor, the primary decomposition has no nontrivial nilpotent part on any eigenspace, so the matrix is a direct sum of eigenspaces and is diagonalizable. For the diagonal matrix $D$ , the minimal polynomial has distinct factors. For the Jordan block $J$ , a squared factor is needed, so it is not diagonalizable.

10.9Explanation

Repeated factors in the minimal polynomial detect the nilpotent part of Jordan blocks. No repeated factor means every Jordan block has size 1.