最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの基本きほん

Basics of the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、行列ぎょうれつmatrixが満みたす代数的関係だいすうてきかんけいを最小限さいしょうげんに記録きろくする多項式たこうしきであるということである。

固有値こゆうちeigenvalueは行列ぎょうれつmatrixの情報じょうほうを要約ようやくするが、それだけでは対角化可能性たいかくかかのうせいを完全かんぜんには判定はんていできない。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを導入どうにゅうすると、同おなじ固有値こゆうちeigenvalueを持もつ行列ぎょうれつmatrixの差異さいを、重根じゅうこんの有無うむとして確認かくにんできる。

1Introduction

The key point of this lecture is that the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき records the smallest algebraic relation satisfied by a matrix行列ぎょうれつ.

eigenvalues固有値こゆうち summarize important information, but they do not fully determine diagonalizability. The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき detects whether repeated factors are needed to annihilate the matrix, and that is exactly what distinguishes some matrices with the same eigenvalues固有値こゆうち.

2用語ようごと定義ていぎ

最小多項式さいしょうたこうしきMinimal polynomial とは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A に対たいして

を満みたす零ぜろでない多項式たこうしきのうち、次数じすうが最小さいしょうで、最高次係数さいこうじけいすうが 1 であるものをいう。

特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを

とする。ケーリー・ハミルトンの定理ていりにより

である。したがって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは存在そんざいし、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを割わる。

2Terms and definitions

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき of a square matrix正方行列せいほうぎょうれつ $A$A is the nonzero monic polynomial of least degree such that

Let the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき be

By the Cayley-Hamilton theorem,

Therefore the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき exists and divides the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき.

3方針ほうしん

方針ほうしんは、行列ぎょうれつmatrixに多項式たこうしきを代入だいにゅうする操作そうさoperationを確認かくにんし、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの根こんと固有値こゆうちeigenvalueの関係かんけいを整理せいりすることである。

3Plan

First understand what it means to substitute a matrix into a polynomial. Then relate the roots of the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき to the eigenvalues固有値こゆうち of $A$A, and finally use repeated roots to test diagonalizability.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

数かず $$\lambda$$\lambda について $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) が消去しょうきょするのは、$$t=\lambda$$t=\lambda という条件じょうけんである。行列ぎょうれつmatrix $$A$$A について $$(A-\lambda I)$$(A-\lambda I) が零ぜろになるわけではない。しかし、適切てきせつな多項式たこうしきを組くみ合あわせると、行列全体ぎょうれつぜんたいを零行列ぜろぎょうれつにできる。

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、そのために必要ひつような最短さいたんの式しきである。対角化可能たいかくかかのうな行列ぎょうれつmatrixでは、固有値こゆうちeigenvalueごとに 1 回かいずつ因子いんしを用意よういすれば十分じゅうぶんである。対角化たいかくかdiagonalizationできない場合ばあいは、同おなじ因子いんしが複数回ふくすうかい必要ひつようになる。

4Intuitive explanation

For a number $\lambda$\lambda, the factor $t-\lambda$t-\lambda vanishes when $t=\lambda$t=\lambda. For a matrix $A$A, the expression $A-\lambda I$A-\lambda I usually does not become the zero matrix. But a suitable polynomial in $A$A can become zero.

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is the shortest such relation. If $A$A is diagonalizable, one factor for each distinct eigenvalue固有値こゆうち is enough. If $A$A is not diagonalizable, the same factor must sometimes appear more than once.

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialとの関係かんけい

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial $$m_A\left(t\right)$$m_A(t) は特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial $${\chi }_A\left(t\right)$$\chi_A(t) を割わる。

したがって $$m_A\left(t\right)$$m_A(t) の根こんは $$A$$A の固有値こゆうちeigenvalueであり、固有値こゆうちeigenvalueは $$m_A\left(t\right)$$m_A(t) の根こんとして表あらわれる。

5.22. 対角化可能性たいかくかかのうせいとの関係かんけい

体たい $$K$$K 上じょうで $$A$$A の最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが

のように相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきに分解ぶんかいされるなら、$$A$$A は対角化可能たいかくかかのうである。逆ぎゃくも成立せいりつする。

この判定はんていは、固有値こゆうちeigenvalueの種類しゅるいだけでなく、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialに重複ちょうふくが必要ひつようかどうかを確認かくにんする方法ほうほうである。

5Precise explanation

5.11. Relation with the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき divides the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき:

Its roots are eigenvalues固有値こゆうち of $A$A, and every eigenvalue固有値こゆうち appears as a root of $m_A\left(t\right)$m_A(t).

5.22. Diagonalizability

Over a field $K$K, if the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき factors as

with distinct linear factors, then $A$A is diagonalizable. Conversely, if $A$A is diagonalizable, the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき has this form.

Thus

6存在そんざいと一意性いちいせい

存在そんざいは Cayley-Hamilton の定理ていりから従したがう。すなわち $${\chi }_A\left(A\right)=0$$\chi_A(A)=0 なので、$$A$$A を零化れいかする非零多項式ひぜろたこうしきが少すくなくとも 1 つ存在そんざいする。

一意性いちいせいは、最小次数さいしょうじすうのモニックな零化多項式れいかたこうしきを選えらぶことから従したがう。もし $$m_1,m_2$$m_1,m_2 がどちらも同おなじ最小次数さいしょうじすうで $$A$$A を零化れいかするなら、$$m_1-m_2$$m_1-m_2 はより低次数ていじすうの零化多項式れいかたこうしきになり、最小性さいしょうせいに反はんする。

7証明しょうめいの要点ようてん：重根じゅうこんを持もたない判定はんてい

$$A=PD{P}^{-1}$$A=PDP^{-1} と対角化たいかくかdiagonalizationできるなら、任意にんいの多項式たこうしき $$f$$f について

である。したがって $$A$$A を零化れいかするには、現あらわれる相異あいことなる固有値こゆうちeigenvalueで $$f$$f が 0 になれば十分じゅうぶんであり、

となる。ここで $$\mathrm{Spec}\left(A\right)$$\operatorname{Spec}(A) は $$A$$A の固有値こゆうちeigenvalueの集合しゅうごうを表あらわす記号きごうである。

逆ぎゃくに $$m_A\left(t\right)$$m_A(t) が相異あいことなる一次因子いちじいんしに分解ぶんかいするなら、固有空間こゆうくうかんへの射影しゃえいを多項式たこうしきで構成こうせいでき、固有ベクトルeigenvectorの基底きていbasisが得えられる。ここでいう射影しゃえいは、内積ないせきから定義ていぎする直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projectionではなく、ベクトルを各かく固有空間こゆうくうかんの成分せいぶんへ分わける線型写像せんけいしゃぞうlinear mapである。

8具体例ぐたいていれい

8.11. 対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrix

では

である。したがって

である。

8.22. ジョルダンブロック

ここでは次つぎの講義こうぎへの準備じゅんびとして、対角化たいかくかできない最小さいしょうの例れいを「ジョルダンブロック」と呼よぶ。

とする。このとき

は零行列ぜろぎょうれつではないが、

である。したがって

である。重根じゅうこんが現あらわれるため、$$B$$B は対角化可能たいかくかかのうではない。

8.33. 同おなじ特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialで異ことなる最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial

はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $$(t-1{)}^2$$(t-1)^2 である。しかし

である。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、固有値こゆうちeigenvalueの一覧いちらんだけでは見みえない非対角化可能ひたいかくかかのうなジョルダン構造こうぞうを検出けんしゅつする。

6Existence and uniqueness

Existence follows from Cayley-Hamilton: ${\chi }_A\left(A\right)=0$\chi_A(A)=0, so at least one nonzero annihilating polynomial exists.

Uniqueness follows from choosing the monic annihilating polynomial of smallest degree. If two monic polynomials $m_1,m_2$m_1,m_2 of that least degree both annihilate $A$A, then $m_1-m_2$m_1-m_2 also annihilates $A$A and has smaller degree. This contradicts minimality unless $m_1=m_2$m_1=m_2.

7Proof idea for the squarefree criterion

If $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1} is diagonalizable, then for any polynomial $f$f,

The matrix $f\left(D\right)$f(D) is diagonal with entries $f\left({\lambda }_i\right)$f(\lambda_i). Therefore it is enough for $f$f to vanish on the distinct eigenvalues固有値こゆうち. Hence

with no repeated roots.

Here $\mathrm{Spec}\left(A\right)$\operatorname{Spec}(A) denotes the set of eigenvalues固有値こゆうち of $A$A.

Conversely, if $m_A\left(t\right)$m_A(t) splits into distinct linear factors, one can construct polynomial projections onto the eigenspaces. The space becomes a direct sum of eigenspaces, so an eigenvector固有こゆうベクトル basis基底きてい exists and $A$A is diagonalizable.

These projections are not necessarily orthogonal projections coming from an inner product. They are linear maps that extract the component lying in each eigenspace.

8Concrete examples

8.1Diagonal matrix

For

we have

so

8.2Jordan blockジョルダンブロック

As preparation for the next lecture, this smallest non-diagonalizable example is called a Jordan block here.

For

the matrix

is not zero, but

Therefore

and $B$B is not diagonalizable.

8.3Same characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき, different minimal polynomials

The matrices

both have characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき $(t-1{)}^2$(t-1)^2. But

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき detects the non-diagonalizable Jordan behavior that the eigenvalue固有値こゆうち list alone does not.

9別べつの観点かんてん：冪べきpowerの還元かんげんとジョルダン標準形ひょうじゅんけい

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、線型変換せんけいへんかんlinear transformationが生成せいせいする代数だいすうの関係式かんけいしきである。たとえば $$A^k$$A^k を計算けいさんするとき、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが分わかれば高次こうじの冪べきを低次ていじの冪べきへ還元かんげんできる。

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいが使つかえる場合ばあい、$$m_A\left(t\right)$$m_A(t) における $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) の指数しすうは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいのジョルダンブロックJordan blockの大おおきさに等ひとしい。特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialはブロックの大おおきさの総和そうわを数かぞえるのに対たいして、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは各かく固有値こゆうちeigenvalueについて最大さいだいブロック長ちょうを記録きろくする。

同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixは、指定していした多項式たこうしきpolynomialを特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialにもつ行列ぎょうれつmatrixを構成こうせいする例れいであり、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとの関係かんけいも次つぎの講義こうぎで確認かくにんする。

9Another viewpoint: reducing powers and Jordan form

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is an algebraic relation for the algebra generated by the linear transformation線型変換せんけいへんかん. For example, once $m_A\left(t\right)$m_A(t) is known, high powers such as $A^k$A^k can be reduced to lower powers.

When Jordan form is available, the exponent of $(t-\lambda )$(t-\lambda) in $m_A\left(t\right)$m_A(t) equals the size of the largest Jordan blockジョルダンブロック for $\lambda$\lambda. The characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき counts the total sizes of all blocks, while the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき records the maximum block length for each eigenvalue固有値こゆうち.

The companion matrix同伴行列どうはんぎょうれつ constructs a matrix with a prescribed characteristic polynomial and connects this lecture to polynomial-driven matrix examples.

10別べつの観点かんてん

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、線型変換せんけいへんかんlinear transformationが生成せいせいする代数だいすうの基本関係式きほんかんけいしきである。$$m_A\left(t\right)$$m_A(t) を知しると、$$A$$A の高たかい冪べきを低ひくい冪べきへ還元かんげんできる。

11判定基準はんていきじゅん

• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、$$m_A\left(A\right)=0$$m_A(A)=0 を満みたす最小次数さいしょうじすうのモニック多項式たこうしきである。
• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを割わる。
• 対角化可能性たいかくかかのうせいは、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが重根じゅうこんを持もたないことと対応たいおうする。
• ジョルダン標準形ひょうじゅんけいでは、最大さいだいのブロックサイズが最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの指数しすうに反映はんえいされる。

10Another viewpoint

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is the defining algebraic relation for the algebra generated by a linear transformation. Knowing $m_A\left(t\right)$m_A(t) allows high powers of $A$A to be reduced to lower powers.

11Criteria

• $m_A\left(t\right)$m_A(t) is the monic polynomial of least degree satisfying $m_A\left(A\right)=0$m_A(A)=0.
• $m_A\left(t\right)$m_A(t) divides the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき.
• Diagonalizability corresponds to a squarefree minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき that splits.
• In Jordan form, the largest block size determines the exponent in the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき.

12どこまで成立せいりつするか

一次因子いちじいんしへの分解ぶんかいを用もちいる主張しゅちょうは、考察こうさつする体たいの上うえで多項式たこうしきが分解ぶんかいすることを前提ぜんていにする。実数じっすうreal numberだけでは分解ぶんかいしない場合ばあいも、複素数ふくそすうcomplex numberへ拡張かくちょうすると分解ぶんかいできることがある。

12Scope and limitations

Statements involving linear factors require the polynomial to split over the field being used. A polynomial that does not split over the real numbers may split after extending scalars to the complex numbers.

13存在そんざいと一意性いちいせいの確認かくにん

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは必かならず存在そんざいし、一意いちいである。存在そんざいは Cayley-Hamilton の定理ていりから従したがう。なぜなら特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial $${\chi }_A\left(t\right)$$\chi_A(t) が

を満みたすため、零化れいかする多項式たこうしきが少すくなくとも 1 つ存在そんざいするからである。

一意性いちいせいは、最高次係数さいこうじけいすうを 1 に固定こていした最小次数さいしょうじすうの多項式たこうしきを取とることで得えられる。もし同おなじ最小次数さいしょうじすうのモニック多項式たこうしき $$m_1,m_2$$m_1,m_2 が両方りょうほう $$A$$A を零化れいかするなら、$$m_1-m_2$$m_1-m_2 は次数じすうが小ちいさい零化多項式れいかたこうしきになる。これは最小性さいしょうせいに反はんするため、$$m_1=m_2$$m_1=m_2 である。

14証明しょうめいの要点ようてん：重根じゅうこんがないことと対角化たいかくかdiagonalization

$$A$$A が対角化可能たいかくかかのうで $$A=PD{P}^{-1}$$A=PDP^{-1}、$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},{\lambda }_n)$$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) とする。このとき多項式たこうしき $$f$$f について

であり、$$f\left(D\right)$$f(D) は対角成分たいかくせいぶん $$f\left({\lambda }_i\right)$$f(\lambda_i) を並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。したがって $$A$$A を零化れいかするには、現あらわれるすべての固有値こゆうちeigenvalue $${\lambda }_i$$\lambda_i について $$f\left({\lambda }_i\right)=0$$f(\lambda_i)=0 で十分じゅうぶんである。よって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは

となり、重根じゅうこんを持もたない。

逆ぎゃくに、$$m_A\left(t\right)$$m_A(t) が相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきに分解ぶんかいするなら、各かく固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする射影しゃえいを多項式たこうしきで構成こうせいでき、空間くうかんは固有空間こゆうくうかんeigenspaceの直和ちょくわに分解ぶんかいする。したがって固有こゆうベクトルeigenvectorからなる基底きていbasisが存在そんざいし、$$A$$A は対角化可能たいかくかかのうである。

15ジョルダン標準形ひょうじゅんけいとの対応たいおう

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいが使つかえる場合ばあい、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは各かく固有値こゆうちeigenvalueについて最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを記録きろくする。たとえば $$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいブロックが大おおきさ 3 なら、$$m_A\left(t\right)$$m_A(t) には $$(t-\lambda {)}^3$$(t-\lambda)^3 が現あらわれる。

つまり、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialはブロックの総量そうりょうを数かぞえ、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは最大さいだいブロックの長ながさを測はかる。対角化可能たいかくかかのうとは、すべての最大さいだいブロックの長ながさが 1 であることに等ひとしい。

16計算例けいさんれい：同おなじ特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialで異ことなる最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial

はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $$(t-1{)}^2$$(t-1)^2 である。しかし

であるのに対たいして、

である。$$A-I=0$$A-I=0 だが、$$B-I\ne 0$$B-I\ne0 かつ $$(B-I{)}^2=0$$(B-I)^2=0 だからである。この違ちがいが、$$A$$A は対角化可能たいかくかかのうで $$B$$B は対角化不可能たいかくかふかのうであることを反映はんえいしている。

17最終形さいしゅうけい

13Existence and uniqueness

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき always exists and is unique. Existence follows from the Cayley-Hamilton theorem, because the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき ${\chi }_A\left(t\right)$\chi_A(t) satisfies

Thus at least one nonzero polynomial annihilating $A$A exists.

Uniqueness is obtained by choosing the monic annihilating polynomial of least degree. If two monic polynomials $m_1,m_2$m_1,m_2 of the same least degree both annihilate $A$A, then $m_1-m_2$m_1-m_2 is an annihilating polynomial of smaller degree. This contradicts minimality unless $m_1=m_2$m_1=m_2.

14Proof idea: no repeated roots and diagonalization対角化たいかくか

Suppose $A$A is diagonalizable and $A=PD{P}^{-1}$A=PDP^{-1}, where $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},{\lambda }_n)$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). For any polynomial $f$f,

and $f\left(D\right)$f(D) is the diagonal matrix with entries $f\left({\lambda }_i\right)$f(\lambda_i). Therefore, to annihilate $A$A, it is enough for $f$f to vanish at every eigenvalue固有値こゆうち that appears. Hence

so $m_A\left(t\right)$m_A(t) has no repeated root.

Conversely, if $m_A\left(t\right)$m_A(t) splits as a product of distinct linear factors, polynomial projections onto the eigenspaces can be constructed. The space decomposes as a direct sum of eigenspaces固有空間こゆうくうかん, so an eigenvector固有こゆうベクトル basis基底きてい exists and $A$A is diagonalizable.

15Correspondence with Jordan normal formジョルダン標準形ひょうじゅんけい

When Jordan normal form is available, the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき records, for each eigenvalue固有値こゆうち, the size of the largest Jordan block. For example, if the largest block for $\lambda$\lambda has size $3$3, then $(t-\lambda {)}^3$(t-\lambda)^3 appears in $m_A\left(t\right)$m_A(t).

Thus the characteristic polynomial特性多項式とくせいたこうしき counts the total amount of blocks, while the minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき measures the maximum block length. Diagonalizability is exactly the case where every maximum block length is $1$1.

16Calculation example: same characteristic polynomial, different minimal polynomials

The matrices

both have characteristic polynomial $(t-1{)}^2$(t-1)^2. However

whereas

This is because $A-I=0$A-I=0, while $B-I\ne 0$B-I\ne0 and $(B-I{)}^2=0$(B-I)^2=0. The difference reflects that $A$A is diagonalizable and $B$B is not.

17Final forms

18一言ひとことでいうと

• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、行列ぎょうれつmatrixを零化れいかする最短さいたんの関係式かんけいしきであり、対角化可能性たいかくかかのうせいを判定はんていする道具どうぐである。

18In one sentence

The minimal polynomial最小多項式さいしょうたこうしき is the shortest relation that annihilates a matrix and records exactly the repeated-factor obstruction to diagonalization.

19演習えんしゅうリンク

19Exercise link

20関連かんれんリンク

20Related links